1、2019-2020 学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）正五边形的每个内角度数为（ ） A36 B72 C108 D120 2 （4 分）在同一平面上，O 外有一定点 P 到圆上的距离最长为 10，最短为 2，则O 的半径是（ ） A5 B3 C6 D4 3 （4 分）由抛物线 yx2平移得到抛物线 y（x+3）2，则下列平移方式可行的是（ ） A向上平移 3 个单位长度 B向下平移 3 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度 D向右平
2、移 3 个单位长度 4 （4 分）一个不透明的盒子装有 m 个除颜色外完全相同的球，其中有 4 个白球每次将球充分搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色后再放回盒子， 通过如此大量重复试验， 发现摸到白球的频率稳定在 0.2 左右， 则 m 的值约为（ ） A8 B10 C20 D40 5 （4 分） 二次函数 yax2+bx+c 部分图象如图所示， 有以下结论： abc0； b24ac0； 3ab0， 其中正确的是（ ） A B C D 6 （4 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB，若 AB3BD， 则 SADE：SEFC的值为（ ）
3、 A4：1 B3：2 C2：1 D3：1 7 （4 分）已知点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（4，y3）在二次函数 yx26x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By1y2y3 Cy3y1y2 Dy2y3y1 8 （4 分）在圆内接四边形 ABCD 中，与的比为 3：2，则B 的度数为（ ） A36 B72 C108 D216 9 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交，则 图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 10 （4 分）如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC
4、交与点 E，CPDAB，BC 交 PD 与点 F，AD 交 PC 于点 G，则下列结论中错误的是（ ） ACGECBP BAPDPGD CAPGBFP DPCFBCP 11 （4 分）如图，小江同学把三角尺含有 60角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有 45角） 的孔洞中，已知孔洞的最长边为 2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ） A B C D 12 （4 分）如图，平行四边形 HEFG 的四个顶点分别在正方形 ABCD 的四条边上NEAD，分别交 DC， HG，AB 于点 N，M，E，且 CGMN要求得平行四边形 HEFG 的面积，只需知道一条线段的长度这 条线段可以是（
5、） AEH BAE CEB DDH 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）若，则的值为 14 （4 分）从1，0，1.6 中随机取一个数，取到无理数的概率是 15 （4 分）如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BCAD，迎水坡 AB 长 26 米，且斜坡 AB 的坡度为 ，则河堤的高 BE 为 米 16 （4 分）如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE3cm，DE7cm，则弦 AB cm 17（4分） 如图， 已知点M （a， b） 是函数yx2+x+2图象上的一个动点 若|a|1， 则b的取值范围是 18 （4 分）如
6、图，已知等边ABC 的边长为 4，BDAB，且 BD连结 AB，CD 并延长交于点 E， 则线段 BE 的长度为 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 6 分，第分，第 20、21 题各题各 8 分，第分，第 22-24 题各题各 10 分，第踮分，第踮 5 题题 12 分，第分，第 26 题题 14 分，分， 共共 78 分）分） 19 （6 分）计算：2sin30+cos60cos245 20 （8 分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清， 如果用 X，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为 1877X817Y52（手机号码由 11
7、 个数字组成） ， 小王记得这 11 个数字之和是 20 的整数倍 （1）求 X+Y 的值； （2）求出小王一次拨对小李手机号的概率 21 （8 分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图 1 的滑板车或图 2 的自行车，已知前后车 轮半径相同，ADBDDE30cm，CE40cm，车杆 AB 与 BC 所成的ABC53，图 1 中 B、E、C 三点共线， 图 2 中的座板 DE 与地面保持平行 问变形前后两轴心 BC 的长度有没有发生变化？若不变， 请写出 BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53，cos53，tan53） 22 （10 分）如图，在一座圆弧形拱桥，它
8、的跨度 AB 为 60m，拱高 PM 为 18m，当洪水泛滥到跨度只有 30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有 4m，即 PN4m 时，试通过计算说明是否需要 采取紧急措施 23 （10 分）如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围； （3）若直线与 y 轴的交点为 E，连结 AD、AE，求ADE 的面积 24 （10 分）某商店经销一种学生用双肩包，
