1、2019-2020 学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷 一选择题：本大题有一选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是分在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （3 分）若 2y7x0，则 x：y 等于（ ） A2：7 B4：7 C7：2 D7：4 2 （3 分）如图，在正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，则 cosB 的值为（ ） A2 B C D1 3 （3 分）下列说法正确的是（ ） A某一事件发生的可能性非常
2、大就是必然事件 B2020 年 1 月 27 日杭州会下雪是随机事件 C概率很小的事情不可能发生 D投挪一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次 4 （3 分）若一个扇形的圆心角是 45，面积是 2，则这个扇形的半径是（ ） A4 B2 C4 D21 5 （3 分）正方形的边长为 4，若边长增加 x，那么面积增加 y，则 y 关于 x 的函数表达式为（ ） Ayx2+16 By（x+4）2 Cyx2+8x Dy164x2 6 （3 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DEBC，EFAB，且 AD： DB3：5，那么 BF：CF
3、等于（ ） A5：8 B3：8 C3：5 D2：5 7 （3 分）作O 的内接正六边形 ABCDEF，甲、乙两人的作法分别是： 甲：第一步：在O 上任取一点 A，从点 A 开始，以O 的半径为半径，在O 上依次截取点 B，C，D， E，F第二步：依次连接这六个点 乙：第一步：任作一直径 AD第二步：分别作 OA，OD 的中垂线与O 相交，交点从点 A 开始，依次 为点 B，C，E，F第三步：依次连接这六个点 对于甲、乙两人的作法，可判断（ ） A甲正确，乙错误 B甲、乙均错误 C甲错误，乙正确 D甲、乙均正确 8 （3 分）如图，有一块三角形余料 ABC，它的面积为 36cm2，边 BC12c
4、m，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，则加工成的正方形零件的边长为（ ） cm A8 B6 C4 D3 9 （3 分）二次函数 y（x1） （xm+1） （m 是常数） ，当2x0 时，y0，则 m 的取值范围为（ ） Am0 Bm1 C0m1 Dm1 10 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，且OAC30，OD 绕着点 O 顺时针旋转，连 结 CD 交直线 AB 于点 E，当 DEOD 时，OCE 的大小不可能为（ ） A20 B40 C70 D80 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题、每小个小题、每
5、小 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D50，则ABC 的度数为 12 （4 分）在一个不透明的袋中有 2 个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出 一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球 个 13 （4 分）在ABC 中，已知 ABAC4cm，BC6cm，P 是 BC 的中点，以点 P 为圆心，3cm 为半径画 P，则点 A 与P 的位置关系是 14 （4 分）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，使斜边 DF 与地面保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条
6、直角边 DE30cm，EF15cm， 测得边 DF 离地面的高度 AC120cm，CD600cm，则树 AB 的高度为 cm 15 （4 分）剪掉边长为 2 的正方形纸片 4 个直角，得到一个正八边形，则这个正八边形的边长为 16 （4 分）已知四个点的坐标分别为 A（4，2） ，B（3，1） ，C（1，1） ，D（2，2） ，若抛物线 y ax2与四边形 ABCD 的边没有交点，则 a 的取值范围为 三解答题：本大题有三解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤 17 （6 分） （1）计算：2sin30
7、+cos30tan60 （2）已知，且 a+b20，求 a，b 的值 18 （8 分）把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别都标上数字 1，2，3，将这两组 卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张 （1）请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率 （2）若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试 分析这个游戏是否公平？请说明理由 19 （8 分）飞行员将飞机上升至离地面 18 米的 F 点时，测得 F 点看树顶 A 点的俯角为 30，同时也测得 F 点看树底 B 点的俯角为 45，求该树的
