1、 2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷 一选择题：本大题有一选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （3 分）cos60的值是（ ） A B C D 2 （3 分）若 2a3b，则下列比列式正确的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列图形中，是相似形的是（ ） A所有平行四边形 B所有矩形 C所有菱形 D所有正方形 4 （3 分）如图，已知正五边形 AB
2、CDE 内接于O，连结 BD，则ABD 的度数是（ ） A60 B70 C72 D144 5 （3 分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 若出售 1500 件衬衣，则其中的次品最接近（ ）件 A100 B150 C200 D240 6 （3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC40，则D 的度数是（ ） A140 B135 C130 D125 7 （3 分）已知点 A（3，m） ，B（3，m） ，C（1，m+n2+1）在同
3、一个函数的图象上，这个函数可能是 （ ） Ayx+2 By Cyx2+2 Dyx22 8 （3 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E，点 F 在线段 BC 上，且 ACEFDB若 BE5，BF3，AE BC，则的值为（ ） A B C D 9 （3 分）二位同学在研究函数 ya（x+3） （x） （a 为实数，且 a0）时，甲发现当 0a1 时，函数 图象的顶点在第四象限；乙发现方程 a（x+3） （x）+50 必有两个不相等的实数根则（ ） A甲、乙的结论都错误 B甲的结论正确，乙的结论错误 C甲、乙的结论都正确 D甲的结论错误，乙的结论正确 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，A
4、B5，BC4点 D 为边 AC 上的动点，作菱形 DEFG，使 点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上若这样的菱形能作出 2 个，则 AD 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题、每小个小题、每小 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）一个布袋里放有 5 个红球，3 个球黄球和 2 个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一 个球是黑球的概率是 12（4 分） 如图， 点 A， B， C 都在O 上AOC130， ACB40， AOB ， 弧 BC 13 （4 分）已知二次函数 y2x2+4x+6，用配方法化为 ya（xm）2
5、+k 的形式为 ，这个二次函 数图象的顶点坐标为 14 （4 分）在 RtABC 中，AC：BC1：2，则 sinB 15 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别在边 AC，BC 上，且CDEB，将CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处若 AC2BC，则的值为 16 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 F 在圆上，且，BE2，CD8，CF 交 AB 于点 G，则弦 CF 的长为 ，AG 的长为 三解答题：本大题有三解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤分解答应写出文字说
6、明、证明过程或计算步骤 17（6 分） 如图， 为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点 A 测得河北岸的树 C 在点 A 的北偏东 60 方向，然后向东走 10 米到达 B 点，测得树 C 在点 B 的北偏东 30方向，试根据学习小组的测量数据计 算河宽 18 （8 分）如图，某科技馆展大厅有 A，B 两个入口，C，D，E 三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽 大厅，参观结束后任选一个出口离开 （1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口 C 离开的概率 （2）求小购选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的概率， （请用列表或画树状图求解） 19 （8 分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的
7、拱形是抛物线当水面宽为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m （1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式 （2）若水面上升 1m，水面宽度将减少多少？ 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证：BDCD （2）若弧 DE50，求C 的度数 （3）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BC8，AF3BF，求弧 BD 的长 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上且 AEABADAC，连结 DE，BD （1）求证：ADEABC （2）若点 E 为 AB 中点，AD：AE6：5
8、，ABC 的面积为 50，求BCD 的面积 22 （12 分）已知二次函数 yax2+bx4（a，b 是常数，且 a0）的图象过点（3，1） （1）试判断点（2，22a）是否也在该函数的图象上，并说明理由 （2）若该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求该函数的表达式 （3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当 x1x2时，始终都有 y1y2，求 a 的取值范围 23 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上（不与点 C，D 重合） ，连结 AE，BD 交于点 F （1）若点 E 为 CD 中点，AB2，求 AF 的长 （2）若 tanAFB2
9、，求的值 （3）若点 G 在线段 BF 上，且 GF2BG，连结 AG，CG，x，四边形 AGCE 的面积为 S1，ABG 的面积为 S2，求的最大值 2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本大题有一选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是分，在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （3 分）cos60的值是（ ） A B C D 【分析】根据特殊角的三角
