1、2020-2021 学年四川省成都市天府新区二校联考九年级（上）期中数学试卷学年四川省成都市天府新区二校联考九年级（上）期中数学试卷 一一.选择题（共选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A Bax2+bx+c0 C3x22xy5y20 D （x1） （x+2）2 2口袋中有 14 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放 回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在 0.3，则白球的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 3下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A对角线相等的四边形是
2、矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形 C矩形的对角线互相垂直且平分 D矩形的对角线相等且互相平分 4一元二次方程 x2+4x5 配方后可变形为（ ） A （x+2）25 B （x+2）29 C （x2）29 D （x2）221 5已知 P 为线段 AB 的黄金分割点，且 APPB，则（ ） AAP2ABPB BAB2APPB CPB2APAB DAP2+BP2AB2 6 如图， 在ABC 中， 点 D 为 AB 上一点， DEBC 交 AC 于点 E， 点 F 在 BC 上， 连接 AF 交 DE 于点 G 则 下列比例式中错误的是（ ） A B C D 7如图，每个小正方形边长均为 1，则下
3、列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC 相似的是（ ） A B C D 8疫情期间，某口罩厂一月份的产量为 100 万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到 121 万 只，该厂二、三月份的月平均增长率为（ ） A12.1% B20% C21% D10% 9如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC6，BD8，点 P 是 BC 边上的一动点，则 AP 的最小值 为（ ） A4 B4.8 C5 D5.5 10如图，在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，DBC30，BADBDC90，E 为 BC 的中点，AE 与 BD 相交于点 F，若 CD2，则 BF 的长为（ ） A
4、 B C D 二二.填空题（共填空题（共 4 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）如果，那么的值等于 12 （4 分）若关于 x 的方程（a1）x70 是一元二次方程，则 a 13 （4 分）如图，在ABCD 中将ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处若B 60，AB6，则ADE 的周长为 14 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，若点 E 是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BF AE 于点 F，则 BF 的长为 三三.解答题（共解答题（共 6 小题，满分小题，满分 54 分）分） 15
5、 （12 分）解方程： （1）x24x50（用因式分解法解） ； （2）x24x+100（用公式法解） 16 （6 分）已知3（b+d+f0） ，且 k （1）求 k 的值； （2）若 x1，x2是方程 x23x+k20 的两根，求 x12+x22的值 17 （8 分）已知：ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标为 A（0，3） 、B（3，4） 、C（2，2） （正方形网 格中，每个小正方形边长为 1 个单位长度） （1）画出ABC 向下平移 4 个单位得到的A1B1C1； （2）以 B 为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC 位似，且位似比 2：1，直接写出 C2点坐标是 ；
6、 （3）A2BC2的面积是 平方单位 18 （8 分） 20 届年级组董老师为学校联欢会设计了一个 “配紫色” 游戏： 如图是两个可以自由转动的转盘， A盘被分成面积相等的几个扇形， B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120 同学们同时转动两个转盘， 如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏 （1）若小蕊同学转动一次 A 盘，求出她转出红色的概率； （2）若小津同学同时转动 A 盘和 B 盘，请通过列表或者树状图的方式，求出她赢得游戏的概率 19 （10 分）已知，如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，DEAC，CEDB，CE、DE 相交于 E 点 （1
7、）求证：四边形 DOCE 是矩形； （2）若四边形 DOCE 的面积是 3，AC+BD10，则求 AB 的长 20 （10 分）如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上的一点，AC 是其对角线，连接 AE，过点 E 作 EFAE，EF 交 AC 于点 M，EF 交 DC 于点 F，过点 B 作 BGAC 于点 G，BG 交 AE 于点 H （1）求证：ABEECF； （2）求证：AHCMBHEM； （3）若 E 是 BC 的中点，AB9，求 EM 的长 四填空题（共四填空题（共 5 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 4 分）分） 21 （4 分）如果关于 x 的方程 mx2+
