1、2020-2021 学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列各组线段中，能组成比例线段的（ ） A2，3，4，5 B2，3，4，6 C2，3，5，7 D3，4，5，6 2下列图形中一定相似的是（ ） A两个等腰三角形 B两个菱形 C两个直角三角形 D两个正方形 3在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，那么下列各式中正确的是（ ） AtanA BcotA CsinA DcosA 4已知ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，下列各
2、式中，不能判断 DEBC 的是（ ） A B C D 5已知 、 和 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 的是（ ） A 2 B ， C| | | D ， 2 6如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，把ABO、BCO、 COD、DOA 的面积分别记作 S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（ ） AS22S1 BS1S3 CS22S4 DS32S4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7若0，则 8 在比例尺为 1： 1000000 的地图上， 量得两地间的距离为 3
3、 厘米， 那么两地间的实际距离是 千米 9已知两相似三角形的对应中线的比是 2：3，其中较大的三角形的面积为 27，则较小的三角形的面积 是 10如果线段 a4cm，b9cm，那么它们的比例中项是 cm 11已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点（AMMB），如果 AB6cm，那么 AM cm 12 如图， G 是ABC 的重心， 过点 G 作 EFBC， 分别交 AB、 AC 于点 E、 F， 若 BC6， 则 EF 13如图，梯形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、DC 边上，ADBCEF，BE：EA1：2，若 FC2.5， 则 FD 14在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、A
4、C 上，DEBC，DE：BC1：3，AD2，则 BD 15在平面直角坐标系 xOy 中有一点 A（3，4），如果 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 ，那么 sin 16如图，已知在ABC 中，ABDC，AD9，CD7，那么 AB 17如图，在平行四边形 ABCD 中，点 F 是 CD 的中点，BF 和 AC 交于点 E如果 ， ，如果 用 、 表示，那么 18 如图， 在ABC 中， D 是 AC 边的中点， 连接 BD， 把BDC 沿 BD 翻折， 得到BDC， 联结 AC 若 ADAC2，BD3，则点 D 到 BC的距离为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78
5、 分）分） 19（10 分）计算：cos245+cot230 20（10 分）如图，已知两个不平行的向量 、 ，先化简，再求作2（2 ）3（ +） （不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 21（10 分）已知：如图，在ABC 中，AB6，BC8，B60 求：（1）ABC 的面积； （2）C 的余弦值 22（10 分）ABC 是一块直角三角形余料，C90，AC8cm，BC6cm，如图将它加工成正方形 零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大） 23（12 分）已知：如图，BF、CE 分别是ABC 的边 AC、AB 上的高，BF 与 CE 相交于点 O，AN 是 BAC 的角平
6、分线，交 EF 于点 M，交 BC 于点 N （1）求证；ABFACE； （2）求证： 24（12 分）已知如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，DEBC，交边 AC 于点 E，延长 DE 至点 F，使 EF DE，联结 BF，交边 AC 于点 G，联结 CF （1）求证：； （2）如果 CF2FGFB，求证：CGCEBCDE 25（14 分）如图，在ABC 中，ABAC20，tanB，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不与点 B、C 重 合）以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E （1）如图 2，当 EDAB 时，求 AE 的长； （2）设 BDx，AEy，求 y
7、关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当ADE 是等腰三角形时，直接写出线段 BD 的长 2020-2021 学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列各组线段中，能组成比例线段的（ ） A2，3，4，5 B2，3，4，6 C2，3，5，7 D3，4，5，6 【分析】判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条 线段之比是否相等即可 【解答】解：A、2534，不成比