9、已知这种双肩包的成本价为每个 30 元，市场调查发现，这种 双肩包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：yx+60（30 x60） 设这种双肩包 每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元 的销售利润，销售单价应定为多少元？ 25 （12 分）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称 为对半线 （1）如图 1，在对半四边形 ABCD
10、中，A+B（C+D） ，求A 与B 的度数之和； （2）如图 2，O 为锐角ABC 的外心，过点 O 的直线交 AC，BC 于点 D，E，OAB30，求证：四 边形 ABED 是对半四边形； （3）如图 3，在ABC 中，D，E 分别是 AC，BC 上一点，CDCE3，CE3EB，F 为 DE 的中点， AFB120，当 AB 为对半四边形 ABED 的对半线时，求 AC 的长 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知M 的半径为 5，圆心 M 的坐标为（3，0） ，M 交 x 轴 于点 D，交 y 轴于 A，B 两点，点 C 是上的一点（不与点 A、D、B 重合） ，连结 AC
11、并延长，连结 BC，CD，AD （1）求点 A 的坐标； （2）当点 C 在上时 求证：BCDHCD； 如图 2，在 CB 上取一点 G，使 CACG，连结 AG 求证：ABGADC； （3）如图 3，当点 C 在上运动的过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，请直接写出 该定值；若变化，请说明理由 2019-2020 学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）正五边形的每个内角度数为（ ） A36 B7
12、2 C108 D120 【分析】求出正五边形的每个外角即可解决问题 【解答】解：正五边形的每个外角72， 正五边形的每个内角18072108， 故选：C 【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 2 （4 分）在同一平面上，O 外有一定点 P 到圆上的距离最长为 10，最短为 2，则O 的半径是（ ） A5 B3 C6 D4 【分析】画出图形，根据图形和题意得出 PB 的长是 P 到O 的最长距离，PA 的长是 P 到O 的最短距 离，求出圆的直径，即可求出圆的半径 【解答】解：如图，PB 的长是 P 到O 的最长距离，PA 的长是 P 到O 的最短距
13、离， 圆外一点 P 到O 的最长距离为 10，最短距离为 2， 圆的直径是 1028， 圆的半径是 4， 故选：D 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线 PO（O 为圆心） ，交O 于 A、B 两点，则得出 P 到O 的最长距离是 PB 长，最短距离是 PA 的长 3 （4 分）由抛物线 yx2平移得到抛物线 y（x+3）2，则下列平移方式可行的是（ ） A向上平移 3 个单位长度 B向下平移 3 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度 【分析】先确定抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，抛物线 y（x+3）2的顶点坐标为（3，0） ，然后 利用顶点的
14、平移情况确定抛物线的平移情况 【解答】解：抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，抛物线 y（x+3）2的顶点坐标为（3，0） ， 因为点（0，0）向左平移 3 个单位长度后得到（3，0） ， 所以把抛物线 yx2向左平移 3 个单位得到抛物线 y（x+3）2 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移 后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法 求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 4 （4 分）一个不透明的盒子装有 m 个除颜色外完全相同的球，其中有 4 个白球每
15、次将球充分搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色后再放回盒子， 通过如此大量重复试验， 发现摸到白球的频率稳定在 0.2 左右， 则 m 的值约为（ ） A8 B10 C20 D40 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球 的频率稳定在 0.2 左右得到比例关系，列出方程求解即可 【解答】解：根据题意得： 0.2， 解得：m20， 经检验：m20 是分式方程的解， 答：m 的值约为 20； 故选：C 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据白球的频率得到相应的等 量关系 5 （4 分） 二次函数 yax2+bx+c 部
16、分图象如图所示， 有以下结论： abc0； b24ac0； 3ab0， 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】c0，ab0，故正确，即可求解； 函数与 x 轴有两个交点，故 b24ac0，即可求解； 函数的对称轴为：x，故 b3a，即可求解 【解答】解：c0，ab0，故正确，符合题意； 函数与 x 轴有两个交点，故 b24ac0，正确，符合题意； 函数的对称轴为：x，故 b3a，故正确，符合题意； 故选：A 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与 坐标轴的交点及顶点的坐标等 6 （4 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 A