8、高度（结果保留根号） 20 （10 分）把一根长为 4 米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为 x 米，面积为 S 米 2， （1）求 S 关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围 （2）x 为何值时，S 最大？最大为多少？ 21 （10 分）如图，AD 与 BC 交于点 O，EF 过点 O，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，BO1，CO3，AO ，DO （1）求证：AD （2）若 AEBE，求证：CFDF 22 （12 分）已知二次函数 yx2+2kx+1k（k 是常数） （1）求此函数的顶点坐标 （2）当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围 （3）当 0 x1 时，
9、该函数有最大值 3，求 k 的值 23 （12 分）ABC 内接于O，AB 是直径，ABC30，点 D 在O 上 （1）如图，若弦 CD 交直径 AB 于点 E，连接 DB，线段 CF 是点 C 到 BD 的垂线段 问CDF 的度数和点 D 的位置有关吗？请说明理由 若DFC 的面积是ACB 的面积的倍，求CBF 的正弦值 （2）若O 的半径长为 2，CD，求 BD 的长度 2019-2020 学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本大题有一选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小
10、题 3 分，共分，共 30 分在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是分在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （3 分）若 2y7x0，则 x：y 等于（ ） A2：7 B4：7 C7：2 D7：4 【分析】若 2y7x0，根据分式的基本性质得 2y7x，从而求出 x：y 【解答】解：2y7x0， 2y7x， x：y2：7， 故选：A 【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单正确对已知条件进行变形是解决本题的关 键 2 （3 分）如图，在正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，则 cosB 的值为（ ） A2 B C D1 【分析】根据 c
11、osB计算即可，也可以求出B45解决问题 【解答】解：由题意，在 RtABC 中，ACB90，BC2，AB2， cosB 故选：B 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 3 （3 分）下列说法正确的是（ ） A某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 B2020 年 1 月 27 日杭州会下雪是随机事件 C概率很小的事情不可能发生 D投挪一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次 【分析】直接利用随机事件的定义以及概率的意义进而分析得出答案 【解答】解：A、某一事件发生的可能性非常大也是随机事件，故此选项错误； B、2020 年 1
12、 月 27 日杭州会下雪是随机事件，正确； C、概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误； D、投挪一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数是 500 次，是随机事件，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了随机事件的定义以及概率的意义，正确掌握相关定义是解题关键 4 （3 分）若一个扇形的圆心角是 45，面积是 2，则这个扇形的半径是（ ） A4 B2 C4 D21 【分析】利用扇形的面积公式计算即可 【解答】解：设扇形的半径为 r 由题意：2， 解得 r4， 故选：A 【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5 （3 分）正方形的边长为
13、4，若边长增加 x，那么面积增加 y，则 y 关于 x 的函数表达式为（ ） Ayx2+16 By（x+4）2 Cyx2+8x Dy164x2 【分析】增加的面积新正方形的面积原正方形的面积，把相关数值代入化简即可 【解答】解：新正方形边长是 x+4，原正方形边长是 4， 新正方形面积是（x+4）2，原正方形面积是 16， 增加的面积 y（x+4）216 即 yx2+8x 故选：C 【点评】本题考查列二次函数解析式，根据题意列出增加面积的等量关系是解决本题的关键 6 （3 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DEBC，EFAB，且 AD： DB3：5，那
14、么 BF：CF 等于（ ） A5：8 B3：8 C3：5 D2：5 【分析】根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可 以解答本题 【解答】解：DEBC， ， AD：DB3：5，ABAD+DB， ， ， DEBC，EFAB， 四边形 DEBF 是平行四边形， DEBF， BCBF+CF， ， BF：CF3：5， 故选：C 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用 平行线分线段成比例的性质解答 7 （3 分）作O 的内接正六边形 ABCDEF，甲、乙两人的作法分别是： 甲：第一步：在O 上任取一点 A，从点
