2020-2021学年广东省中山市东区八校九年级上期中数学试卷(含答案解析)

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1、2020-2021 学年广东省中山市东区八校九年级(上)期中数学试卷学年广东省中山市东区八校九年级(上)期中数学试卷 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1方程 x2x 的实数根是( ) A1 或 0 B1 或 0 C1 或1 D1 2已知O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 6,那么点 P 与O 的位置关系是( ) A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 3抛物线 y3(x2)2+5 的对称轴是直线( ) Ax2 Bx5 Cx2 Dx5 4如图,正五边形 ABCDE 内接于O,点 P 是劣弧上一点(点 P 不与点 C 重合) ,则CPD(

2、) A45 B36 C35 D30 5如图,四边形 ABCD 是半圆的内接四边形,AB 是直径,点 C 是的中点,如果DAB70,则ABC 的度数等于( ) A55 B60 C65 D70 6如图,某小区计划在一个长 80 米,宽 36 米的长方形场地 ABCD 上,修建三条同样宽的道路,使其中两 条与 AB 平行, 另一条与 AD 平行, 其余部分种草, 若使每块草坪的面积都为 260 平方米, 求道路的宽度 设 道路宽度为 x 米,则根据题意可列方程为( ) A (802x) (36x)2606 B3680236x80 x260 x6 C (362x) (80 一 x)260 D (802

3、x) (36x)260 7已知 m 是一元二次方程 x2x20 的一个根,则 2020m2+m 的值为( ) A2014 B2016 C2018 D2020 8如图,在正方形 ABCD 中,AB3,点 M 在 CD 的边上,且 DM1,AEM 与ADM 关于 AM 所在的 直线对称,将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF,连接 EF,则线段 EF 的长为( ) A3 B C D 9已知二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,有下列 5 个结论: abc0;bac;4a+2b+c0;2c3b;a+bm(am+b) (m1 的实数) ; 其中正确的结论有( ) A5 个

4、B4 个 C3 个 D2 个 10如图,四边形 ABCD 内接于O,AB9,AD15,BCD120,弦 AC 平分BAD,则 AC 的长是 ( ) A B C12 D13 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11点 P(5,8)关于原点对称点 P的坐标为 12将抛物线 yx24x4 向左平移 3 个单位,再向上平移 5 个单位,得到抛物线的表达式为 13若关于 x 的方程(k2)x24x+30 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 14如图,P 为O 外一点,PA、PB 分别切O 于 A、B,CD 切O 于点 E,分别交 PA、PB 于点 C、D, 若 PA5,则PCD 的周长为

5、 15如图,在 RtABC,B90,ACB50将 RtABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的 位置,连接 CC若 ABCC,则旋转角的度数为 16如图,一张扇形纸片 OAC,AOC120,OA8,连接 AB,BC,AC,若 OAAB,则图中阴影部 分的面积为 (结果保留 ) 三解答题(共三解答题(共 6 小题)小题) 17如图,在平面直角坐标系内,ABC 的顶点坐标分别为 A(1,5) ,B(4,1) ,C(1,1) ,将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90,得到ABC,点 B,C 的对应点分别为点 B,C (1)画出ABC; (2)写出点 A,B 关于原点 O 的对称点 A,B的坐标

6、; (3)求出在ABC 旋转的过程中,点 C 经过的路径长 18已知关于 x 的方程 x2+ax+a30 (1)若该方程的一个根为 1,求 a 的值及该方程的另一根; (2)求证:不论 a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根 19如图,已知 CD 是O 的直径,弦 ABCD,垂足为点 M,点 P 是上一点,且BPC60 (1)判断ABC 的形状,并说明你的理由; (2)若 DM2,求O 的半径 20某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售 (1)为了促销,该商品经过两次降低后每件售价为 81 元,若两次降价的百分率相同,求每次降价的百 分率; (2)经调查,该商品每降价 2

7、 元,每月可多售出 10 件,若该商品按原标价出售,每月可销售 100 件, 那么当销售价为多少元时,可以使该商品的月利润最大?最大的月利润是多少? 21如图,O 过ABCD 的三顶点 A、D、C,边 AB 与O 相切于点 A,边 BC 与O 相交于点 H,射线 AP 交边 CD 于点 E,交O 于点 F,点 P 在射线 AO 上,且PCD2DAF (1)求证:ABH 是等腰三角形; (2)求证:直线 PC 是O 的切线; (3)若 AB2,AD,求O 的半径 22如图,抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+c 相交于 A(0,1) ,B(3,)两点,过点 B 作 BCx 轴,垂足为点 C,