8、2（m+1）x+m1 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 22 （4 分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字2，1，1，2把这四张卡片背面朝上， 随机抽取一张，记下数字为 m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为 n，则 ymx+n 不经过第 三象限的概率为 23 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm2m0（m0） ，当 m1、2、3、2020 时，相应的一元 二次方程的两个根分别记为 1、1，2、2，2020、2020，则+ 的值为 24 （4 分）如图，ABC 中，CEAB，BFAC，若A60，SAEF2，则 SABC 25 （4 分）在矩形 ABCD 中，连
9、结 AC，点 E 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 BAC 的路径运 动，运动时间为 t（秒） 过点 E 作 EFBC 于点 F，在矩形 ABCD 的内部作正方形 EFGH当 AB3， BC4 时，若直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分，t 的值为 五解答题（共五解答题（共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某商店将进货价为 8 元/件的商品按 10 元/件售出，每天可售 200 件，通过调查发现，该商品若 每件涨 0.5 元，其销量就减少 10 件 （1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为 700 元 （2）将售价定为多少元时，能使这天
10、利润最大？最大利润是多少元？ 27 （10 分）在矩形 ABCD 中，AB12，BC25，P 是线段 AB 上一点（点 P 不与 A，B 重合） ，将PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，CG，PG 分别交线段 AD 于 E，O （1）如图 1，若 OPOE，求证：AEPB； （2）如图 2，连接 BE 交 PC 于点 F，若 BECG 求证：四边形 BFGP 是菱形； 当 AE9，求的值 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 BC：yx+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，直线 AD 与 直线 BC 互相垂直，垂足为点 E，且 CD1 （1）求直线 AD
11、 解析式 （2）点 P 从点 B 出发沿线段 BO 方向以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，设AEP 的面积为 S，运动 时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围 （3）在（2）的条件下，点 P 运动的同时点 Q 从 C 点出发沿射线 CO 方向以 3 个单位/秒的速度运动， 当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动，过点 P 作 x 轴垂线交 BC 于点 F，连接 FQ 和 EQ，平面内是否存 在一点 M，使得以点 E，Q，F，M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形？若存在，求出此时 t 值和 M 点 坐标；若不存在，说明理由 参考答案与试题解析参考
12、答案与试题解析 一一.选择题（共选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列方程中是一元二次方程的是（ ） A Bax2+bx+c0 C3x22xy5y20 D （x1） （x+2）2 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0 【解答】解：A、它不是方程，故本选项不符合题意 B、当 a0 时，它不是关于 x 的一元二次方程，故本选项不符合题意 C、该方程中含有 2 个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意 D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意
13、故选：D 2口袋中有 14 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放 回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在 0.3，则白球的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据白球的频率稳定在 0.3 附近得到白球的概率约为 03，根据概率的意义即可求出答案 【解答】解：设袋中白球有 x 个，根据题意得：0.3， 解得：x6， 经检验：x6 是分式方程的解， 故选：B 3下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形 C矩形的对角线互相垂直且平分 D矩形的对角线相等且互相平分 【分析】根据定义有一个角是直角的
14、平行四边形叫做矩形矩形的性质： 1矩形的四个角都是直角 2矩形的对角线相等 3矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 4矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线） 5对边平行且相等 6对角线互相平分，对各个选项进行分析即可 【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误； B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误； C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误； D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确 故选：D 4一元二次方程 x2+4x5 配方后可变形为（ ） A （x+2）25 B （x+2）
