1、2019-2020 学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （4 分）设 M（5，1，2） ，A（4，2，1） ，O（0，0，0） ，若，则点 B 的坐标应为（ ） A （1，3，3） B （1，3，3） C （9，1，1） D （9，1，1） 2 （4 分）抛物线 y28x 的准线方程为（ ） Ax2 Bx1 Cy1 Dx2 3 （4 分）双曲线 4x29y236 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 4 （4
2、 分）已知向量 （1，2，4） ， （x，1，2） ，并且 ，则实数 x 的值为（ ） A10 B10 C D 5 （4 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4，则 （ ） A6 B12 C36 D42 6 （4 分）焦距是 10，虚轴长是 8，经过点（，4）的双曲线的标准方程是（ ） A B C D 7 （4 分）设平面 的法向量为 （1，2， 2） ， 平面 的法向量为 （2， 4，k） 若 ， 则 k 等于（ ） A4 B2 C2 D4 8 （4 分）过抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴
3、上方） ，l 为 C 的准线， 点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ） A B2 C2 D3 9 （4 分）设图 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 |PF1|+|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 10 （4 分）焦点为 F（3，0）的抛物线标准方程为 11 （4 分）若向量（2，2，1） ，（2，1，3） ，则| 12 （4 分）抛物线 yax2的焦点坐标为 13 （4 分）在空间直角
4、坐标系中，已知点 A（1，2，0） ，B（x，3，1） ，C（4，y，2） ，若 A，B，C 三点 共线，则 x+y 14 （4 分）如图，在正四棱锥 PABCD 中，PAAB，点 M 为 PA 的中点，若 MNAD，则实 数 15 （4 分）已知双曲线1（a0，b0）的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22py（p0）的 焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 40 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （6 分）求与椭圆有
5、公共焦点，且离心率的双曲线的方程 17 （6 分）如图在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是棱 BB1，CD 的中点求证：为平面 ADE 的一个法向量 18 （8 分）已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD2，AB4，AA13，E，F 分别是 AB，A1D1的中点 （1）求证：直线 EF平面 BB1D1D； （2）求直线 EF 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 19 （10 分）已知：抛物线 y24x 的焦点为 F，定点 P（3，1） ， （1）M 为抛物线 y24x 上一动点，求|MP|+|MF|的最小值 （2）过点 P 作一条斜率等于 2 的直线交抛物线于 A、B 两
6、点，求AOB 的面积 20 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC BAD，PAAD2，ABBC1 （1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长 2019-2020 学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （4
7、分）设 M（5，1，2） ，A（4，2，1） ，O（0，0，0） ，若，则点 B 的坐标应为（ ） A （1，3，3） B （1，3，3） C （9，1，1） D （9，1，1） 【分析】设点 B 的坐标为（x，y，z） ；表示出，由解出 B 的坐标 【解答】解：设点 B 的坐标为（x，y，z） ； 则（5，1，2） （x4，y2，z+1） ， 则由，得 x45，y21，z+12， 解得，x9，y1，z1， 故选：C 【点评】本题考查了空间中向量的应用，属于基础题 2 （4 分）抛物线 y28x 的准线方程为（ ） Ax2 Bx1 Cy1 Dx2 【分析】抛物线 y28x 的开口向左，2p8，
8、从而可得抛物线 y28x 的准线方程 【解答】解：抛物线 y28x 的开口向左，2p8， 抛物线 y28x 的准线方程为 x2 故选：D 【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题 3 （4 分）双曲线 4x29y236 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】直接利用双曲线的方程，求解渐近线方程即可 【解答】解：双曲线 4x29y236 的渐近线方程是：4x29y20，即 y 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （4 分）已知向量 （1，2，4） ， （x，1，2） ，并且 ，则实数 x 的值为（ ） A10
9、 B10 C D 【分析】由于 ，可得0，解出即可 【解答】解： ， x280， 解得 x10 故选：B 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题 5 （4 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4，则 （ ） A6 B12 C36 D42 【分析】根据抛物线的性质求出 P 点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的 数量积 【解答】解：抛物线的焦点为 F（，0） ，准线方程为 x |PF|xP+4，xP3 不妨设 P 在第一象限，则 yP2424， yP2 （3，2） （2，2）12+2436 故选：C 【点
10、评】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线方程得出 P 点坐标是关键，属于中档题 6 （4 分）焦距是 10，虚轴长是 8，经过点（，4）的双曲线的标准方程是（ ） A B C D 【分析】根据双曲线的性质 c2a2+b2，由焦距是 10，虚轴长是 8 分别求出半焦距 c 和半虚轴 b，即可求 出半实轴 a 的值，然后分两种情况写出双曲线的标准方程，又双曲线过点（，4） ，把点的坐标代入 求得的双曲线解析式得到符合题意的标准方程即可 【解答】解：根据题意可知 2c10，2b8，解得 c5，b4，根据双曲线的性质可得 a2c2b29 双曲线标准方程为：1 或1 又因为双曲线过点（3，4） ，代入检验
