1、2020-2021 学年山东省临沂市蒙阴县九年级（上）期中数学试卷学年山东省临沂市蒙阴县九年级（上）期中数学试卷 一选择题： （下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入一选择题： （下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入 答题表中，每小题答题表中，每小题 3 分，共分，共 42 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 3将一元二次方程 x（x+4）8x+12 化
2、为一般形式，正确的是（ ） Ax2+4x+120 Bx2+4x120 Cx24x120 Dx24x+120 4方程 2x2x+10 的根的情况是（ ） A有一个实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D有两个相等的实数根 5如图，PA 是O 的切线，A 为切点，PO 的延长线交O 于点 B，若B32，则P 的度数为（ ） A24 B26 C28 D32 6如图，ABC 内接于O，BAC30，BC8，则O 半径为（ ） A4 B6 C8 D12 7如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC，使点 A恰好落在 AB 上，则旋转角度为（ ） A30
3、 B90 C60 D150 8抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，对称轴是直线 x1，则 a+b+c（ ） A6 B8 C9 D0 9 将抛物线 yx26x+5 向上平移两个单位长度， 再向右平移一个单位长度后， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x4）26 By（x1）23 Cy（x2）22 Dy（x4）22 10如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE，如果 DOE40，那么A 的度数为（ ） A35 B40 C60 D70 11已知 m，n 是方程 x2+x30 的两个实数根，则 m2n+2019 的值是（
4、） A2023 B2021 C2020 D2019 12 如图， 将线段 AB 先向右平移 5 个单位， 再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 90， 得到线段 AB， 则点 B 的对应点 B的坐标是（ ） A （4，1） B （1，2） C （4，1） D （1，2） 13二次函数 yx2+（6m）x+8，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而 增大，则 m 的值为（ ） A10 B8 C6 D4 14抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1，若关于 x 的一元二次方程x2+bx+3t0（t 为实数） 在2x3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（
5、 ） A12t3 B12t4 C12t4 D12t3 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 3 分，共分，共 15 分）请把答案直接填在题中横线上分）请把答案直接填在题中横线上 15已知 x1 是方程 x2+bx20 的一个根，则方程的另一个根是 16如图，ABC 内接于O，AD 是O 的直径，ABC30，则CAD 度 17在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，3） ，点 B 的坐标是（4，b） ，若点 A 与点 B 关于原点 O 对 称，则 ab 18如果点 A（1，m） 、是抛物线 y（x1）2+3 上的两个点，那么 m 和 n 的大小关系是 m n（填“”或“”或“” ） 1
6、9对于二次函数 yax2+bx+c（a0）的描述，下列命题： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若 b2a+3c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根； 若 b24ac0，则二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3； 若 ba+c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 其中结论正确的有 （填写所有正确的序号） 三、解答题（共三、解答题（共 63 分）分） 20 （10 分）用两种不同的方法解方程：x22x4 21 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m210 有两不相等的实数根 求 m 的取
7、值范围 设 x1，x2是方程的两根且 x12+x22+x1x2170，求 m 的值 22 （10 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D，交 AC 于点 E，F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 23 （10 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度按要 求作图： （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）画出将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90得到的A2B2C2； （3）设 P（a，b）为ABC
8、边上一点，在A2B2C2上与点 P 对应的点是 P1，则点 P1坐标为 24 （11 分）在ABC 中，ABBC2，ABC120，将ABC 绕点 B 顺时针旋转角 （090） 得A1BC1，A1B 交 AC 于点 E，A1C1分别交 AC、BC 于 D、F 两点 （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 BE 与 BF 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图 2，当 30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由 25 （12 分）如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4） ，抛物线与 y 轴交于点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、D 两 点点 P 是抛物线上的一个动点 （
