1、2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）已知 2x3y（y0） ，则下面结论成立的是（ ） A B C D 2 （3 分）抛物线 y3x23 向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） Ay3（x3）23 By3x2 Cy3（x+3）23 Dy3x26 3 （3 分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体 的个数，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 4 （3
2、 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则BEF 与DCF 的面积 比为（ ） A B C D 5 （3 分）已知坐标平面上有一直线 L，其方程式为 y+20，且 L 与二次函数 y3x2+a 的图形相交于 A，B 两点；与二次函数 y2x2+b 的图形相交于 C，D 两点，其中 a、b 为整数若 AB2，CD4则 a+b 之值为何？（ ） A1 B9 C16 D24 6 （3 分）在三角形纸片 ABC 中，AB8，BC4，AC6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角 形与ABC 相似的是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，在平面直角
3、坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（，1） ， （3，1） ， （3，0） ，点 A 为 线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 ABAC 交 y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随 之运动，设点 B 的坐标为（0，b） ，则 b 的取值范围是（ ） Ab1 Bb1 Cb Db1 8 （3 分）如图，A，B，C，D 是O 上的四个点，B 是的中点，M 是半径 OD 上任意一点若BDC 40，则AMB 的度数不可能是（ ） A45 B60 C75 D85 9 （3 分）如图所示，AB 是O 的直径，AM、BN 是O 的两条切线，D、C 分别在 AM、BN 上
4、，DC 切O 于点 E，连接 OD、OC、BE、AE，BE 与 OC 相交于点 P，AE 与 OD 相交于点 Q，已知 AD4，BC9， 以下结论： O 的半径为；AODBCP；PB；tanCEP 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，tanBAC2，A（0，a） ，B（b，0） ，点 C 在第二象限， BC 与 y 轴交于点 D（0，c） ，若 y 轴平分BAC，则点 C 的坐标不能表示为（ ） A （b+2a，2b） B （b2c，2b） C （bc，2a2c） D （ac，2a2c） 二、填空题： （每小题二、
5、填空题： （每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）一个三角形的三边之比为 3：6：4，与它相似的三角形的周长为 39cm，则与它相似的三角形的 最长边为 12（4 分） 如图， 把一个圆锥沿母线 OA 剪开， 展开后得到扇形 AOC， 已知圆锥的高 h 为 12cm， OA13cm， 则扇形 AOC 中的长是 cm（计算结果保留 ） 13 （4 分）如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB、OD，若BODBCD，则弧 BD 的长为 14 （4 分）如图所示，已知ABC 中，BC12，BC 边上的高 h6，D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于 点
6、 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x则DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为 15 （4 分）如图所示的 55 的方格纸中，如果想作格点ABC 与OAB 相似（相似比不能为 1） ，则 C 点 坐标为 16 （4 分）已知二次函数 yax2bx+2（a0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0） ，则 a 的取值范围 是 ；若 a+b 的值为非零整数，则 b 的值为 三三.解答题（共解答题（共 66 分）分） 17由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上实验任务如图， 航母由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 C 位于
7、它的北偏东 70方向，且与航母距 80 海里，再航行 一段时间后到达 B 处，测得小岛 C 位于它的北偏东 37方向如果航母继续航行至小岛 C 的正南方向 的 D 处求还需航行的距离 BD 的长参考数据：sin700.94，cos70034，tan702.75，sin37 0.6，cos370.80，tan370.75） 18如图，一块等腰三角形钢板的底边长为 80cm，腰长为 50cm （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径； （2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少 cm？ 19如图，O 为ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出一条弦