17、B，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB，若 AB3BD， 则 SADE：SEFC的值为（ ） A4：1 B3：2 C2：1 D3：1 【分析】由题意可证四边形 BDEF 是平行四边形，可得 BDEF，AD2EF，通过证明ADEEFC， 可求解 【解答】解：AB3BD， AD2BD， DEBC，EFAB， 四边形 BDEF 是平行四边形， BDEF， AD2EF， DEBC，EFAB， AEDC，FECA， ADEEFC， SADE：SEFC的（）24：1， 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定 和性质是解题的关键 7 （4 分
18、）已知点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（4，y3）在二次函数 yx26x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By1y2y3 Cy3y1y2 Dy2y3y1 【分析】 由抛物线开口向上且对称轴为直线 x3 知离对称轴水平距离越远， 函数值越大， 据此求解可得 【解答】解：二次函数 yx26x+c 中 a10， 抛物线开口向上，有最小值 x3， 离对称轴水平距离越远，函数值越大， 由二次函数图象的对称性可知 324331， y2y3y1 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质 8 （4 分）在圆
19、内接四边形 ABCD 中，与的比为 3：2，则B 的度数为（ ） A36 B72 C108 D216 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得到B：D3：2，根据圆内接四边形的性质列式计算，得 到答案 【解答】解：与的比为 3：2， B：D3：2， 设B、D 分别为 3x、2x， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， B+D180，即 3x+2x180， 解得，x36， 则B3x108， 故选：C 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆内接四边形的对角互 补是解题的关键 9 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形
20、ABCD 相交，则 图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】根据在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交，可以 得到圆的半径的长度和圆内各角的度数，然后根据阴影部分的面积AOE4+扇形 OEF 的面积2 计 算即可解答本题 【解答】解：在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交， EAO60，OCF60，OAOEOFOCOGOH2， EOFFOCCOGGOHHOAAOE60， 阴影部分的面积为：4+， 故选：D 【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的面积、菱形的性质，解答本题的关键是
21、明确题意，利 用数形结合的思想解答 10 （4 分）如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交与点 E，CPDAB，BC 交 PD 与点 F，AD 交 PC 于点 G，则下列结论中错误的是（ ） ACGECBP BAPDPGD CAPGBFP DPCFBCP 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解 【解答】解：CPDAB，且APDB+PFBAPC+CPD， APCBFP，且AB， APGBFP，故选项 C 不合题意， ACPD，DD， APDPGD，故选项 B 不合题意， BCPD，CC， PCFBCP，故选项 D 不合题意， 由条件无法证明CGECBP， 故选项 A 符合题意， 故
22、选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢固掌握相似三角形的判定是本题的关键 11 （4 分）如图，小江同学把三角尺含有 60角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有 45角） 的孔洞中，已知孔洞的最长边为 2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ） A B C D 【分析】由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大，故可求解 【解答】解：由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大， 孔洞的最长边为 2cm， 三角尺穿过孔洞部分的最大面积22（cm2） ； 故选：B 【点评】本题考查了含 30角的直角三角形、等边三角形的性质等知识；由题意可知当三角尺穿过孔洞
23、 部分为等边三角形时面积最大是解题的关键 12 （4 分）如图，平行四边形 HEFG 的四个顶点分别在正方形 ABCD 的四条边上NEAD，分别交 DC， HG，AB 于点 N，M，E，且 CGMN要求得平行四边形 HEFG 的面积，只需知道一条线段的长度这 条线段可以是（ ） AEH BAE CEB DDH 【分析】作辅助线，构建正方形 MEBP，证明 DGBEBM，根据平行四边形和正方形、三角形面积的 关系得：SEFMSGHEFS正方形MEBP，所以求得平行四边形 HEFG 的面积，只需知道一条线段 BE 的长度即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， CDBC，CDAB， NEAD
