1、2020-2021 学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1若关于 x 的方程（a2）x2+x+10 是一元二次方程，则 a 的取值范围为（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 2下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3若关于 x 的方程 x2+ax+a0 有一个根为3，则 a 的值是（ ） A9 B4.5 C3 D3 4抛物线 y2（x+1）22 的对称轴是（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线
2、x2 D直线 x2 5 如图， AB 是O 的直径， C， D 为O 上的点， 弧 AD弧 CD， 若DAC25， 则CAB 的度数为 （ ） A30 B40 C50 D60 6如图，已知点 A（2，1） ，B（0，2） ，将线段 AB 绕点 M 逆时针旋转到 A1B1，点 A 与 A1是对应点，则点 M 的坐标是（ ） A （0，2） B （1，1） C （0，0） D （1，1） 7将抛物线 y2x21 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为 （ ） A （0，1） B （1，1） C （1，3） D （1，1） 8如图，AB 是O 的直径，PA
3、切O 于点 A，连接 PO 并延长交O 于点 C，连接 AC，若 AB8，P 30，则 AC（ ） A4 B4 C4 D3 9关于 x 的一元二次方程（k1）x22kx+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 且 k1 Bk1 Ck0 Dk0 10如图，若二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（1，0） ，则 二次函数的最大值为 a+b+c； ab+c0； b24ac0； 当 y0 时，1x3其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满
4、分分，满分 15 分）分） 11已知，点 A（a1，3）与点 B（2，2b1）关于原点对称，则 2a+b 12已知是二次函数，则 m 13某测温仪公司 2020 年四月份生产测温仪 1000 台，2020 年六月份生产测温仪 4000 台，设五、六月份每 月的平均增长率为 x，根据题意可列方程 14 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB， 垂足为 E， 如果 AB20， CD16， 那么线段 OE 的长为 15如图，在平面直角坐标系中，将 RtOAB 绕点 O 逆时针旋转 60后得到 RtOA1B1，依此方式，绕点 O 连接旋转 20 次得到 RtOA20B20，如果点 A 的坐标为（1
5、，） ，那么点 B20的坐标为 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （6 分）解一元二次方程：x22x30 17 （6 分）如图，在正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 18 （7 分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM 宽度为 16 米，其顶点 P 到 OM 的距离为 8 米 （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的
6、公路是双向行车道（正中间是一条宽 1 米的隔离带） ，其中的一条行车道能否行驶宽 3.5 米、高 5.8 米的特种车辆？请通过计算说明 19 （8 分）已知关于 x 的方程 x2mx+m10 （1）求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根 （2）任取一个你喜欢的 m 值代入，并求出此时方程的根 20 （8 分）如图，已知ABC 中，ABAC （）把ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使得点 B 的对应点 E 落在 AB 边上，用尺规作图的方法 作出DEC； （保留作图痕迹，不写作法） （）在（）的条件下，连接 AD，求证：ADBC 21 （9 分）如图，在ABC 中，C90，ABC 的
7、平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于 点 F，O 是BEF 的外接圆 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EHAB，垂足为 H，若 CD1，EH3，求 BE 长 22 （11 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与坐标轴交于点 A（0，3） 、B（1，0） 、E（3，0） ，点 P 为抛 物线上动点，设点 P 的横坐标为 t （1）若点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，求 C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点 P 在第四象限，连接 PA、PE 及 AE，当 t 为何值时，PAE 的面积最大？最大面积是多少？ （3）是否存在点 P，使P
8、AE 为以 AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 2020-2021 学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1若关于 x 的方程（a2）x2+x+10 是一元二次方程，则 a 的取值范围为（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】根据一元二次方程定义可得 a20，再解即可 【解答】解：由题意得：a20， 解得：a2， 故选：D 2下列四个图案中，既是轴
9、对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概 念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3若关于 x 的方程 x2+ax+a0 有一个根为3，则 a 的值是（ ） A9 B4.5 C3 D3 【分析】把 x3 代入方程 x2+ax+a0 得 93a+a0，然后解关于 a 的方程即可
