1、 第 1 页 / 共 16 页 考点考点 07 导数的运算及几何意义导数的运算及几何意义 了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义； 理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法 则求简单的导数； 导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填 空题中也体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。 在高考复习中要注意以下几点： 1、解决在点),( 0 0 y x 处的切线问题要抓住两点： （1）切点),( 0 0 y x 即在曲线上也在曲线的切线上。 （2）
2、切 线 l 的斜率 )(xfk 2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式 的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。 3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的 点的之间距离或求参的范围。 1、 【2020 年全国 1 卷】.函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（ ） A. 21yx B. 21yx C. 23yx D. 21yx 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2
3、页 / 共 16 页 【答案】B 【解析】 43 2f xxx， 32 46fxxx， 11f， 12 f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx . 故选：B. 2、 【2020 年全国 3 卷】.若直线 l与曲线 y= x和 x 2+y2=1 5 都相切，则 l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1 D. y= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】 】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx，则 0 0 x ， 函数yx的导数为 1 2 y x ，则直线l的斜率 0 1 2 k x ， 设直线l的方程为 00 0 1 2
4、 yxxx x ，即 00 20 xx yx， 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切，则 0 0 1 145 x x ， 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ，解得 0 1x ， 0 1 5 x （舍） ， 则直线l的方程为 210 xy ，即 11 22 yx. 故选：D. 3、【2019 年高考全国卷理数】已知曲线eln x yaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae1ab， Ba=e，b=1 C 1 e1ab ， D 1 ea ，1b 【答案】D 【解析】eln1, x yax 切线的斜率 1 |e 12 x kya ， 1 ea ， 将(1,1)代入2yx
5、b，得21,1bb . 故选 D 第 3 页 / 共 16 页 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属 于常考题型. 4、【2018 年高考全国卷理数】设函数 32 ( )(1)f xxaxax.若 ( )f x为奇函数，则曲线( )yf x 在 点(0,0)处的切线方程为 A 2yx By x C 2yx Dy x 【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，化简可得. 故选 D. 5、 (2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy中， P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，
6、则点P到直线x+y=0 的距离的最小值是_. 【答案】4. 【解析】当直线0 xy平移到与曲线 4 yx x 相切位置时，切点 Q即为点 P到直线0 xy的距离最 小. 由 2 4 11y x ，得 2(2)x 舍，3 2y ， 即切点( 2,3 2)Q， 则切点 Q 到直线0 xy的距离为 22 23 2 4 11 ， 故答案为：4 6、 (2019 年江苏卷).在平面直角坐标系xOy中， 点 A 在曲线 y=lnx上， 且该曲线在点 A 处的切线经过点 （-e， -1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A的坐标是_. 【答案】(e, 1). 【解析】设点 00 ,A x y，则 00 ln
7、yx.又 1 y x ， 第 4 页 / 共 16 页 当 0 xx时， 0 1 y x ， 点 A 在曲线lnyx上的切线为 00 0 1 ()yyxx x ， 即 0 0 ln1 x yx x ， 代入点, 1e ，得 0 0 1 ln1 e x x ， 即 00 lnxxe， 考查函数 lnH xxx，当0,1x时， 0H x ，当1,x时， 0H x ， 且 ln1Hxx，当1x 时， 0,HxH x单调递增， 注意到 H ee，故 00 lnxxe存在唯一的实数根 0 xe，此时 0 1y ， 故点A的坐标为,1A e. 7、 【2020 年山东卷】已知函数 1 ( )elnln x
8、 f xaxa （1）当ae时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】 （1） 2 1e （2）1,) 【解析】 （1）( )ln1 x f xexQ， 1 ( ) x fxe x ，(1)1kfe . (1)1feQ，切点坐标为(1,1+e), 函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex ,即12yex, 切线与坐标轴交点坐标分别为 2 (0,2),(,0) 1e , 所求三角形面积为 122 2 |= 211ee ; 8、 【2020 年天津卷】.已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR，( )fx 为
