1、2020-2021 学年安徽省安庆市九年级（上）期中数学试卷学年安徽省安庆市九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（共一、单选题（共 40 分）分） 1如果，那么下列等式中不成立的是（ ） A B C D 2如图，在ABC 中，DEBC，则下列结论中正确的是（ ） A B C D 3如图，正比例函数 y1mx，一次函数 y2ax+b 和反比例函数 y3的图象在同一直角坐标系中，若 y3 y1y2，则自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 B0.5x0 或 x1 C0 x1 Dx1 或 0 x1 4设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+a 上的三点，则 y
2、1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 5 如图， 已知双曲线 y （k0） 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D， 且与直角边 AB 相交于点 C 若 点 A 的坐标为（6，4） ，则AOC 的面积为（ ） A12 B9 C6 D4 6在同一平面直角坐标系内，二次函数 yax2+bx+b（a0）与一次函数 yax+b 的图象可能是（ ） A B C D 7 已知二次函数 yx22bx+2b24c （其中 x 是自变量） 的图象经过不同两点 A （1b， m） ， B （2b+c， m） ， 且该二次函数的图象与 x 轴有公
3、共点，则 b+c 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G， 若 AF2FD，则的值为（ ） A B C D 9如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；bac； 4a+2b+c0；3ac；a+bm（am+b） （m1 的实数） 其中正确结论的有（ ） A B C D 10RtABC 中，C90，AC1，BC2，P 为 BC 上动点，则 3AP+BP 的最小值是（ ） A4 B5 C3 D3+2 二、填空题（共二、填空题（共 20
4、 分）分） 11 （5 分）如图，已知直角ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AC4，BC3，则 AD 12 （5 分）当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值 m，则 m 13 （5 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） 、B（4，0）两点，则关于 x 的一元二次方程 a（x1） 2+cbbx 的解是 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 的中点，BF 与 EC、ED 分别交于点 M，N已 知 AB4，BC6，则 MN 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 90 分）分） 15 （8 分）一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行
5、进的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系 如图所示，已知橄榄球在距离原点 6m 时，达到最大高度 7m，橄榄球在距离原点 13 米处落地，请根据 所给条件解决下面问题： （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求运动员出手时橄榄球的高度 16 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+m 的图象与反比例函数 y（x0）的图象交 于 A、B 两点，已知 A（2，4） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 B 点的坐标； （3）连接 AO、BO，求AOB 的面积 17 （8 分）二次函数 yx2的图象如图所示，请将此图象向右平移 1 个单位，再向下平移 4
6、个单位 （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与 x 轴的交点坐标，并指出当 x 满足什么条件时，函数值小于 0？ （3）若 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且 x1x20，请比较 y1、 y2的大小关系 （直接写结果） 18 （8 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，P 为 DC 延长线上一点，AP 分别交 BD，BC 于点 M， N （1）证明：AM2MNMP； （2）若 AD6，DC：CP2：1，求 BN 的长 19 （10 分）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心如图 G 是AB
7、C 的重心求证： AD3GD 20 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 A（3，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC， BCM 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PMx 轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 PNBC，垂足为点 N设 M 点的坐标为 M（m，0） ，请用含 m 的代数式表示线段 PN 的 长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ 21 （12 分）如图，已知边长为 10 的正方形 ABCD，E 是 BC 边上一动点（与 B、C 不重合） ，连结 AE，G 是