8、在线段 AB 上方的抛物线上取一点 D,过 D 作 DFx 轴,垂足为点 F,交 AB 于点 E (1)求该抛物线的表达式; (2)求 DE 的最大值; (3)连接 BD、CE,四边形 BDEC 能否成为平行四边形?若能,求出点 D 的坐标;若不能,请说明理 由 2020-2021 学年广东省中山市东区八校九年级(上)期中数学试卷学年广东省中山市东区八校九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1方程 x2x 的实数根是( ) A1 或 0 B1 或 0 C1 或1 D1 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解:x2x,

9、x2x0, 则 x(x1)0, x0 或 x10, 解得 x10,x21, 故选:A 2已知O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 6,那么点 P 与O 的位置关系是( ) A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断 【解答】解:O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 6, 点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径, 点 P 在O 外 故选:C 3抛物线 y3(x2)2+5 的对称轴是直线( ) Ax2 Bx5 Cx2 Dx5 【分析】由于所给的是二次函数的顶点式,故能直接求出其对称轴 【解答】解:y

10、3(x2)2+5, 此函数的对称轴就是 x2 故选:A 4如图,正五边形 ABCDE 内接于O,点 P 是劣弧上一点(点 P 不与点 C 重合) ,则CPD( ) A45 B36 C35 D30 【分析】连接 OC,OD求出COD 的度数,再根据圆周角定理即可解决问题 【解答】解:如图,连接 OC,OD, ABCDE 是正五边形, COD72, CPDCOD36, 故选:B 5如图,四边形 ABCD 是半圆的内接四边形,AB 是直径,点 C 是的中点,如果DAB70,则ABC 的度数等于( ) A55 B60 C65 D70 【分析】 连接 BD, 根据圆周角定理得到ADB90, 求出ABD,

11、 根据圆内接四边形的性质求出C, 根据等腰三角形的性质求出CBD,结合图形计算,得到答案 【解答】解:连接 BD, AB 是直径, ADB90, ABD90DAB20, 四边形 ABCD 是半圆的内接四边形, C180DAB110, 点 C 是的中点, CDCB, CBD(180110)35, ABCABD+CBD55, 故选:A 6如图,某小区计划在一个长 80 米,宽 36 米的长方形场地 ABCD 上,修建三条同样宽的道路,使其中两 条与 AB 平行, 另一条与 AD 平行, 其余部分种草, 若使每块草坪的面积都为 260 平方米, 求道路的宽度 设 道路宽度为 x 米,则根据题意可列方

12、程为( ) A (802x) (36x)2606 B3680236x80 x260 x6 C (362x) (80 一 x)260 D (802x) (36x)260 【分析】根据题意和图形,可以列出相应的分式方程,本题得以解决,注意每块草坪的面积都为 260 平 方米 【解答】解:由题意可得, (802x) (36x)2606, 故选:A 7已知 m 是一元二次方程 x2x20 的一个根,则 2020m2+m 的值为( ) A2014 B2016 C2018 D2020 【分析】利用一元二次方程根的定义得到 m2m2,再把 2020m2+m 变形为 2020(m2m) ,然后 利用整体代入的

13、方法计算 【解答】解:m 是一元二次方程 x2x20 的一个根, m2m20, 即 m2m2, 2020m2+m2020(m2m) 20202 2018 故选:C 8如图,在正方形 ABCD 中,AB3,点 M 在 CD 的边上,且 DM1,AEM 与ADM 关于 AM 所在的 直线对称,将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF,连接 EF,则线段 EF 的长为( ) A3 B C D 【分析】解法一:连接 BM先判定FAEMAB(SAS) ,即可得到 EFBM再根据 BCCDAB 3,CM2,利用勾股定理即可得到,RtBCM 中,BM,进而得出 EF 的长; 解法二:过 E 作

14、HGAD,交 AB 于 H,交 CD 于 G,作 ENBC 于 N,判定AEHEMG,即可得 到,设 MGx,则 EH3x,DG1+xAH,利用勾股定理可得,RtAEH 中, (1+x)2+ (3x)232,进而得出 EHBN,CGCMMGEN,FN,再根据勾股定理可得,Rt EFN 中,EF 【解答】解:如图,连接 BM AEM 与ADM 关于 AM 所在的直线对称, AEAD,MADMAE ADM 按照顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF, AFAM,FABMAD FABMAE FAB+BAEBAE+MAE FAEMAB FAEMAB(SAS) EFBM 四边形 ABCD 是正方形,

