1、 2020-2021 学年度学年度江苏省南京市三校联考第二次月考数学试卷江苏省南京市三校联考第二次月考数学试卷 一、选择题一、选择题（本大题共（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 1.如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴 影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 2.数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统 计图由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ） A. 7 B. 8
2、C. 9 D. 10 3.一元二次方程 x22x+10 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4.下列关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）. A. 它的开口方向向下 B. 它的顶点坐标是 C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 当 时， 有最小值是 3 5.二次函数 的图像如图所示，现有以下结论： ； ； ； ；其中正确的结论有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个. 6.如图，抛物线 y x 21 与 x 轴交于 A，B 两点，D 是以点 C（0，4）为圆心，1 为半径的圆上的动 点，E 是线段
3、AD 的中点，连接 OE，BD，则线段 OE 的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 7.在一个不透明的袋子中有 个红球、 个绿球和 个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从袋子 中任意摸出一个球，摸出_颜色的球的可能性最大. 8.游行队伍有 8 行 12 列， 后又增加了 69 人， 要使得队伍增加的行数和列数相同， 需要增加_行。 9.一个扇形的弧长是 ，它的面积为 ，则这个扇形的圆心角度数为_度 10.
4、将二次函数 的图像向下平移 个单位后，它的顶点恰好落在 轴上，那么 的值等于_. 11.如图，四边形 ABCD 为 的内接四边形，已知 ，则 的度数为_. 12.甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过 6 轮比赛，他们的平均成绩都是 97 分.如果甲、乙两人比赛 成绩的方差分别为 甲 乙 ， 则这 6 次比赛成绩比较稳定的是_. （填 “甲” 或 “乙” ） 13.抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 _. 14.如果方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是_. 15.如图，四边形 中， ，则将它以 为轴旋转 180后所得分别以 、 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_ 16.如图所示，
5、抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 B 的直线与抛物线交于点 C（点 C 在 x 轴上方），过 ABC 三点的M 满足MBC=45，则点 C 的坐标为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1111 小题，共小题，共 8888 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤）过程或演算步骤） 17.甲、乙、丙、丁 4 人聚会，吗，每人带了一件礼物，4 件礼物从外盒包装看完全相同，将 4 件礼物放 在一起 （1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是_； （2）甲先从中随机抽取一件，不放
6、回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙 2 人抽到的都不是自己带来的 礼物的概率 18.某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中各班前 5 名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为：八（1）班 86，85，77，92，85；八（2）班 79，85， 92，85，89.通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1） 85 b c 22.8 八（2） a 85 85 d （1）直接写出表中 a，b，c，d 的值：a_，b_，c_，d_. （2）根据以上数据分析，你认为哪个班前 5 名同学的成绩较好？说明理由. 19.已知：关于 x 的一元二
7、次方程：x2-6x+m=0 （1）当 m=0 时，求原方程的解： （2）若方程有一个实数根为 3- ，求方程另一根及 m 的值。 20.如图，A，B，C 是O 上的点，其中 =2 ，过点 B 画 BDOC.于点 D. （1）求证：AB2BD. （2）若 AB2 ，CD1，求图中涂色部分的面积. 21.已知二次函数 y=ax2+bx+c 中 x 与 y 的部分对应值如下表; x -3 -2 0 1 2 3 5 y 7 0 -8 -9 m -5 7 （1）表中 m=_。 （2）求该二次函数的解析式。 （3）试判断 P(4，1)是否在该函数图像上。 22.某社区决定把一块长 ，宽 的矩形空地建成居民
