1、2020-2021 学年河南省信阳市商城县九年级（上）期中数学试卷学年河南省信阳市商城县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，每小题一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1用配方法解一元二次方程 x2+34x，下列配方正确的是（ ） A （x+2）22 B （x2）27 C （x+2）21 D （x2）21 2关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有两个实根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图
2、形的是（ ） A B C D 4 二次函数 yax2+bx+c （a， b， c 是常数， 且 a0） 中的 x 与 y 的部分对应值如下表所示， 则下列结论中， 正确的个数有（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 （1）a0； （2）当 x0 时，y3； （3）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小； （4）方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5如图，在ABC 中，AB2，BC3.6，B60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE，当点 B 的 对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为（ ） A1.6 B1.8
3、C2 D2.6 6如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为（a，b） ，则点 A的坐标 为（ ） A （a，b） B （ab1） C （a，b+1） D （a，b2） 7如图，已知O 的直径 AE10cm，BEAC，则 AC 的长为（ ） A5cm B5cm C5cm D6cm 8如图，RtAOB 中，ABOB，且 ABOB3，设直线 xt 截此三角形所得阴影部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A B C D 9小颖同学在手工制作中，把一个边长为 12cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三 个顶点恰好
4、都在这个圆上，则圆的半径为（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 10已知等边ABC，顶点 B（0，0） ，C（2，0） ，规定把ABC 先沿 x 轴绕着点 C 顺时针旋转，使点 A 落 在 x 轴上，称为一次变换，再沿 x 轴绕着点 A 顺时针旋转，使点 B 落在 x 轴上，称为二次变换，经过 连续 2017 次变换后，顶点 A 的坐标是（ ） A （4033，） B （4033，0） C （4036，） D （4036，0） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11写出一个解为 1 和 2 的一元二次方程： 12已知二次函数 yx2+2x+m 的
5、部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程x2+2x+m0 的根 为 13 如图， A 是O 上一点， BC 是直径， AC2， BC4， 点 D 在O 上且平分， 则ACD 的度数为 14如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，1） ，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90而得，则 AC 所 在直线的解析式是 15如图，在ABC 中，ACBC，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE若 AB2，ACB 30，则线段 CD 的长度为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）用适当的方法解方程 （1）x2x1
6、； （2）3x（x2）2（2x） 17 （9 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a20 （1）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 18 （9 分）在平面直角坐标系中，ABO 的三个顶点坐标分别为：A（2，3） 、B（3，1） 、O（0，0） （1）将ABO 向左平移 4 个单位，画出平移后的A1B1O1 （2）将ABO 绕点 O 顺时针旋转 180，画出旋转后得到的A2B2O此时四边形 ABA2B2的形状 是 （3）在平面上是否存在点 D，使得以 A、B、O、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写
7、出 符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由 19 （9 分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的 成本价为 8 元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 y（千 克）与销售单价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚 4800 千克，该品种蜜柚的保质期为 40 天，根据（2）中获得最大利润的方 式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由 20 （