10、 【解答】解：把 x3 代入方程 x2+ax+a0 得 93a+a0， 解得 a4.5 故选：B 4抛物线 y2（x+1）22 的对称轴是（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y2（x+1）22 的对称轴是：直线 x1 故选：B 5 如图， AB 是O 的直径， C， D 为O 上的点， 弧 AD弧 CD， 若DAC25， 则CAB 的度数为 （ ） A30 B40 C50 D60 【分析】 利用圆周角定理得到ABDDAC25， ADB90， 然后利用三角形内角和计算CA
11、B 的度数 【解答】解：弧 AD弧 CD， ABDDAC25， AB 是O 的直径， ADB90， DAB902565， CABDABDAC652540 故选：B 6如图，已知点 A（2，1） ，B（0，2） ，将线段 AB 绕点 M 逆时针旋转到 A1B1，点 A 与 A1是对应点，则点 M 的坐标是（ ） A （0，2） B （1，1） C （0，0） D （1，1） 【分析】作出对应点连线的垂直平分线，它们的交点就是 M 点 【解答】解：如图，点 M 的坐标是（1，1） ， 故选：B 7将抛物线 y2x21 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为
12、 （ ） A （0，1） B （1，1） C （1，3） D （1，1） 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解 【解答】解：抛物线 y2x21 向左平移 1 个单位长度，得：y2（x+1）21； 再向上平移 2 个单位长度，得：y2（x+1）2+1 此时抛物线顶点坐标是（1，1） 故选：D 8如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长交O 于点 C，连接 AC，若 AB8，P 30，则 AC（ ） A4 B4 C4 D3 【分析】先根据切线的性质得OAP90，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 APOA 4，接着计算出C30，从而得到
13、ACAP4 【解答】解：PA 切O 于点 A， OAPA， OAP90， 在 RtOAP 中，P30， AOP60，APOA4， AOPC+OAC60， 而COAC， C30， ACAP4 故选：A 9关于 x 的一元二次方程（k1）x22kx+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 且 k1 Bk1 Ck0 Dk0 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解答】解：由题意可知：k10 且 4k24k（k1）0， k0 且 k1， 故选：A 10如图，若二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（1，0） ，则 二
14、次函数的最大值为 a+b+c； ab+c0； b24ac0； 当 y0 时，1x3其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x1，且开口向下， x1 时，ya+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故正确； 当 x1 时，ab+c0，故错误； 图象与 x 轴有 2 个交点，故 b24ac0，故错误； 图象的对称轴为 x1，与 x 轴交于点 A、点 B（1，0） ， A（3，0） ， 故当 y0 时，1x3，故正确 故选：B 二、填空题（共二
15、、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11已知，点 A（a1，3）与点 B（2，2b1）关于原点对称，则 2a+b 1 【分析】根据关于原点对称点的坐标特点可得 a12，2b13，解出 a、b 的值，然后可得答 案 【解答】解：点 A（a1，3）与点 B（2，2b1）关于原点对称， a12，2b13， 解得：a1，b1， 2a+b1， 故答案为：1 12已知是二次函数，则 m 2 【分析】根据二次函数的定义得出 m+20，m222，求出即可 【解答】解：是二次函数， m+20，m222， 解得：m2， 故答案为：2 13某测温仪公司 2020 年四月
16、份生产测温仪 1000 台，2020 年六月份生产测温仪 4000 台，设五、六月份每 月的平均增长率为 x，根据题意可列方程 1000（1+x）24000 【分析】由该测温仪公司 2020 年四月份及六月份生产测温仪的数量，即可得出关于 x 的一元二次方程， 此题得解 【解答】解：根据题意可列方程为 1000（1+x）24000， 故答案为：1000（1+x）24000 14如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，如果 AB20，CD16，那么线段 OE 的长为 6 【分析】连接 OD，由直径 AB 与弦 CD 垂直，根据垂径定理得到 E 为 CD 的中点，由 CD 的长求出 D
17、E 的长，又由直径的长求出半径 OD 的长，在直角三角形 ODE 中，由 DE 及 OD 的长，利用勾股定理即可 求出 OE 的长 【解答】解：如图所示，连接 OD 弦 CDAB，AB 为圆 O 的直径， E 为 CD 的中点， 又CD16， CEDECD8， 又ODAB10， CDAB， OED90， 在 RtODE 中，DE8，OD10， 根据勾股定理得：OE2+DE2OD2， OE6， 则 OE 的长度为 6 15如图，在平面直角坐标系中，将 RtOAB 绕点 O 逆时针旋转 60后得到 RtOA1B1，依此方式，绕点 O 连接旋转 20 次得到 RtOA20B20， 如果点 A 的坐标
18、为 （1，） ， 那么点 B20的坐标为 （，） 【分析】求出 B1，B2，B3的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可 【解答】解：A（1，） ， OB1，AB， tanAOB， AOB60， A30， AO2OB， OB1AB1， B1（，） ， 由题意 B2（，） ，B3（1，0） ，B4（，） ，B5（，） ，B6（1，0） ， 6 次一个循环， 20632， B20与 B2坐标相同，B20（，） 故答案为（，） 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （6 分）解一元二次方程：x22x30 【分析】先把方程左边分解，原方程转化为 x+10 或 x3
19、0，然后解一次方程即可 【解答】解：x22x30， （x+1） （x3）0， x+10 或 x30， x11，x23 17 （6 分）如图，在正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 （1，1）或（3，1）或 （5，3） 【分析】 （1）根据旋转的性质即可作出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）根据网格即可写出以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 【解答】解： （1）如图，A1B1C
