1、2020-2021 学年湖南省株洲市荷塘区景炎学校八年级（上）期中数学试卷学年湖南省株洲市荷塘区景炎学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列各式：，其中是分式的有（ ） A B C D 2若某三角形的两边长分别为 4 和 5，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ） A1 B6 C9 D11 3下列变形从左到右一定正确的是（ ） A B C D 4某桑蚕丝的直径约为 0.000016 米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数法表示约为（ ） A1.610 6 米 B1.6106米 C1.610 5 米 D1.6105米 5如图，已知
2、MBND，MBANDC，下列条件中不能判定ABMCDN 的是（ ） AMN BAMCN CABCD DAMCN 6某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个设原 计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为（ ） A B C D 7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 20，则顶角的度数为（ ） A70 B55 C110 D70或 110 8已知 a，b，c 是ABC 的三条边长，化简|a+bc|cab|的结果为（ ） A2a+2b2a B2a+2b C2c D0 9将两个斜边长相等的三角形纸片如图放置，其中ACBCED90，A45，
3、D30把 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1，如图，连接 D1B，则E1D1B 的度数为（ ） A10 B15 C7.5 D20 10若关于 x 的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数 a 的和是（ ） A6 B0 C1 D9 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11当 x 时，分式的值为零 12已知，则 13下列三角形中：有两个角等于 60的三角形；有一个角等于 60的等腰三角形；三个角都相 等的三角形；三边都相等的三角形其中是等边三角形的有 （填序号） 14 如图所示， 在ABC 中， D 是 BC 边上一点， 12， 34， BAC63
4、， 则DAC 15 如图， 在ABC 中， BC12， AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 F， AC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N， 则AFN 的周长 16如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD 的中线若ABC 的面积为 40，AE5，则点 B 到 AE 边的 距离为 17定义运算“” ：ab，若 5x2，则 x 的值为 18如图，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点，且 CEDF，AE、BF 相交于点 O，下面四 个结论：（1） AEBF，（2） AEBF，（3） AOOE，（4） SAOBS四边形DEOF， 其中正确结论的序号是 三、解答题（
5、三、解答题（8 个小题，共个小题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算： （1）0.25（2） 2161（3）0； （2） （2x2y 3）2（xy2）3（x3y）2 20 （8 分）化简： （1） （）（） ； （2）解方程：+ 21 （8 分）先化简，再求值：的值；其中 x 满足方程 x2+3x20 22 （10 分）已知关于 x 的分式方程+ （1）若方程有增根，求 k 的值 （2）若方程的解为负数，求 k 的取值范围 23 （10 分）如图，ADCB，ABCD，BEAC，垂足为 E，DFAC，垂足为 F 求证： （1）ABCCDA； （2）BEDF 24 （10 分）佳佳果品店在批
6、发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元 出售，很快售完由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买 的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损 失，便降价 50%售完剩余的水果 （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？ （2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 25 （12 分）阅读以下材料，完成以下两个问题 阅读材料已知：如图，ABC（ABAC）中，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA 交 AE
7、于 点 F，DFAC求证：AE 平分BAC 结合此题，DEBC，点 B 是 DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等， 从而转移边和角有两种考虑方法：考虑倍长 FE，如图（1）所示；考虑倍长 AE，如图（2）所示 以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长 FE 至 G，使 EGEF，连结 CG 在DEP 和CEG 中， ， DEFCEG（SAS） DFCG，DFEG DFAC， CGAC GCAE DFECAE DFAB， DFEBAE BAECAE AE 平分BAC 问题 1：参考上述方法，请完成图（2）的证明 问题 2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图 3
8、，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB，AC 为直角边向外作等腰直角三角形， BAECAF90，AEAB，ACAF，AD3，求 EF 的长 26 （12 分）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） （1）如果，ABAC，BAC90， 当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，求证：CFBD，CFBD 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2） 如图 4， 如果BAC
