1、2020-2021 学年广东省中山市东区八校九年级（上）期中数学试卷学年广东省中山市东区八校九年级（上）期中数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1方程 x2x 的实数根是（ ） A1 或 0 B1 或 0 C1 或1 D1 2已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6，那么点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 3抛物线 y3（x2）2+5 的对称轴是直线（ ） Ax2 Bx5 Cx2 Dx5 4如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 P 是劣弧上一点（点 P 不与点 C 重合） ，则CPD（
2、） A45 B36 C35 D30 5如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，点 C 是的中点，如果DAB70，则ABC 的度数等于（ ） A55 B60 C65 D70 6如图，某小区计划在一个长 80 米，宽 36 米的长方形场地 ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两 条与 AB 平行， 另一条与 AD 平行， 其余部分种草， 若使每块草坪的面积都为 260 平方米， 求道路的宽度 设 道路宽度为 x 米，则根据题意可列方程为（ ） A （802x） （36x）2606 B3680236x80 x260 x6 C （362x） （80 一 x）260 D （802
3、x） （36x）260 7已知 m 是一元二次方程 x2x20 的一个根，则 2020m2+m 的值为（ ） A2014 B2016 C2018 D2020 8如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点 M 在 CD 的边上，且 DM1，AEM 与ADM 关于 AM 所在的 直线对称，将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ） A3 B C D 9已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论： abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b） （m1 的实数） ； 其中正确的结论有（ ） A5 个
4、B4 个 C3 个 D2 个 10如图，四边形 ABCD 内接于O，AB9，AD15，BCD120，弦 AC 平分BAD，则 AC 的长是 （ ） A B C12 D13 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11点 P（5，8）关于原点对称点 P的坐标为 12将抛物线 yx24x4 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的表达式为 13若关于 x 的方程（k2）x24x+30 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 14如图，P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D， 若 PA5，则PCD 的周长为
5、 15如图，在 RtABC，B90，ACB50将 RtABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的 位置，连接 CC若 ABCC，则旋转角的度数为 16如图，一张扇形纸片 OAC，AOC120，OA8，连接 AB，BC，AC，若 OAAB，则图中阴影部 分的面积为 （结果保留 ） 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17如图，在平面直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，5） ，B（4，1） ，C（1，1） ，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ABC，点 B，C 的对应点分别为点 B，C （1）画出ABC； （2）写出点 A，B 关于原点 O 的对称点 A，B的坐标
6、； （3）求出在ABC 旋转的过程中，点 C 经过的路径长 18已知关于 x 的方程 x2+ax+a30 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 19如图，已知 CD 是O 的直径，弦 ABCD，垂足为点 M，点 P 是上一点，且BPC60 （1）判断ABC 的形状，并说明你的理由； （2）若 DM2，求O 的半径 20某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售 （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为 81 元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百 分率； （2）经调查，该商品每降价 2
7、 元，每月可多售出 10 件，若该商品按原标价出售，每月可销售 100 件， 那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 21如图，O 过ABCD 的三顶点 A、D、C，边 AB 与O 相切于点 A，边 BC 与O 相交于点 H，射线 AP 交边 CD 于点 E，交O 于点 F，点 P 在射线 AO 上，且PCD2DAF （1）求证：ABH 是等腰三角形； （2）求证：直线 PC 是O 的切线； （3）若 AB2，AD，求O 的半径 22如图，抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+c 相交于 A（0，1） ，B（3，）两点，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C，
8、在线段 AB 上方的抛物线上取一点 D，过 D 作 DFx 轴，垂足为点 F，交 AB 于点 E （1）求该抛物线的表达式； （2）求 DE 的最大值； （3）连接 BD、CE，四边形 BDEC 能否成为平行四边形？若能，求出点 D 的坐标；若不能，请说明理 由 2020-2021 学年广东省中山市东区八校九年级（上）期中数学试卷学年广东省中山市东区八校九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1方程 x2x 的实数根是（ ） A1 或 0 B1 或 0 C1 或1 D1 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解：x2x，