8、9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径作O 交 AB 于点 D 点，连接 CD （1）求证：ABCD； （2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与O 相切？并说明理由 21 （10 分）对函数 y|x24x|3 的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整 （1）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象 列表 x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y 9 2 3 0 m 0 3 2 9 其中，m 描点：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点 连线：画出该函数的图象； （2）观察函数图象，写出两条函数的性质； （3）进一步
9、探究函数图象，并解决问题； 平行于 x 轴的一条直线 yk 与 y|x24x|3 的图象有两个交点，则 k 的取值范围为 已知函数yx3的图象如图所示， 结合你所画的函数图象， 写出方程|x24x|3x3的解为 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片 的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA（或它们 的延长线）于点 E、F，EDF60，当 CEAF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DEDF （1） 继续旋转三角形纸片， 当 CEAF 时， 如图 2 小芳的结论是否成立？
10、若成立， 加以证明； 若不成立， 请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的 数量关系； （3）连 EF，若DEF 的面积为 y，CEx，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最 小值是多少？ 23 （11 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C （1）求这个二次函数的表达式； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求BCP 面积的最大值； （3）直线 xm 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，
11、N，当BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值 2020-2021 学年河南省信阳市商城县九年级（上）期中数学试卷学年河南省信阳市商城县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，每小题一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1用配方法解一元二次方程 x2+34x，下列配方正确的是（ ） A （x+2）22 B （x2）27 C （x+2）21 D （x2）21 【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上 4，左边化为完全平方式，右边合 并即
12、可得到结果 【解答】解：x2+34x， 整理得：x24x3， 配方得：x24x+443，即（x2）21 故选：D 2关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有两个实根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 结论 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有两个实根， ， 解得：k1 且 k0 故选：C 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A
13、、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 4 二次函数 yax2+bx+c （a， b， c 是常数， 且 a0） 中的 x 与 y 的部分对应值如下表所示， 则下列结论中， 正确的个数有（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 （1）a0； （2）当 x0 时，y3； （3）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小； （4）方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 A4 个 B3
14、 个 C2 个 D1 个 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判 断即可得解 【解答】解： （1）由图表中数据可得出：x1 时，y1，所以二次函数 yax2+bx+c 开口向下，a 0，故（1）正确； （2）又 x0 时，y3，所以 c30，当 x0 时，y3，故（2）正确； （3）二次函数的对称轴为直线 x1.5，当 x1.5 时，y 的值随 x 值的增大而减小，故（3）错误； （4）yax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a0）的图象与 x 轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标5， 方程 ax2+bx+c50， ax2+bx+c5 时，即
15、是 y5 求 x 的值， 由图象可知：有两个不相等的实数根，故（4）正确； 故选：B 5如图，在ABC 中，AB2，BC3.6，B60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE，当点 B 的 对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为（ ） A1.6 B1.8 C2 D2.6 【分析】根据旋转变换的性质得到 ADAB，根据等边三角形的性质解答即可 【解答】解：由旋转的性质可知，ADAB， B60，ADAB， ADB 为等边三角形， BDAB2， CDCBBD1.6， 故选：A 6如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为（a，b） ，则点 A的坐标