9、是锐角， ACB45， 点 D 在线段 BC 上， 点 C、 D 不重合， 求证： CFBC 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列各式：，其中是分式的有（ ） A B C D 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分 式 【解答】解：式子：，其中是分式的有：， 故选：B 2若某三角形的两边长分别为 4 和 5，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ） A1 B6 C9 D11 【分析】首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值 【解答
10、】解：设第三边为 x，由题意得： 54x4+5， 1x9，答案中只有 6 适合， 故选：B 3下列变形从左到右一定正确的是（ ） A B C D 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案 【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故 A 错误； B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误； C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故 C 错误； D、分子分母都除以 x，分式的值不变，故 D 正确； 故选：D 4某桑蚕丝的直径约为 0.000016 米，则这种桑蚕丝的直径用科学记数
11、法表示约为（ ） A1.610 6 米 B1.6106米 C1.610 5 米 D1.6105米 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定 【解答】解：0.0000161.610 5 故选：C 5如图，已知 MBND，MBANDC，下列条件中不能判定ABMCDN 的是（ ） AMN BAMCN CABCD DAMCN 【分析】根据三角形全等的判定定理，有 AAS、SSS、ASA、SAS 四种逐条验证即可 【解答】解：A、MN，符合 A
12、SA，能判定ABMCDN，故 A 选项不符合题意； B、AMCN，得出MABNCD，符合 AAS，能判定ABMCDN，故 D 选项不符合题意 C、ABCD，符合 SAS，能判定ABMCDN，故 B 选项不符合题意； D、根据条件 AMCN，MBND，MBANDC，不能判定ABMCDN，故 C 选项符合题意； 故选：D 6某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个设原 计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为（ ） A B C D 【分析】设原计划每天生产 x 个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系： （原计划 20
13、天生 产的零件个数+10 个）实际每天生产的零件个数15 天，根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设原计划每天生产 x 个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意得： 15， 故选：A 7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 20，则顶角的度数为（ ） A70 B55 C110 D70或 110 【分析】本题要分情况讨论当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况 【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是 90+20110； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是
14、 902070 故选：D 8已知 a，b，c 是ABC 的三条边长，化简|a+bc|cab|的结果为（ ） A2a+2b2a B2a+2b C2c D0 【分析】 先根据三角形的三边关系判断出 a+bc 与 cab 的符号， 再去绝对值符号， 合并同类项即可 【解答】解：a、b、c 为ABC 的三条边长， a+bc0，cab0， 原式a+bc+（cab） a+bc+cab 0 故选：D 9将两个斜边长相等的三角形纸片如图放置，其中ACBCED90，A45，D30把 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1，如图，连接 D1B，则E1D1B 的度数为（ ） A10 B15 C7.5 D2
15、0 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出DCE60，旋转的性质可得BCE115，然后求出 BCD145，从而得到BCD1A，利用“边角边”证明ABC 和D1CB 全等，根据全等三角形对 应角相等可得BD1CABC45，再根据E1D1BBD1CCD1E1计算即可得解 【解答】解：CED90，D30， DCE60， DCE 绕点 C 顺时针旋转 15， BCE115， BCD1601545， BCD1A， 在ABC 和D1CB 中， ， ABCD1CB（SAS） ， BD1CABC45， E1D1BBD1CCD1E1453015 故选：B 10若关于 x 的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数
16、a 的和是（ ） A6 B0 C1 D9 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程， 表示出整式的解， 由分式方程的解为整数解确定出所求即可 【解答】解：分式方程去分母得：ax1x3， 解得：x， 由分式方程为整数解，得到 a11，a12，a14， 解得：a2，0，3，1，5，3（舍去） ， 则满足条件的所有整数 a 的和是 9， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11当 x 2 时，分式的值为零 【分析】要使分式的值为 0，必须分式分子的值为 0 并且分母的值不为 0 【解答】解：由分子 x240 x2； 由分母 x+20 x2； 所以 x2 故