9、x2x0， 则 x（x1）0， x0 或 x10， 解得 x10，x21， 故选：A 2已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6，那么点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断 【解答】解：O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6， 点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径， 点 P 在O 外 故选：C 3抛物线 y3（x2）2+5 的对称轴是直线（ ） Ax2 Bx5 Cx2 Dx5 【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴 【解答】解：y
10、3（x2）2+5， 此函数的对称轴就是 x2 故选：A 4如图，正五边形 ABCDE 内接于O，点 P 是劣弧上一点（点 P 不与点 C 重合） ，则CPD（ ） A45 B36 C35 D30 【分析】连接 OC，OD求出COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OC，OD， ABCDE 是正五边形， COD72， CPDCOD36， 故选：B 5如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，点 C 是的中点，如果DAB70，则ABC 的度数等于（ ） A55 B60 C65 D70 【分析】 连接 BD， 根据圆周角定理得到ADB90， 求出ABD，
11、 根据圆内接四边形的性质求出C， 根据等腰三角形的性质求出CBD，结合图形计算，得到答案 【解答】解：连接 BD， AB 是直径， ADB90， ABD90DAB20， 四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， C180DAB110， 点 C 是的中点， CDCB， CBD（180110）35， ABCABD+CBD55， 故选：A 6如图，某小区计划在一个长 80 米，宽 36 米的长方形场地 ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两 条与 AB 平行， 另一条与 AD 平行， 其余部分种草， 若使每块草坪的面积都为 260 平方米， 求道路的宽度 设 道路宽度为 x 米，则根据题意可列方
12、程为（ ） A （802x） （36x）2606 B3680236x80 x260 x6 C （362x） （80 一 x）260 D （802x） （36x）260 【分析】根据题意和图形，可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意每块草坪的面积都为 260 平 方米 【解答】解：由题意可得， （802x） （36x）2606， 故选：A 7已知 m 是一元二次方程 x2x20 的一个根，则 2020m2+m 的值为（ ） A2014 B2016 C2018 D2020 【分析】利用一元二次方程根的定义得到 m2m2，再把 2020m2+m 变形为 2020（m2m） ，然后 利用整体代入的
13、方法计算 【解答】解：m 是一元二次方程 x2x20 的一个根， m2m20， 即 m2m2， 2020m2+m2020（m2m） 20202 2018 故选：C 8如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点 M 在 CD 的边上，且 DM1，AEM 与ADM 关于 AM 所在的 直线对称，将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ） A3 B C D 【分析】解法一：连接 BM先判定FAEMAB（SAS） ，即可得到 EFBM再根据 BCCDAB 3，CM2，利用勾股定理即可得到，RtBCM 中，BM，进而得出 EF 的长； 解法二：过 E 作
14、HGAD，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 ENBC 于 N，判定AEHEMG，即可得 到，设 MGx，则 EH3x，DG1+xAH，利用勾股定理可得，RtAEH 中， （1+x）2+ （3x）232，进而得出 EHBN，CGCMMGEN，FN，再根据勾股定理可得，Rt EFN 中，EF 【解答】解：如图，连接 BM AEM 与ADM 关于 AM 所在的直线对称， AEAD，MADMAE ADM 按照顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF， AFAM，FABMAD FABMAE FAB+BAEBAE+MAE FAEMAB FAEMAB（SAS） EFBM 四边形 ABCD 是正方形，
15、BCCDAB3 DM1， CM2 在 RtBCM 中，BM， EF， 故选：C 解法二： 如图， 过 E 作 HGAD， 交 AB 于 H， 交 CD 于 G， 作 ENBC 于 N， 则AHGMGE90， 由折叠可得，AEMD90，AEAD3，DMEM1， AEH+MEGEMG+MEG90， AEHEMG， AEHEMG， ， 设 MGx，则 EH3x，DG1+xAH， RtAEH 中， （1+x）2+（3x）232， 解得 x1，x21（舍去） ， EHBN，CGCMMGEN， 又BFDM1， FN， RtEFN 中，EF， 故选：C 9已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所
16、示，有下列 5 个结论： abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b） （m1 的实数） ； 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值，然后根据抛物线 与 x 轴交点的个数及 x1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：由二次函数的图象开口向下可得 a0，由抛物线与 y 轴交于 x 轴上方可得 c0，由抛物线 与 x 轴有两个交点可以看出方程 ax2+bx+c0 的根的判别式 b24ac0， 把 x1 代入 yax2+bx+c，得：
