1、2019-2020 学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （3 分）cos60的值等于（ ） A B C D 2 （3 分）若 2a3b，则下列比列式正确的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列图形中，是相似形的是（ ） A所有平行四边形 B所有矩形 C所有菱形 D所有正方形 4 （3 分）如图，正五边形 ABCDE
2、 内接于O，则ABD 的度数为（ ） A60 B72 C78 D144 5 （3 分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 若出售 1500 件衬衣，则其中的次品最接近（ ）件 A100 B150 C200 D240 6 （3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC40，则D 的度数是（ ） A140 B135 C130 D125 7 （3 分）已知点 A（3，m） ，B（3，m） ，C（1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，
3、这个函数可能是 （ ） Ayx+2 By Cyx2+2 Dyx22 8 （3 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E，点 F 在线段 BC 上，且 ACEFDB若 BE5，BF3，AE BC，则的值为（ ） A B C D 9 （3 分）二位同学在研究函数 ya（x+3） （x） （a 为实数，且 a0）时，甲发现当 0a1 时，函数 图象的顶点在第四象限；乙发现方程 a（x+3） （x）+50 必有两个不相等的实数根则（ ） A甲、乙的结论都错误 B甲的结论正确，乙的结论错误 C甲、乙的结论都正确 D甲的结论错误，乙的结论正确 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC4点 D
4、 为边 AC 上的动点，作菱形 DEFG，使 点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上若这样的菱形能作出 2 个，则 AD 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）一个布袋里放有 5 个红球，3 个球黄球和 2 个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一 个球是黑球的概率是 12（4 分） 如图， 点 A， B， C 都在O 上AOC130， ACB40， AOB ， 弧 BC 13 （4 分）已知二次函数 y2x2+4x+6，用配方法化为 ya（xm）2+k 的形式为
5、 ，这个二次函 数图象的顶点坐标为 14 （4 分）在 RtABC 中，AC：BC1：2，则 sinB 15 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别在边 AC，BC 上，且CDEB，将CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处若 AC2BC，则的值为 16 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 F 在圆上，且，BE2，CD8，CF 交 AB 于点 G，则弦 CF 的长为 ，AG 的长为 三、解答题；本大题有三、解答题；本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤. 17（6 分） 如图， 为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点 A 测得河北岸的树 C 在点 A 的北偏东 60 方向，然后向东走 10 米到达 B 点，测得树 C 在点 B 的北偏东 30方向，试根据学习小组的测量数据计 算河宽 18 （8 分）如图，某科技馆展大厅有 A，B 两个入口，C，D，E 三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽 大厅，参观结束后任选一个出口离开 （1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口 C 离开的概率 （2）求小购选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的概率， （请用列表或画树状图求解） 19 （8 分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形
7、是抛物线当水面宽为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m （1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式 （2）若水面上升 1m，水面宽度将减少多少？ 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证：BDCD （2）若弧 DE50，求C 的度数 （3）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BC8，AF3BF，求弧 BD 的长 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上且 AEABADAC，连结 DE，BD （1）求证：ADEABC （2）若点 E 为 AB 中点，AD：AE6：5，A
8、BC 的面积为 50，求BCD 的面积 22 （12 分）已知二次函数 yax2+bx4（a，b 是常数，且 a0）的图象过点（3，1） （1）试判断点（2，22a）是否也在该函数的图象上，并说明理由 （2）若该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求该函数的表达式 （3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当 x1x2时，始终都有 y1y2，求 a 的取值范围 23 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上（不与点 C，D 重合） ，连结 AE，BD 交于点 F （1）若点 E 为 CD 中点，AB2，求 AF 的长 （2）若 tanAFB2，求
9、的值 （3）若点 G 在线段 BF 上，且 GF2BG，连结 AG，CG，x，四边形 AGCE 的面积为 S1，ABG 的面积为 S2，求的最大值 2019-2020 学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （3 分）cos60的值等于（ ） A B C D 【分析】根据特殊角的三角函数
