1、2020-2021 学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级上学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级上期中数学试卷期中数学试卷 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 8 小题）小题） 1下列函数中是二次函数的是（ ） Ay4x2+1 By4x+1 Cy Dy+1 2从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（ ） A抽到“大王” B抽到“Q” C抽到“小王” D抽到“红桃” 3某班要从 9 名百米跑成绩各不相同的同学中选 4 名参加 4100 米接力赛，而这 9 名同学只知道自己的 成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布这 9 名同学成绩的（
2、） A中位数 B众数 C方差 D平均数 4用半径为 60，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A10 B20 C30 D40 5把二次函数 y3x2的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函数表达 式是（ ） Ay3（x+2）2+1 By3（x+2）21 Cy3（x2）21 Dy3（x2）2+1 6在同一坐标系中一次函数 yax+b 和二次函数 yax2+bx 的图象可能为（ ） A B C D 7如图，点 A、B、C 在O 上，过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 P，B30，OP3，则 AP 的长为（ ） A
3、3 B C D 8如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且ACB30，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点， 直线 EF 与O 交于 G、H 两点，若O 的半径为 8，则 GE+FH 的最大值为（ ） A8 B12 C16 D20 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 10 小题）小题） 9一组数据：5、4、3、4、6、8，这组数据的极差是 10一组数据：5、4、3、2、1，这组数据的方差是 11已知圆的一条弦把圆周分成 1：3 两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 12已知二次函数 yx2，当2x3，y 的取值范围是 13已知函数 y（m+1）x24x+2（m 是常
4、数）的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 14如果 m 是一元二次方程 x23x20 的一个根，那么 6m2m2的值是 15ABC 中，ABAC10，BC12，则ABC 的内切圆的半径长为 16ABC 中，点 O 是它的内心且ACB50，则AOB 17 关于x的方程ax2+bx+20的两根为x12， x23 则方程a （x1） 2+b （x1） +20的两根分别为 18已知点 A（1，0） 、点 B（5，0） ，点 P 是该直角坐标系内的一个动点若点 P 在 y 轴的负半轴上，且 APB30，则满足条件的点 P 的坐标为 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 19 （10 分）解方程：
5、（1）x（x+4）3（x+4） （2） （x+3）22x+5 20 （12 分） 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命， 令人痛心疾首 今年某校为确保学生安全， 开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取 10 名学生的 竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，共分成四组：A80 x85，B85 x90，C90 x95，D95x100） ，下面给出了部分信息： 七年级 10 名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82 八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是：94，90，94 七、八
6、年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差 52 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中 a，b，c 的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一 条理由即可） ； （3）该校七、八年级共 720 人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生 人数是多少？ 21 （10 分）将一副扑克牌中点数为“2” 、 “3” 、 “4” 、 “6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出 1 张牌，记 录下牌面点数为 x，再从余下的 3 张牌
7、中抽出 1 张牌，记录下牌面点数为 y设点 P 的坐标为（x，y） （1）请用表格或树状图列出点 P 所有可能的坐标 （2）求点 P 在抛物线 yx2+x 上的概率 22 （10 分）已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长 23 （10 分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5） ，且抛物线经过点 A（1，3） （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求ABC 的面