8、健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿 化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的 4 个出口宽度相同，其宽度 不小于 ，不大于 ，设绿化区较长边为 ，活动区的面积为 .为了想知道出口宽度的 取值范围，小明同学根据出口宽度不小于 ，算出 . （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）求活动区的最大面积； （3）预计活动区造价为 50 元/ ，绿化区造价为 40 元/ ，若社区的此项建造投资费用不得超过 72000 元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？ 23.每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命， 令人痛心疾首 今年南京市某校
9、为确保学生安全， 开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取 10 名学生的竞 赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，共分成四组：A80 x85，B85x 90，C 90 x95，D95x100）， 下面给出了部分信息：七年级 10 名学生的竞赛成绩是： 99， 80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是：94，90， 94.七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差 52 50.4 根据以上信息，解
10、答下列问题： （1）直接写出上述图表中 a，b，c 的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一 条理由即可）； （3）该校七、八年级共 720 人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生 人数是多少？ 24.如图，ABC 内接于O，点 D 在O 外，ADC90，BD 交O 于点 E，交 AC 于点 F， EACDCE，CEBDCA，CD6，AD8. （1）求证：AB CD； （2）求证：CD 是O 的切线； 25.如图是证明勾股定理时用到的一个图形， a， b， c 是 RtABC 和 RtBED 的边长， 显然
11、 AE= c， 我们把关于 x 的一元二次方程 ax2+ cx+b=0 称为“弦系一元二次方程”。 请解决下列问题： （1）方程 x 2+ x+ =0 是不是“弦系一元二次方程”：_ (填“是”或“否”)： 写出一个“弦系一元二次方程”：_； （2）求证：关于 x 的“弦系一元二次方程”ax2+ cx+b=0 必有实数根； （3）当 ab 时，直接写出关于 x 的“弦系一元二次方程”ax2+ cx+b=0 的求根公式：x1=_， x2= _。 （4）若 x=-1 是“弦系一元二次方程”ax2+ cx+b=0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 6 ， 求MBC 面积。 26.如图 （1）问
12、题提出 如图，在ABC 中，BC6，D 为 BC 上一点，AD4，则ABC 面积的最大值是_. （2）问题探究 如图，已知矩形 ABCD 的周长为 12，求矩形 ABCD 面积的最大值. （3）问题解决 如图，ABC 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 AB30 米，BC40 米，AC50 米，现在他想利用 周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼 塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 ABCD，且满足ADC60.你认为葛叔叔的想法能否实现？若能， 求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由. 27.如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的边
13、BC 在 x 轴上，ABC90，以 A 为顶点的抛物线 y x2bxc 经过点 C(3，0)，交 y 轴于点 E(0，3)，动点 P 在对称轴上. （1）求抛物线解析式； （2） 若点 P 从 A 点出发， 沿 AB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点 B 停止， 设运动时间为 t 秒， 过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D，过点 D 平行于 y 轴的直线 l 交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ，当 t 为 何值时，ACQ 的面积最大？最大值是多少？ （3）若点 M 是平面内的任意一点，在 x 轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C 为顶点的四边形 是菱形，若存在，请直接写