15、29 C （x2）29 D （x2）221 【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得 【解答】解：x2+4x5， x2+4x+45+4，即（x+2）29， 故选：B 5已知 P 为线段 AB 的黄金分割点，且 APPB，则（ ） AAP2ABPB BAB2APPB CPB2APAB DAP2+BP2AB2 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割 叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比 【解答】解：P 为线段 AB 的黄金分割点，且 APPB， PB2APAB 故选：C 6 如图， 在ABC 中， 点 D 为 AB 上一点， DEBC 交 AC
16、 于点 E， 点 F 在 BC 上， 连接 AF 交 DE 于点 G 则 下列比例式中错误的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定推出AEGACF，ADGABF，ADEABC，再根据相似三 角形的性质得出比例式即可 【解答】解：A、DEBC， ADEABC， ， 正确，故本选项不符合题意； B、DGBF， ADGABF， ， 正确，故本选项不符合题意； C、GECF， AEGACF， ， ， 正确，故本选项不符合题意； D、， 错误，故本选项符合题意； 故选：D 7如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC 相似的是（ ） A B C D 【分析
17、】根据网格中的数据求出 AB，AC，BC 的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相 似判断即可 【解答】解：由勾股定理得：AB，BC2，AC， AC：BC：AB1：， A、三边之比为 1：2，图中的三角形（阴影部分）与ABC 不相似； B、三边之比：1：，图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似； C、三边之比为：3，图中的三角形（阴影部分）与ABC 不相似； D、三边之比为 2：，图中的三角形（阴影部分）与ABC 不相似 故选：B 8疫情期间，某口罩厂一月份的产量为 100 万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到 121 万 只，该厂二、三月份的月平均增长率为（ ） A12
18、.1% B20% C21% D10% 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该厂二、三月份的月平均增长率 【解答】解：设二、三月份的月平均增长率为 x，由题意得， 100（1+x）2121， 解得，x10.1，x22.2（舍去） ， 即该厂二、三月份的月平均增长率是 10% 故选：D 9如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC6，BD8，点 P 是 BC 边上的一动点，则 AP 的最小值 为（ ） A4 B4.8 C5 D5.5 【分析】由垂线段最短，可得 APBC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求 BC 的长，由菱 形的面积公式可求解 【解答】解：设 AC 与
19、 BD 的交点为 O， 点 P 是 BC 边上的一动点， APBC 时，AP 有最小值， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCOAC3，BODOBD4， BC5， S菱形ABCDACBDBCAP， AP4.8， 故选：B 10如图，在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，DBC30，BADBDC90，E 为 BC 的中点，AE 与 BD 相交于点 F，若 CD2，则 BF 的长为（ ） A B C D 【分析】连接 DE，根据直角三角形的性质求出 BC，根据勾股定理求出 BD，再求出 AB，根据 DEAB， 得到，把已知数据代入计算，得到答案 【解答】解：连接 DE， BDC
20、90，CBD30，CD2， BC2CD4， 由勾股定理得，BD2， E 是 BC 的中点， DEBCBE2， BDECBD30， 对角线 BD 平分ABC， ABDCBDBDE， DEAB， ， 在 RtABD 中，ABD30， ADBD， AB3， ，即， 解得，BF 故选：C 二二.填空题（共填空题（共 4 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）如果，那么的值等于 3 【分析】直接利用已知得出 x，y 之间的关系进而得出答案 【解答】解：， 3x3y2x， 故 x3y 3 故答案为：3 12 （4 分）若关于 x 的方程（a1）x70 是一元二次方
21、程，则 a 1 【分析】根据一元二次方程的定义列式计算，得到答案 【解答】解：方程（a1）xa2+170 是一元二次方程， a2+12，a10， 解得，a1， 故答案为：1 13 （4 分）如图，在ABCD 中将ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处若B 60，AB6，则ADE 的周长为 36 【分析】根据平行四边形的性质和翻折的性质可得ADE 是等边三角形，且边长为 12，进而可得ADE 的周长 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC6，BD60， 由折叠可知： CDCE6， DE12， ADAE，D60， ADE 是等边三角形， ADE 的