8、 BC 延长线上的点，过点 E 作 AE 的垂线交DCG 的角平分线于点 F，若 FGBG （1）求证：ABEEGF； （2）若 EC2，求CEF 的面积； （3）请直接写出 EC 为何值时，CEF 的面积最大 22 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k5）x+1k0，其中 k 为常数 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数 yx2+（k5）x+1k 的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值 23 （14 分）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O
9、，OAOC，OBOD+CD （1）过点 A 作 AEDC 交 BD 于点 E，求证：AEBE； （2）如图 2，将ABD 沿 AB 翻折得到ABD 求证：BDCD； 若 ADBC，求证：CD22ODBD 2020-2021 学年安徽省安庆市九年级（上）期中数学试卷学年安徽省安庆市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（共一、单选题（共 40 分）分） 1如果，那么下列等式中不成立的是（ ） A B C D 【分析】 根据合比性质与等比性质以及两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、由合比性质，（b+d0）可得，故本选项错误；
10、 B、由等比性质，（b+d0）可得，故本选项错误； C、由得，adbc， 由得，adbc，故本选项错误； D、由得，abcd，所以，不能由（b+d0）得，故本选项正确 故选：D 2如图，在ABC 中，DEBC，则下列结论中正确的是（ ） A B C D 【分析】由 DEBC，可得ADEABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然 后由，即可判断 A、B 的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似 比的平方即可判断 C、D 的正误 【解答】解：DEBC， ADEABC， ， ， ， 故 A、B 选项均错误； ADEABC， ，（）2， 故 C 选项正确，D 选项错误 故选
11、：C 3如图，正比例函数 y1mx，一次函数 y2ax+b 和反比例函数 y3的图象在同一直角坐标系中，若 y3 y1y2，则自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 B0.5x0 或 x1 C0 x1 Dx1 或 0 x1 【分析】根据图象，找出双曲线 y3落在直线 y1上方，且直线 y1落在直线 y2上方的部分对应的自变量 x 的取值范围即可 【解答】解：由图象可知，当 x1 或 0 x1 时，双曲线 y3落在直线 y1上方，且直线 y1落在直线 y2 上方，即 y3y1y2， 所以若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是 x1 或 0 x1 故选：D 4设 A（2，y1） ，B（1，y
12、2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+a 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点 A 的对称点 A，再利用二次函数的增减性可 判断 y 值的大小 【解答】解：函数的解析式是 y（x+1）2+a，如右图， 对称轴是 x1， 点 A 关于对称轴的点 A是（0，y1） ， 那么点 A、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小， 于是 y1y2y3 故选：A 5 如图， 已知双曲线 y （k0） 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D
13、， 且与直角边 AB 相交于点 C 若 点 A 的坐标为（6，4） ，则AOC 的面积为（ ） A12 B9 C6 D4 【分析】AOC 的面积AOB 的面积BOC 的面积，由点 A 的坐标为（6，4） ，根据三角形的面 积公式， 可知AOB 的面积12， 由反比例函数的比例系数 k 的几何意义， 可知BOC 的面积|k| 只 需根据 OA 的中点 D 的坐标，求出 k 值即可 【解答】解：OA 的中点是 D，点 A 的坐标为（6，4） ， D（3，2） ， 双曲线 y经过点 D， k326， BOC 的面积|k|3 又AOB 的面积6412， AOC 的面积AOB 的面积BOC 的面积123
14、9 故选：B 6在同一平面直角坐标系内，二次函数 yax2+bx+b（a0）与一次函数 yax+b 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与 y 轴的关系即可得出 a、b 的正负，由此即可得出一次函 数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论 【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 A 错误； B、二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点，
15、 故 B 错误； C、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 C 正确； D、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， a0，b0， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 D 错误； 故选：C 7 已知二次函数 yx22bx+2b24c （其中 x 是自变量） 的图象经过不同两点 A （1b， m） ， B （2b+c， m） ， 且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】求出抛物线的对称轴