10、值解题即可 【解答】解：cos60 故选：A 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键 2 （3 分）若 2a3b，则下列比列式正确的是（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质即可得到结论 【解答】解：2a3b， ， 故选：C 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 3 （3 分）下列图形中，是相似形的是（ ） A所有平行四边形 B所有矩形 C所有菱形 D所有正方形 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案 【解答】解：A、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B、所有矩形，属于形状不唯一确定
11、的图形，不一定相似，故错误； C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确 故选：D 【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形 4 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 内接于O，则ABD 的度数为（ ） A60 B72 C78 D144 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出ABC、CDCB，根据等腰三角形的性质求出 CBD，计算即可 【解答】解：五边形 ABCDE 为正五边形， ABCC108， CDCB， CBD36， ABDABCCBD72， 故选：B 【点评
12、】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和 等于（n2）180是解题的关键 5 （3 分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 若出售 1500 件衬衣，则其中的次品最接近（ ）件 A100 B150 C200 D240 【分析】求出总合格率，次品率，进而求出次品数量，对照做出选择 【解答】解：1500（1）151.6 件 故选：B 【点评】考查频数分布表的意义，合格率的计算方法，从统计表中
13、获取数据和数据之间的关系是解决问 题的关键 6 （3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC40，则D 的度数是（ ） A140 B135 C130 D125 【分析】先利用圆周角定理得到ACB90，则利用互余得到B 的度数，然后根据圆内接四边形的 性质得到D 的度数 【解答】解：AB 是半圆 O 的直径， ACB90， B90BAC904050， B+D180， D18050130 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 7 （3 分）已知点 A
14、（3，m） ，B（3，m） ，C（1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是 （ ） Ayx+2 By Cyx2+2 Dyx22 【分析】由点 A（3，m） ，B（3，m）的坐标特点，于是排除选项 A、B；再根据 A（3，m） ，C（ 1，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即 a0，故 D 选项正确 【解答】解：A（3，m） ，B（3，m） ， 点 A 与点 B 关于 y 轴对称； 由于 yx+2 不关于 y 轴对称，y的图象关于原点对称，因此选项 A、B 错误； n20， m+n2+1m； 由 A（3，m） ，C（1，m+n2+1）可知，在对称轴的右侧，
15、y 随 x 的增大而减小， 对于二次函数只有 a0 时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答 案 8 （3 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E，点 F 在线段 BC 上，且 ACEFDB若 BE5，BF3，AE BC，则的值为（ ） A B C D 【分析】设 CFx，则，求出 CF，由 EFDB 可求出的值 【解答】解：设 CFx， EFAC， ， ， 解得 x， CF， EFDB， 故选：A 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识 9
16、（3 分）二位同学在研究函数 ya（x+3） （x） （a 为实数，且 a0）时，甲发现当 0a1 时，函数 图象的顶点在第四象限；乙发现方程 a（x+3） （x）+50 必有两个不相等的实数根则（ ） A甲、乙的结论都错误 B甲的结论正确，乙的结论错误 C甲、乙的结论都正确 D甲的结论错误，乙的结论正确 【分析】由函数解析式确定函数与 x 轴的两个交点的横坐标分别是3 和，再由函数的对称性确定函 数顶点的横坐标为，根据甲的说法求 0a1 时的范围，即可确定甲的说法错误；将方程 a（x+3） （x）+50 化为一元二次方程 ax2+（3a2）x10，求判别式9（a）2+0， 即可确定方程的根的
17、情况 【解答】解：由函数 ya（x+3） （x）可知，函数与 x 轴的两个交点的横坐标分别是3 和， 函数顶点的横坐标为， 0a1， ， 函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误； a（x+3） （x）+50 可以化为 ax2+（3a2）x10， （3a2）2+4a9a28a+49（a）2+0， a（x+3） （x）+50 必有两个不相等的实数根， 故乙的结论正确； 故选：D 【点评】本题考查根的判别式；熟练掌握一元二次函数对称性，一元二次方程判别式与根的关系是解题 的关键 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC4点 D 为边 AC 上的动点，作菱形 DEFG，使 点 E、
18、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上若这样的菱形能作出 2 个，则 AD 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】求出几种特殊位置的 CD 的值判断即可 【解答】解：如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AB5，BC4， AC3， 则 CDx，ADx， AD+CDAC， x+x3， x， CDx， 观察图象可知：0CD时，菱形的个数为 0 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DGAB， ， ， 解得 m， CD3， 如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n DGAB， ， ，
19、n， CG4， CD， 观察图象可知：当 0CD或CD3 时，菱形的个数为 0，当 CD或CD时，菱形 的个数为 1，当CD时，菱形的个数为 2此时AD 故选：B 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键 是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）一个布袋里放有 5 个红球，3 个球黄球和 2 个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一 个球是黑球的概率是 【分析】根据概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以