24、， NEADBC， CGMN， DGEM， 连接 EG，FM，过 M 作 MPBC 于 P， 四边形 EFGH 是平行四边形， GHEF，GHEF， EGHFEG， DCAB， DGEBEG， DGHBEF， 在GDH 和EBF 中， ， GDHEBF（AAS） ， DGBE， EMBE， 四边形 MEBP 是正方形， SEFMSGHEFS正方形MEBP， SGHEFS正方形MEBP， 求得平行四边形 HEFG 的面积，只需知道 BE 即可； 故选：C 【点评】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性 质、三角形和四边形的面积等知识注意准确作出辅助线是解
25、此题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）若，则的值为 【分析】设k，利用比例的性质得到 a5k，b3k，然后把 a5k，b3k 代入代数式中进行分式 的运算即可 【解答】解：设k，则 a5k，b3k， 所以 故答案为 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质是解决此类问题的关键 14 （4 分）从1，0，1.6 中随机取一个数，取到无理数的概率是 【分析】直接利用概率公式可得答案 【解答】解：在所列的 5 个数中，无理数是 和， 随机取一个数，取到无理数的概率是， 故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机
26、事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结 果数所有可能出现的结果数 15 （4 分）如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BCAD，迎水坡 AB 长 26 米，且斜坡 AB 的坡度为 ，则河堤的高 BE 为 24 米 【分析】由已知斜坡 AB 的坡度，可得到 BE、AE 的比例关系，进而由勾股定理求得 BE、AE 的长， 由此得解 【解答】解：由已知斜坡 AB 的坡度，得： BE：AE12：5， 设 AE5x，则 BE12x， 在直角三角形 AEB 中，根据勾股定理得： 2625x2+（12x）2， 即 169x2676， 解得：x2 或 x2（舍去） ， 5x10，12x24 即
27、河堤高 BE 等于 24 米 故答案为：24 【点评】本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形，难 度不大 16 （4 分）如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE3cm，DE7cm，则弦 AB 2 cm 【分析】连接 OA，如图，先计算出 OCOA5，OE2，再根据垂径定理得到 AEBE，然后利用勾股 定理计算出 AE，从而得到 AB 的长 【解答】解：连接 OA，如图， CE3，DE7， CD10， OCOA5，OE2， ABCD， AEBE， 在 RtAOE 中，AE， AB2AE2（cm） 故答案为 2 【点评】本题考查了垂径定理：
28、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 17 （4 分）如图，已知点 M（a，b）是函数 yx2+x+2 图象上的一个动点若|a|1，则 b 的取值范围是 【分析】求得抛物线与 x 轴的交点坐标，根据题意得出1a1，由图象可知 0b 【解答】解：函数 yx2+x+2 中，令 y0，则x2+x+20， 解得 x1 或 2， 抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， （2，0） ， 点 M（a，b）是函数 yx2+x+2 图象上的一个动点|a|1， 1a1， yx2+x+2（x）2+， 当 x时，有最大值， b 的取值范围是 0b， 故答案为 0b 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标
29、特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键 18 （4 分）如图，已知等边ABC 的边长为 4，BDAB，且 BD连结 AB，CD 并延长交于点 E， 则线段 BE 的长度为 1 【分析】如图，作 CTAB 于 T利用相似三角形的性质解决问题即可 【解答】解：如图，作 CTAB 于 T ABC 是等边三角形，CTAB， CBT60，BTAT2， CTBCsin602， DBAB， DBCT， EBDETC， ， ， BE1， 故答案为 1 【点评】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题 三、解答题（第三、解
30、答题（第 19 题题 6 分，第分，第 20、21 题各题各 8 分，第分，第 22-24 题各题各 10 分，第踮分，第踮 5 题题 12 分，第分，第 26 题题 14 分，分， 共共 78 分）分） 19 （6 分）计算：2sin30+cos60cos245 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：2sin30+cos60cos2451 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型 20 （8 分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清， 如果用 X，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的