15、 A 开始，以O 的半径为半径，在O 上依次截取点 B，C，D， E，F第二步：依次连接这六个点 乙：第一步：任作一直径 AD第二步：分别作 OA，OD 的中垂线与O 相交，交点从点 A 开始，依次 为点 B，C，E，F第三步：依次连接这六个点 对于甲、乙两人的作法，可判断（ ） A甲正确，乙错误 B甲、乙均错误 C甲错误，乙正确 D甲、乙均正确 【分析】根据作图即可得到 ABBCCDDEEFFA，ABCBCDCDEDEFAFE FAB120，进而得出六边形 ABCDEF 为正六边形 【解答】解：甲：由作图可知，ABBOAO，即AOB 为等边三角形， 同理可得BOC，COD，DOE，EOF，A
16、OF 均为等边三角形， 故 ABBCCDDEEFFA，ABCBCDCDEDEFAFEFAB120， 所以六边形 ABCDEF 为正六边形； 乙：由作图可得，BABOAO，即ABO 为等边三角形， 同理可得AOF，COD，DOE 均为等边三角形， 故EOFBOC60，而 BOCOEOFO， 所以BOC，EOF 均为等边三角形， 所以 ABBCCDDEEFFA，ABCBCDCDEDEFAFEFAB120， 所以六边形 ABCDEF 为正六边形； 因此，甲、乙两人的作法均正确， 故选：D 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点 所得的多边
17、形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆 8 （3 分）如图，有一块三角形余料 ABC，它的面积为 36cm2，边 BC12cm，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，则加工成的正方形零件的边长为（ ） cm A8 B6 C4 D3 【分析】作 BC 边上的高 AM 交 EF 于点 N，根据面积为 36cm2，边 BC12cm 得到 AM6cm，然后设正 方形的边长为 xmm，则 EFFPNMx，通过证明AEFABC 利用相似比可得比例式，然后根据 比例性质求出 x 即可； 【解答】解：作 BC 边上的高 AM 交 EF 于点
18、 N， 面积为 36cm2，边 BC12cm， AM6cm， 设正方形的边长为 xmm，则 EFFPNMx， ANAMMN6x， EFBC， AEFABC， ，即， 解得 x4 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形 的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键 9 （3 分）二次函数 y（x1） （xm+1） （m 是常数） ，当2x0 时，y0，则 m 的取值范围为（ ） Am0 Bm1 C0m1 Dm1 【分析】根据二次函数 y（x1） （xm+1） （m 是常数） ，可以求得该函数与 x 轴的交点，然后根据当 2x0 时
19、，y0 和二次函数的性质即可得到 m 的取值范围，本题得以解决 【解答】解：二次函数 y（x1） （xm+1） （m 是常数） ， 该函数的图象开口向上，与 x 轴的交点为（1，0） ， （m1，0） ， 当2x0 时，y0， 当 m11 时，即 m2 或当 0m11，得 1m2， 由上可得，m 的取值范围为 m1， 故选：D 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数 的性质和分类讨论的方法解答 10 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，且OAC30，OD 绕着点 O 顺时针旋转，连 结 CD 交直线 AB 于点 E，
20、当 DEOD 时，OCE 的大小不可能为（ ） A20 B40 C70 D80 【分析】根据 OD 绕着点 O 顺时针旋转，连结 CD 交直线 AB 于点 E，DEOD，分三种情况画图进行计 算即可 【解答】解： 连接 OC， 如图 1，OD 绕着点 O 顺时针旋转，连结 CD 交直线 AB 于点 E， 设OCEx， OCOD， OCEDx， OAOC， OCAA30， DEOD， DOEDEO30+x+3060+x 2（60+x）+x180 解得 x20 OCE 的大小为 20； 如图 2， 设OECx， DEOD， EODEx， DOCO， ODCOCD2x， EOC2A60 在OCE 中
21、， x+60+2x180， 解得 x40， OCE2x80； 如图 3， 设ACEx， OAOC， OCAOAC30， OCOD， OCDODC30+x， ODDE EODC15+x， 15+x+x30 解得 x10， OCE30+x40 综上：OCE 的大小为：20、40、80 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情 况讨论 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题、每小个小题、每小 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D50，则ABC 的度数为 130 【分析】根据圆内接四
22、边形的对角互补，得ABC180D130 【解答】解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形 ABC+D180 D50 ABC180D130 故答案为：130 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补 12 （4 分）在一个不透明的袋中有 2 个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出 一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球 6 个 【分析】设袋子中白球有 x 个，根据摸到红球的概率是得出，解之可得 【解答】解：设袋子中白球有 x 个， 根据题意，得：， 解得 x6， 经检验：x6 是分式方程的解， 即袋中白球有 6 个， 故答案为：6 【点评】本题主要考查概率