22、周长为 36 故答案为：36 14 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，若点 E 是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BF AE 于点 F，则 BF 的长为 【分析】先根据矩形的性质得到 CDAB4，ADBC6，BADD90，求得 DE2，再根据 勾股定理得到 AE2，然后证明ABFAED，列比例式即可解得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB4，ADBC6，BADD90，ABCD， BAFAED， E 是边 CD 的中点， DECD2， AE2， BFAE， BFA90D， ABFEAD， ， 即， 解得：BF， 故答案为： 三三.解答题（共解答题
23、（共 6 小题，满分小题，满分 54 分）分） 15 （12 分）解方程： （1）x24x50（用因式分解法解） ； （2）x24x+100（用公式法解） 【分析】 （1）十字相乘法因式分解，再求解即可； （2）写出 a、b、c 的值，然后利用求根公式法求解 【解答】解： （1）因式分解得， （x5） （x+1）0， 由此得，x50，x+10， 所以，x15，x21； （2）a1，b4，c10， b24ac（4）2411048408， x2， x12+，x22 16 （6 分）已知3（b+d+f0） ，且 k （1）求 k 的值； （2）若 x1，x2是方程 x23x+k20 的两根，求 x1
24、2+x22的值 【分析】 （1）根据等式的性质可得：a3b，c3d，e3f，代入 k可得结论； （2） 根据根与系数的关系得到 x1+x23， x1x2k2， 然后变形 x12+x22 （x1+x2） 22x1x2， 再把 x1+x2 3，x1x2k2 整体代入计算即可 【解答】解： （1）3（b+d+f0） ， a3b，c3d，e3f k3； （2）x1，x2是方程 x23x+k20 的两根， x1+x23，x1x2k2， x12+x22（x1+x2）22x1x2322（k2）92k+4132k1367 17 （8 分）已知：ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标为 A（0，3） 、B（3，4
25、） 、C（2，2） （正方形网 格中，每个小正方形边长为 1 个单位长度） （1）画出ABC 向下平移 4 个单位得到的A1B1C1； （2）以 B 为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC 位似，且位似比 2：1，直接写出 C2点坐标是 （1，0） ； （3）A2BC2的面积是 10 平方单位 【分析】 （1）利用平移的性质得出对应点坐标进而求出即可； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用A2BC2的形状求出其面积即可 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0） ； （3）A2
26、BC2的面积位为：（2）210 平方单位 故答案为：10 18 （8 分） 20 届年级组董老师为学校联欢会设计了一个 “配紫色” 游戏： 如图是两个可以自由转动的转盘， A盘被分成面积相等的几个扇形， B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120 同学们同时转动两个转盘， 如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏 （1）若小蕊同学转动一次 A 盘，求出她转出红色的概率； （2）若小津同学同时转动 A 盘和 B 盘，请通过列表或者树状图的方式，求出她赢得游戏的概率 【分析】 （1）根据概率公式直接求解即可； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能
27、的结果，由表格求得她赢的情况，然后利 用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）A 盘被分成面积相等的 3 个扇形，分别是红、黄、蓝， 小蕊转出红色的概率是； （2）B 盘中蓝色扇形区域所占的圆角是 120， 蓝色区域占整体的， 红色区域占整体的， 根据题意列表如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中她赢得游戏的有 3 种等可能结果， 则她赢得游戏的概率是 19 （10 分）已知，如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，DEAC，CEDB，CE、D
28、E 相交于 E 点 （1）求证：四边形 DOCE 是矩形； （2）若四边形 DOCE 的面积是 3，AC+BD10，则求 AB 的长 【分析】 （1） 由两组对边平行， 得到四边形 DOCE 是平行四边形； 再由菱形对角线互相垂直， 得到DOC 为直角，得出四边形 DOCE 是矩形； （2）设 ODx，OCy，由题意得，x+y5，xy3，x2+y2（x+y）22xy19，即可得出 AB 【解答】 （1）证明：DEAC，CEDB， 四边形 DOCE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， COD90， 四边形 DOCE 是矩形； （2）解：设 ODx，OCy， 四边形 ABCD
29、是菱形， OAOC，OBOD，ACBD， AC+BD10，四边形 DOCE 的面积是 3， x+y5，xy3， x2+y2（x+y）22xy522319， AB 20 （10 分）如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上的一点，AC 是其对角线，连接 AE，过点 E 作 EFAE，EF 交 AC 于点 M，EF 交 DC 于点 F，过点 B 作 BGAC 于点 G，BG 交 AE 于点 H （1）求证：ABEECF； （2）求证：AHCMBHEM； （3）若 E 是 BC 的中点，AB9，求 EM 的长 【分析】 （1） 由四边形 ABCD 是矩形， 可得ABEECF90， 又由 EFAE，