17、ya+b+c，由函数图象可以看出 x1 时二次函数的值为正，对称轴为 x1，a，b 异号，b0， abc0；故abc0，此选项错误； 当 x1 时，ax2+bx+c0， ab+c0， （ab+c）0， bac；故此选项正确； 当 x2 时，ax2+bx+c0， 4a+2b+c0； 2c3b；当 x3 时函数值小于 0，y9a+3b+c0，且 x1， 即 a，代入得 9（）+3b+c0，得 2c3b，正确； 当 x1 时，y 的值最大此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c， 所以 a+b+cam2+bm+c， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b） ，正确 正确 故选
18、：B 10如图，四边形 ABCD 内接于O，AB9，AD15，BCD120，弦 AC 平分BAD，则 AC 的长是 （ ） A B C12 D13 【分析】根据圆内接四边形的性质求出FBCD，BAD+BCD180，求出BAC30，根据 角平分线性质求出 CFCE，根据全等求出 BFDE，求出 AF 长，根据勾股定理求出 CF 即可 【解答】解： 过 C 作 CEAD 于 E，CFAB 交 AB 延长线于 F，则BFCDEC90， AC 平分BAD， CFCE， 由勾股定理得：AF2AC2CF2，AE2AC2CE2， AFAE， A、B、C、D四点共圆， FBCD，BAD+BCD180， BCD
19、120， BAD60， AC 平分BAD， BACDAC30， 在FBC 和DEC 中 FBCDEC（AAS） ， BFDE， AB9，AD15， AF+AEAB+BF+ADDE9+BF+15DE9+1524， AFAE12， BAC30，AFC90， AC2CF， CF2+122（2CF）2， 解得：CF4， AC2CF8， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11点 P（5，8）关于原点对称点 P的坐标为 （5，8） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点 P（5，8）关于原点对称点 P的坐标为： （5，8） 故答案为： （5，8） 12将抛物线 y
20、x24x4 向左平移 3 个单位， 再向上平移 5 个单位， 得到抛物线的表达式为 y（x+1） 23 【分析】先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后 的解析式 【解答】解：yx24x4（x2）28， 将抛物线 y（x2）28 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位， 平移后的抛物线的解析式为：y（x2+3）28+5 即 y（x+1）23， 故答案为：y（x+1）23 13若关于 x 的方程（k2）x24x+30 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k且 k2 【分析】先根据关于 x 的方程（k2）x24x+30 有两个不相等的实数根得
21、出关于 k 的不等式组，求出 k 的取值范围即可 【解答】解：关于 x 的方程（k2）x24x+30 有两个不相等的实数根， ， 解得：k且 k2 故答案为：k且 k2 14如图，P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D， 若 PA5，则PCD 的周长为 10 【分析】由于 CA、CE，DE、DB 都是O 的切线，可由切线长定理将PCD 的周长转换为 PA、PB 的 长 【解答】解：PA、PB 切O 于 A、B， PAPB5； 同理，可得：ECCA，DEDB； PDC 的周长PC+CE+DE+DPPC+AC+PD+DBPA+PB
22、2PA10 即PCD 的周长是 10 15如图，在 RtABC，B90，ACB50将 RtABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的 位置，连接 CC若 ABCC，则旋转角的度数为 100 【分析】先利用平行线的性质得到CCB90，则可计算出ACC40，再根据旋转的性质得 ACAC，CAC 等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAC 即可 【解答】解：ABCC， ABC+CCB180， 而B90， CCB90， ACC90ACB905040， RtABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置， ACAC，CAC 等于旋转角， ACCACC40， CAC180404
23、0100， 即旋转角为 100 故答案为 100 16如图，一张扇形纸片 OAC，AOC120，OA8，连接 AB，BC，AC，若 OAAB，则图中阴影部 分的面积为 （结果保留 ） 【分析】证明 S阴S扇形AOB求解即可 【解答】解：OAAB，OAOB， OAOBAB， AOB 是等边三角形， AOBABO60， AOC120， BOC1206060， ABOBOC60， ABOC， SABCSABO， S阴S扇形AOB 故答案为 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17如图，在平面直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，5） ，B（4，1） ，C（1，1） ，将 ABC 绕
24、点 A 逆时针旋转 90，得到ABC，点 B，C 的对应点分别为点 B，C （1）画出ABC； （2）写出点 A，B 关于原点 O 的对称点 A，B的坐标； （3）求出在ABC 旋转的过程中，点 C 经过的路径长 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C 的对应点 B、C即可得到，ABC； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解； （3）利用弧长公式计算 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）点 A的坐标为（1，5） ； 点 B的坐标为（4，1） ； （3）点 C 经过的路径2 18已知关于 x 的方程 x2+ax+a30 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及
25、该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【分析】 （1）根据方程的解满足方程，可得关于 a 的方程，根据根与系数的关系，可得方程的另一根； （2）根据根的判别式，可得答案 【解答】解： （1）将 x1 代入方程 x2+ax+a30 得， 1+a+a30，解得，a1； 方程为 x2+x20 设另一根为 x1，则 1x113，x12 （2）a24（a3） a24a+12 a24a+4+8 （a2）2+80， 不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 19如图，已知 CD 是O 的直径，弦 ABCD，垂足为点 M，点 P 是上一点，且BPC60 （1）