23、公式，随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出 现的结果数 13 （4 分）在ABC 中，已知 ABAC4cm，BC6cm，P 是 BC 的中点，以点 P 为圆心，3cm 为半径画 P，则点 A 与P 的位置关系是 点 A 在P 内 【分析】连接 AP，求出 APBC，求出 BP，根据勾股定理求出 AP，和半径比较即可 【解答】解：如图，连接 AP， ABAC4cm，BC6cm，P 是 BC 的中点， BPCP3cm，APBC， APB90， 在 RtAPB 中，由勾股定理得：AP（cm） ， 3， 点 A 在P 内 故答案为：点 A 在P 内 【点评】本题考查了等腰
24、三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系的应用，关键是求出 AP 的长 14 （4 分）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，使斜边 DF 与地面保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE30cm，EF15cm， 测得边 DF 离地面的高度 AC120cm，CD600cm，则树 AB 的高度为 420 cm 【分析】 利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长， 再加上 AC 的长即可求得树高 AB 【解答】解：DEFBCD90，DD， DEFDCB， BC：EFDC：DE， DE30cm，EF
25、15cm，AC120cm，CD600cm， ， BC300cm， ABAC+BC120+300420cm， 故答案为：420 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型 15（4分） 剪掉边长为2的正方形纸片4个直角， 得到一个正八边形， 则这个正八边形的边长为 22 【分析】设正八边形的边长为 x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方 程求解即可 【解答】解：设正八边形的边长为 x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x， 正方形的边长为 2， x+x+x2， 解得 x22， 正八边形的边长为 22， 故答案为：22 【点评】本题考
26、查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方 程是解题的关键 16 （4 分）已知四个点的坐标分别为 A（4，2） ，B（3，1） ，C（1，1） ，D（2，2） ，若抛物线 y ax2与四边形 ABCD 的边没有交点，则 a 的取值范围为 a1 或 0a或 a0 【分析】把 C（1，1）代入 yax2求得 a1，然后根据图象即可求得 【解答】解：把 C（1，1）代入 yax2得 a1， 把 B（3，1）代入 yax2得 a， 把 A（4，2）代入 yax2得 a， 如图，若抛物 yax2与四边形 ABCD 的边没有交点，则 a 的取值范围为 a1 或 0a或
27、a0， 故答案为 a1 或 0a或 a0 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关 键 三解答题：本大题有三解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤 17 （6 分） （1）计算：2sin30+cos30tan60 （2）已知，且 a+b20，求 a，b 的值 【分析】 （1）根据特殊角的三角函数值直接计算即可； （2）设k，根据 a+b20，求出 k 的值，从而得出 a，b 的值 【解答】解： （1）2sin30+cos30tan602+1+； （2）设
28、k， 则 a2k，b3k， a+b20， 2k+3k20， k4， a8，b12 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值和比例的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值和比例的性质是 解题的关键 18 （8 分）把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别都标上数字 1，2，3，将这两组 卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张 （1）请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率 （2）若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试 分析这个游戏是否公平？请说明理由 【分析】 （1）依据题意画树状图法分析所有等可
29、能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事 件的概率； （2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案 【解答】解： （1）画树状图得： 由上图可知，所有等可能结果共有 9 种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是； （2）不公平；理由： 由（1）可得出：取出的两张卡片上的数字都为奇数的有 4 种，一奇一偶有 4 种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是， 取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为， 因此这个游戏公平 【点评】 本题考查借助树状图或列表法求概率 如果一个事件有 n 种可能， 而且这些事件的可能性相同，