8、， 使这条弦将ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图 1，ACBC； （2）如图 2，直线 l 与O 相切于点 P，且 lBC 20如图，在ABC 中，ABAC，点 E 在边 BC 上移动（点 E 不与点 B，C 重合） ，满足DEFB，且 点 D、F 分别在边 AB、AC 上 （1）求证：BDECEF； （2）当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分DFC 21已知抛物线 yax2+bx+c （1）若 a3，b2，c1，求该抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若 a，c2+b 且抛物线在2x2 区间上的最小值是3，求 b 的值 22在一空旷场地上设计一落
9、地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC10m，拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定 在 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 S（m2） （1）如图 1，若 BC4m，则 S m2 （2）如图 2，现考虑在（1）中的矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落 地为五边形 ABCED 的小屋，其他条件不变，则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，求边 BC 的长 及 S 的最小值 23如图，已知线段 AB2，MNAB 于点 M，且 AMBM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA， PB 的中点，过点 A，M，D 的圆
10、与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上） ，连结 AC，DE （1）当APB30时，求B 的度数； （2）求证：AB2BCPB； （3）在点 P 的运动过程中，当 MP4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这 三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值 2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）已知 2x3
11、y（y0） ，则下面结论成立的是（ ） A B C D 【分析】根据等式的性质，可得答案 【解答】解：A、两边都除以 2y，得，故 A 符合题意； B、两边除以不同的整式，故 B 不符合题意； C、两边都除以 2y，得，故 C 不符合题意； D、两边除以不同的整式，故 D 不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键 2 （3 分）抛物线 y3x23 向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） Ay3（x3）23 By3x2 Cy3（x+3）23 Dy3x26 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可 【解答】解：y3x23
12、 向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为 y3（x3）23， 故选：A 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 3 （3 分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体 的个数，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】由已知条件可知，左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 3，1，右边 1 列小正方形在下，据 此可得出图形，从而求解 【解答】解：观察图形可知，该几何体的左视图是 故选：A 【点评】 本题考查由三视图判断几何体， 简单组合体的三视图 由几何体的俯视图及小正方形内的数字， 可
13、知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数 字左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大 数字 4 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则BEF 与DCF 的面积 比为（ ） A B C D 【分析】根据平行四边形的性质得到 ABCD，根据相似三角形的判定定理得到BFEDFC，根据 相似三角形的性质计算 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BFEDFC， BEF 与DCF 的面积比（）2（）2， 故选：C 【点评】本题
14、考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相 似比的平方是解题的关键 5 （3 分）已知坐标平面上有一直线 L，其方程式为 y+20，且 L 与二次函数 y3x2+a 的图形相交于 A，B 两点；与二次函数 y2x2+b 的图形相交于 C，D 两点，其中 a、b 为整数若 AB2，CD4则 a+b 之值为何？（ ） A1 B9 C16 D24 【分析】判断出 A、C 两点坐标，利用待定系数法求出 a、b 即可； 【解答】解：如图， AB2，CD4，抛物线关于 y 轴对称， 可得 A（1，2） ，C（2，2） ， 分别代入 y3x2+a，y2x2+b 可得 a5
15、，b6， a+b1， 故选：A 【点评】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出 A、C 两点坐标是解决问题的关键 6 （3 分）在三角形纸片 ABC 中，AB8，BC4，AC6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角 形与ABC 相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案 【解答】解：三角形纸片 ABC 中，AB8，BC4，AC6 A、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 不相似，故此选 项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 不相似，故此选项错 误； C、，对应边，则沿