20、小球总个数即可得出得到黑球的概率 【解答】解：在一个布袋里放有 5 个红球，3 个球黄球和 2 个黑球，它们除了颜色外其余都相同， 从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为： 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关 键 12（4 分） 如图， 点 A， B， C 都在O 上AOC130， ACB40， AOB 80 ， 弧 BC 50 【分析】直接利用圆周角定理得到AOB80，再计算出BOC50，从得到的度数 【解答】解：AOB2ACB24080， BOCAOCAOB1308050， 的度数为 50 故答案为 80，50 【点评】本题
21、考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半 13 （4 分） 已知二次函数 y2x2+4x+6， 用配方法化为 ya （xm） 2+k 的形式为 y2 （x1）2+8 ， 这个二次函数图象的顶点坐标为 （1，8） 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般 式转化为顶点式，从而得出顶点坐标 【解答】解：y2x2+4x+62（x22x）+62（x1）2+8， 顶点（1，8） 故答案为：y2（x1）2+8， （1，8） 【点评】此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点的确定
22、方法 14 （4 分）在 RtABC 中，AC：BC1：2，则 sinB 或 【分析】当C90时，根据勾股定理，可得 AB，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得 答案 当A90时，由锐角三角函数的定义作答即可 【解答】解：当C90时，设 ACx，BC2x，由勾股定理，得 ABx 由三角函数的正弦等于对边比斜边，得 sinB， 当A90时，sinB 综上所述，sinB 的值是或 故答案是：或 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比 斜边，正切为对边比邻边 15 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别在边 AC，BC 上
23、，且CDEB，将CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处若 AC2BC，则的值为 【分析】如图，设 DE 交 CF 于 O设 ODa了直角三角形求出 DE，CF（用 a 表示）即可解决问题 【解答】解：如图，设 DE 交 CF 于 O设 ODa 由翻折可知：DCDF，ECEF， DE 垂直平分线段 CF， DOC90，OCOF， CDEB， tanCDOtanB， 2， OCOF2a，CF4a， ECO+DCO90，DCO+CDO90， ECOCDO， tanECO2， OE4a，DE5a， ， 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会利
24、用参数解决问题，属于中考常 考题型 16 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 F 在圆上，且，BE2，CD8，CF 交 AB 于点 G，则弦 CF 的长为 ，AG 的长为 【分析】 连结 DF， OC， 先求出 OC5， 连结 DO 并延长交 CF 于点 H， 证明DHFCEO， 可得 ，可求出 FH 和 DH 的长，求出 CF 和 OH 长，证明GHOCEO，可得，可求出 OG 长，则 AG 的长可求出 【解答】解：连结 BC，DF，OC，连结 DO 并延长交 CF 于点 H， 弦 CDAB 于点 E，CD8， CE4， 设 OCx，则 OEx2， OE2+CE2
25、OC2， （x2）2+42x2， 解得 x5， OC5， OE523， ， DFCD，CFDCOB，DHCF， FHDOEC90， DHFCEO， ， ， FH，DH， CF2FH， OHDHOD， CFDCOBBOD，BODGOH， GOHDFH， GHOOEC90， GHOCEO， ， ， OG， AGOAOG5 故答案为：， 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 三、解答题；本大题有三、解答题；本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分
26、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（6 分） 如图， 为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点 A 测得河北岸的树 C 在点 A 的北偏东 60 方向，然后向东走 10 米到达 B 点，测得树 C 在点 B 的北偏东 30方向，试根据学习小组的测量数据计 算河宽 【分析】由题意得到CAB30，CBD60，求得CABACB，根据等腰三角形的性质得到 BCAB10，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：由题意得，CAB30，CBD60， ACBCBDCAB30， CABACB， BCAB10， CDBD， CDBC5， 答：河宽为 5 【点评】考查了解直角三角形的应用方向角
27、问题，此题是数学建模思想的典型范例，比较简单 18 （8 分）如图，某科技馆展大厅有 A，B 两个入口，C，D，E 三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽 大厅，参观结束后任选一个出口离开 （1）若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口 C 离开的概率 （2）求小购选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的概率， （请用列表或画树状图求解） 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小购选择从入口 A 进入， 从出口 E 离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）他选择从出口 C 离开的概率为； （2）画树形
28、图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有 6 种，其中选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的只有 1 种结果， 选择从入口 A 进入，从出口 E 离开的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中 选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 19 （8 分）如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线当水面宽为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m （1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式 （2）若水面上升 1m，水面宽度将减少多少？ 【分析】C 为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标