10、函数值求解 【解答】解：cos60 故选：A 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 2 （3 分）若 2a3b，则下列比列式正确的是（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质即可得到结论 【解答】解：2a3b， ， 故选：C 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 3 （3 分）下列图形中，是相似形的是（ ） A所有平行四边形 B所有矩形 C所有菱形 D所有正方形 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案 【解答】解：A、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B、所有矩形，属于形
11、状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确 故选：D 【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形 4 （3 分）如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O，连结 BD，则ABD 的度数是（ ） A60 B70 C72 D144 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出ABC、CDCB，根据等腰三角形的性质求出 CBD，计算即可 【解答】解：五边形 ABCDE 为正五边形， ABCC108， CDCB， CBD36， ABDABCC
12、BD72， 故选：C 【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和 等于（n2）180是解题的关键 5 （3 分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 若出售 1500 件衬衣，则其中的次品最接近（ ）件 A100 B150 C200 D240 【分析】求出总合格率，次品率，进而求出次品数量，对照做出选择 【解答】解：1500（1）151.6 件 故选：B 【点评】考查频数分布表的意义，
13、合格率的计算方法，从统计表中获取数据和数据之间的关系是解决问 题的关键 6 （3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC40，则D 的度数是（ ） A140 B135 C130 D125 【分析】先利用圆周角定理得到ACB90，则利用互余得到B 的度数，然后根据圆内接四边形的 性质得到D 的度数 【解答】解：AB 是半圆 O 的直径， ACB90， B90BAC904050， B+D180， D18050130 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直
14、径 7 （3 分）已知点 A（3，m） ，B（3，m） ，C（1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是 （ ） Ayx+2 By Cyx2+2 Dyx22 【分析】由点 A（3，m） ，B（3，m）的坐标特点，于是排除选项 A、B；再根据 A（3，m） ，C（ 1，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即 a0，故 D 选项正确 【解答】解：A（3，m） ，B（3，m） ， 点 A 与点 B 关于 y 轴对称； 由于 yx+2 不关于 y 轴对称，y的图象关于原点对称，因此选项 A、B 错误； n20， m+n2+1m； 由 A（3，m） ，C（1，m+n2
15、+1）可知，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， 对于二次函数只有 a0 时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答 案 8 （3 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E，点 F 在线段 BC 上，且 ACEFDB若 BE5，BF3，AE BC，则的值为（ ） A B C D 【分析】设 CFx，则，求出 CF，由 EFDB 可求出的值 【解答】解：设 CFx， EFAC， ， ， 解得 x， CF， EFDB， 故选：A 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的
16、关键是熟练掌握基本知识 9 （3 分）二位同学在研究函数 ya（x+3） （x） （a 为实数，且 a0）时，甲发现当 0a1 时，函数 图象的顶点在第四象限；乙发现方程 a（x+3） （x）+50 必有两个不相等的实数根则（ ） A甲、乙的结论都错误 B甲的结论正确，乙的结论错误 C甲、乙的结论都正确 D甲的结论错误，乙的结论正确 【分析】由函数解析式确定函数与 x 轴的两个交点的横坐标分别是3 和，再由函数的对称性确定函 数顶点的横坐标为，根据甲的说法求 0a1 时的范围，即可确定甲的说法错误；将方程 a（x+3） （x）+50 化为一元二次方程 ax2+（3a2）x10，求判别式9（a）
17、2+0， 即可确定方程的根的情况 【解答】解：由函数 ya（x+3） （x）可知，函数与 x 轴的两个交点的横坐标分别是3 和， 函数顶点的横坐标为， 0a1， ， 函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误； a（x+3） （x）+50 可以化为 ax2+（3a2）x10， （3a2）2+4a9a28a+49（a）2+0， a（x+3） （x）+50 必有两个不相等的实数根， 故乙的结论正确； 故选：D 【点评】本题考查根的判别式；熟练掌握一元二次函数对称性，一元二次方程判别式与根的关系是解题 的关键 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC4点 D 为边 AC 上的动点，作
18、菱形 DEFG，使 点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上若这样的菱形能作出 2 个，则 AD 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】求出几种特殊位置的 CD 的值判断即可 【解答】解：如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AB5，BC4， AC3， 则 CDx，ADx， AD+CDAC， x+x3， x， CDx， 观察图象可知：0CD时，菱形的个数为 0 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DGAB， ， ， 解得 m， CD3， 如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长
19、为 n DGAB， ， ， n， CG4， CD， 观察图象可知：当 0CD或CD3 时，菱形的个数为 0，当 CD或CD时，菱形 的个数为 1，当CD时，菱形的个数为 2此时AD 故选：B 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键 是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题、每小个小题、每小 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）一个布袋里放有 5 个红球，3 个球黄球和 2 个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一 个球是黑球的概率是 【分析】根据概率公式，求摸到