30、 利用同角的余角相等， 可得BAECEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABEECF； （2）由 BGAC，易证得ABHECM，又由（1）中BAHCEM，即可证得ABHECM， 根据相似三角形的性质即可求得结论； （3）首先作 MRBC，垂足为 R，通过三角形相似求得 RM，由，即可求得 EM 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABEECF90 AEEF，AEB+FEC90 AEB+BAE90， BAECEF， ABEECF （2）证明：BGAC， ABG+BAG90， ABHECM， 由（1）知，BAHCEM， ABHECM； ， ， AHCMBH
31、EM （3）解：作 MRBC，垂足为 R， ，AB9， BC12， E 是 BC 的中点， BEEC6， ABEECF， ，即， CF4， CDRMAB， ERMECF，CRMCBA， ，即， RM， ， ， ， ABEECF， ， ， EMRM 四填空题（共四填空题（共 5 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 4 分）分） 21 （4 分）如果关于 x 的方程 mx2+2（m+1）x+m1 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 m1 且 m 0 【分析】 由二次项系数非零及根的判别式0， 即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围 【解答】解：原方程可变
32、形为 mx2+2（m+1）x+m+10 该方程有两个实数根， ， m1 且 m0 故答案为：m1 且 m0 22 （4 分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字2，1，1，2把这四张卡片背面朝上， 随机抽取一张，记下数字为 m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为 n，则 ymx+n 不经过第 三象限的概率为 【分析】 用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果数， 再根据直线不过第三象限， 得出 m0， n0， 从中找出符合条件的结果，用概率公式进行计算即可 【解答】解：用列表法表示 m、n 所有可能出现的情况如下： 直线 ymx+n 不经过第三象限，即直线经过一、二、四象限， m
33、0，n0， P直线ymx+n不经过第三象限， 故答案为： 23 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm2m0（m0） ，当 m1、2、3、2020 时，相应的一元 二次方程的两个根分别记为 1、1，2、2，2020、2020，则+ 的值为 【分析】 利用根与系数的关系得到 1+12， 1112； 2+22， 2223； 2020+2020 2，2020202120202021把原式变形，再代入，即可求出答案 【解答】解：x2+2xm2m0，m1，2，3，2020， 由根与系数的关系得：1+12，1112；2+22，2223；2020+20202， 2020202120202021；
34、 原式+ + 2（1+）2（1） 故答案为： 24 （4 分）如图，ABC 中，CEAB，BFAC，若A60，SAEF2，则 SABC 8 【分析】 先求出ABFACE30， 求出2， 根据相似三角形的判定得出AEFACB， 再根据相似三角形的性质得出即可 【解答】解：CEAB，BFAC， AECAFB90， A60， ABFACE30， AEAC，AFAB， 2， AA， AEFACB， （）2， SAEF2， SABC8， 故答案为：8 25 （4 分）在矩形 ABCD 中，连结 AC，点 E 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 BAC 的路径运 动，运动时间为 t（秒） 过点
35、E 作 EFBC 于点 F，在矩形 ABCD 的内部作正方形 EFGH当 AB3， BC4 时，若直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分，t 的值为 或或或 6 【分析】分四种情形分别求解：如图 1 中，延长 AH 交 BC 于 M，当 BMCM2 时，直线 AH 将矩 形 ABCD 的面积分成 1： 3 两部分如图 2 中， 延长 AH 交 CD 于 M 交 BC 的延长线于 K， 当 CMDM 时，直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分如图 3 中，当点 E 在线段 AC 上时，延长 AH 交 CD 于 M，交 BC 的延长线于 N当 CMDM 时，直线
36、 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分如图 4，当 E 点 AC 上，且正方形 EFGH 在 AC 的左边时，根据题意求解即可 【解答】解：如图 1，设直线 AH 交 BC 于 M， 当 BMCM4 时， 直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1： 3 两部分 EHBM， ， ， t 如图 2，设直线长 AH 交 CD 于 M 交 BC 的延长线于 K，当 CMDM 时，直线 AH 将矩形 ABCD 的面积 分成 1：3 两部分， DMCK90，AMDKMC， ADMKCM（ASA） ， ADCK4， EHBK， ， ， t 如图 3，当点 E 在线段 AC 上时，设直线 A
37、H 交 CD 于 M，交 BC 的延长线于 N当 CMDM 时，直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分， DMCN90，AMDNMC， ADMNCM（ASA） ， ADCN4 在 RtABC 中，AC5， EFAB， ， ， EF（8t） ， EHCN， ， ， 解得 t 如图 4，当 E 点 AC 上，且正方形 EFGH 在 AC 的左边时， 由， ， 解得 t6 综上所述，满足条件的 t 的值或或或 6 故答案为：或或或 6 五解答题（共五解答题（共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 26 （8 分）某商店将进货价为 8 元/件的商品按 10 元/件售出，每天可售 2