16、xb，再由抛物线的图象经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ，也 可以得到对称轴为，可得 bc+1， 再根据二次函数的图象与 x 轴有公共点， 得到 b24c0， 进而求出 b、c 的值 【解答】解：由二次函数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点， （2b）241（2b24c）0，即 b24c0 ， 由抛物线的对称轴 xb，抛物线经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ， b，即，cb1 ， 代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此 b2， cb1211， b+c2+13， 故选：C 8如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线交 AC
17、于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G， 若 AF2FD，则的值为（ ） A B C D 【分析】由 AF2DF，可以假设 DFk，则 AF2k，AD3k，证明 ABAF2k，DFDGk，再利 用平行线分线段成比例定理即可解决问题 【解答】解：由 AF2DF，可以假设 DFk，则 AF2k，AD3k， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD， AFBFBCDFG，ABFG， BE 平分ABC， ABFCBG， ABFAFBDFGG， ABCD2k，DFDGk， CGCD+DG3k， ABDG， ABECGE， ， 故选：C 9如图，已知二次函数 yax
18、2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；bac； 4a+2b+c0；3ac；a+bm（am+b） （m1 的实数） 其中正确结论的有（ ） A B C D 【分析】由抛物线对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴 及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：对称轴在 y 轴的右侧， ab0， 由图象可知：c0， abc0， 故不正确； 当 x1 时，yab+c0， bac， 故正确； 由对称知，当 x2 时，函数值大于 0，即 y4a+2b+c0， 故正确； x1， b2a， ab+c0， a
19、+2a+c0， 3ac， 故不正确； 当 x1 时，y 的值最大此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c， 所以 a+b+cam2+bm+c（m1） ， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b） ， 故正确 故正确 故选：B 10RtABC 中，C90，AC1，BC2，P 为 BC 上动点，则 3AP+BP 的最小值是（ ） A4 B5 C3 D3+2 【分析】延长 AC 到 H，使得 CHAC，连接 BH，过点 P 作 PJBH 于 J，过点 A 作 AKBH 于 K利 用面积法求出 AK，证明 PJPB，可得 3AP+PB3（AP+BP）3（AP+PJ） ，结合 A
20、P+PJAK，可 得结论 【解答】解：延长 AC 到 H，使得 CHAC，连接 BH，过点 P 作 PJBH 于 J，过点 A 作 AKBH 于 K ACB90，BC2，AC1， AB3， BCAH，ACCH， BABH3， sinCBH， sinPBJ， PJPB， SABHAHBCBHAK， AK， 3AP+PB3（AP+BP）3（AP+PJ） ， AP+PJAK， 3AP+PB4， 3AP+PB 的最小值为 4， 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 20 分）分） 11 （5 分）如图，已知直角ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AC4，BC3，则 AD 【分析】根据勾股定理求出
21、 AB，根据射影定理列式计算即可 【解答】解：在 RtABC 中，AB5， 由射影定理得，AC2ADAB， AD， 故答案为： 12 （5 分）当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值 m，则 m 10 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得 m 的值，本题得以解决 【解答】解：二次函数 yx24x+5（x2）2+1， 该函数开口向上，对称轴为 x2， 当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值 m， 当 x1 时，该函数取得最大值，此时 m（12）2+110， 故答案为：10 13 （5 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） 、B（4，0）两点
22、，则关于 x 的一元二次方程 a（x1） 2+cbbx 的解是 x12，x25 【分析】由于抛物线 yax2+bx+c 沿 x 轴向右平移 1 个单位得到 ya（x1）2+b（x1）+c，由于方程 ax2+bx+c 的解为 x13，x24 得到对于方程 a（x1）2+b（x1）+c0，则 x13 或 x14， 解得 x2 或 x5，从而得到一元二方程 a（x1）2+b（x1）+c0 的解 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 a（x1）2+cbbx 变形为 a（x1）2+b（x1）+c0， 因为抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） 、B（4，0） ， 所以方程 ax2+bx+c 的
23、解为 x13，x24， 对于方程 a（x1）2+b（x1）+c0，则 x13 或 x14，解得 x2 或 x5， 所以一元二方程 a（x1）2+b（x1）+c0 的解为 x12，x25 故答案为 x12，x25 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 的中点，BF 与 EC、ED 分别交于点 M，N已 知 AB4，BC6，则 MN 的长为 【分析】延长 CE、DA 交于 Q，延长 BF 和 CD，交于 W，根据勾股定理求出 BF，根据矩形的性质求出 AD，根据全等三角形的性质得出 AQBC，ABCW，根据相似三角形的判定得出QMFCMB， BNEWND，根据相