20、黑球的概率，即用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率 【解答】解：在一个布袋里放有 5 个红球，3 个球黄球和 2 个黑球，它们除了颜色外其余都相同， 从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为： 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关 键 12（4 分） 如图， 点 A， B， C 都在O 上AOC130， ACB40， AOB 80 ， 弧 BC 50 【分析】直接利用圆周角定理得到AOB80，再计算出BOC50，从得到的度数 【解答】解：AOB2ACB24080， BOCAOCAOB1308050， 的度数为 50 故答案为
21、80，50 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半 13 （4 分） 已知二次函数 y2x2+4x+6， 用配方法化为 ya （xm） 2+k 的形式为 y2 （x1）2+8 ， 这个二次函数图象的顶点坐标为 （1，8） 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般 式转化为顶点式，从而得出顶点坐标 【解答】解：y2x2+4x+62（x22x）+62（x1）2+8， 顶点（1，8） 故答案为：y2（x1）2+8， （1，8） 【点评】此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，
22、并要求熟练掌握顶点的确定方法 14 （4 分）在 RtABC 中，AC：BC1：2，则 sinB 或 【分析】当C90时，根据勾股定理，可得 AB，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得 答案 当A90时，由锐角三角函数的定义作答即可 【解答】解：当C90时，设 ACx，BC2x，由勾股定理，得 ABx 由三角函数的正弦等于对边比斜边，得 sinB， 当A90时，sinB 综上所述，sinB 的值是或 故答案是：或 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比 斜边，正切为对边比邻边 15 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E
23、分别在边 AC，BC 上，且CDEB，将CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处若 AC2BC，则的值为 【分析】如图，设 DE 交 CF 于 O设 ODa了直角三角形求出 DE，CF（用 a 表示）即可解决问题 【解答】解：如图，设 DE 交 CF 于 O设 ODa 由翻折可知：DCDF，ECEF， DE 垂直平分线段 CF， DOC90，OCOF， CDEB， tanCDOtanB， 2， OCOF2a，CF4a， ECO+DCO90，DCO+CDO90， ECOCDO， tanECO2， OE4a，DE5a， ， 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形，翻折变换等
24、知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常 考题型 16 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 F 在圆上，且，BE2，CD8，CF 交 AB 于点 G，则弦 CF 的长为 ，AG 的长为 【分析】 连结 DF， OC， 先求出 OC5， 连结 DO 并延长交 CF 于点 H， 证明DHFCEO， 可得 ，可求出 FH 和 DH 的长，求出 CF 和 OH 长，证明GHOCEO，可得，可求出 OG 长，则 AG 的长可求出 【解答】解：连结 BC，DF，OC，连结 DO 并延长交 CF 于点 H， 弦 CDAB 于点 E，CD8， CE4， 设 OCx，则 O
25、Ex2， OE2+CE2OC2， （x2）2+42x2， 解得 x5， OC5， OE523， ， DFCD，CFDCOB，DHCF， FHDOEC90， DHFCEO， ， ， FH，DH， CF2FH， OHDHOD， CFDCOBBOD，BODGOH， GOHDFH， GHOOEC90， GHOCEO， ， ， OG， AGOAOG5 故答案为：， 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 三解答题：本大题有三解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证
26、明过程或计算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤 17（6 分） 如图， 为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点 A 测得河北岸的树 C 在点 A 的北偏东 60 方向，然后向东走 10 米到达 B 点，测得树 C 在点 B 的北偏东 30方向，试根据学习小组的测量数据计 算河宽 【分析】由题意得到CAB30，CBD60，求得CABACB，根据等腰三角形的性质得到 BCAB10，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：由题意得，CAB30，CBD60， ACBCBDCAB30， CABACB， BCAB10， CDBD， CDBC5， 答：河宽为 5 【点评】考查了解直角三角
27、形的应用方向角问题，此题是数学建模思想的典型范例，比较简单 18 （8 分）如图，某科技馆展大厅有 A，B 两个入口，C，D，E 三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽 大厅，参观结束后任选一个出口离开 （1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口 C 离开的概率 （2）求小购选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的概率， （请用列表或画树状图求解） 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小购选择从入口 A 进入， 从出口 E 离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）他选择从出口 C 离开的概率为；