14、出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由. 答案答案 一、选择题 1.解：设小正方形的边长为 1，则其面积为 1 圆的直径正好是大正方形边长， 根据勾股定理，其小正方形对角线为 ，即圆的直径为 ， 大正方形的边长为 ， 则大正方形的面积为 ，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 故答案为：C 2.解：由条形统计图可得， 全班同学答对题数的众数为 9， 故答案为：C 3.解：a=1，b=-2，c=1， =b2-4ac=（-2）2-411=0， 方程有两个相等的实数根 故答案为：B 4. 的二次项系数大于 0 函数开口向上，故答案为：A 错误； 的顶点坐标为 ，即最小值为 3 选项 B
15、 错误，选项 D 正确； 的对称轴为 当 时， 随 的增大而减小 选项 C 错误； 故答案为：D. 5.根据图像，开口向下，得出 ，符合题意； 根据图像，对称轴为 ， ，与 y 轴的交点为（0,c）， ， 不符合 题意； 根据图像，以及对称轴， ， ，符合题意； 根据图像，顶点坐标均大于 0，即 ， ，不符合题意； 故答案为 B. 6.解：令 y x 210，则 x3， 故点 B（3，0）， 设圆的半径为 r，则 r1， 当 B、D、C 三点共线，且点 D 在 BC 之间时，BD 最小， 而点 E、O 分别为 AD、AB 的中点，故 OE 是ABD 的中位线， 则 OE BD （BCr） （
16、1）2， 故答案为：D. 二、填空题 7.根据题意，袋子中共 6 个球，其中有 1 个红球，2 个绿球和 3 个白球，故将球摇匀，从中任取 1 球， 恰好取出红球的可能性为 ， 恰好取出绿球的可能性为 ， 恰好取出白球的可能性为 ， 摸出白颜色的球的可能性最大. 故答案是：白. 8.解： 设队伍增加的行数为 x，则增加的列数也为 x， 根据题意，得（8+x）（12+x）=812+69， 解得 x1=-23（不符合题意，舍去），x2=3， x=3， 答：需要增加 3 行 故答案为：3 9.解：S扇形= lR， 12= 4R， 解得，R=6 l= ， 4= ， 解得，n=120 故答案为：120
17、10.y=x2-2x+2=（x-1）2+1， 将抛物线 y=x2-2x+2 沿 y 轴向下平移 1 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在 x 轴上， m=1， 故答案为：1 11.解：由圆周角定理得，A= BOD=55， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， BCD=180 A=125， 故答案为：125. 12.解：甲、乙两人的平均成绩都是 97 分，s2甲 ，s2乙 ， s2甲s2乙 ， 这 6 次比赛成绩比较稳定的是乙. 故答案为：乙. 13.解：由题意得令 中 y=0， ，其两根为 ， ， 故答案为：4. 14.解：方程 kx2+2x+1=0 有两个不等实数根， k0 且0，即 2
18、2-4k10，解得 k1， 实数 k 的取值范围为 k1 且 k0. 故答案为：k1 且 k0. 15.解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为 l， 上面圆锥的侧面积为：ABl， 下面圆锥的侧面积为：BDl， S上：S下=3：2， 故答案为：3：2 16.解：y=x2-6x+8=（x-2）（x-4），故 A（2，0），B（4，0）， 根据垂径定理可知点 M 在 AB 的中垂线上，设 M（3，a）. 连接 MC，过点 M 作 MEx 轴，过点 B 作 BF 垂直 ME 于点 F，过点 C 作 CEME 于点 E， MB=MC，MBC=45， NCB=45， BMC=90， MEC=BFM
19、=90， BMF=MCE， BMFMCE， ME=BF，MF=CE， B（4，0），M（3，a）. CE=MF=1，EF=a-1， C（4+a-1，a+1）即 C（3+a，a+1）， 由于点 C 在抛物线上，则有 a+1=（3+a）2-6（3+a）+8 解得 a1=2，a2=-1， 根据圆心 M 在第一象限可得 a2=-1 不符合题意，故 a=2， C（5，3）. 三、解答题 17. （1） （2）解：设甲、乙、丙、丁 4 人的礼物分别记为 a、b、c、d， 根据题意画出树状图如图： 一共有 12 种等可能的结果，甲、乙 2 人抽到的都不是自己带来的礼物的结果有 7 个， 甲、乙 2 人抽到的
20、都不是自己带来的礼物的概率为 解：（1）甲抽到不是自己带来的礼物的概率为： ； 故答案为 ； 18. （1）86；85；85；19.2 （2）解：由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳 定， 八（2）班前 5 名同学的成绩较好. 解：（1）八（2）班的平均分 a（79+85+92+85+89）586， 八（2）班的方差 d（7986）2+（8586）2+（9286）2+（8586）2+（8986）2519.2. 将八（1）班的前 5 名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是 85， 所以中位数 b85， 85 出
21、现了 2 次，次数最多，所以众数 c85. 故答案为：86，85，85，19.2； 19.（1）解：根据题意，得 x2-6x=0， x(x-6)=0， 解得 x1=0，x2=6； （2）解：方法一：由题意，得(3- ) 2-6(3- )+m=0，解得 m=4， 所以原方程为 x2-6x+4=0，解得 x1=3- ，x 2=3+ 因此方程另一根 x2=3+ ，m=4 方法二：设方程的另一个根为 x， 则 解得 因此方程另一根 x2=3+ ，m=4 20. （1）证明：延长 BD 交圆 O 于点 E BDOC BE=2BD AB=2BD AB=2BD （2）解：连接 OB，BC 设圆的半径为 r