31、号码为 1877X817Y52（手机号码由 11 个数字组成） ， 小王记得这 11 个数字之和是 20 的整数倍 （1）求 X+Y 的值； （2）求出小王一次拨对小李手机号的概率 【分析】 （1）设这 11 个数字之和是 20 的 a 倍，先根据题意列出 X+Y 和 a 之间的等量关系，再求解即可 得出答案； （2）由（1）得出 X，Y 的可能值，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）设这 11 个数字之和是 20 的 a 倍， 根据题意，得 1+8+7+7+X+8+1+7+Y+5+220a， 即 X+Y20a46， 0X+Y18， 020a4618， 解得 2.3a3.2， a
32、是整数， a3， X+Y20a46604614； （2）X、Y 的可能值为 9 和 5，8 和 6，7 和 7，6 和 8，5 和 9， 小王一次拨对小李手机号码的概率 【点评】此题主要考查了不等式组和方程的综合运用以及概率的求法解题的关键是根据实际意义得到 所需要的相等关系和不等关系利用未知数的整数值求解用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 21 （8 分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图 1 的滑板车或图 2 的自行车，已知前后车 轮半径相同，ADBDDE30cm，CE40cm，车杆 AB 与 BC 所成的ABC53，图 1 中 B、E、C 三点共线， 图 2 中的
33、座板 DE 与地面保持平行 问变形前后两轴心 BC 的长度有没有发生变化？若不变， 请写出 BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53，cos53，tan53） 【分析】分别求出两个图形中 BC 的长度，比较后即可得出答案 【解答】解：如图 1，过点 D 作 DFBE 于点 F， 由题意知 BDDE30cm， BFBDcosABC3018（cm） ， BE2BF36cm， 则 BCBE+CE76cm， 如图 2，过点 D 作 DMBC 于 M，过点 E 作 ENBC 于点 N， 由题意知四边形 DENM 是矩形， MNDE30cm， 在 RtDBM 中，BMBDcosABC30
34、18（cm） ，ENDMBDsinABC3024（cm） ， 在 RtCEN 中，CE40cm， 由勾股定理可得 CN32cm， 则 BC18+30+3280（cm） ， 答：BC 的长度发生了改变，增加了 4cm 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练 掌握三角函数的应用 22 （10 分）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度 AB 为 60m，拱高 PM 为 18m，当洪水泛滥到跨度只有 30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有 4m，即 PN4m 时，试通过计算说明是否需要 采取紧急措施 【分析】 由垂径定理可知 AMBM
35、、 ANBN， 利用 AB60， PM18， 可先求得圆弧所在圆的半径， 再计算当 PN4 时 AB的长度，与 30 米进行比较大小即可 【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为 O，连接 OA、OA，设半径为 x 米， 则 OAOAOP， 由垂径定理可知 AMBM，ANBN， AB60 米， AM30 米，且 OMOPPM（x18）米， 在 RtAOM 中，由勾股定理可得 AO2OM2+AM2， 即 x2（x18）2+302，解得 x34， ONOPPN34430（米） ， 在 RtAON 中，由勾股定理可得 AN16（米） ， AB32 米30 米， 不需要采取紧急措施 【点评】本题主要考查垂径定
36、理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思 想的应用 23 （10 分）如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围； （3）若直线与 y 轴的交点为 E，连结 AD、AE，求ADE 的面积 【分析】 （1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点 A、B、C，即可解答本题； （2）根据题意可以求得点 D 的坐标，再根据函数图象即可解答本题； （3）
37、根据题意作出辅助线，即可求得ADE 的面积 【解答】解： （1）设二次函数解析式为 yax2+bx+c， ， 解得，a1，b2，c3， 即二次函数的解析式是 yx22x+3； （2）yx22x+3， 该函数的对称轴是直线 x1， 点 C（0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点， 点 D（2，3） ， 一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x2 或 x1； （3）点 A（3，0） 、点 D（2，3） 、点 B（1，0） ， 设直线 DE 的解析式为 ykx+m， 则，解得， 直线 DE 的解析式为 yx+1， 当 x0 时，y1， 点 E 的坐标为（0，1） ， 设直线 A
38、E 的解析式为 ycx+d， 则，得， 直线 AE 的解析式为 yx+1， 当 x2 时，y， ADE 的面积是：4 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与 x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答 24 （10 分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元，市场调查发现，这种 双肩包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：yx+60（30 x60） 设这种双肩包 每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大