16、虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 不相似，故此选 项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 相似，故此选项 正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形 相似是解题关键 7 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（，1） ， （3，1） ， （3，0） ，点 A 为 线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 ABAC 交 y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随 之运动，设点 B 的坐标为（0，b） ，则 b 的取值范围是（ ） Ab1 Bb1 Cb
17、Db1 【分析】延长 NM 交 y 轴于 P 点，则 MNy 轴连接 CN证明PABNCA，得出，设 PA x，则 NAPNPA3x，设 PBy，代入整理得到 y3xx2（x）2+，根据二次函数的 性质以及x3，求出 y 的最大与最小值，进而求出 b 的取值范围 【解答】解：如图，延长 NM 交 y 轴于 P 点，则 MNy 轴连接 CN 在PAB 与NCA 中， ， PABNCA， ， 设 PAx，则 NAPNPA3x，设 PBy， ， y3xx2（x）2+， 10，x3， x时，y 有最大值，此时 b1， x3 时，y 有最小值 0，此时 b1， b 的取值范围是b1 故选：B 【点评】本
18、题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出 y 与 x 之间的函数解析式是解题 的关键 8 （3 分）如图，A，B，C，D 是O 上的四个点，B 是的中点，M 是半径 OD 上任意一点若BDC 40，则AMB 的度数不可能是（ ） A45 B60 C75 D85 【分析】根据圆周角定理求得AOB 的度数，则AOB 的度数一定不小于AMB 的度数，据此即可判 断 【解答】解：B 是的中点， AOB2BDC80， 又M 是 OD 上一点， AMBAOB80 则不符合条件的只有 85 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得AOB 的度数是关键 9 （3 分）如图所示
19、，AB 是O 的直径，AM、BN 是O 的两条切线，D、C 分别在 AM、BN 上，DC 切O 于点 E，连接 OD、OC、BE、AE，BE 与 OC 相交于点 P，AE 与 OD 相交于点 Q，已知 AD4，BC9， 以下结论： O 的半径为；AODBCP；PB；tanCEP 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】作 DKBC 于 K，连接 OE，在 RtCDK 中，利用勾股定理求得 DK12，由此判断；可以 证明 AQQE，AOOB，由此得出结论判断；根据 PB计算即可判断；根据 tanCEP tanCBP计算即可判断 【解答】解：作 DKBC 于 K，连接
20、 OE AD、BC 是切线， DABABKDKB90， 四边形 ABKD 是矩形， DKAB，ADBK4， CD 是切线， DADE，CECB9， 在 RtDKC 中，DCDE+CE13，CKBCBK5， DK12， ABDK12， O 半径为 6故错误； DADE，OAOE， OD 垂直平分 AE，同理 OC 垂直平分 BE， AQQE， AOOB， ODBE， AODOBE， OBE+CBPOBC90， CBP+BCP90， OBEBCP， AODBCP， 故正确； 在 RtOBC 中，PB，故正确； CECB， CEBCBE， tanCEPtanCBP，故错误， 正确， 故选：B 【点评
21、】本题考查切线的性质、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角形中位线性质、直角三角形 斜边上的高的求法等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，熟练掌握切线长定理， 属于中考常考题型 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，tanBAC2，A（0，a） ，B（b，0） ，点 C 在第二象限， BC 与 y 轴交于点 D（0，c） ，若 y 轴平分BAC，则点 C 的坐标不能表示为（ ） A （b+2a，2b） B （b2c，2b） C （bc，2a2c） D （ac，2a2c） 【分析】作 CHx 轴于 H，AC 交 OH 于 F由CBHBAO，推出2，推出 BH 2
22、a，CH2b，推出 C（b+2a，2b） ，由题意可证CHFBOD，可得，推出，推出 FH2c，可得 C（b2c，2b） ，因为 2c+2b2a，推出 2b2a2c，bac，可得 C（ac， 2a2c） ，由此即可判断； 【解答】解：作 CHx 轴于 H，AC 交 OH 于 F tanBAC2， CBH+ABH90，ABH+OAB90， CBHBAO，CHBAOB90， CBHBAO， 2， BH2a，CH2b， C（b+2a，2b） ， 由题意可证CHFBOD， ， ， FH2c， C（b2c，2b） ， 2c+2b2a， 2b2a2c，bac， C（ac，2a2c） ， 故选：C 【点评】