15、BCCDAB3 DM1, CM2 在 RtBCM 中,BM, EF, 故选:C 解法二: 如图, 过 E 作 HGAD, 交 AB 于 H, 交 CD 于 G, 作 ENBC 于 N, 则AHGMGE90, 由折叠可得,AEMD90,AEAD3,DMEM1, AEH+MEGEMG+MEG90, AEHEMG, AEHEMG, , 设 MGx,则 EH3x,DG1+xAH, RtAEH 中, (1+x)2+(3x)232, 解得 x1,x21(舍去) , EHBN,CGCMMGEN, 又BFDM1, FN, RtEFN 中,EF, 故选:C 9已知二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所

16、示,有下列 5 个结论: abc0;bac;4a+2b+c0;2c3b;a+bm(am+b) (m1 的实数) ; 其中正确的结论有( ) A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值,然后根据抛物线 与 x 轴交点的个数及 x1 时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:由二次函数的图象开口向下可得 a0,由抛物线与 y 轴交于 x 轴上方可得 c0,由抛物线 与 x 轴有两个交点可以看出方程 ax2+bx+c0 的根的判别式 b24ac0, 把 x1 代入 yax2+bx+c,得:

17、ya+b+c,由函数图象可以看出 x1 时二次函数的值为正,对称轴为 x1,a,b 异号,b0, abc0;故abc0,此选项错误; 当 x1 时,ax2+bx+c0, ab+c0, (ab+c)0, bac;故此选项正确; 当 x2 时,ax2+bx+c0, 4a+2b+c0; 2c3b;当 x3 时函数值小于 0,y9a+3b+c0,且 x1, 即 a,代入得 9()+3b+c0,得 2c3b,正确; 当 x1 时,y 的值最大此时,ya+b+c, 而当 xm 时,yam2+bm+c, 所以 a+b+cam2+bm+c, 故 a+bam2+bm,即 a+bm(am+b) ,正确 正确 故选

18、:B 10如图,四边形 ABCD 内接于O,AB9,AD15,BCD120,弦 AC 平分BAD,则 AC 的长是 ( ) A B C12 D13 【分析】根据圆内接四边形的性质求出FBCD,BAD+BCD180,求出BAC30,根据 角平分线性质求出 CFCE,根据全等求出 BFDE,求出 AF 长,根据勾股定理求出 CF 即可 【解答】解: 过 C 作 CEAD 于 E,CFAB 交 AB 延长线于 F,则BFCDEC90, AC 平分BAD, CFCE, 由勾股定理得:AF2AC2CF2,AE2AC2CE2, AFAE, A、B、C、D四点共圆, FBCD,BAD+BCD180, BCD

19、120, BAD60, AC 平分BAD, BACDAC30, 在FBC 和DEC 中 FBCDEC(AAS) , BFDE, AB9,AD15, AF+AEAB+BF+ADDE9+BF+15DE9+1524, AFAE12, BAC30,AFC90, AC2CF, CF2+122(2CF)2, 解得:CF4, AC2CF8, 故选:B 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11点 P(5,8)关于原点对称点 P的坐标为 (5,8) 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解:点 P(5,8)关于原点对称点 P的坐标为: (5,8) 故答案为: (5,8) 12将抛物线 y

20、x24x4 向左平移 3 个单位, 再向上平移 5 个单位, 得到抛物线的表达式为 y(x+1) 23 【分析】先把解析式化成顶点式,然后直接利用抛物线平移规律:上加下减,左加右减进而得出平移后 的解析式 【解答】解:yx24x4(x2)28, 将抛物线 y(x2)28 向左平移 3 个单位,再向上平移 5 个单位, 平移后的抛物线的解析式为:y(x2+3)28+5 即 y(x+1)23, 故答案为:y(x+1)23 13若关于 x 的方程(k2)x24x+30 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 k且 k2 【分析】先根据关于 x 的方程(k2)x24x+30 有两个不相等的实数根得