28、 （2）画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有 6 种，其中选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的只有 1 种结果， 选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中 选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 19 （8 分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线当水面宽为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m （1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式 （2）若水面上升 1m，水面宽度将减少多少？ 【分析】C 为坐标原点建立坐标系，求出
29、其它两点的坐标，用待定系数法求解析式，然后令 y3 求得 x 的值即可解得答案 【解答】解：以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A（6，4） ，B（6，4）C（0，0） 设 yax2， 把 B（6，4）代入上式， 36a+40， 解得：a， yx2； 令 y3 得：x23， 解得：x3， 若水面上升 1m，水面宽度将减少 126 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用，恰当的选取坐标原点，求出 各点的坐标是解决问题的关键 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证：BDCD （2）若弧
30、DE50，求C 的度数 （3）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BC8，AF3BF，求弧 BD 的长 【分析】 （1）连接 AD，利用圆周角定理推知 ADBD，然后由等腰三角形的性质证得结论； （2）根据已知条件得到EOD50，结合圆周角定理求得DAC25，所以根据三角形内角和定理 求得ABD 的度数，则CABD，得解； （3） 设半径 ODx 则 AB2x 由 AF3BF 可得 AFABx， BFABx， 根据射影定理知： BD2BFAB，据此列出方程求得 x 的值，最后代入弧长公式求解 【解答】 （1）证明：如图，连接 AD AB 是圆 O 的直径， ADBD 又ABAC， BDCD
31、（2）解：弧 DE50， EOD50 DAEDOE25 由（1）知，ADBD，则ADB90， ABD902565 ABAC， CABD65 （3）BC8，BDCD， BD4 设半径 ODx则 AB2x 由 AF3BF 可得 AFABx，BFABx， ADBD，DFAB， BD2BFAB，即 42x2x 解得 x4 OBODBD4， OBD 是等边三角形， BOD60 弧 BD 的长是： 【点评】考查了三角形综合题，综合应用了圆周角定理，圆心角定理，等腰三角形的判定与性质，等边 三角形的判定与性质，弧长公式，射影定理等知识点，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键 21 （10 分）如图，在ABC
32、中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上且 AEABADAC，连结 DE，BD （1）求证：ADEABC （2）若点 E 为 AB 中点，AD：AE6：5，ABC 的面积为 50，求BCD 的面积 【分析】 （1）由已知得出 AE：ACAD：AB，由AA，即可得出：ADEABC （2）设 AD6x，则 AE5x，AB10 x，由已知求出 ACx，得出 CDACADx，得 出，由三角形面积关系即可得出答案 【解答】 （1）证明：AEABADAC， AE：ACAD：AB， AA， ADEABC （2）解：点 E 为 AB 中点， AEBE， AD：AE6：5， 设 AD6x，则 AE5x，AB10
33、 x， AEABADAC， ACx， CDACADx， ， ABC 的面积为 50， BCD 的面积5014 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解题的关键 22 （12 分）已知二次函数 yax2+bx4（a，b 是常数，且 a0）的图象过点（3，1） （1）试判断点（2，22a）是否也在该函数的图象上，并说明理由 （2）若该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求该函数的表达式 （3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当 x1x2时，始终都有 y1y2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将点（3，1）代
34、入解析式，求出 a、b 的关系，再将将点（2，22a）代入 yax2+bx4 判断即可； （2）二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，所以（13a）2+16a0，求出 a 的值； （3）抛物线对称轴 x，当 a0，时，a；当 a0，时，a（舍去） 【解答】解： （1）将点（3，1）代入解析式，得 3a+b1， yax2+（13a）x4， 将点（2，22a）代入 yax2+bx4，得 4a+2（13a）422a22a， 点（2，22a）不在抛物线图象上； （2）二次函数的图象与 x 轴只有一个交点， （13a）2+16a0， a1 或 a， yx2+4x4 或 yx2+x4； （3）抛物线对称轴
35、 x， 当 a0，时，a； 当 a0，时，a（舍去） ； 当 a满足所求； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，以及图象上点的特征是解 题的关键 23 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上（不与点 C，D 重合） ，连结 AE，BD 交于点 F （1）若点 E 为 CD 中点，AB2，求 AF 的长 （2）若 tanAFB2，求的值 （3）若点 G 在线段 BF 上，且 GF2BG，连结 AG，CG，x，四边形 AGCE 的面积为 S1，ABG 的面积为 S2，求的最大值 【分析】 （1）由勾股定理可求 AE 的长，通过证明ABFED
36、F，可得，可求 AF 的长； （2）由正方形的性质可得 BDAB，AOBD，AOBOCODOAB，由锐角三角函数可求 OFAOAB，即可求解； （3）分别求出 S1，S2，即可求解 【解答】解： （1）点 E 为 CD 中点，ABADCD2， DE， AE5， ABCD， ABFEDF， ， AF2EF，且 AF+EF5， AF； （2）如图 1，连接 AC， 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD，BDAB，AOBD，AOBOCODO， AODOBOAB， tanAFB2， OFAOAB， DFODOFAB，BFOB+OFAB， ； （3）如图 2，设 ABCDADa，则 BDa， x， DExa， SADEADDExa2， ABFEDF， x， DFxBF， SABFa2， GF2BG， S2SABGSABF， ABCB，ABGCBG，BGBG， ABGCBG（SAS） SABGSCBG， S1四边形 AGCE 的面积a2xa22 3x2+3x+43（x）2+ 当 x时，的最大值为 【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，锐角三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键