16、为（ ） A （a，b） B （ab1） C （a，b+1） D （a，b2） 【分析】我们已知关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反数；还知道平移规律：上 加下减；左加右减在此基础上转化求解把 AA向上平移 1 个单位得 A 的对应点 A1坐标和 A对应 点 A2坐标后求解 【解答】解：把 AA向上平移 1 个单位得 A 的对应点 A1坐标为（a，b+1） 因 A1、A2关于原点对称，所以 A对应点 A2（a，b1） A（a，b2） 故选：D 7如图，已知O 的直径 AE10cm，BEAC，则 AC 的长为（ ） A5cm B5cm C5cm D6cm 【分析】连接 EC，根据
17、圆周角定理得到EB，ACE90，根据等腰直角三角形的性质计算即 可 【解答】解：连接 EC， 由圆周角定理得，EB，ACE90， BEAC， EEAC， CECA， ACAE5（cm） ， 故选：B 8如图，RtAOB 中，ABOB，且 ABOB3，设直线 xt 截此三角形所得阴影部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A B C D 【分析】RtAOB 中，ABOB，且 ABOB3，所以很容易求得AOBA45；再由平行线的性 质得出OCDA，即AODOCD45，进而证明 ODCDt；最后根据三角形的面积公式， 解答出 S 与 t 之间的函数关系式，由函数解
18、析式来选择图象 【解答】解：RtAOB 中，ABOB，且 ABOB3， AOBA45， CDOB， CDAB， OCDA， AODOCD45， ODCDt， SOCDODCD t2（0t3） ，即 St2（0t3） 故 S 与 t 之间的函数关系的图象应为定义域为0，3、开口向上的二次函数图象； 故选：D 9小颖同学在手工制作中，把一个边长为 12cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三 个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 【分析】作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径的代数式表示 出来，列出方程进
19、行即可解决问题 【解答】解：过点 A 作 BC 边上的垂线交 BC 于点 D，过点 B 作 AC 边上的垂线交 AD 于点 O，则 O 为圆 心 设O 的半径为 R，由等边三角形的性质知：OBC30，OBR BDcosOBCOBR，BC2BDR BC12， R4 故选：B 10已知等边ABC，顶点 B（0，0） ，C（2，0） ，规定把ABC 先沿 x 轴绕着点 C 顺时针旋转，使点 A 落 在 x 轴上，称为一次变换，再沿 x 轴绕着点 A 顺时针旋转，使点 B 落在 x 轴上，称为二次变换，经过 连续 2017 次变换后，顶点 A 的坐标是（ ） A （4033，） B （4033，0）
20、C （4036，） D （4036，0） 【分析】利用已知点坐标得出等边ABC 边长为 2，根据三角函数可得等边ABC 的高，顶点 A 的坐标 分别为（4，0） ， （4，0） ， （7，） ， （10，0） ， （10，0） ， （13，） ，进而得出点的坐标变化规律， 即可得出答案 【解答】解：顶点 A 的坐标分别为（4，0） ， （4，0） ， （7，） ， （10，0） ， （10，0） ， （13，） ， ， 201736721， 6726+44036， 故顶点 A 的坐标是（4036，0） 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11写出一
21、个解为 1 和 2 的一元二次方程： x23x+20 【分析】先计算 1、2 的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程 【解答】解：1+23，122， 以 1 和 2 为根的一元二次方程可为 x23x+20 故答案为 x23x+20 12 已知二次函数 yx2+2x+m 的部分图象如图所示， 则关于 x 的一元二次方程x2+2x+m0 的根为 1 或 3 【分析】根据抛物线的对称性可知，1 关于 1 的对称点为 3，因此一元二次方程x2+2x+m0 的根为 1 与 3； 【解答】解：由题意可知：抛物线的对称轴为 x1， 1 关于 1 的对称点为 3， 因此一元二次方程x2+2
22、x+m0 的根为1 与 3； 故答案为：1 或 3； 13 如图， A是O上一点， BC是直径， AC2， BC4， 点D在O上且平分， 则ACD的度数为 105 【分析】先由圆周角定理得BACD90，再由锐角三角函数的定义得ACB60，然后证明 BCD 是等腰直角三角形，得DCBDBC45，即可得出答案 【解答】解：BC 是O 的直径， BACD90， AC2，AB4， cosACB， ACB60， 又点 D 在O 上且平分， ， BDCD， BCD 是等腰直角三角形， DCBDBC45， ACDACB+DCB105， 故答案为：105 14如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，
23、1） ，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90而得，则 AC 所 在直线的解析式是 y2x4 【分析】过点 C 作 CDx 轴于点 D，易知ACDBAO（AAS） ，已知 A（2，0） ，B（0，1） ，从而求 得点 C 坐标，设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入求得 k 和 b，从而得解 【解答】解：A（2，0） ，B（0，1） OA2，OB1 过点 C 作 CDx 轴于点 D， 则易知ACDBAO（AAS） ADOB1，CDOA2 C（3，2） 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入得 直线 AC 的解析式为 y2x4 故答案为：y