8、积 24 （10 分）已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB80，C 为O 上一点 （）如图，求ACB 的大小； （）如图，AE 为O 的直径，AE 与 BC 相交于点 D若 ABAD，求EAC 的大小 25 （10 分）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为 8 元据市场分析，销售单价定为 10 元时，每天 能售出 200 件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨 1 元，每天的销售 量就减少 20 件 设销售单价定为 x 元据此规律，请回答： （1）商店日销售量减少 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）针对这种小商品的销售情况，该
9、商店要保证每天盈利 640 元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售 单价应定为多少元？ 26 （12 分）如图，二次函数 yax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0） （1）求 a，b 的值； （2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2x6） ，写出四边形 OACB 的 面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 27 （12 分）已知抛物线 ya（x3）2+（a0）过点 C（0，4） ，顶点为 M，与 x 轴交于 A，B 两点如 图所示以 AB 为直径作圆，记作D （1）试判断点 C 与D 的位置关系； （2）直线 CM
10、 与D 相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点 E，能使四边形 ADEC 为平行四边形 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 8 小题）小题） 1下列函数中是二次函数的是（ ） Ay4x2+1 By4x+1 Cy Dy+1 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次 函数可得 y4x2+1 是二次函数 【解答】解：A、y4x2+1 是二次函数，故此选项正确； B、y4x+1 是一次函数，故此选项错误； C、y是反比例函数，故此选项错误； D、y+1 不是二次函数，故此选项错
11、误； 故选：A 2从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（ ） A抽到“大王” B抽到“Q” C抽到“小王” D抽到“红桃” 【分析】利用概率公式计算出各事件的概率，然后进行判断 【解答】解：从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，抽到“A”的概率为， 从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，抽到“Q”的概率为 故选：B 3某班要从 9 名百米跑成绩各不相同的同学中选 4 名参加 4100 米接力赛，而这 9 名同学只知道自己的 成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布这 9 名同学成绩的（ ） A中位数 B众数 C方差 D平均数 【分析】9 人成绩的中位数
12、是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 4 名，只需要了解自 己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数 故选：A 4用半径为 60，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A10 B20 C30 D40 【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2r， 解得 r20 故选：B 5把二次函数 y3x2的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函数表达 式是（ ） Ay3（
13、x+2）2+1 By3（x+2）21 Cy3（x2）21 Dy3（x2）2+1 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题 【解答】解：二次函数 y3x2的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位， y3（x2）21 故选：C 6在同一坐标系中一次函数 yax+b 和二次函数 yax2+bx 的图象可能为（ ） A B C D 【分析】可先由一次函数 yax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 yax2+bx 的图象相比较看 是否一致 【解答】解：A、由抛物线可知，a0，x0，得 b0，由直线可知，a0，b0，正确； B、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，错误； C、
14、由抛物线可知，a0，x0，得 b0，由直线可知，a0，b0，错误； D、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，错误 故选：A 7如图，点 A、B、C 在O 上，过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 P，B30，OP3，则 AP 的长为（ ） A3 B C D 【分析】连接 OA，根据圆周角定理求出AOP，根据切线的性质求出OAP90，解直角三角形求出 AP 即可 【解答】解： 连接 OA， B30， AOC2B60， 过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 P， OAP90， OP3， APOPsin603， 故选：D 8如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且AC