8、例； B、2634，成比例； C、2735，不成比例； D、3645，不成比例； 故选：B 2下列图形中一定相似的是（ ） A两个等腰三角形 B两个菱形 C两个直角三角形 D两个正方形 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案 【解答】解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确 故选：D 3在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，那么下列
9、各式中正确的是（ ） AtanA BcotA CsinA DcosA 【分析】根据勾股定理求出 AB，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC12，BC5， 由勾股定理得，AB13， 则 tanA，A 选项计算正确； cotA，B 选项计算错误； sinA，C 选项计算错误； cosA，D 选项计算错误； 故选：A 4已知ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，下列各式中，不能判断 DEBC 的是（ ） A B C D 【分析】若使 DEBC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定 DEBC 【解答】解：如图，若使线段 DEBC，则
10、其对应边必成比例， 即， 故 B 选项答案错误； 故选：B 5已知 、 和 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 的是（ ） A 2 B ， C| | | D ， 2 【分析】根据平行向量的判定一一判断即可； 【解答】解：A、由 2 ，可以推出 本选项不符合题意； B、由 ， ，可以推出 本选项不符合题意； C、由| | |，不可以推出 本选项符合题意； D、由 ， 2 ，可以推出 本选项不符合题意； 故选：C 6如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，把ABO、BCO、 COD、DOA 的面积分别记作 S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不
11、正确（ ） AS22S1 BS1S3 CS22S4 DS32S4 【分析】由 ADBC，推出AODCOB，推出，利用等高模型以及相似三角形的 性质解决问题即可 【解答】解：ADBC， AODCOB， ， SBOC2SAOB2SODC，SDOC2S AOD， （）2， 选项 A，B，D 正确， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7若0，则 【分析】设k0，得出 x2k，y5k，z4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案 【解答】解：设k0，则 x2k，y5k，z4k， 则； 故答案为： 8在比例尺为 1：10000
12、00 的地图上，量得两地间的距离为 3 厘米，那么两地间的实际距离是 30 千米 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，可知实际距离图上距离比例尺 【解答】解：根据题意，33000 000 厘米30 千米 即实际距离是 30 千米 故答案为：30 9已知两相似三角形的对应中线的比是 2：3，其中较大的三角形的面积为 27，则较小的三角形的面积是 12 【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是 4：9，根据题意列式计算即可 【解答】解：两相似三角形的对应中线的比是 2：3， 两相似三角形的相似比是 2：3， 两相似三角形的面积比是 4：9， 较大的三角形的面积为 27， 较小的三角
13、形的面积为：2712， 故答案为：12 10如果线段 a4cm，b9cm，那么它们的比例中项是 6 cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积 所以 c249，x6，（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6 11已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点（AMMB），如果 AB6cm，那么 AM （33） cm 【分析】根据黄金分割点的定义，知 AM 是较长线段；则 AMAB，代入数据即可得出 AM 的长 【解答】解：M 是线段 AB 的黄金分割点（AMMB），AB6cm， AM
14、AB6（33）cm， 故答案为：（33） 12如图，G 是ABC 的重心，过点 G 作 EFBC，分别交 AB、AC 于点 E、F，若 BC6，则 EF 4 【分析】如图，连接 AG 并延长，交 BC 于点 P，由三角形的重心的性质可知 AG2GP，则 AG：AP2： 3又 EFBC，根据相似三角形的判定可知AGFAPC，得出 AF：AC2：3，最后由 EFBC，得 出AEFABC，从而求出 EF：BCAF：AC2：3，结合 BC6 可求 EF 的长度 【解答】解：如图，连接 AG 并延长，交 BC 于点 P G 为ABC 的重心， AG2GP， AG：AP2：3， EF 过点 G 且 EFB