21、出关于 k 的不等式组,求出 k 的取值范围即可 【解答】解:关于 x 的方程(k2)x24x+30 有两个不相等的实数根, , 解得:k且 k2 故答案为:k且 k2 14如图,P 为O 外一点,PA、PB 分别切O 于 A、B,CD 切O 于点 E,分别交 PA、PB 于点 C、D, 若 PA5,则PCD 的周长为 10 【分析】由于 CA、CE,DE、DB 都是O 的切线,可由切线长定理将PCD 的周长转换为 PA、PB 的 长 【解答】解:PA、PB 切O 于 A、B, PAPB5; 同理,可得:ECCA,DEDB; PDC 的周长PC+CE+DE+DPPC+AC+PD+DBPA+PB

22、2PA10 即PCD 的周长是 10 15如图,在 RtABC,B90,ACB50将 RtABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的 位置,连接 CC若 ABCC,则旋转角的度数为 100 【分析】先利用平行线的性质得到CCB90,则可计算出ACC40,再根据旋转的性质得 ACAC,CAC 等于旋转角,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAC 即可 【解答】解:ABCC, ABC+CCB180, 而B90, CCB90, ACC90ACB905040, RtABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置, ACAC,CAC 等于旋转角, ACCACC40, CAC180404

23、0100, 即旋转角为 100 故答案为 100 16如图,一张扇形纸片 OAC,AOC120,OA8,连接 AB,BC,AC,若 OAAB,则图中阴影部 分的面积为 (结果保留 ) 【分析】证明 S阴S扇形AOB求解即可 【解答】解:OAAB,OAOB, OAOBAB, AOB 是等边三角形, AOBABO60, AOC120, BOC1206060, ABOBOC60, ABOC, SABCSABO, S阴S扇形AOB 故答案为 三解答题(共三解答题(共 6 小题)小题) 17如图,在平面直角坐标系内,ABC 的顶点坐标分别为 A(1,5) ,B(4,1) ,C(1,1) ,将 ABC 绕

24、点 A 逆时针旋转 90,得到ABC,点 B,C 的对应点分别为点 B,C (1)画出ABC; (2)写出点 A,B 关于原点 O 的对称点 A,B的坐标; (3)求出在ABC 旋转的过程中,点 C 经过的路径长 【分析】 (1)利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C 的对应点 B、C即可得到,ABC; (2)根据关于原点对称的点的坐标特征求解; (3)利用弧长公式计算 【解答】解: (1)如图,ABC为所作; (2)点 A的坐标为(1,5) ; 点 B的坐标为(4,1) ; (3)点 C 经过的路径2 18已知关于 x 的方程 x2+ax+a30 (1)若该方程的一个根为 1,求 a 的值及

25、该方程的另一根; (2)求证:不论 a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根 【分析】 (1)根据方程的解满足方程,可得关于 a 的方程,根据根与系数的关系,可得方程的另一根; (2)根据根的判别式,可得答案 【解答】解: (1)将 x1 代入方程 x2+ax+a30 得, 1+a+a30,解得,a1; 方程为 x2+x20 设另一根为 x1,则 1x113,x12 (2)a24(a3) a24a+12 a24a+4+8 (a2)2+80, 不论 a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根 19如图,已知 CD 是O 的直径,弦 ABCD,垂足为点 M,点 P 是上一点,且BPC60 (1)

26、判断ABC 的形状,并说明你的理由; (2)若 DM2,求O 的半径 【分析】 (1)由 CD 是O 的直径,弦 ABCD,根据垂径定理,即可得 ACBC,然后由圆周角定理, 即可求得BAC60,根据等边三角形的判定定理,即可证得ABC 是等边三角形; (2)首先连接 OA,AD,即可证得OAD 是等边三角形,然后根据含 30的直角三角形的性质,即可 求得 AD 的长,继而可得O 的半径 【解答】解: (1)ABC 是等边三角形 理由:CD 是O 的直径,弦 ABCD, , ACBC, BPC60, BACBPC60, ABC 是等边三角形 (2)连接 OA,AD, CD 是O 的直径,弦 A

27、BCD, CAD90,DCABCA30, ADC60, MAD30,AOD 是等边三角形, DM2, AD2DM4, OD4, O 的半径为 4 20某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售 (1)为了促销,该商品经过两次降低后每件售价为 81 元,若两次降价的百分率相同,求每次降价的百 分率; (2)经调查,该商品每降价 2 元,每月可多售出 10 件,若该商品按原标价出售,每月可销售 100 件, 那么当销售价为多少元时,可以使该商品的月利润最大?最大的月利润是多少? 【分析】 (1)设该药品平均每次降价的百分率为 x,根据降价后的价格降价前的价格(1降价的百分 率) ,则