15、B30，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点， 直线 EF 与O 交于 G、H 两点，若O 的半径为 8，则 GE+FH 的最大值为（ ） A8 B12 C16 D20 【分析】连接 OA、OB，根据圆周角定理，求出AOB2ACB60，进而判断出AOB 为等边三角 形；然后根据O 的半径为 8，可得 ABOAOB8，再根据三角形的中位线定理，求出 EF 的长度； 最后判断出当弦 GH 是圆的直径时，它的值最大，进而求出 GE+FH 的最大值是多少即可 【解答】解：连接 OA、OB，如图所示： ACB30， AOB2ACB60， OAOB， AOB 为等边三角形， O 的半径为 8， ABOA
16、OB8， 点 E，F 分别是 AC、BC 的中点， EFAB4， 要求 GE+FH 的最大值，即求 GE+FH+EF（弦 GH）的最大值， 当弦 GH 是圆的直径时，它的最大值为：8216， GE+FH 的最大值为：16412 故选：B 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 10 小题）小题） 9一组数据：5、4、3、4、6、8，这组数据的极差是 14 【分析】根据极差的定义，用一组数据中的最大值减去最小值即可求得 【解答】解：由题意可知，极差是 6（8）14 故答案为：14 10一组数据：5、4、3、2、1，这组数据的方差是 2 【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根
17、据方差的公式计算即可 【解答】解：这组数据的平均数是：（54321）3， 则组数据的方差是（5+3）2+（4+3）2+（3+3）2+（2+3）2+（1+3）22 故答案为：2 11已知圆的一条弦把圆周分成 1：3 两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 45或 135 【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成 1：3 两部分，求得AOB 的度数，又 由圆周角定理，求得ACB 的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得ADB 的度数，继而可 求得答案 【解答】解：弦 AB 把O 分成 1：3 两部分， AOB36090， ACBAOB45， 四边形 ADBC 是O 的内接四边形
18、， ADB180ACB135 这条弦所对的圆周角的度数是：45或 135 故答案为：45或 135 12已知二次函数 yx2，当2x3，y 的取值范围是 9y0 【分析】先根据 a 判断出抛物线的开口向下，故有最大小值，对称轴 x0，然后根据当2x3 时， 在对称轴的两侧，代入求得最小值求得答案即可 【解答】解：二次函数 yx2中 a10， 抛物线开口向下，有最大值为 0，抛物线的对称轴为 y 轴， 当2x3 时，对应图象在对称轴的两侧， 当 x2 时，y4， 当 x3 时，y9 当2x3，y 的取值范围是9y0， 故答案为9y0 13已知函数 y（m+1）x24x+2（m 是常数）的图象与
19、x 轴只有一个交点，则 m 1 【分析】此题要分两种情况进行讨论： （1）当 m+10 时，此函数为一次函数，图象与 x 轴只有一个交 点； （2）当 m+10 时，此函数为二次函数，当0 时，图象与 x 轴只有一个交点，分别计算即可 【解答】解： （1）当 m+10 时，直线 y4x+2 与 x 轴只有一个交点，则 m1； （2）当 m+10 时，图象与 x 轴只有一个交点则 （4）24（m+1）20， 168m80， 8m+80， m1， 故答案为：1 14如果 m 是一元二次方程 x23x20 的一个根，那么 6m2m2的值是 4 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到 m23m2，再把
20、 6m2m2变形为2（m23m） ，然后利 用整体代入的方法计算 【解答】解：m 为一元二次方程 x23x20 的一个根 m23m20， 即 m23m2， 6m2m22（m23m）224 故答案为：4 15ABC 中，ABAC10，BC12，则ABC 的内切圆的半径长为 3 【分析】设ABC 的内切圆为O，切点分别为 E，D，F，AD 为 BC 边上的高，根据勾股定理得到 AD 8，根据三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：设ABC 的内切圆为O，切点分别为 E，D，F，AD 为 BC 边上的高， ABAC10，BC12， AD8， 则ADBCr（AB+AC+BC） 812r（10+10+
21、12） ， 解得：r3 故答案为：3 16ABC 中，点 O 是它的内心且ACB50，则AOB 115 【分析】如图，根据三角形内心性质得到OABBAC，OBAABC，然后根据三角形内角和 得到AOB90+ACB 【解答】解：如图， 点 O 是它的内心， OA 平分BAC，OB 平分ABC， OABBAC，OBAABC， AOB180OABOBA 180（BAC+ABC） 180（180ACB） 90+ACB 90+50 115 故答案为 115 17关于 x 的方程 ax2+bx+20 的两根为 x12，x23则方程 a（x1）2+b（x1）+20 的两根分别为 x13，x24 【分析】观察
22、给出的两个方程，得到 2、3 也是关于（x1）的方程 a（x1）2+b（x1）+20 的两个 根，求出 x 即可 【解答】解：两个方程的系数、结构相同， 所以 2、3 也是关于（x1）的方程 a（x1）2+b（x1）+20 的两个根， x12 或 x13， x13，x24 故答案为：x13，x24 18已知点 A（1，0） 、点 B（5，0） ，点 P 是该直角坐标系内的一个动点若点 P 在 y 轴的负半轴上，且 APB30，则满足条件的点 P 的坐标为 （0，2）或（0，2+） 【分析】利用圆周角定理可判断点 A、B、P 在以 C 点为圆心，CA 为半径的圆上，且ACB2APB 60，则 C