11、得到1 不合题意，舍去， 所以满足题意的双曲线的标准方程为：1 故选：A 【点评】此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道中档题 7 （4 分）设平面 的法向量为 （1，2， 2） ， 平面 的法向量为 （2， 4，k） 若 ， 则 k 等于（ ） A4 B2 C2 D4 【分析】根据 时，它们的法向量共线，列出方程求出 k 的值 【解答】解：平面 的法向量为（1，2，2） ，平面 的法向量为（2，4，k） ， 当 时，（1，2，2）（2，4，k） ，且 R； 解得 2，k4 故选：D 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线问题，是基础题目 8 （4 分）过
12、抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方） ，l 为 C 的准线， 点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ） A B2 C2 D3 【分析】利用已知条件求出 M 的坐标，求出 N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可 【解答】解：抛物线 C：y24x 的焦点 F（1，0） ，且斜率为的直线：y（x1） ， 过抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方） ，l 可知：，解得 M（3，2） 可得 N（1，2） ，NF 的方程为：y（x1） ，即， 则 M 到直线 NF 的距离为：2
13、故选：C 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力 9 （4 分）设图 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 |PF1|+|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D3 【分析】要求离心率，即求系数 a，c 间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可本题 涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解 【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|PF2|2a， （不妨设该点在右支上） 又|PF1|+|PF2|3b，所以， 两式相乘得结合 c2a2+b2得 故 e 故选：B 【点评】本题考查了双曲线的定义，离心率的
14、求法主要是根据已知条件找到 a，b，c 之间的关系化简 即可 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 10 （4 分）焦点为 F（3，0）的抛物线标准方程为 y212x 【分析】根据题意，设其方程为：y22px（p0） ，利用公式可得系数 2p12，可得此抛物线的标准方 程 【解答】解：由题意，设抛物线方程为：y22px（p0） 抛物线的焦点坐标为（3，0） 3， 2p12 抛物线的标准方程是 y212x 故答案为：y212x 【点评】本题考查了抛物线的定义与简单性质，属于基础题 11 （4 分）若向量（2，2，1） ，（2，1，3
15、） ，则| 【分析】根据空间向量的线性运算与坐标表示，计算所求的模长 【解答】解：向量（2，2，1） ，（2，1，3） ， 则|（0，1，2）| 故答案为： 【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与线性表示应用问题，是基础题 12 （4 分）抛物线 yax2的焦点坐标为 （0，） 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标 【解答】解：当 a0 时，整理抛物线方程得 x2y，即 p， 由抛物线 x22py（p0）的焦点为（0，） ， 所求焦点坐标为（0，） 当 a0 时，同样可得 故答案为： （0，） 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质，属基础题 1
16、3 （4 分）在空间直角坐标系中，已知点 A（1，2，0） ，B（x，3，1） ，C（4，y，2） ，若 A，B，C 三点 共线，则 x+y 【分析】（x1，1，1） ，（3，y2，2） ，可得 A，B，C 三点共线，可得存在实数 k 使得： k 【解答】解：（x1，1，1） ，（3，y2，2） ， A，B，C 三点共线， 存在实数 k 使得：k， ，解得 k，x，y0 x+y 故答案为： 【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14 （4 分）如图，在正四棱锥 PABCD 中，PAAB，点 M 为 PA 的中点，若 MNAD，则实 数 4 【分析】连
17、结 AC，交 BD 于 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出实数 【解答】解：连结 AC，交 BD 于 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角 坐标系， 设 PAAB2，则 A（，0，0） ，D（0，0） ，P（0，0，） ，M（，0，） ，B（0， 0） ， （0，2，0） ，设 N（0，b，0） ，则（0，b，0） ， ，2，b， N（0，0） ，（，） ，（，0） ， MNAD，10， 解得实数 4 故答案为：4 【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥
18、的结构牲等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 15 （4 分）已知双曲线1（a0，b0）的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22py（p0）的 焦点为 F， 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c， 且|FA|c， 则双曲线的渐近线方程为 yx 【分析】求出双曲线的右顶点 A（a，0） ，拋物线 x22py（p0）的焦点及准线方程，根据已知条件得 出及，求出 ab，得双曲线的渐近线方程为：yx 【解答】解：右顶点为 A， A（a，0） ， F 为抛物线 x22py（p0）的焦点， F， |FA|c， 抛物线的准线方程为 由得， ， 由，得2c，即 c22a2， c2a2+b2， ab
19、， 双曲线的渐近线方程为：yx， 故答案为：yx 【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 40 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （6 分）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程 【分析】 根据题意双曲线方程可设为， 可得关于 a， b 的方程组， 进而求出 a， b 的数值即可求出双曲线的方程 【解答】解：依题意，双曲线的焦点坐标是 F1（5，0） ，F2（5，0） ， （2 分） 故双曲线方程可设为， 又双曲线的离心率， （6 分） 解之得 a4，b3 故双曲