24、2x4 15如图，在ABC 中，ACBC，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE若 AB2，ACB 30，则线段 CD 的长度为 2 【分析】连接 CE，如图，利用旋转的性质得到 ADAB2，AEAC，CAE60，AEDACB 30，则可判断ACE 为等边三角形，从而得到AEC60，再判断 DE 平分AEC，根据等腰三 角形的性质得到 DE 垂直平分 AC，于是根据线段垂直平分线的性质得 DCDA2 【解答】解：连接 CE，如图， ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE， ADAB2，AEAC，CAE60，AEDACB30， ACE 为等边三角形， AEC60， DE 平分A
25、EC， DE 垂直平分 AC， DCDA2 故答案为 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）用适当的方法解方程 （1）x2x1； （2）3x（x2）2（2x） 【分析】 （1）先整理，再利用公式法求解即可； （2）先整理，再利用因式分解法中的提取公因式法求解即可 【解答】解： （1）x2x1， x2x10， a1，b1，c1， b24ac （1）241（1） 1+4 50， x， x1，x2； （2）3x（x2）2（2x） ， 3x（x2）2（2x）0， （x2） （3x+2）0， （x2）0 或（3x+2）0， x12，x
26、2 17 （9 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a20 （1）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【分析】 （1）设方程的另一个根为 x，则由根与系数的关系得：x+1a，x1a2，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答 【解答】解： （1）设方程的另一个根为 x， 则由根与系数的关系得：x+1a，x1a2， 解得：x，a， 即 a，方程的另一个根为； （2）a24（a2）a24a+8a24a+4+4（a2）2+40， 不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 18 （9
27、 分）在平面直角坐标系中，ABO 的三个顶点坐标分别为：A（2，3） 、B（3，1） 、O（0，0） （1）将ABO 向左平移 4 个单位，画出平移后的A1B1O1 （2） 将ABO 绕点 O 顺时针旋转 180， 画出旋转后得到的A2B2O 此时四边形 ABA2B2的形状是 平 行四边形 （3）在平面上是否存在点 D，使得以 A、B、O、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出 符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用点平移的坐标规律写出点 A、B、O 平移后的对应点 A1、B1、C1，然后描点即可得到 A1B1O1 （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出
28、 A2、B2的坐标，即可得到A2B2O；利用对角线互相平分 的四边形为平行四边形可判断四边形 ABA2B2的形状； （3）分类讨论：分别以 AB、BO、AO 为对角线画平行四边形可得到满足条件的点 D，然后写出对应的 D 点坐标 【解答】解： （1）如图，A1B1O1为所作； （2）如图，A2B2O 为所作，此时四边形 ABA2B2的形状是平行四边形 故答案为平行四边形； （3）存在 满足条件的点 D 的坐标为（5，4）或（1，2）或（1，2） 19 （9 分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的 成本价为 8 元/千克，投入市场销售时，调查市场行
29、情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 y（千 克）与销售单价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚 4800 千克，该品种蜜柚的保质期为 40 天，根据（2）中获得最大利润的方 式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润单件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，即 x19 时的销售量，据此求得 40 天的总销售量，比
30、较即可得出答案 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 将（10，200） 、 （15，150）代入，得：， 解得：， y 与 x 的函数关系式为 y10 x+300， 由10 x+3000 得 x30，所以 x 的取值范围为 8x30； （2）设每天销售获得的利润为 w 元， 则 w（x8）y （x8） （10 x+300） 10（x19）2+1210， 8x30， 当 x19 时，w 取得最大值，最大值为 1210； 所以当该品种的蜜柚定价为 19 元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是 1210 元 （3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为 19 元/千克，
31、 则每天的销售量为 y1019+300110 千克， 保质期为 40 天， 总销售量为 401104400， 又44004800， 不能销售完这批蜜柚 20 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径作O 交 AB 于点 D 点，连接 CD （1）求证：ABCD； （2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与O 相切？并说明理由 【分析】 （1）根据圆周角定理可得ADC90，再根据直角三角形的性质可得A+DCA90，再 由DCB+ACD90，可得DCBA； （2）当 MCMD 时，直线 DM 与O 相切，连接 DO，根据等等边对等角可得1