23、ACBAB4，C 交 y 轴于 P 和 P点，连接 CP，如图，作 CDAB 于 D，CEy 轴于 E，根据垂径定理得到得到 ADDB2，PEPE，所以 CD2，OD3，再利用勾股定理计算出 PE 得到 OP和 OP 的长，从而得到满足条件的点 P 的坐标 【解答】解：APB30， 点 A、B、P 在以 C 点为圆心，CA 为半径的圆上，且ACB2APB60， ABC 为等边三角形， CACBAB4， C 交 y 轴于 P 和 P点，连接 CP，如图， 作 CDAB 于 D，CEy 轴于 E，则 ADDB2，PEPE， AD2，CA4， CD2，ODOA+AD3， 在 RtPCE 中，PE，
24、OECD2， OP2，OP2+， P（0，2） ，P（0，2+） ， 满足条件的点 P 的坐标为（0，2）或（0，2+） 故答案为（0，2）或（0，2+） 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 19 （10 分）解方程： （1）x（x+4）3（x+4） （2） （x+3）22x+5 【分析】 （1）因式分解法求解可得； （2）整理成一般式后因式分解法求解可得 【解答】解： （1）x（x+4）+3（x+4）0， （x+4） （x+3）0， x+40 或 x+30， 解得：x4 或 x3； （2）整理成一般式得： （x+2）20， x2 20 （12 分） 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水
25、而丧失生命， 令人痛心疾首 今年某校为确保学生安全， 开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取 10 名学生的 竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，共分成四组：A80 x85，B85 x90，C90 x95，D95x100） ，下面给出了部分信息： 七年级 10 名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82 八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是：94，90，94 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差 5
26、2 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中 a，b，c 的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一 条理由即可） ； （3）该校七、八年级共 720 人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生 人数是多少？ 【分析】 （1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得 【解答】解： （1）a（120%10%）10040， 八年级 10 名学生的竞赛成绩的中位数是第 5 和第
27、6 个数据的平均数， b94； 在七年级 10 名学生的竞赛成绩中 99 出现的次数最多， c99； （2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为 92 分，但八年级的中 位数和众数均高于七年级 （3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生人数720468（人） ， 答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x90）的学生人数是 468 人 21 （10 分）将一副扑克牌中点数为“2” 、 “3” 、 “4” 、 “6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出 1 张牌，记 录下牌面点数为 x，再从余下的 3 张牌中抽出 1 张牌，记录下牌面点数为 y设点 P 的坐标为（x，y） （
28、1）请用表格或树状图列出点 P 所有可能的坐标 （2）求点 P 在抛物线 yx2+x 上的概率 【分析】 （1）利用画树状图展示所有 12 种等可能的结果数即可； （2）先找出点 P 在抛物线 yx2+x 上的情况数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数； （2）点 P 在抛物线 yx2+x 上的上的结果数为 1， 所以点 P 在抛物线 yx2+x 上的概率是 22 （10 分）已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边
29、长的直角三角形的周长 【分析】 （1）计算该方程的判别式，判断其符号即可； （2）把方程的根代入可求得 m 的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三边，则可 求得直角三角形的周长 【解答】 （1）证明： 方程 x2（m+2）x+（2m1）0， （m+2）24（2m1）m2+4m+48m+4m24m+4+4（m2）2+40， 方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：把 x1 代入方程可得 1（m+2）+2m10，解得 m2， 方程为 x24x+30，解得 x1 或 x3， 方程的另一根为 x3， 当边长为 1 和 3 的线段为直角三角形的直角边时，则斜边，此时直角三角形的周长 4
30、+， 当边长为 3 的直角三角形斜边时，则另一直角边2，此时直角三角形的周长4+2， 综上可知直角三角形的周长为 4+或 4+2 23 （10 分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5） ，且抛物线经过点 A（1，3） （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求ABC 的面积 【分析】 （1）设顶点式 ya（x3）2+5，然后把 A 点坐标代入求出 a 即可得到抛物线的解析式； （2）利用抛物线的对称性得到 B（5，3） ，再确定出 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为