29、，用待定系数法求解析式，然后令 y3 求得 x 的值即可解得答案 【解答】解：以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A（6，4） ，B（6，4）C（0，0） 设 yax2， 把 B（6，4）代入上式， 36a+40， 解得：a， yx2； 令 y3 得：x23， 解得：x3， 若水面上升 1m，水面宽度将减少 126 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用，恰当的选取坐标原点，求出 各点的坐标是解决问题的关键 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证：BDCD （2）若弧 DE50，求C
30、 的度数 （3）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BC8，AF3BF，求弧 BD 的长 【分析】 （1）连接 AD，利用圆周角定理推知 ADBD，然后由等腰三角形的性质证得结论； （2）根据已知条件得到EOD50，结合圆周角定理求得DAC25，所以根据三角形内角和定理 求得ABD 的度数，则CABD，得解； （3） 设半径 ODx 则 AB2x 由 AF3BF 可得 AFABx， BFABx， 根据射影定理知： BD2BFAB，据此列出方程求得 x 的值，最后代入弧长公式求解 【解答】 （1）证明：如图，连接 AD AB 是圆 O 的直径， ADBD 又ABAC， BDCD （2）解：弧
31、DE50， EOD50 DAEDOE25 由（1）知，ADBD，则ADB90， ABD902565 ABAC， CABD65 （3）BC8，BDCD， BD4 设半径 ODx则 AB2x 由 AF3BF 可得 AFABx，BFABx， ADBD，DFAB， BD2BFAB，即 42x2x 解得 x4 OBODBD4， OBD 是等边三角形， BOD60 弧 BD 的长是： 【点评】考查了三角形综合题，综合应用了圆周角定理，圆心角定理，等腰三角形的判定与性质，等边 三角形的判定与性质，弧长公式，射影定理等知识点，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E
32、 分别在边 AC，AB 上且 AEABADAC，连结 DE，BD （1）求证：ADEABC （2）若点 E 为 AB 中点，AD：AE6：5，ABC 的面积为 50，求BCD 的面积 【分析】 （1）由已知得出 AE：ACAD：AB，由AA，即可得出：ADEABC （2）设 AD6x，则 AE5x，AB10 x，由已知求出 ACx，得出 CDACADx，得 出，由三角形面积关系即可得出答案 【解答】 （1）证明：AEABADAC， AE：ACAD：AB， AA， ADEABC （2）解：点 E 为 AB 中点， AEBE， AD：AE6：5， 设 AD6x，则 AE5x，AB10 x， AEA
33、BADAC， ACx， CDACADx， ， ABC 的面积为 50， BCD 的面积5014 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解题的关键 22 （12 分）已知二次函数 yax2+bx4（a，b 是常数，且 a0）的图象过点（3，1） （1）试判断点（2，22a）是否也在该函数的图象上，并说明理由 （2）若该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求该函数的表达式 （3）已知二次函数的图象过（x1，y1）和（x2，y2）两点，且当 x1x2时，始终都有 y1y2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将点（3，1）代入解析式，求出
34、 a、b 的关系，再将将点（2，22a）代入 yax2+bx4 判断即可； （2）二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，所以（13a）2+16a0，求出 a 的值； （3）抛物线对称轴 x，当 a0，时，a；当 a0，时，a（舍去） 【解答】解： （1）将点（3，1）代入解析式，得 3a+b1， yax2+（13a）x4， 将点（2，22a）代入 yax2+bx4，得 4a+2（13a）422a22a， 点（2，22a）不在抛物线图象上； （2）二次函数的图象与 x 轴只有一个交点， （13a）2+16a0， a1 或 a， yx2+4x4 或 yx2+x4； （3）抛物线对称轴 x， 当 a
35、0，时，a； 当 a0，时，a（舍去） ； 当 a满足所求； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，以及图象上点的特征是解 题的关键 23 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上（不与点 C，D 重合） ，连结 AE，BD 交于点 F （1）若点 E 为 CD 中点，AB2，求 AF 的长 （2）若 tanAFB2，求的值 （3）若点 G 在线段 BF 上，且 GF2BG，连结 AG，CG，x，四边形 AGCE 的面积为 S1，ABG 的面积为 S2，求的最大值 【分析】 （1）由勾股定理可求 AE 的长，通过证明ABFEDF，可得，可求
36、 AF 的长； （2）由正方形的性质可得 BDAB，AOBD，AOBOCODOAB，由锐角三角函数可求 OFAOAB，即可求解； （3）分别求出 S1，S2，即可求解 【解答】解： （1）点 E 为 CD 中点，ABADCD2， DE， AE5， ABCD， ABFEDF， ， AF2EF，且 AF+EF5， AF； （2）如图 1，连接 AC， 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD，BDAB，AOBD，AOBOCODO， AODOBOAB， tanAFB2， OFAOAB， DFODOFAB，BFOB+OFAB， ； （3）如图 2，设 ABCDADa，则 BDa， x， DExa， SADEADDExa2， ABFEDF， x， DFxBF， SABFa2， GF2BG， S2SABGSABF， ABCB，ABGCBG，BGBG， ABGCBG（SAS） SABGSCBG， S1四边形 AGCE 的面积a2xa22 3x2+3x+43（x）2+ 当 x时，的最大值为 【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，锐角三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键