15、C， AGFAPC， AF：ACAG：AP2：3， 又EFBC， AEFABC， ， BC6， EF4 13如图，梯形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、DC 边上，ADBCEF，BE：EA1：2，若 FC2.5， 则 FD 5 【分析】根据 ADBCEF，BE：EA1：2，可得出 FC：FD1：2，再根据 FC2.5，即可得出 FD 的长度 【解答】解：ADBCEF，BE：EA1：2， FC：FD1：2， FC2.5， FD5 故答案为 5 14在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DE：BC1：3，AD2，则 BD 4 【分析】由 DEBC 可判定ADEABC
16、，从而可得比例式，结合 DE：BC1：3，可求得 AB 的值， 最后根据 BDABAD 计算即可 【解答】解：依题意画出图形，如图： 在ABC 中，DEBC， ADEABC， ， DE：BC1：3， ， AD2， AB6， BDABAD624 故答案为：4 15在平面直角坐标系 xOy 中有一点 A（3，4），如果 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 ，那么 sin 【分析】 根据勾股定理和 A （3， 4） ， 可得 OA 的长， 根据 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 可得 sin 的值 【解答】解：A（3，4）， OA5， sin 故答案为： 16如图，已知在ABC 中，ABDC，AD9，
17、CD7，那么 AB 12 【分析】首先由在ABC 中，ABDC，可以证明ABDACB，然后利用相似三角形的性质和已 知条件即可求解 【解答】解：在ABC 中，ABDC， 而A 公共， ABDACB， AB2ADAC， 而 AD9，CD7， AC16， AB12 17如图，在平行四边形 ABCD 中，点 F 是 CD 的中点，BF 和 AC 交于点 E如果 ， ，如果 用 、 表示，那么 （ + ） 【分析】 根据平行四边形的性质和平行线截线段成比例求得 AE 线段的长度， 结合平行四边形法则求得 即可 【解答】解：点 F 是 CD 的中点， FCDC 又在平行四边形 ABCD 中，CDAB，C
18、DAB， ，即， AEAC ， ， + + ， （ + ）， 故答案是：（ + ） 18 如图， 在ABC 中， D 是 AC 边的中点， 连接 BD， 把BDC 沿 BD 翻折， 得到BDC， 联结 AC 若 ADAC2，BD3，则点 D 到 BC的距离为 【分析】连接 CC，交 BD 于点 M，过点 D 作 DHBC于点 H，由翻折知，BDCBDC，BD 垂直 平分 CC，证ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出 DM1，CMDM，BM2，在 RtBMC中，利用勾股定理求出 BC的长，在BDC中利用面积法求出 DH 的长，则可得出答案 【解答】解：如图，连接 CC，交 BD 于点 M，过
19、点 D 作 DHBC于点 H， ADAC2，D 是 AC 边上的中点， DCAD2， 由翻折知，BDCBDC，BD 垂直平分 CC， DCDC2，BCBC，CMCM， ADACDC2， ADC为等边三角形， ADCACDCAC60， DCDC， DCCDCC6030， 在 RtCDM 中， DCC30，DC2， DM1，CMDM， BMBDDM312， 在 RtBMC中， BC ， SBDC BCDH BDCM， DH3， DH， DCBDBC， 点 D 到 BC 的距离为 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19（10 分）计算：cos
20、245+cot230 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案 【解答】解：原式（）2+（）2 +3 20（10 分）如图，已知两个不平行的向量 、 ，先化简，再求作2（2 ）3（ +） （不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可 【解答】解：2（2 ）3（ +） 4 2 3 3 如图，即为所求 21（10 分）已知：如图，在ABC 中，AB6，BC8，B60 求：（1）ABC 的面积； （2）C 的余弦值 【分析】（1）根据题意作 ADBC 于点 D，然后根据题目中的条件可以求得 AD 的长，
21、从而可以求得 ABC 的面积； （2）根据题意和（1）中的条件可以求得 CD 和 AC 的，从而可以求得C 的余弦值 【解答】解：（1）作 ADBC 于点 D， 在ABC 中，AB6，BC8，B60， ADB90，BAD30， BD3， AD3， ABC 的面积是：； （2）由（1）知ADC90，BD3，AD3， BC8， CD5， AC2， cosC 22（10 分）ABC 是一块直角三角形余料，C90，AC8cm，BC6cm，如图将它加工成正方形 零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大） 【分析】由勾股定理求得 AB，所截的正方形的边在ABC 的直角边上，如图 1，设正方形