9、1）求此抛物线的解析式； （2）求 C、D 两点坐标及BCD 的面积； （3）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，满足 SPCDSBCD，求点 P 的坐标 2020-2021 学年山东省临沂市蒙阴县九年级（上）期中数学试卷学年山东省临沂市蒙阴县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题： （下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入一选择题： （下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入 答题表中，每小题答题表中，每小题 3 分，共分，共 42 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中
10、心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：C 2抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标 【解答】解：由 y（x+1）22，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2） 故选：A 3将一
11、元二次方程 x（x+4）8x+12 化为一般形式，正确的是（ ） Ax2+4x+120 Bx2+4x120 Cx24x120 Dx24x+120 【分析】直接去括号进而移项，得出答案 【解答】解：x（x+4）8x+12， x24x120， 故选：C 4方程 2x2x+10 的根的情况是（ ） A有一个实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D有两个相等的实数根 【分析】先求一元二次方程的判别式，由与 0 的大小关系来判断方程根的情况 【解答】解：a2，b1，c1， b24ac1870， 一元二次方程没有实数根 故选：C 5如图，PA 是O 的切线，A 为切点，PO 的延长线交O 于点 B
12、，若B32，则P 的度数为（ ） A24 B26 C28 D32 【分析】连接 OA，如图，由切线的性质得PAO90，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算 出AOP64，然后计算出P 的度数 【解答】解：连接 OA，如图， PA 是O 的切线， OAAP， PAO90， OAOB， BOAB， B32，AOPB+OAB， AOP64， POAPAOP906426 故选：B 6如图，ABC 内接于O，BAC30，BC8，则O 半径为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】连接 OB，OC，根据圆周角定理求出BOC 的度数，再由 OBOC 判断出OBC 是等边三角 形，由此可得出结论 【解答
13、】解：连接 OB，OC， BAC30， BOC60 OBOC，BC8， OBC 是等边三角形， OBBC8 故选：C 7如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC，使点 A恰好落在 AB 上，则旋转角度为（ ） A30 B90 C60 D150 【分析】先利用互余得到A60，再根据旋转的性质得 CACA，ACA等于旋转角，然后判断 ACA为等边三角形得到ACA60，从而得到旋转角的度数 【解答】解：ACB90，ABC30， A60， ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC，使得点 A恰好落在 AB 上， CACA，ACA等于旋转角， ACA为等边三角
14、形， ACA60， 即旋转角度为 60 故选：C 8抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，对称轴是直线 x1，则 a+b+c（ ） A6 B8 C9 D0 【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为（1，0） ，由此求出 a+b+c 的值 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，对称轴是直线 x1， yax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为（1，0） ， a+b+c0 故选：D 9 将抛物线 yx26x+5 向上平移两个单位长度， 再向右平移一个单位长度后， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x4）26 By（x
15、1）23 Cy（x2）22 Dy（x4）22 【分析】先把 yx26x+5 配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，4） ，再把点（3，4）向上平 移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为（4，2） ，然后根据顶点式写出平移后的抛 物线解析式 【解答】解：yx26x+5（x3）24，即抛物线的顶点坐标为（3，4） ， 把点（3，4）向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为（4，2） ， 所以平移后得到的抛物线解析式为 y（x4）22 故选：D 10如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE
16、，如果 DOE40，那么A 的度数为（ ） A35 B40 C60 D70 【分析】根据圆周角定理得出BDC90，求出ADC90，根据圆周角定理求出ACD，再根据 三角形内角和定理求出答案即可 【解答】解：连接 CD， BC 为O 的直径， BDC90， ADC90， DOE40， ACDDOE20， A180ADCACD70， 故选：D 11已知 m，n 是方程 x2+x30 的两个实数根，则 m2n+2019 的值是（ ） A2023 B2021 C2020 D2019 【分析】利用一元二次方程解的定义，将 xm 代入已知方程求得 m23m；然后根据根与系数的关系 知 m+n1；最后将 m
17、2、m+n 的值代入所求的代数式求值即可 【解答】解：m，n 是方程 x2+x30 的两个实数根， m2+m30，即 m23m； m+n1， m2n+20193（m+n）+20193+1+20192023 故选：A 12 如图， 将线段 AB 先向右平移 5 个单位， 再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 90， 得到线段 AB， 则点 B 的对应点 B的坐标是（ ） A （4，1） B （1，2） C （4，1） D （1，2） 【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图 形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标