28、第一次降价后的价格是 100(1x) ,第二次后的价格是 100(1x)2,据此即可列方程求解; (2)销售定价为每件 m 元,每月利润为 y 元,列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可 【解答】解: (1)根据题意得:100(1x)281, 解得:x10.1,x21.9, 经检验 x21.9 不符合题意, x0.110%, 答:每次降价百分率为 10%; (2)设销售定价为每件 m 元,每月利润为 y 元,则 y(m60)100+5(100m)5(m90)2+4500, a50, 当 m90 元时,w 最大为 4500 元 答: (1)下降率为 10%; (2)当定价为 90 元时,w

29、 最大为 4500 元 21如图,O 过ABCD 的三顶点 A、D、C,边 AB 与O 相切于点 A,边 BC 与O 相交于点 H,射线 AP 交边 CD 于点 E,交O 于点 F,点 P 在射线 AO 上,且PCD2DAF (1)求证:ABH 是等腰三角形; (2)求证:直线 PC 是O 的切线; (3)若 AB2,AD,求O 的半径 【分析】 (1)要想证明ABH 是等腰三角形,只需要根据平行四边形的性质可得BADC,再根据 圆内接四边形的对角互补, 可得ADC+AHC180, 再根据邻补角互补可知AHC+AHB180, 从而可以得到ABH 和AHB 的关系,从而可以证明结论成立; (2)

30、要证直线 PC 是O 的切线,只需要连接 OC,证明OCP90即可,根据平行四边形的性质和 边 AB 与O 相切于点 A,可以得到AEC 的度数,又PCD2DAF,DOF2DAF,COE DOF,通过转化可以得到OCP 的度数,从而可以证明结论; (3)根据题意和(1) (2)可以得到AED90,由平行四边形的性质和勾股定理,由 AB2,AD ,可以求得半径的长 【解答】 (1)证明:四边形 ADCH 是圆内接四边形, ADC+AHC180, 又AHC+AHB180, ADCAHB, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADCB, AHBB, ABAH, ABH 是等腰三角形; (2)证明:连接

31、 OC,如右图所示, 边 AB 与O 相切于点 A, BAAF, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD, CDAF, 又FA 经过圆心 O, ,OEC90, COF2DAF, 又PCD2DAF, COFPCD, COF+OCE90, PCD+OCE90, 即OCP90, 直线 PC 是O 的切线; (3)四边形 ABCD 是平行四边形, DCAB2, FACD, DECE1, AED90,AD,DE1, AE, 设O 的半径为 r,则 OAODr,OEAEOA4r, OED90,DE1, r2(4r)2+12 解得,r, 即O 的半径是 22如图,抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+

32、c 相交于 A(0,1) ,B(3,)两点,过点 B 作 BCx 轴,垂足为点 C,在线段 AB 上方的抛物线上取一点 D,过 D 作 DFx 轴,垂足为点 F,交 AB 于点 E (1)求该抛物线的表达式; (2)求 DE 的最大值; (3)连接 BD、CE,四边形 BDEC 能否成为平行四边形?若能,求出点 D 的坐标;若不能,请说明理 由 【分析】 (1)直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可; (2)利用已知表示出 D,E 点坐标,再利用二次函数最值求法得出答案; (3)利用平行四边形的性质得出只需 BCDE,四边形 BDEC 即为平行四边形,进而求出答案 【解答】解: (1)把 A(0,1) 、B(3,)两点坐标代入 yx2+bx+c, 得, 解得:, 所以 yx2+x+1; (2)由(1)得直线 AB 的解析式为:yx+1, 设点 D 的横坐标为 x,则 点 D、E 的坐标分别为(x,x2+x+1) , (x,x+1) 所以 DEx2+x(x)2+, 当 x时,DE 的最大值为; (3)能理由如下: 因为 BCDE,所以只需 BCDE,四边形 BDEC 即为平行四边形 由题意可得 BC, 所以 DEx2+x, 解方程x2+x, 解得:x1,或 x2, 代入 yx2+x+1,得 y4 或, 所以点 D 的坐标为(1,4)或(2,)

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