22、AB=2BD BD= OD=OC-CD OD=r-1 在 RtBOD 中 r2= （r-1）2 +( ) 2 r=2 OD=OC BC=BO BOC 是等边三角形 BOC=60 S阴影= 21. （1）-8 （2）解：设函数解析式为 y=a（x-1）2-9 a（-2-1）2-9=0 解之：a=1 此函数解析式为 y=(x-1)2-9. （3）解：把 x=4 代入得 y=(x-1)2-9，解得 y=01， P (4，1)不在抛物线图象上(方法不唯一) 解：（1）观察表中数据可知抛物线的顶点坐标为（1，-9） 点（0，-8）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（2，-8）， m=-8. 故答案为：-
23、8. 22. （1）解：根据题意得， ， ； （2）解： ， ，抛物线的开口向下，当 时，y 随 x 的增大而减小， 当 时， 最大 ， 答：活动区的最大面积为 ； （3）解：设投资费用为 w 元， 由题意得， ， 当 时，解得： (不符合题意舍去)， ， ， 当 时， ， 又 ， . 当 时，投资费用最少，此时出口宽度为 ， 答：投资最少时活动区的出口宽度为 . 23. （1）解： a=40，b=94，c=99 （2）解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为 92 分，但八年级的 中位数和众数均高于七年级 （3）解：参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生人数7
24、20 468 人， 答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生人数是 468 人 解：（1）a（120%10% ）10040， 八年级 10 名学生的竞赛成绩的中位数是第 5 和第 6 个数据的平均数， b 94； 在七年级 10 名学生的竞赛成绩中 99 出现的次数最多， c99； 24.（1）证明： ， ， ， ； （2）证明：连接 并延长交 于 G ，连接 ，如图 1 所示： 则 为 的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 是 的半径， 是 的切线； 25.（1）是；3x2+5 x+4=0 （2）解：证明：根据题意，得=( c) 2-4ab=2c2-4ab ， a2+b2=c2
25、 ， =2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)20， 弦系一元二次方程必有实数根； （3） ； （4）解：当 x=-1 时，有 a- c+b=0，即 a+b= c， 2a+2b+ c=6 ，即 2(a+b)+ c=6 ， 3 c=6 ， c=2， a2+b2=c2=4，a+b=2 ， (a+b)2=a2+b2+2ab ， ab=2， SABC= ab=1。 26. （1）12 （2）解：矩形的周长为 12， 邻边之和为 6，设矩形的一边为 m，另一边为 6m， Sm（6m）（m3）2+9， 10， m3 时，S 有最大值，最大值为 9. （3）解：如图中， AC50 米，AB4
26、0 米，BC30 米， AC2AB2+BC2 ABC90， 作AOC，使得AOC120，OAOC，以 O 为圆心，OA 长为半径画O， ADC60， 点 D 在优弧 ADC 上运动， 当点 D 是优弧 ADC 的中点时，四边形 ABCD 面积取得最大值， 设 D是优弧 ADC 上任意一点，连接 AD，CD，延长 CD到 F，使得 DFDA，连接 AF， 则AFC30 ADC， 点 F 在 D 为圆心 DA 为半径的圆上， DFDA， DF+DCCF， DA+DCDA+DC， DA+DC+ACDA+DC+AC， 此时四边形 ADCB 的周长最大，最大值40+30+50+50170（米）. 答：这
27、个四边形鱼塘周长的最大值为 170（米）. 解：（1）如图中， BC6，AD4， 当 ADBC 时，ABC 的面积最大，最大值 6412. 故答案为 12. 27. （1）解：将点 C，E 的坐标代入二次函数表达式得： 解得 故抛物线的表达式为：yx22x3 （2）解：yx22x3 A(1，4)， 设直线 AC 的解析式为 ，将点 A，C 的坐标代入，得： ，解得 直线 AC 的表达式为：y2x6 点 P(1，4t)， 点 D ， 设点 Q ，则 SACQ DQBC 0，故 SACQ有最大值，当 t2 时，其最大值为 1 当 t2 时，SACQ有最大值，其最大值为 1 （3）解：设点 P(1，
28、m)，（m0）点 M(x，y)， 当 EC 是菱形一条边时， 当点 M 在 x 轴下方时， 点 E 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 C，则点 P 平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 M， 则 13x，m3y x=4，y=m-3 MPEP 1(m3)2(41)2(m3m)2 解得： y= 点 M(4， )； 当点 M 在 x 轴上方时，同理可得：点 M(2，3 )； 当 EC 是菱形一对角线时， 则 EC 中点即为 PM 中点， 则 x13，ym3 PEPC，即 1(m3)24(m2)2 ， 解得：m1， x2，y3m312， 点 M(2，2) 综上，点 M(4， )或(2，3 )或 M(2，2)