17、答案为：2 12已知，则 【分析】根据比例的性质得出 ba，再代入要求的式子进行计算即可得出答案 【解答】解：， ba， ； 故答案为： 13下列三角形中：有两个角等于 60的三角形；有一个角等于 60的等腰三角形；三个角都相 等的三角形；三边都相等的三角形其中是等边三角形的有 （填序号） 【分析】根据等边三角形的定义即可判断 【解答】解：有两个角等于 60的三角形是等边三角形 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 三边都相等的三角形是等边三角形， 故答案为 14 如图所示， 在ABC 中， D 是 BC 边上一点， 12， 34， BAC63， 则DA
18、C 24 【分析】通过3 与2 的关系以及内角和定理解出2，即1 的大小，进而可求DAC 【解答】解：由题意可知，34，BAC63 BAC+2+4180， 12，34，31+2， 224， 2+4+BAC180， 2+22+63180， 32+63180 1239， DACBAC1633924 15 如图， 在ABC 中， BC12， AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 F， AC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N， 则AFN 的周长 12 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到 FAFB， NANC， 根据三角形的周长公式计算， 得到答案 【解答】解：FE、NM 分别为 AB、
19、AC 的垂直平分线， FAFB，NANC， AFN 的周长AF+FN+NAFB+FN+NCBC12， 故答案为：12 16如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD 的中线若ABC 的面积为 40，AE5，则点 B 到 AE 边的 距离为 4 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等用ABC 的面积表示出ABE 的面积，再利用三角形的面积 公式列式计算即可得解 【解答】解：AD 为ABC 的中线，BE 为ABD 的中线， SABDSABC，SABESABD， SABESABC， ABC 的面积为 40， ABE 的面积为4010， 设点 B 到 AE 边的距离为 h， AE5， AEh10，即
20、5h10， 解得 h4 故答案为：4 17定义运算“” ：ab，若 5x2，则 x 的值为 或 10 【分析】首先认真分析找出规律，根据 5 与 x 的取值范围，分别得出分式方程，可得对应 x 的值 【解答】解：当 x5 时，2，x， 经检验，x是原分式方程的解； 当 x5 时，2，x10， 经检验，x10 是原分式方程的解； 综上所述，x或 10； 故答案为：或 10 18如图，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点，且 CEDF，AE、BF 相交于点 O，下面四 个结论： （1）AEBF， （2）AEBF， （3）AOOE， （4）SAOBS四边形DEOF，其中正确结
21、论的序号是 （1） 、 （2） 、 （4） 【分析】根据正方形的性质，运用 SAS 证明ABFDAE，运用全等三角形性质逐一解答 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，BAFADE90 CEDF，AFDE ABFDAE AEBF； AFBAED AED+DAE90， AFB+DAE90， AOF90，即 AEBF； SAOBSABFSAOF，S四边形DEOFSADESAOF， ABFDAE， SABFSADE， SAOBS四边形DEOF 故正确的有 （1） 、 （2） 、 （4） 三、解答题（三、解答题（8 个小题，共个小题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算： （1）0.
22、25（2） 2161（3）0； （2） （2x2y 3）2（xy2）3（x3y）2 【分析】 （1）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、整式的混合运算法则分别化简得出答案 【解答】解： （1）0.25（2） 2161（3）0； 0.25161 11 0； （2） （2x2y 3）2（xy2）3（x3y）2 2 2x4y6 （x3y6）（x6y2） x 1y12（x6y2） x5y10 20 （8 分）化简： （1） （）（） ； （2）解方程：+ 【分析】 （1）利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算
23、，利用乘法分配律约分得 到最简结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解： （1）原式（） 3（x+2）（x2） 3x+6x+2 2x+8； （2）去分母得：2（x1）5（x+1）10， 去括号得：2x25x510， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的增根， 原分式方程无解 21 （8 分）先化简，再求值：的值；其中 x 满足方程 x2+3x20 【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转出为乘法，即可进行化简，然后把已知的式 子写成 x2+3x2，代入即可求解 【解答】解：原式 （） 由 x2+3x20
24、知 x2+3x2， 原式值 22 （10 分）已知关于 x 的分式方程+ （1）若方程有增根，求 k 的值 （2）若方程的解为负数，求 k 的取值范围 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为 0，代入整式 方程计算即可求出 k 的值 （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x，根据解为负数求出 k 的范围即可； 【解答】解： （1）分式方程去分母得：4（x1）+3（x+1）k， 由这个方程有增根，得到 x1 或 x1， 将 x1 代入整式方程得：k6， 将 x1 代入整式方程得：k8， 则 k 的值为 6 或8 （2）分式方程去分母
25、得：4（x1）+3（x+1）k， 去括号合并得：7x1k，即 x， 根据题意得：0，且1 且1， 解得：k1，且 k8 23 （10 分）如图，ADCB，ABCD，BEAC，垂足为 E，DFAC，垂足为 F 求证： （1）ABCCDA； （2）BEDF 【分析】 （1）根据 SSS 可得出答案； （2）由全等三角形的性质得出ACBDAC，证明AFDCEB（AAS） ，可得出 BEDF 【解答】证明： （1）在ABC 和CDA 中， ， ABCCDA（SSS） （2）ABCCDA， ACBDAC， BEAC，DFAC， BECDFA90， 在AFD 和CEB 中， ， AFDCEB（AAS） ，