22、 CDEF 边长为 x，则 DECDx，BDBCCD6x，先证明BDEBCA，于是可利用相似比求得 xcm； 当所截的正方形的边在ABC 的斜边上，如图 2，作 CHAB 于 H，交 MQ 于 J，先利用面积法计算出 CHcm，设正方形 MNPQ 边长为 x，则 QMx，BJ x，证明CMQCBA，则可利用相似 比计算出 xcm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高 【解答】 解： 当所截的正方形的边在ABC 的直角边上， 如图 1， 设正方形 CDEF 边长为 x， 则 DExcm， BDBCCD（6x）cm， DEAC， BDEBCA， ，即， 解得：x（cm）， 即正方形
23、 BDEF 边长为cm； 当所截的正方形的边在ABC 的斜边上，如图 2，作 CHAB 于 H，交 MQ 于 J， 则 MNCH， AB 10， CHABACBC CH（cm）， 设正方形 MNPQ 边长为 x，则 QMx，BJx， QMAB， CMQCBA， ，即， 解得：x（cm）， 即正方形 BDEF 边长为（cm）； ， 图 1 利用率高 23（12 分）已知：如图，BF、CE 分别是ABC 的边 AC、AB 上的高，BF 与 CE 相交于点 O，AN 是 BAC 的角平分线，交 EF 于点 M，交 BC 于点 N （1）求证；ABFACE； （2）求证： 【分析】（1）由“有两个角分
24、别相等的三角形相似“来判定即可； （2）由ABFACE 可得比例式，再结合夹角相等，可判定EAFCAB，从而可得 ，AEFACB；然后结合角平分线的定义可得EAMCAN，则可判定EAMCAN，进 而得出比例式，由可得结论 【解答】解：（1）证明：BF、CE 分别是ABC 的边 AC、AB 上的高， BFAC，CEAB， AFBAEC90， 又CAEBAF， ABFACE； （2）证明：ABFACE， ， ， 又EAFCAB， EAFCAB， ，AEFACB， AN 是BAC 的角平分线， EAMCAN， EAMCAN， ， 由可得： 24（12 分）已知如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，
25、DEBC，交边 AC 于点 E，延长 DE 至点 F，使 EF DE，联结 BF，交边 AC 于点 G，联结 CF （1）求证：； （2）如果 CF2FGFB，求证：CGCEBCDE 【分析】（1）首先证明ADEABC，EFGCBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及 DEEF 即可证得； （2）首先证明CFGBFC，证得，FCECBF，然后根据平行线的性质证明FEG CEF，即可证得EFGECF，则，即可证得，则所证结论即可得到 【解答】证明：（1）DEBC， ADEABC，EFGCBG， ， 又DEEF， ， ； （2）CF2FGFB， ， 又CFGCFB， CFGBFC， ，FCECB
26、F， 又DFBC， EFGCBF， FCEEFG， 又FEGCEF， EFGECF， ， ，即 CGCEBCDE 25（14 分）如图，在ABC 中，ABAC20，tanB，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不与点 B、C 重 合）以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E （1）如图 2，当 EDAB 时，求 AE 的长； （2）设 BDx，AEy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当ADE 是等腰三角形时，直接写出线段 BD 的长 【分析】 （1）证明ABD 为等腰直角三角形，求出 BD，利用 DEBA，则，即， 即可求解； （2）证明ABDDCE，
27、则，即可求解； （3）分 ADDE、ADDE、AEDE 三种情况，利用解直角三角形的方法和三角形相似，分别求解即 可 【解答】解：（1）如图 1，故点 A 作 AHBC 于点 H， 在 RtABH 中，设 tanBtan，则 sin，cos， 则 AHABsin2012，BH16，则 BC2BH32， EDAB，则ADEBADB， 则ABD 为等腰三角形， 在ABD 中，过点 D 作 DMAB 于点 M， 则 MDBDsinB，BMBDcosBAB， 即BDAB20，解得 BD， DEBA，则，即， 解得：AE； （2）如图 2， 在ABD 中，ADCADE+EDCBAD+B， ADEB， EDCBAD， ABDDCE，则， 其中，AB20，CD32x，BDx，CE20y， 故， 化简得：yx2x+20（0 x32）； （3）当 ADDE 时，此时点 B、D 重合，不符合题意； 当 ADDE 时， 由（2）知则1，即1， 解得 x12，即 BD12； 当 AEDE 时， AEDE， DAEADEC， 故ADC 为等腰三角形， 则 ADCD32x， 在ABD 中，BDx，AD32x，如图 1， 则 AH12，AH16， 在ADH 中，AD32x，DH16x，AH12， 由勾股定理得：（32x）2（16x）2+122， 解得 x19.5； 综上，BD 的长度为 12 或 19.5