23、本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）一个三角形的三边之比为 3：6：4，与它相似的三角形的周长为 39cm，则与它相似的三角形的 最长边为 18cm 【分析】由一个三角形的三边之比为 3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为 3：6：4，又由与它 相似的三角形的周长为 39cm，即可求得答案 【解答】解：一个三角形的三边之比为 3：6：4， 与它相似的三角形的三边之比为 3：6：4， 与它相似的
24、三角形的周长为 39cm， 与它相似的三角形的最长边为：3918（cm） 故答案为：18cm 【点评】此题考查了相似三角形的性质此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例 12（4 分） 如图， 把一个圆锥沿母线 OA 剪开， 展开后得到扇形 AOC， 已知圆锥的高 h 为 12cm， OA13cm， 则扇形 AOC 中的长是 10 cm（计算结果保留 ） 【分析】根据的长就是圆锥的底面周长即可求解 【解答】解：圆锥的高 h 为 12cm，OA13cm， 圆锥的底面半径为5cm， 圆锥的底面周长为 10cm， 扇形 AOC 中的长是 10cm， 故答案为：10 【点评】本题考查了圆锥的计算，解
25、题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度不大 13 （4 分）如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB、OD，若BODBCD，则弧 BD 的长为 2 【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出A60，得出BOD120，再由弧长公式即可 得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， BCD+A180， BOD2A，BODBCD， 2A+A180， 解得：A60， BOD120， 弧 BD 的长2； 故答案为 2 【点评】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆 周角定理，求出BOD120是解决问题的关键 14 （
26、4 分）如图所示，已知ABC 中，BC12，BC 边上的高 h6，D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于 点 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x则DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为 抛物线 的一部分 【分析】可过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似三角形的性质可求出 EF，进而求出函数关系 式，由此即可求出答案 【解答】解：过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H， EFBC， AEFABC， ， ， 即 EF2（6x） ， 所以 y2（6x）xx2+6x （0 x6） ， 该函数图象是抛物线的一部分， 故答案为：抛物线的一部分 【
27、点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图 能力要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义 得到正确的图象 15 （4 分）如图所示的 55 的方格纸中，如果想作格点ABC 与OAB 相似（相似比不能为 1） ，则 C 点 坐标为 （4，4）或（5，2） 【分析】要求ABC 与OAB 相似，因为相似比不为 1，由三边对应相等的两三角形全等，知OAB 的 边 AB 不能与ABC 的边 AB 对应，则 AB 与 AC 对应或者 AB 与 BC 对应并且此时 AC 或者 BC 是斜边， 分两种情况分析即可 【解答
28、】解：根据题意得：OA1，OB2，AB， 当 AB 与 AC 对应时，有或者， AC或 AC5， C 在格点上， AC（不合题意） ，则 AC5， C 点坐标为（4，4） ， 同理当 AB 与 BC 对应时， 可求得 BC或者 BC5， 也是只有后者符合题意， 此时 C 点坐标为 （5， 2） C 点坐标为（5，2）或（4，4） 故答案为： （4，4）或（5，2） 【点评】此题考查了相似三角形的判定以及直角三角形的性质注意分类讨论思想的应用 16 （4 分）已知二次函数 yax2bx+2（a0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0） ，则 a 的取值范围 是 2a0 ；若 a+b 的值为非零整
29、数，则 b 的值为 或 【分析】首先根据题意确定 a、b 的符号，然后进一步确定 a 的取值范围，根据 a+b 的值为非零整数确定 a、b 的值，从而确定答案 【解答】解：依题意知 a0，0，ab+20， 故 b0，且 ba+2，a+ba+a+22a+2， a+20， 2a0， 22a+22， a+b 的值为非零整数， a+b 的值为1，1， 2a+21 或 2a+21， a或 a， ba+2， b或 b 故答案为2a0；或 【点评】此题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此 题的关键是分别求出 a、b 的取值范围 三三.解答题（共解答题（共 66 分）
30、分） 17由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上实验任务如图， 航母由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 C 位于它的北偏东 70方向，且与航母距 80 海里，再航行 一段时间后到达 B 处，测得小岛 C 位于它的北偏东 37方向如果航母继续航行至小岛 C 的正南方向 的 D 处求还需航行的距离 BD 的长参考数据：sin700.94，cos70034，tan702.75，sin37 0.6，cos370.80，tan370.75） 【分析】根据题意得：ACD70，BCD37，AC80 海里，在直角三角形 ACD 中，由三角函 数得出 CD27.