26、判断ABC 的形状，并说明你的理由； （2）若 DM2，求O 的半径 【分析】 （1）由 CD 是O 的直径，弦 ABCD，根据垂径定理，即可得 ACBC，然后由圆周角定理， 即可求得BAC60，根据等边三角形的判定定理，即可证得ABC 是等边三角形； （2）首先连接 OA，AD，即可证得OAD 是等边三角形，然后根据含 30的直角三角形的性质，即可 求得 AD 的长，继而可得O 的半径 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形 理由：CD 是O 的直径，弦 ABCD， ， ACBC， BPC60， BACBPC60， ABC 是等边三角形 （2）连接 OA，AD， CD 是O 的直径，弦 A
27、BCD， CAD90，DCABCA30， ADC60， MAD30，AOD 是等边三角形， DM2， AD2DM4， OD4， O 的半径为 4 20某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售 （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为 81 元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百 分率； （2）经调查，该商品每降价 2 元，每月可多售出 10 件，若该商品按原标价出售，每月可销售 100 件， 那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【分析】 （1）设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分 率） ，则
28、第一次降价后的价格是 100（1x） ，第二次后的价格是 100（1x）2，据此即可列方程求解； （2）销售定价为每件 m 元，每月利润为 y 元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可 【解答】解： （1）根据题意得：100（1x）281， 解得：x10.1，x21.9， 经检验 x21.9 不符合题意， x0.110%， 答：每次降价百分率为 10%； （2）设销售定价为每件 m 元，每月利润为 y 元，则 y（m60）100+5（100m）5（m90）2+4500， a50， 当 m90 元时，w 最大为 4500 元 答： （1）下降率为 10%； （2）当定价为 90 元时，w
29、 最大为 4500 元 21如图，O 过ABCD 的三顶点 A、D、C，边 AB 与O 相切于点 A，边 BC 与O 相交于点 H，射线 AP 交边 CD 于点 E，交O 于点 F，点 P 在射线 AO 上，且PCD2DAF （1）求证：ABH 是等腰三角形； （2）求证：直线 PC 是O 的切线； （3）若 AB2，AD，求O 的半径 【分析】 （1）要想证明ABH 是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得BADC，再根据 圆内接四边形的对角互补， 可得ADC+AHC180， 再根据邻补角互补可知AHC+AHB180， 从而可以得到ABH 和AHB 的关系，从而可以证明结论成立； （2）
30、要证直线 PC 是O 的切线，只需要连接 OC，证明OCP90即可，根据平行四边形的性质和 边 AB 与O 相切于点 A，可以得到AEC 的度数，又PCD2DAF，DOF2DAF，COE DOF，通过转化可以得到OCP 的度数，从而可以证明结论； （3）根据题意和（1） （2）可以得到AED90，由平行四边形的性质和勾股定理，由 AB2，AD ，可以求得半径的长 【解答】 （1）证明：四边形 ADCH 是圆内接四边形， ADC+AHC180， 又AHC+AHB180， ADCAHB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB， AHBB， ABAH， ABH 是等腰三角形； （2）证明：连接
31、 OC，如右图所示， 边 AB 与O 相切于点 A， BAAF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， CDAF， 又FA 经过圆心 O， ，OEC90， COF2DAF， 又PCD2DAF， COFPCD， COF+OCE90， PCD+OCE90， 即OCP90， 直线 PC 是O 的切线； （3）四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB2， FACD， DECE1， AED90，AD，DE1， AE， 设O 的半径为 r，则 OAODr，OEAEOA4r， OED90，DE1， r2（4r）2+12 解得，r， 即O 的半径是 22如图，抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+
32、c 相交于 A（0，1） ，B（3，）两点，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C，在线段 AB 上方的抛物线上取一点 D，过 D 作 DFx 轴，垂足为点 F，交 AB 于点 E （1）求该抛物线的表达式； （2）求 DE 的最大值； （3）连接 BD、CE，四边形 BDEC 能否成为平行四边形？若能，求出点 D 的坐标；若不能，请说明理 由 【分析】 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）利用已知表示出 D，E 点坐标，再利用二次函数最值求法得出答案； （3）利用平行四边形的性质得出只需 BCDE，四边形 BDEC 即为平行四边形，进而求出答案 【解答】解： （1）把 A（0，1） 、B（3，）两点坐标代入 yx2+bx+c， 得， 解得：， 所以 yx2+x+1； （2）由（1）得直线 AB 的解析式为：yx+1， 设点 D 的横坐标为 x，则 点 D、E 的坐标分别为（x，x2+x+1） ， （x，x+1） 所以 DEx2+x（x）2+， 当 x时，DE 的最大值为； （3）能理由如下： 因为 BCDE，所以只需 BCDE，四边形 BDEC 即为平行四边形 由题意可得 BC， 所以 DEx2+x， 解方程x2+x， 解得：x1，或 x2， 代入 yx2+x+1，得 y4 或， 所以点 D 的坐标为（1，4）或（2，）