18、都加（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度； 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角 度如：30，45，60，90，180 【解答】解：将线段 AB 先向右平移 5 个单位，点 B（2，1） ，连接 OB，顺时针旋转 90，则 B对应坐 标为（1，2） ， 故选：D 13二次函数 yx2+（6m）x+8，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而 增大，则 m 的值为（ ） A10 B8 C6 D4 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向下时，在对称轴右侧，y 随
19、x 的增大而减小，而在对称 轴左侧，y 随 x 的增大而增大，则可得到抛物线的对称轴为直线 x2，然后根据对称轴方程即可求出 m 的值 【解答】解：当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， 而 a10， 抛物线的对称轴为直线 x2， 2， m10 故选：A 14抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1，若关于 x 的一元二次方程x2+bx+3t0（t 为实数） 在2x3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A12t3 B12t4 C12t4 D12t3 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为 yx22x+3，将一元二次方程x2+bx+3
20、t0 的实数 根可以看作 yx22x+3 与函数 yt 的有交点，再由2x3 的范围确定 y 的取值范围即可求解 【解答】解：抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+3， 一元二次方程x2+bx+3t0 的实数根可以看作 yx22x+3 与函数 yt 的有交点， 方程在2x3 的范围内有实数根， 当 x2 时，y3； 当 x3 时，y12； 函数 yx22x+3 在 x1 时有最大值 4； 12t4 故选：C 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 3 分，共分，共 15 分）请把答案直接填在题中横线上分）请把答案直接填在题中横线上 15已知 x1 是方程
21、x2+bx20 的一个根，则方程的另一个根是 2 【分析】根据根与系数的关系得出 x1x22，即可得出另一根的值 【解答】解：x1 是方程 x2+bx20 的一个根， x1x22， 1x22， 则方程的另一个根是：2， 故答案为2 16如图，ABC 内接于O，AD 是O 的直径，ABC30，则CAD 60 度 【分析】根据圆周角定理可得出两个条件：ACD90；DB30；在 RtACD 中，已 知了D 的度数，即可求出CAD 的度数 【解答】解：AD 是O 的直径， ACD90； CDAABC30， （同弧所对的圆周角相等） CAD90CDA60 17在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，3
22、） ，点 B 的坐标是（4，b） ，若点 A 与点 B 关于原点 O 对 称，则 ab 12 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案 【解答】解：点 A 的坐标为（a，3） ，点 B 的坐标是（4，b） ，点 A 与点 B 关于原点 O 对称， a4，b3， 则 ab12 故答案为：12 18如果点 A（1，m） 、是抛物线 y（x1）2+3 上的两个点，那么 m 和 n 的大小关系是 m n（填“”或“”或“” ） 【分析】利用二次函数的性质得到当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，然后利用自变量的大小关系得到 m 与 n 的大小关系 【解答】解：抛物线的对称
23、轴为直线 x1， 而抛物线开口向下， 所以当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 所以 mn 故答案为 19对于二次函数 yax2+bx+c（a0）的描述，下列命题： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若 b2a+3c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根； 若 b24ac0，则二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3； 若 ba+c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 其中结论正确的有 （填写所有正确的序号） 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系判断 【解答】解：a+b+c0， 当 x1 时，y0，即抛物线与
24、 x 轴有交点， b24ac0，正确； b2a+3c， 则 b24ac（2a+3c）24ac4a2+8ac+4c2+5c24（a+c）2+5c20， 方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根，正确； b24ac0， 二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点的个数是 2，与 y 轴公共点个数是 1， 当 c0 时，二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数 2， 则二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 3，正确； 当抛物线的顶点在第四象限时，a0，b0，c0， ba+c， 抛物线与 x 轴没有交点， 一元二次方程 ax2+bx+c0 没
25、有实数根， 错误； 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 63 分）分） 20 （10 分）用两种不同的方法解方程：x22x4 【分析】方程去括号整理后，利用公式法求出解即可；方程整理后利用配方法求出解即可 【解答】解法 1：x22x40，a1，b2，c4， （2）241（4）20， x1， x11+，x21 解法 2：配方 x22x+14+1， （x1）25， x1， x1， x11+，x21 21 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m210 有两不相等的实数根 求 m 的取值范围 设 x1，x2是方程的两根且 x12+x22+x1x2170，求 m 的值