20、线的方程为（8 分） 【点评】本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是根据两个曲线的共同特征，求出双曲线的焦点坐标， 再根据其离心率，求出 a，b 的值 17 （6 分）如图在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是棱 BB1，CD 的中点求证：为平面 ADE 的一个法向量 【分析】可分别以直线 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为 2，从 而据题意可得出D，A，E，D1，F的坐标，进而得出 ， 进 行 数 量 积 的 运 算 即 可 得 出 ，进而可说明 D1F平面 ADE，从而得出为平面 ADE 的一个法向量 【解答】证明：以点 D 为原点，直
21、线 DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为 2，则： D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，E（2，2，1） ，D1（0，0，2） ，F（0，1，0） ， ， ， D1FDE，D1FDA，且 DE平面 ADE，DA平面 ADE，DEDAD， D1F平面 ADE， 为平面 ADE 的一个法向量 【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标证明线面垂直的方法，向量垂直的充要条 件，向量坐标的数量积运算，考查了计算和推理能力，属于基础题 18 （8 分）已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD2，AB4，AA13，E，F 分别是 A
22、B，A1D1的中点 （1）求证：直线 EF平面 BB1D1D； （2）求直线 EF 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 【分析】 （1） 取 AD 中点 G， 连结 EG， FG， 推导出 FGDD1， EGBD， 从而平面 EFG平面 BB1D1D， 由此能证明直线 EF平面 BB1D1D （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直 线 EF 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：取 AD 中点 G，连结 EG，FG， E，F 分别是 AB，A1D1的中点， FGDD1，EGBD， EGFGG，D
23、D1DBD， 平面 EFG平面 BB1D1D， 直线 EF平面 BB1D1D （2）解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 E（2，2，0） ，F（1，0，3） ，B（2，4，0） ，C（0，4，0） ， （1，2，3） ， 平面 BCC1B1的法向量 （0，1，0） ， 设直线 EF 与平面 BCC1B1所成角为 ， 则 sin 直线 EF 与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （10 分）已
24、知：抛物线 y24x 的焦点为 F，定点 P（3，1） ， （1）M 为抛物线 y24x 上一动点，求|MP|+|MF|的最小值 （2）过点 P 作一条斜率等于 2 的直线交抛物线于 A、B 两点，求AOB 的面积 【分析】 （1）根据抛物线的定义，结合平面几何知识可得当 M 的纵坐标为 1 时，PM 所在直线与准线垂 直，此时|MP|+|MF|取得最小值为 4 （2）由题意，直线 AB 方程为 y2x5，与 y24x 消去 x 得：4x224x+250再用一元二次方程根与 系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点 O 到直线 AB 的距离，即可求 出AOB 的面积 【
25、解答】解（1）由抛物线的定义，得 MF 长等于点 M 到抛物线 y24x 的准线 x1 的距离， 设点 P 到直线 x1 的距离为 h， |MP|+|MF|h， 又hxP（1）3+14， |MP|+|MF|的最小值为 4 （2）由题意，得直线 AB 的方程为 y12（x3） ，即 y2x5， 代入 y24x 得：4x224x+250 设交点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） x1+x26，x1x26.25 可得|AB|x1x2| 又点 O 到直线 AB 的距离 d AOB 的面积 SAOB|AB|d 【点评】本题求抛物线中距离和的最小值，并求焦点弦 AB 与原点构成的AOB 面积着重考查
26、了抛物 线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，属于中档题 20 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC BAD，PAAD2，ABBC1 （1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长 【分析】以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系 Axyz （1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可； （2）利用换元法可得 c
27、os2，结合函数 ycosx 在（0，）上的单调性，计算即得结 论 【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系 Axyz 如图， 由题可知 B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） （1）AD平面 PAB，（0，2，0） ，是平面 PAB 的一个法向量， （1，1，2） ，（0，2，2） ， 设平面 PCD 的法向量为 （x，y，z） ， 由，得， 取 y1，得 （1，1，1） ， cos， ， 平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为； （2）（1，0，2） ，设（，0，2） （01） ， 又（0，1，0） ，则+（，1，2） ， 又（0，2，2） ，从而 cos， 设 1+2t，t1，3， 则 cos2， 当且仅当 t，即 时，|cos，|的最大值为， 因为 ycosx 在（0，）上是减函数，此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值 又BP，BQBP 【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属 于中档题