24、似三角形的性质得出比例式，求出 BN 和 BM 的长，即可得出答案 【解答】解：延长 CE、DA 交于 Q，如图 1， 四边形 ABCD 是矩形，BC6， BAD90，ADBC6，ADBC， F 为 AD 中点， AFDF3， 在 RtBAF 中，由勾股定理得：BF5， ADBC， QECB， E 为 AB 的中点，AB4， AEBE2， 在QAE 和CBE 中 QAECBE（AAS） ， AQBC6， 即 QF6+39， ADBC， QMFCMB， ， BF5， BM2，FM3， 延长 BF 和 CD，交于 W，如图 2， 同理 ABDW4，CW8，BFFW5， ABCD， BNEWND，
25、， ， 解得：BN， MNBNBM2， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 90 分）分） 15 （8 分）一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系 如图所示，已知橄榄球在距离原点 6m 时，达到最大高度 7m，橄榄球在距离原点 13 米处落地，请根据 所给条件解决下面问题： （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求运动员出手时橄榄球的高度 【分析】 （1）根据抛物线的顶点坐标设其顶点式 ya（x6）2+7，再将点（13，0）代入求出 a 的值， 从而得出答案； （2）求出 x0 时 y 的值即可得出答案 【解答】解： （1）由
26、题意知：抛物线的顶点为： （6，7） ， 设二次函数的解析式为 ya（x6）2+7， 把（13，0）代入 ya（x6）2+7， 解得：， 则二次函数的解析式为：； （2）由题意可得：当 x0 时， 运动员出手时橄榄球的高度为米 16 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+m 的图象与反比例函数 y（x0）的图象交 于 A、B 两点，已知 A（2，4） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 B 点的坐标； （3）连接 AO、BO，求AOB 的面积 【分析】（1） 由点 A 的坐标利用一次函数、 反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式； （2）联立方程，解方
27、程组即可求得； （3）求出直线与 y 轴的交点坐标后，即可求出 SAOD和 SBOD，继而求出AOB 的面积 【解答】解： （1）将 A（2，4）代入 yx+m 与 y（x0）中得 42+m，4， m6，k8， 一次函数的解析式为 yx+6，反比例函数的解析式为 y； （2）解方程组得或， B（4，2） ； （3）设直线 yx+6 与 x 轴，y 轴交于 C，D 点，易得 D（0，6） ， OD6， SAOBSDOBSAOD64626 17 （8 分）二次函数 yx2的图象如图所示，请将此图象向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求
28、出经过两次平移后的图象与 x 轴的交点坐标，并指出当 x 满足什么条件时，函数值小于 0？ （3）若 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且 x1x20，请比较 y1、 y2的大小关系 （直接写结果） 【分析】 （1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与 x 轴的交点坐标，并指出当 x 满足什 么条件时，函数值小于 0； （3）根据平移后函数的图象可知，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，从而可以写出 y1、y2的大小关系 【解答】解： （1）平移后的函数解
29、析式为 y（x1）24； （2）平移后的函数图象如右图所示， 当 y0 时，0（x1）24，得 x11，x23， 即经过两次平移后的图象与 x 轴的交点坐标是（1，0） ， （3，0） ，当1x3 时，函数值小于 0； （3）由图象可得， A（x1，y1） ，B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且 x1x20，则 y1y2 18 （8 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，P 为 DC 延长线上一点，AP 分别交 BD，BC 于点 M， N （1）证明：AM2MNMP； （2）若 AD6，DC：CP2：1，求 BN 的长 【分析】 （1）通过证明ADMNBM，PDM
30、ABM，可得，即可得结论； （2）通过证明PCNPDA，可得，可求 NC2，即可求 BN 的长 【解答】证明： （1）ADBC， ADMNBM，DAMBNM， ADMNBM， ， ABDC， PBAM，MDPABM， PDMABM， ， ， AM2MNMP； （2）ADBC， PCNPDA，PP， PCNPDA， ， DC：CP2：1， ， 又AD6， NC2， BN4 19 （10 分）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心如图 G 是ABC 的重心求证： AD3GD 【分析】根据题意，可以得到 DE 时ABC 的中位线，从而可以得到 DEAC 且 DEAC，然后即可 得到DEG
31、ACG，即可得到 DG 和 AG 的比值，从而可以得到 DG 和 AD 的比值，然后即可得到 AD 和 GD 的关系 【解答】证明：连接 DE， 点 G 是ABC 的重心， 点 E 和点 D 分别是 AB 和 BC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DEAC 且 DEAC， DEGACG， ， ， ， AD3DG， 即 AD3GD 20 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 A（3，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC， BCM 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PMx 轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q （1）求抛物线的表达式；