32、2，43， 再根据ACB90可得1+390，进而证得直线 DM 与O 相切 【解答】 （1）证明：AC 为直径， ADC90， A+DCA90， ACB90， DCB+ACD90， DCBA； （2）当 MCMD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切； 解：连接 DO， DOCO， 12， DMCM， 43， 2+490， 1+390， 直线 DM 与O 相切， 故当 MCMD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切 21 （10 分）对函数 y|x24x|3 的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整 （1）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象 列表
33、 x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y 9 2 3 0 m 0 3 2 9 其中，m 1 描点：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点 连线：画出该函数的图象； （2）观察函数图象，写出两条函数的性质； （3）进一步探究函数图象，并解决问题； 平行于x轴的一条直线yk与y|x24x|3的图象有两个交点， 则k的取值范围为 k3或k1 已知函数 yx3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程|x24x|3x3 的解为 x1 0，x23，x35 【分析】 （1）先计算 m 的值，然后利用描点法画出函数图象； （2）利用函数图象，可从增减性写出函数性质； （3）结合函数图象，
34、找出与 x 轴平行的直线与函数 y|x24x|3 的图象有 2 个交点的位置，从而得 到 k 的值或范围； 写出直线 yx3 与函数 y|x24x|3 的图象的交点的横坐标即可 【解答】解： （1）m1，如图； （2）当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x4 时，y 随 x 的增大而增大； （3）当 k3 或 k1 时，直线 yk 与 y|x24x|3 的图象有两个交点； 方程|x24x|3x3 的解为 x10，x23，x35 故答案为 1；k3 或 k1；x10，x23，x35 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形
35、纸片 的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA（或它们 的延长线）于点 E、F，EDF60，当 CEAF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DEDF （1） 继续旋转三角形纸片， 当 CEAF 时， 如图 2 小芳的结论是否成立？若成立， 加以证明； 若不成立， 请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的 数量关系； （3）连 EF，若DEF 的面积为 y，CEx，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最 小值是多少？ 【分析】（1
36、） 如答图1， 连接BD 根据题干条件首先证明ADFBDE， 然后证明ADFBDE （ASA） ， 得 DFDE； （2）如答图 2，连接 BD根据题干条件首先证明ADFBDE，然后证明ADFBDE（ASA） ， 得 DFDE； （3）根据（2）中的ADFBDE 得到：SADFSBDE，AFBE所以DEF 的面积转化为：yS BEF+SABD据此列出 y 关于 x 的二次函数，通过求二次函数的最值来求 y 的最小值 【解答】解： （1）DFDE理由如下： 如答图 1，连接 BD 四边形 ABCD 是菱形， ADAB 又DAB60， ABD 是等边三角形， ADBD，ADB60， DBEDAF6
37、0 EDF60， ADFBDE在ADF 与BDE 中， ADFBDE（ASA） ， DFDE； （2）DFDE理由如下： 如答图 2，连接 BD四边形 ABCD 是菱形， ADAB 又DAB60， ABD 是等边三角形， ADBD，ADB60， DBEDAF120 EDF60， ADFBDE 在ADF 与BDE 中， ADFBDE（ASA） ， DFDE； （3）由（2）知，DEDF，又EDF60， DEF 是等边三角形， 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， DH， BFCEx， AF|x2|， FHAF+AHx2+1x1， DF，DG， ySDEFEFDG（x1）2+ 当 x1 时，y
38、最小值 23 （11 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C （1）求这个二次函数的表达式； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求BCP 面积的最大值； （3）直线 xm 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 PE 的长，根据面积的 和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于 m 的
39、方程，根据解方程，可得答案 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，B（3，0）代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是 yx24x+3； （2）当 x0 时，y3，即点 C（0，3） ， 设 BC 的表达式为 ykx+b，将点 B（3，0）点 C（0，3）代入函数解析式，得 ， 解这个方程组，得 故直线 BC 的解析是为 yx+3， 过点 P 作 PEy 轴， 交直线 BC 于点 E（t，t+3） ， PEt+3（t24t+3）t2+3t， SBCPSBPE+SCPE（t2+3t）3（t）2+， 0， 当 t时，SBCP最大 （3）M（m，m+3） ，N（m，m24m+3） MN|m23m|，BM|m3|， 当 MNBM 时，m23m（m3） ，解得 m， m23m（m3） ，解得 m 当 BNMN 时，NBMBMN45， m24m+30，解得 m1 或 m3（舍） 当 BMBN 时，BMNBNM45， （m24m+3）m+3，解得 m2 或 m3（舍） ， 当BMN 是等腰三角形时，m 的值为，1，2