30、其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 19 （8 分）飞行员将飞机上升至离地面 18 米的 F 点时，测得 F 点看树顶 A 点的俯角为 30，同时也测得 F 点看树底 B 点的俯角为 45，求该树的高度（结果保留根号） 【分析】过 F 作 FCBA 交 BA 的延长线于 C，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 F 作 FCBA 交 BA 的延长线于 C， 则C90，BFC45，CFA30， CFBC18， ACCF6， ABBCAC186， 答：该树的高度为（186）米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关
31、键 20 （10 分）把一根长为 4 米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为 x 米，面积为 S 米 2， （1）求 S 关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围 （2）x 为何值时，S 最大？最大为多少？ 【分析】 （1）已知一边长为 x 米，则另一边长为（2x）米，根据面积公式即可解答 （2）把函数解析式用配方法化简，得出 S 的最大值即可 【解答】解： （1）已知一边长为 x 米，则另一边长为（2x）米 则 Sx（2x）化简可得 Sx2+2x， （0 x2） （2）S2xx2（x22x） （x1）2+1， 所以当 x1 米时，矩形的面积最大，最大为 1 米 2 【点评】本题主要考查二次函数
32、的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式，并列出函数解析式和 二次函数的性质 21 （10 分）如图，AD 与 BC 交于点 O，EF 过点 O，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，BO1，CO3，AO ，DO （1）求证：AD （2）若 AEBE，求证：CFDF 【分析】 （1）证明OABODC，可得出结论； （2）证得 ABCD，可得，则结论得证 【解答】证明： （1）BO1，CO3，AO，DO ， AOBCOD， OABODC， AD （2）AD， ABCD， ， AEBE， CFDF 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理熟练掌握定理内容是解题的 关键
33、22 （12 分）已知二次函数 yx2+2kx+1k（k 是常数） （1）求此函数的顶点坐标 （2）当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围 （3）当 0 x1 时，该函数有最大值 3，求 k 的值 【分析】 （1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到 k 的取值； （3）分三种情况讨论，关键题意得到关于 k 的方程，解方程即可求得 【解答】解： （1）抛物线的解析式为 yx2+2kx+1k（xk）2+1k+k2， 抛物线的顶点坐标为（k，1k+k2） ； （2）抛物线的解析式为 y（xk）2+1k+k2， 当 xk 时，y 随 x 的增大而减小
34、， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， k1 （3）当 k0 时，x0 时，函数值最大， 1k3，解得 k2； 当 0k1 时，则 1k+k23， 解得 k2 或1（舍去） ， 当 k1 时，x1 时，函数值最大， 1+2k+1k3，解得 k3 综上，当 0 x1 时，该函数有最大值 3，则 k2 或 k3 【点评】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题 的关键 23 （12 分）ABC 内接于O，AB 是直径，ABC30，点 D 在O 上 （1）如图，若弦 CD 交直径 AB 于点 E，连接 DB，线段 CF 是点 C 到 BD 的垂线段 问
35、CDF 的度数和点 D 的位置有关吗？请说明理由 若DFC 的面积是ACB 的面积的倍，求CBF 的正弦值 （2）若O 的半径长为 2，CD，求 BD 的长度 【分析】 （1）根据同弧所对的圆周角相等解答即可；利用锐角三角函数的定义求出 AC 与 BC、DF 与 CF 的关系，利用三角形的面积公式得出，然后根据正弦的定义可求出CBF 的 正弦值； （2）分两种情况求解：当点 D 在直径 AB 下方的圆弧上时；当点 D 在直径 AB 上方的圆弧上时 【解答】解： （1）没有关系，理由如下： 当点 D 在直径 AB 的上方时，如下图： AB 为直径 ACB90 ABC30 CAB60 CDFCAB
36、60； 当点 D 在直径 AB 的下方时，如下图： CAB60 CDB180CAB120 CDF60 CFBD，AB 为直径 ACBCFD90 由得：CDFCAB60 AC；DF； SABCACBC；SCDFCFDF； sinCBF （2）O 的半径长为 2，CD 弧 CD 所对的圆心角COD90 当点 D 在直径 AB 下方的圆弧上时： 如图，连接 OD，过 D 作 DEAB 于 E 由（1）知ABC30，CAB60 AOC60 BOD180609030 OD2， OE，DE1，BE2； BD； 当点 D 在直径 AB 上方的圆弧上时 如图，连接 OD，过点 D 作 DFAB 于 F 此时DOA906030 OF，DF1，BF2+ BD+ 综上所述，BD 的长为或+ 【点评】本题考查了圆中的相关计算、圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理等知识点，牢固掌握相关 性质定理并正确计算，是解题的关键