31、2 海里，在直角三角形 BCD 中，得出 BD，即可得出答案 【解答】解：由题意得：ACD70，BCD37，AC80 海里， 在直角三角形 ACD 中，CDACcosACD27.2 海里， 在直角三角形 BCD 中，BDCDtanBCD20.4 海里 答：还需航行的距离 BD 的长为 20.4 海里 【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，三角函数的应用；求出 CD 的长度是解决问题 的关键 18如图，一块等腰三角形钢板的底边长为 80cm，腰长为 50cm （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径； （2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少 cm？ 【分析】 （1）由于
32、三角形 ABC 是等腰三角形，过 A 作 ADBC 于 D，那么根据勾股定理得到 AD30， 又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在 AD 上，分 别连接 AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解； （2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为 R，根据垂 径定理和勾股定理即可求解 【解答】解： （1）如图，过 A 作 ADBC 于 D 则 AD30，BDCD40， 设最大圆半径为 r， 则 SABCSABO+SBOC+SAOC， ， 解得：r； （2）设覆盖圆的半径为 R，圆心为 O， ABC 是等腰三
33、角形，过 A 作 ADBC 于 D， BDCD40，AD30， O在 AD 直线上，连接 OC， 在 RtODC 中， 由 R2402+（R30）2， R； 若以 BD 长为半径为 40cm，也可以覆盖， 最小为 40cm 【点评】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强， 解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性 19如图，O 为ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出一条弦， 使这条弦将ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图 1，ACBC； （2）如图 2，直线 l 与
34、O 相切于点 P，且 lBC 【分析】 （1）过点 C 作直径 CD，由于 ACBC，根据垂径定理的推理得 CD 垂直平分 AB，所 以 CD 将ABC 分成面积相等的两部分； （2）连结 PO 并延长交 BC 于 E，过点 A、E 作弦 AD，由于直线 l 与O 相切于点 P，根据切线的性质 得 OPl，而 lBC，则 PEBC，根据垂径定理得 BECE，所以弦 AE 将ABC 分成面积相等的两部 分 【解答】解： （1）如图 1，CD 即为所求； （2）如图 2，AD 即为所求 【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形 的性质和基本作图方法
35、解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把 复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的性质 20如图，在ABC 中，ABAC，点 E 在边 BC 上移动（点 E 不与点 B，C 重合） ，满足DEFB，且 点 D、F 分别在边 AB、AC 上 （1）求证：BDECEF； （2）当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分DFC 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BC，根据三角形的内角和和平角的定义得到BDE CEF，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结 论 【解答】解： （1）证明：ABAC， B
36、C， BDE180BDEB， CEF180DEFDEB， DEFB， BDECEF， BDECEF； （2）BDECEF， ， 点 E 是 BC 的中点， BECE， ， DEFBC， DEFECF， DFECFE， FE 平分DFC 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质 是解题的关键 21已知抛物线 yax2+bx+c （1）若 a3，b2，c1，求该抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若 a，c2+b 且抛物线在2x2 区间上的最小值是3，求 b 的值 【分析】 （1）令 y0，得到 3x2+2x10，通过解该一元二次方程求得 x 的值
37、即为抛物线与 x 轴交点的 横坐标； （2）利用当 xb2 时，即 b2，此时3（2）2+2（2）b+b+2； 当 xb2 时，即 b2，则有抛物线在 x2 时取最小值为3，此时322+22b+b+2； 当2b2 时，即2b2，则有抛物线在 xb 时，取最小值为3，分别求出符合题意的答案 即可 【解答】解： （1）由题意 y3x2+2x1，令 y0，得到 3x2+2x10，解得 x1 或 x， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）和（，0） （2）yx2+bx+b+2， 其对称轴为：xb， 当 xb2 时，即 b2，则有抛物线在 x2 时取最小值为3， 此时3（2）2+（2）b+b+2， 解