20、1即为所求； （2）顶点 D 的坐标为： D1（1，1）或 D2（3，1）或 D3（5，3） 故答案为： （1，1）或（3，1）或（5，3） 18 （7 分）如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM 宽度为 16 米，其顶点 P 到 OM 的距离为 8 米 （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽 1 米的隔离带） ，其中的一条行车道能否行驶宽 3.5 米、高 5.8 米的特种车辆？请通过计算说明 【分析】 （1）直接利用顶点式求出二次函数解析式得出答案； （2）直接利用已知得出 x4，进而得出 y 的值，
21、即可得出答案 【解答】解： （1）以 O 为原点，抛物线的顶点坐标为（8，8） ， 则其表达式为：ya（x8）2+8， 将点 O（0，0）代入上式得：064a+8， 解得：， 故函数的表达式为：， （0 x16） ； （2）双向行车道，正中间是一条宽 1 米的隔离带，则每个车道宽为 7.5 米， 车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的 x7.53.54， 当 x4 时，y6，即允许的最大高度为 6 米，5.86，故该车辆能通行 19 （8 分）已知关于 x 的方程 x2mx+m10 （1）求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根 （2）任取一个你喜欢的 m 值代入，并求出此时方程的根 【分
22、析】 （1）根据题意求出的值，判断出的符号即可； （2）取 m0 时，得到方程 x210，解方程即可求解 【解答】 （1）证明：（m）24（m1）（m2）20， 无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根 （2）解：当 m0 时，方程 x2mx+m10 为方程 x210， 解得 x11，x21 故 m0 时，方程的根是 x11，x21 20 （8 分）如图，已知ABC 中，ABAC （）把ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使得点 B 的对应点 E 落在 AB 边上，用尺规作图的方法 作出DEC； （保留作图痕迹，不写作法） （）在（）的条件下，连接 AD，求证：ADBC 【分析】 （）根据旋
23、转的性质即可把ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使得点 B 的对应点 E 落在 AB 边上； （）在（）的条件下，连接 AD，根据等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质即可证明 AD BC 【解答】解： （）如图，DEC 即为所作； （）由（）知DCEACB， ABAC， ACBB DCEB， 又由（）知 CECB， CEBB CEBDCE， ABCD， 由（）CDCA， 又CABA， ABCD， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC 21 （9 分）如图，在ABC 中，C90，ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于 点 F，O 是BEF 的外
24、接圆 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EHAB，垂足为 H，若 CD1，EH3，求 BE 长 【分析】 （1）连结 OE，根据 BE 平分ABC，可得CBEABE，证明 OEAC，进而可以证明 AC 是 O 的切线； （2） 连结 DE， 根据 AE 平分ABC， ACBC、 EHAB， 可得 CEEH， 再证明 RtCDERtHFE， 得 CDHF，再根据勾股定理即可求得 BE 的长 【解答】解： （1）证明： 连结 OE， BE 平分ABC， CBEABE 又 OBOE，ABEBEO， CBEBEO OEBC 又C90 即 ACBC OEAC， 即 AC 是O 的切线
25、； （2）连结 DE， AE 平分ABC，ACBC、EHAB CEEH，DEEF， RtCDERtHFE（HL） ， CDHF， CD1， HF1 OH3， OE2OH2+HE2， OE2（OE1）2+32 解得：0E5， BH9 22 （11 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与坐标轴交于点 A（0，3） 、B（1，0） 、E（3，0） ，点 P 为抛 物线上动点，设点 P 的横坐标为 t （1）若点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，求 C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点 P 在第四象限，连接 PA、PE 及 AE，当 t 为何值时，PAE 的面积最大？最大面积是多少？ （
26、3）是否存在点 P，使PAE 为以 AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 【分析】 （1）抛物线 yax2+bx+c 经过点 B（1，0） 、E（3，0） ，则函数的对称轴为：x1，即可求解； （2）PAE 的面积 SPHOE（t3t2+2t+3）（t2+3t） ，即可求解； （3）分PEA90、PAE90两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过点 B（1，0） 、E（3，0） ， 抛物线的对称轴为 x1， 点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，点 A（0，3） ， C（2，3） ， 抛物线表达式为 ya（x
27、3） （x+1）a（x22x3） ， 故3a3，解得：a1， 抛物线的表达式为 yx22x3； （2）如图，过点 P 作 y 轴的平行线交 AE 于点 H， 由点 A，E 的坐标得直线 AE 的表达式为 yx3， 设点 P（t，t22t3） ，则点 H（t，t3） ， PAE 的面积 SPHOE（t3t2+2t+3）（t2+3t）， 当 t时，S 有最大值； （3）直线 AE 表达式中的 k 值为 1， AEO45， 当PEA90时， PEAE， 直线 PE 与 x 轴的夹角为 45， 设直线 PE 的表达式为 yx+b，将点 E 的坐标代入并解得 b3， 直线 PE 的表达式为 yx+3， 联立得， 解得 x2 或 3（不合题意，舍去） 故点 P 的坐标为（2，5） ， 当PAE90时，同理可得，点 P（1，4） ， 综上，点 P 的坐标为（2，5）或（1，4）