31、ya（x3）2+5， 将 A（1，3）代入上式得 3a（13）2+5，解得 a， 抛物线的解析式为 y（x3）2+5， （2）A（1，3）抛物线对称轴为：直线 x3 B（5，3） ， 令 x0，y（x3）2+5，则 C（0，） ， ABC 的面积（51）（3）5 24 （10 分）已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB80，C 为O 上一点 （）如图，求ACB 的大小； （）如图，AE 为O 的直径，AE 与 BC 相交于点 D若 ABAD，求EAC 的大小 【分析】 （） 连接 OA、 OB，根据切线的性质得到OAPOBP90， 根据四边形内角和等于 360 计算； （）连接
32、CE，根据圆周角定理得到ACE90，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即 可 【解答】解： （）连接 OA、OB， PA，PB 是O 的切线， OAPOBP90， AOB360909080100， 由圆周角定理得，ACBAOB50； （）连接 CE， AE 为O 的直径， ACE90， ACB50， BCE905040， BAEBCE40， ABAD， ABDADB70， EACADBACB20 25 （10 分）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为 8 元据市场分析，销售单价定为 10 元时，每天 能售出 200 件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨 1
33、 元，每天的销售 量就减少 20 件 设销售单价定为 x 元据此规律，请回答： （1）商店日销售量减少 20（x10） 件，每件商品盈利 （x8） 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利 640 元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售 单价应定为多少元？ 【分析】 （1）根据题目的条件：销售单价每涨 1 元，每天的销售量就减少 20 件，填空即可；因为每件商 品的成本为 8 元，所以每件商品盈利（x8）元； （2）由利润每件利润销售数量建立方程求出其解即可 【解答】解： （1）销售单价每涨 1 元，每天的销售量就减少 20 件， 商店日销售量减少
34、20（x10）件， 每件商品的成本为 8 元 每件商品盈利为（x8）元， 故答案为：20（x10） （x8） ； （2）由题意可得： （x8）20020（x10）640， 解得：x112 x216（舍） 答：该商店要保证每天盈利 640 元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为 12 元 26 （12 分）如图，二次函数 yax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0） （1）求 a，b 的值； （2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2x6） ，写出四边形 OACB 的 面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 【分析
35、】 （1）把 A 与 B 坐标代入二次函数解析式求出 a 与 b 的值即可； （2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0） ，连接 CD，过 C 作 CEAD，CFx 轴，垂足分别 为 E，F，分别表示出三角形 OAD，三角形 ACD，以及三角形 BCD 的面积，之和即为 S，确定出 S 关于 x 的函数解析式，并求出 x 的范围，利用二次函数性质即可确定出 S 的最大值，以及此时 x 的值 【解答】解： （1）将 A（2，4）与 B（6，0）代入 yax2+bx， 得，解得：； （2）如图，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D（2，0） ，连接 CD、CB，过 C 作 CEAD
36、，CFx 轴，垂足 分别为 E，F， SOADODAD244； SACDADCE4（x2）2x4； SBCDBDCF4（x2+3x）x2+6x， 则 SSOAD+SACD+SBCD4+2x4x2+6xx2+8x， S 关于 x 的函数表达式为 Sx2+8x（2x6） ， Sx2+8x（x4）2+16， 当 x4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 16 27 （12 分）已知抛物线 ya（x3）2+（a0）过点 C（0，4） ，顶点为 M，与 x 轴交于 A，B 两点如 图所示以 AB 为直径作圆，记作D （1）试判断点 C 与D 的位置关系； （2）直线 CM 与D 相切吗
37、？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点 E，能使四边形 ADEC 为平行四边形 【分析】 （1）求得 AD、CD 的长进行比较即可判定； （2）连接 CM、CD、MD，由勾股定理的逆定理判定CMD 为直角三角形来推知相切； （3）过点 C 作 CEAB，交抛物线于 E，如果 CEAD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四 边形即可判定 【解答】解： （1）抛物线 ya（x3）2+过点 C（0，4） ， 49a+， 解得：a， 抛物线的解析式为 y（x3）2+， 令 y0，则（x3）2+0，解得：x8 或 x2， A（2，0） ，B（8，0） ； AB10， AD5， OD3 C（0，4） ， CD5， CDAD， 点 C 在圆上； （2）如图，连接 CM、CD、MD， 由抛物线 ya（x3）2+，可知：M（3，） ， C（0，4） ，CDAD5，A（2，0） ， D（3，0） MC2（30）2+（4）2，MD2 CD2+MC2MD2 MCCD 又CD 是半径， 直线 CM 与D 相切； （3）不存在，理由如下： 如图，过点 C 作 CEAB，交抛物线于 E， C（0，4） ， 代入 y（x3）2+得：4（x3）2+， 解得：x0，或 x6， CE6， ADCE， 四边形 ADEC 不是平行四边形