38、得：b7，符合题意， 当 xb2 时，即 b2，则有抛物线在 x2 时取最小值为3，此时322+2b+b+2， 解得：b 当2b2 时，即2b2，则有抛物线在 xb 时，取最小值为3， 此时3（b）2+（b）b+b+2， 化简得：b22b100， 解得：b11+（不合题意，舍去） ，b21（不合题意，舍去） 综上所述，b或 b7 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用分类讨论得 出是解题关键 22在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC10m，拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定 在 B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可
39、以活动的区域面积为 S（m2） （1）如图 1，若 BC4m，则 S 88 m2 （2）如图 2，现考虑在（1）中的矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落 地为五边形 ABCED 的小屋，其他条件不变，则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，求边 BC 的长 及 S 的最小值 【分析】 （1）小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的圆，以 C 为圆心、6 为半径的圆和以 A 为圆心、4 为半径的圆的面积和，据此列式求解可得； （2）此时小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的圆，以 A 为圆心、x 为半径的圆、以 C 为圆心、10
40、x 为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可 【解答】 解： （1） 如图 1， 拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗可以活动的区域如图所示： 由图可知，小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 为半径的圆，以 C 为圆心、6 为半径的圆和以 A 为圆心、4 为半径的圆的面积和， S102+62+4288， 故答案为：88； （2）如图 2， 设 BCx，则 AB10 x， S102+x2+ （10 x）2 （x25x+250） （x）2+， 当 x时，S 取得最小值，S 的最小值为， BC 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结
41、合图形得出其活动区域及利用 扇形的面积公式表示出活动区域面积 23如图，已知线段 AB2，MNAB 于点 M，且 AMBM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA， PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上） ，连结 AC，DE （1）当APB30时，求B 的度数； （2）求证：AB2BCPB； （3）在点 P 的运动过程中，当 MP4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这 三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值 【分析】 （1）根据三角形 ABP 是等腰三角形，可
42、得B 的度数； （2）连接 MD，根据 MD 为PAB 的中位线，可得MDBAPB，再根据BAPACB，BAP B，即可得到ACBB，进而得出ABCPBA，得出答案即可； （3）记 MP 与圆的另一个交点为 R，根据 AM2+MR2AR2AC2+CR2，即可得到 PR，MR， 再根据 Q 为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当ACQ90时，当QCD90时，当 QDC90时，当AEQ90时，即可求得 MQ 的值 【解答】解： （1）MNAB，AMBM， PAPB， PABB， APB30， B75， （2）如图 1，连接 MD， MD 为PAB 的中位线， MDAP， MDBAPB， BA
43、CMDCAPB， 又BAP180APBB，ACB180BACB， BAPACB， BAPB， ACBB， ACAB，由（1）可知 PAPB， ABCPBA， ， AB2BCPB； ACAB； （3）如图 2，记 MP 与圆的另一个交点为 R， MD 是 RtMBP 的中线， DMDP， DPMDMPRCD， RCRP， ACRAMR90， AM2+MR2AR2AC2+CR2， 12+MR222+PR2， 12+（4PR）222+PR2， PR， MR， 当ACQ90时，AQ 为圆的直径， Q 与 R 重合， MQMR； 如图 3，当QCD90时， 在 RtQCP 中，PQ2PR， MQ； 如图 4，当QDC90时， BM1，MP4， BP， DPBP， cosMPB， PQ， MQ； 如图 5，当AEQ90时， 由对称性可得AEQBDQ90， MQ； 综上所述，MQ 的值为或或 【点评】此题主要考查了圆的综合题、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理 的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用旋转的性质以及含 30角的直角三角形 的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用