32、（2）过点 P 作 PNBC，垂足为点 N设 M 点的坐标为 M（m，0） ，请用含 m 的代数式表示线段 PN 的 长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由即可求解 【解答】解： （1）将 A（3，0） ，B（4，0）代入 yax2+bx+4，得， 解之，得 所以，抛物线的表达式为； （2）由，得 C（0，4） 将点 B（4，0） 、C（0，4）代入 ykx+b，得，解之，得 所以，直线 BC 的表达式为：yx+4 由 M（m，0） ，得，Q（m，m+4） ， OBOC， ABCOCB45 PQNBQM45 ， 当 m2 时
33、，PN 有最大值，最大值为 21 （12 分）如图，已知边长为 10 的正方形 ABCD，E 是 BC 边上一动点（与 B、C 不重合） ，连结 AE，G 是 BC 延长线上的点，过点 E 作 AE 的垂线交DCG 的角平分线于点 F，若 FGBG （1）求证：ABEEGF； （2）若 EC2，求CEF 的面积； （3）请直接写出 EC 为何值时，CEF 的面积最大 【分析】 （1）利用同角的余角相等，判断出BAEFEG，进而得出ABEEGF，即可得出结论； （2）先求出 BE8，进而表示出 EG2+FG，由BAEGEF，得出，求出 FG，最后用三 角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的
34、方法，即可得出 SECF（x5）2+，即可得出结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形，EFAE， BGAEF90， BAE+AEB90，AEB+FEG90， BAEFEG， BG90， BAEGEF； （2）ABBC10，CE2， BE8， FGCG， EGCE+CG2+FG， 由（1）知，BAEGEF， ， ， FG8， SECFCEFG288； （3）设 CEx，则 BE10 x， EGCE+CGx+FG， 由（1）知，BAEGEF， ， ， FG10 x， SECFCEFGx （10 x）（x210 x）（x5）2+， 当 x5 时，SECF最大 22 （12 分）已知关于
35、 x 的一元二次方程 x2+（k5）x+1k0，其中 k 为常数 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数 yx2+（k5）x+1k 的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值 【分析】 （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出0，根据判别式的意义即可证明； （2）由于二次函数 yx2+（k5）x+1k 的图象不经过第三象限，又（k5）24（1k）（k 3）2+120，所以抛物线的顶点在 x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口 向上，由此可以得出关于 k 的不等式组，
36、解不等式组即可求解； （3）设方程的两个根分别是 x1，x2，根据题意得（x13） （x23）0，根据一元二次方程根与系数的 关系求得 k 的取值范围，再进一步求出 k 的最大整数值 【解答】 （1）证明：（k5）24（1k）k26k+21（k3）2+120， 无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）解：二次函数 yx2+（k5）x+1k 的图象不经过第三象限，二次项系数 a1， 抛物线开口方向向上， （k3）2+120， 抛物线与 x 轴有两个交点， 设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1，x2， x1+x25k0，x1x21k0， 解得 k1， 即 k 的取值范围是 k1
37、； （3）解：设方程的两个根分别是 x1，x2， 根据题意，得（x13） （x23）0， 即 x1x23（x1+x2）+90， 又 x1+x25k，x1x21k， 代入得，1k3（5k）+90， 解得 k 则 k 的最大整数值为 2 23 （14 分）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAOC，OBOD+CD （1）过点 A 作 AEDC 交 BD 于点 E，求证：AEBE； （2）如图 2，将ABD 沿 AB 翻折得到ABD 求证：BDCD； 若 ADBC，求证：CD22ODBD 【分析】 （1）证明AOECOD（AAS） ，由全等三角形的性质得出 CDAE，O
38、DOE，则可得出结 论； （2）过点 A 作 AEDC 交 BD 于点 E，由（1）得出ABEAEB，由折叠的性质可得出ABD BAE，则 BDAE，可得出结论； 过点 A 作 AEDC 交 BD 于点 E，延长 AE 交 BC 于点 F，证明ADEBCD，得出，根据 AECD，DE2OD 可得出结论 【解答】 （1）证明：AEDC， CDOAEO，EAODCO， 又OAOC， AOECOD（AAS） ， CDAE，ODOE， OBOE+BE，OBOD+CD， BECD， AEBE； （2）证明：如图 1，过点 A 作 AEDC 交 BD 于点 E， 由（1）可知AOECOD，AEBE， ABEBAE， 将ABD 沿 AB 翻折得到ABD， ABDABD， ABDBAE， BDAE， 又AECD BDCD 证明：如图 2，过点 A 作 AEDC 交 BD 于点 E，延长 AE 交 BC 于点 F， ADBC， DABABC， 由翻折可知DABDAB， ABCDAB， AEBE， EABABD， ABCEABDABABD， DBCDAE， AEDC， AEDCDB， ADEBCD， ， 由知 AECD，ODEO， DE2OD， CD22ODBD