39、利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元 的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【分析】 （1）每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案 【解答】解： （1）w（x30） y （x+60） （x30） x2+30 x+60 x1800 x2+90 x1800， w 与 x 之间的函数解析式 wx2+90 x1800； （2）根据题意得：wx2+90 x1800（x45）2+225， 10， 当 x45 时，w 有最大值，最大值是 225 （3
40、）当 w200 时，x2+90 x1800200， 解得 x140，x250， 5042，x250 不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为 40 元 【点评】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或 公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法 25 （12 分）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称 为对半线 （1）如图 1，在对半四边形 ABCD 中，A+B（C+D） ，求A 与B 的度数之和； （2）如图 2，O 为锐角ABC 的外心，过点 O 的直线
41、交 AC，BC 于点 D，E，OAB30，求证：四 边形 ABED 是对半四边形； （3）如图 3，在ABC 中，D，E 分别是 AC，BC 上一点，CDCE3，CE3EB，F 为 DE 的中点， AFB120，当 AB 为对半四边形 ABED 的对半线时，求 AC 的长 【分析】 （1）根据四边形内角和为 360及对半四边形的定义可求出A 与B 的度数之和； （2）连结 OC，由三角形外心的性质可得，OAOBOC，证CAB+CBA120，则另两个内角之 和为 240，由对半四边形的定义可以进行判定； （3）若 AB 为对半线，则CAB+CBA120，先证CDE 为等边三角形，再证ADFFEB
42、，由 相似三角形的性质求出 AD 的长，进一步求出 AC 的长 【解答】解： （1）由四边形内角和为 360，可得A+B+C+D360， 则A+B+2（A+B）360， A+B120； （2）如图 2，连结 OC，由三角形外心的性质可得，OAOBOC， OABOBA30，OCAOAC，OCEOBC， ACB（1803030）260， 则CAB+CBA120， 在四边形 ABED 中，CAB+CBA120， 则另两个内角之和为 240， 四边形 ABED 为对半四边形； （3）若 AB 为对半线，则CAB+CBA120， C60， 又CDCE， CDE 为等边三角形， CDECED60，DEDC
43、3， ADFFEB120， AFB120， DFA+EFB60， 又DAF+DFA60， DAFEFB， ADFFEB， ， CEDE3，CE3BE，F 是 DE 的中点， BE1，DFEF， ， AD， CACD+AD3+ 【点评】本题考查了新定义，新定义的判定及相似三角形的判定与性质等，解题关键熟练运用相似三角 的判定与性质及具有一定的自主学习能力，理解能力等 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知M 的半径为 5，圆心 M 的坐标为（3，0） ，M 交 x 轴 于点 D，交 y 轴于 A，B 两点，点 C 是上的一点（不与点 A、D、B 重合） ，连结 AC 并延长，连结
44、BC，CD，AD （1）求点 A 的坐标； （2）当点 C 在上时 求证：BCDHCD； 如图 2，在 CB 上取一点 G，使 CACG，连结 AG 求证：ABGADC； （3）如图 3，当点 C 在上运动的过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，请直接写出 该定值；若变化，请说明理由 【分析】 （1）如图 1，连结 MA，在 RtOMA 中，由勾股定理求出 OA 的长，即可写出点 A 的坐标； （2）如图 21，连接 BD，分别证BADDBA，DBAHCD，又因为BADBCD，即可 推出结论；在图 22 中，分别证CAGCGA，AGCHCD，推出AGBACD，又因为 ABGADC，即可推出结
45、论； （3） 如图 31， 当点 C 在上时， 在 AC 上截取 AN， 使 ANBC， 连接 BD， DN， 先证DANDBC， 再证ADBNDC，求出 【解答】解： （1）如图 1，连结 MA， 在 RtOMA 中，AM 为圆的半径 5，OM3， OA4， 点 A 的坐标为（0，4） ； （2）如图 21，连接 BD，由圆的对称性可得 ADBD， 则BADDBA， ACD+DBA180，ACD+HCD180， DBAHCD， 又BADBCD， BCDHCD； 在图 22 中，ACCG， CAGCGA， AGC+CAGHCB，且由（2）得HCDBCD AGCHCD， 180AGC180HCD
46、， 即AGBACD， ， ABGADC， AGBACD， （3）当点 C 在上运动的过程中，的值不发生变化，为，理由如下： 如图 31，当点 C 在上时，在 AC 上截取 AN，使 ANBC，连接 BD，DN， 由圆的对称性可得 ADBD， 又， DANDBC， DANDBC（SAS） ， DNDC，ADNBDC， ADN+NDBBDC+NDB， 即ADBNDC， 1， ADBNDC， ， AOBO4，ODOM+DM8， BD4， ， NCACANACBC， ， 的值不发生变化，为 【点评】 本题考查了圆的有关性质， 垂径定理， 全等三角形的判定与性质， 相似三角形的判定与性质等， 解题关键是灵活运用相似三角形的判定与性质等