26、 BEDF 24 （10 分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元 出售，很快售完由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买 的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损 失，便降价 50%售完剩余的水果 （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？ （2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【分析】 （1）设第一次购买的单价为 x 元，则第二次的单价为 1.1x 元，第一次购买用了 1200 元，第二 次
27、购买用了 1452 元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多 20 千 克，可得出方程，解出即可得出答案； （2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量（实际售价当次进价） ，两次合计，就可以回答 问题了 【解答】解： （1）设第一次购买的单价为 x 元，则第二次的单价为 1.1x 元， 根据题意得：20， 解得：x6， 经检验，x6 是原方程的解， （2）第一次购水果 12006200（千克） 第二次购水果 200+20220（千克） 第一次赚钱为 200（86）400（元） 第二次赚钱为 100（96.6）+120（90.561.1）12（元） 所以两次共赚钱 400
28、12388（元） ， 答：第一次水果的进价为每千克 6 元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了 388 元 25 （12 分）阅读以下材料，完成以下两个问题 阅读材料已知：如图，ABC（ABAC）中，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA 交 AE 于 点 F，DFAC求证：AE 平分BAC 结合此题，DEBC，点 B 是 DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等， 从而转移边和角有两种考虑方法：考虑倍长 FE，如图（1）所示；考虑倍长 AE，如图（2）所示 以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长 FE 至 G，使 EGEF，连结 CG 在DE
29、P 和CEG 中， ， DEFCEG（SAS） DFCG，DFEG DFAC， CGAC GCAE DFECAE DFAB， DFEBAE BAECAE AE 平分BAC 问题 1：参考上述方法，请完成图（2）的证明 问题 2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图 3，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB，AC 为直角边向外作等腰直角三角形， BAECAF90，AEAB，ACAF，AD3，求 EF 的长 【分析】问题 1：延长 AE 至 G，使 EGAE，连接 DG，先证ACEGDE（SAS） 得 ACGD， CAEG 再证 DGDF， 得DFGG， 则DFGCAE， 然
30、后由平行线的性质得DFGBAE， 即可得出结论； 问题 2： 延长 AD 至 G， 使 DGAD， 连接 BG， 先证GBDACD （SAS） ， 得 GBAC， GCAD， 再证AEFBAG（SAS） ，得 EFAG，进而得出答案 【解答】问题 1： 证明：延长 AE 至 G，使 EGAE，连接 DG，如图（2）所示： 在ACE 和GDE 中， ， ACEGDE（SAS） ACGD，CAEG DFAC， DGDF， DFGG， DFGCAE， DFAB， DFGBAE， BAECAE， AE 平分BAC 问题 2： 解：延长 AD 至 G，使 DGAD，连接 BG，如图（3）所示： AD 是
31、 BC 边上的中线， BDCD， 在GBD 和ACD 中， ， GBDACD（SAS） ， GBAC，GCAD， BGAC， ABG+BAC180， BAECAF90， EAF+BAC180， EAFABG， ACAF， AFGB， 在AEF 和BAG 中， ， AEFBAG（SAS） ， EFAG， AG2AD236， EF6 26 （12 分）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） （1）如果，ABAC，BAC90， 当点 D 在线段 BC 上时（
32、与点 B 不重合） ，如图 2，求证：CFBD，CFBD 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如图 4，如果BAC 是锐角，ACB45，点 D 在线段 BC 上，点 C、D 不重合，求证：CF BC 【分析】 （1）利用 SAS 判断出BADCAF，可得：BDCF，BACF45，则BCF ACB+ACF90，所以 BD 与 CF 相等且垂直； 的结论仍成立，同理证明DABFAC，即可得出结论； （2）先判断出 AQAC，进而判断出QADCAF，即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90， DAC+
33、CAF90， ABAC，BAC90， BAD+DAC90，且BACB45， CAFBAD， BADCAF（SAS） ， BDCF，BACF45， ACB+ACF45+4590， 即BCF90， BCCF， 即 BDCF； 解：当点 D 在 BC 的延长线上时，的结论仍成立，理由是： 如图 3，四边形 ADEF 正方形， ADAF，DAF90， BAC90， DAFBAC， DABFAC， 又ABAC， DABFAC（SAS） ， CFBD，ACFABD， BAC90，ABAC， ABC45， ACFABC45 BCFACB+ACF90， 即 CFBD； （2）如图 4，过点 A 作 AQAC，交 BC 于点 Q， BCA45， AQC45， AQCBCA， ACAQ， ADAF，QACDAF90， QACDACDAFDAC， QADCAF， QADCAF（SAS） ， ACFAQD45， BCFACB+ACF90， 即 CFBD