26、【分析】根据“关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m210 有两不相等的实数根” ，结合判别式 公式，得到关于 m 的不等式，解之即可， 根据“x1，x2是方程的两根且 x12+x22+x1x2170” ，结合根与系数的关系，列出关于 m 的一元二次 方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案 【解答】解：根据题意得： （2m+1）24（m21）0， 解得：m， 根据题意得： x1+x2（2m+1） ，x1x2m21， x12+x22+x1x217 x1x217 （2m+1）2（m21）17 0， 解得：m1，m23（不合题意，舍去） ， m 的值为 22 （10 分）如图，AB
27、是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D，交 AC 于点 E，F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 【分析】 （1）根据圆周角定理得到ACBACD90，根据直角三角形的性质得到 CFEFDF， 求得AEOFECFCE，根据等腰三角形的性质得到OCAOAC，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到OAECDE22.5，根据等腰三角形的性质得到CADADC 45，于是得到结论 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACBACD90， 点 F 是 ED 的中点， CFEFDF， AEOF
28、ECFCE， OAOC， OCAOAC， ODAB， OAC+AEO90， OCA+FCE90，即 OCFC， CF 与O 相切； （2）解：连接 AD，ODAB，ACBD， AOEACD90， AEODEC， OAECDE22.5， AOBO， ADBD， ADOBDO22.5， ADB45， CADADC45， ACCD 23 （10 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度按要 求作图： （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）画出将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90得到的A2B2C2； （3） 设 P （a，
29、 b） 为ABC 边上一点， 在A2B2C2上与点 P 对应的点是 P1， 则点 P1坐标为 （b， a） 【分析】 （1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2，从而得到A2B2C2； （3）利用 A 与 A2、B 与 B2、C 与 C2的坐标特征确定对应点的坐标变换规律，从而写出点 P1坐标 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作； （3）点 P1坐标为（b，a） 故答案为（b，a） 24 （11 分）在ABC 中，ABBC2，ABC120
30、，将ABC 绕点 B 顺时针旋转角 （090） 得A1BC1，A1B 交 AC 于点 E，A1C1分别交 AC、BC 于 D、F 两点 （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 BE 与 BF 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图 2，当 30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由 【分析】 （1）由 ABBC 得到AC，再根据旋转的性质得 ABBCBC1，ACC1，ABE C1BF，则可证明ABEC1BF，于是得到 BEBF； （2） 根据等腰三角形的性质得AC30， 利用旋转的性质得A1C130， ABA1CBC1 30， 则利用平行线的判定方法得到 A1C1AB
31、， ACBC1， 于是可判断四边形 BC1DA 是平行四边形， 然后加上 ABBC1可判断四边形 BC1DA 是菱形 【解答】解： （1）BEBF理由如下： ABBC， AC， ABC 绕点 B 顺时针旋转角 （090）得A1BC1， ABBCBC1，ACC1，ABEC1BF， 在ABE 和C1BF 中 ， ABEC1BF， BEBF （2）四边形 BC1DA 是菱形理由如下： ABBC2，ABC120， AC30， A1C130， ABA1CBC130， ABA1A1，CBC1C， A1C1AB，ACBC1， 四边形 BC1DA 是平行四边形 又ABBC1， 四边形 BC1DA 是菱形 25
32、 （12 分）如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4） ，抛物线与 y 轴交于点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、D 两 点点 P 是抛物线上的一个动点 （1）求此抛物线的解析式； （2）求 C、D 两点坐标及BCD 的面积； （3）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，满足 SPCDSBCD，求点 P 的坐标 【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式 ya（x1）2+4，然后把点 B 的坐标代入求出 a 的值，即可得解； （2）令 y0，解方程得出点 C，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点 P 的坐标，求出点 P 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点 P 的坐
33、标 【解答】解： （1）抛物线的顶点为 A（1，4） ， 设抛物线的解析式 ya（x1）2+4， 把点 B（0，3）代入得，a+43， 解得 a1， 抛物线的解析式为 y（x1）2+4； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 y（x1）2+4； 令 y0，则 0（x1）2+4， x1 或 x3， C（1，0） ，D（3，0） ； CD4， SBCDCD|yB|436； （3）由（2）知，SBCDCD|yB|436；CD4， SPCDSBCD， SPCDCD|yP|4|yP|3， |yP|， 点 P 在 x 轴上方的抛物线上， yP0， yP， 抛物线的解析式为 y（x1）2+4； （x1）2+4， x1， P（1+，） ，或 P（1，）