38、00 件，通过调查发现，该商品若 每件涨 0.5 元，其销量就减少 10 件 （1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为 700 元 （2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）每件涨 0.5 元，其销量就减少 10 件那么涨价 1 元，销量就减少 20 件 设涨价 x 元，每件的利润10+涨价的价格8，销售量为： （20020 x）件，利润每件的利润相应的 数量，把相关数值代入计算即可； （2）根据（1）得到的利润配方整理为 a（xh）2+k 可得应涨价的价格和最大利润 【解答】解： （1）设涨价 x 元， （10+x8）（20020 x）700， 解得
39、 x13，x25， 此时的售价为 10+313 或 10+515， 答：售价为 13 元或 15 元时，每天的利润可得到 700 元； （2）利润为： （10+x8）（20020 x）20 x2+160 x+40020（x4）2+720， a20， 当涨价 4 元时即售价为 14 元时，利润最大，为 720 元 27 （10 分）在矩形 ABCD 中，AB12，BC25，P 是线段 AB 上一点（点 P 不与 A，B 重合） ，将PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，CG，PG 分别交线段 AD 于 E，O （1）如图 1，若 OPOE，求证：AEPB； （2）如图 2，连接
40、 BE 交 PC 于点 F，若 BECG 求证：四边形 BFGP 是菱形； 当 AE9，求的值 【分析】 （1）由折叠的性质可得 PBPG，BG90，由“AAS”可证AOPGOE，可得 OA GO，即可得结论； （2）由折叠的性质可得PGCPBC90，BPCGPC，BPPG，BFFG，由平行线的性 质可得BPFBFPGPC，可得 BPBF，即可得结论； 由勾股定理可求 BE 的长，EC 的长，由相似三角形的性质可得，可求 BFBP5x，由 勾股定理可求 PC 的长，即可求解 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是矩形 ABCD，ADBC，ADBC，AB90 将PBC 沿直线 PC 折叠，
41、PBPG，BG90 AOPGOE，OPOE，AG90 AOPGOE（AAS） AOGO AO+OEGO+OP AEGP， AEPB， （2）BPC 沿 PC 折叠得到GPC， PGCPBC90，BPCGPC，BPPG，BFFG BECG， BEPG， GPFPFB， BPFBFP， BPBF BPBFPGGF 四边形 BFGP 是菱形； AE9，CDAB12，ADBCGC25， DEADAE16，BE15， 在 RtDEC 中，EC20 BEPG CEFCGP 设 EF4x，PG5x， BFBPGF5x， BF+EFBE15 9x15 x BFBP5x， 在 RtBPC 中，PC 28 （12
42、 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 BC：yx+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，直线 AD 与 直线 BC 互相垂直，垂足为点 E，且 CD1 （1）求直线 AD 解析式 （2）点 P 从点 B 出发沿线段 BO 方向以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，设AEP 的面积为 S，运动 时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围 （3）在（2）的条件下，点 P 运动的同时点 Q 从 C 点出发沿射线 CO 方向以 3 个单位/秒的速度运动， 当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动，过点 P 作 x 轴垂线交 BC 于点 F，连接 FQ 和 EQ
43、，平面内是否存 在一点 M，使得以点 E，Q，F，M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形？若存在，求出此时 t 值和 M 点 坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）求出点 D 的坐标，根据两直线垂直 K 的乘积为1 即可解决问题； （2）根据题意画出图形，易得出点 E 的坐标，最后根据三角形面积公式即可得出答案； （3）易知 E（，） ，Q（0，33t） ，F（3t，t） ，当 EQEF 时，使得以点 E、Q、F、M 为顶 点且以 EQ 为边的四边形是菱形；当 EQQF 时，使得以点 E、Q、F、M 为顶点且以 EQ 为边的四边 形是菱形 【解答】解： （1）直线 BC：yx+3 交 x
44、 轴于点 B，交 y 轴于点 C， B（3，0） ，C（0，3） ， CD1， OD4，D（0，4） ， ADBC， 直线 AD 的解析式为 yx+4 （2）如图所示， 由 yx+3 和 yx+4 可得点 E 的坐标为（，） ， P（3t，0） ，A（4，0） ，AEP 的高是， SAEPAP（4+3t）t+（0t3） ； （3）如图所示， 则 E（，） ，Q（0，33t） ，F（3t，t） ， 当 EQEF 时，使得以点 E、Q、F、M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形； 则（）2+（+3t）2（t）2+（t）2， 解得：t1 或（舍去） ， Q（0，0） ，F（2，1） ，E（，） ，设 M（m，n） ， 则有， 解得， M（，） ； 当 EQQF 时，使得以点 E、Q、F、M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形， 则（）2+（+3t）2（3t）2+（4t3）2， 解得：t或（舍去） ， 同法可得点 M 的坐标为（，3） 综上所述，t11，M1（，） ；t21，M2（，3）