9、( )f x的导函数 （）当6k 时， （i）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； 第 5 页 / 共 16 页 【解析】() (i) 当 k=6 时， 3 6lnf xxx， 2 6 3fxx x .可得 11f， 19f， 所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为191yx ，即98yx. 所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+)； g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值. 9、【2019 年高考全国卷理数】已知函数 1 1 ln x f xx x . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点； （2）设 x0
10、是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 exy 的切线. 【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+） 因为 2 12 ( )0 (1) f x xx ，所以( )f x在（0，1），（1，+）单调递增 因为 f（e）= e 1 10 e 1 ， 22 2 22 e1e3 (e )20 e1e1 f ，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点 x1，即 f（x1）=0又 1 1 01 x ， 1 11 11 11 ()ln()0 1 x fxf x xx ，故 f（x）在（0，1）有唯一零点 1 1 x 综上，f（x）有且仅有两个零点 （2
11、）因为 0 ln 0 1 e x x ，故点 B（lnx0， 0 1 x ）在曲线 y=ex上 由题设知 0 ()0f x，即 0 0 0 1 ln 1 x x x ，故直线 AB 的斜率 0 0 000 0 000 0 0 111 ln 11 1 ln 1 x x xxx k x xxx x x 曲线 y=ex在点 0 0 1 ( ln,)Bx x 处切线的斜率是 0 1 x ， 曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处切线的斜率也是 0 1 x ， 所以曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处的切线也是曲线 y=ex的切线 10、 【2020 年北京卷】已知函数 2 ( )12f
12、xx （）求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程； （）设曲线( )yf x在点( ,( )t f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )S t，求( )S t的最小值 第 6 页 / 共 16 页 【答案】 （）2130 xy， （）32. 【解析】 （）因为 2 12f xx，所以 2fxx ， 设切点为 00 ,12xx，则 0 22x ，即 0 1x ，所以切点为1,11， 由点斜式可得切线方程：1121yx，即2130 xy. （）显然0t ， 因为 yf x在点 2 ,12tt处的切线方程为： 2 122ytt xt ， 令0 x，得 2 12yt，令0y ，得 2 12
13、 2 t x t ， 所以 S t 2 2 112 12 22| | t t t ， 不妨设0t (0t 时，结果一样)， 则 42 3 241441144 (24) 44 tt S ttt tt ， 所以 S t 42 2 22 11443(848) (324) 44 tt t tt 222 22 3(4)(12)3(2)(2)(12) 44 ttttt tt ， 由 0S t ，得2t ，由 0S t ，得02t ， 所以 S t在0,2上递减，在2,上递增， 所以2t 时， S t取得极小值， 也是最小值为 16 16 232 8 S . 11、【2019 年高考北京理数】已知函数 32
14、 1 ( ) 4 f xxxx （）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （）设( ) |( )()|()F xf xxaaR，记( )F x在区间 2,4上的最大值为 M（a）当 M（a）最 第 7 页 / 共 16 页 小时，求 a 的值 【答案】 （）y x 与 64 27 yx； （）见解析； （）3a . 【解析】 （）由 32 1 ( ) 4 f xxxx得 2 3 ( )21 4 fxxx. 令( )1fx，即 2 3 211 4 xx ，得0 x或 8 3 x . 又(0)0f， 88 ( ) 327 f， 所以曲线(
15、 )yf x的斜率为 1 的切线方程是yx与 88 273 yx， 即yx与 64 27 yx. （）令( )( ), 2,4g xf xx x . 由 32 1 ( ) 4 g xxx得 2 3 ( )2 4 g xxx. 令( )0g x 得0 x或 8 3 x . ( ), ( )g x g x的情况如下： x 2 ( 2,0) 0 8 (0, ) 3 8 3 8 ( ,4) 3 4 ( )g x ( )g x 6 0 64 27 0 所以( )g x的最小值为6，最大值为0. 故6( )0g x ，即6( )xf xx. （）由（）知， 当3a时，( )(0) |(0)|3MFgaaa
16、 ； 当3a时，( )( 2) |( 2)| 63MFagaa； 当3a时，( )3M a . 综上，当( )M a最小时，3a. 二年模拟试题二年模拟试题 第 8 页 / 共 16 页 题型一 导数的几何意义 1、 （2010 届北京西城区第 4 中学期中）已知曲线 eln x yaxx 在点 1,ae 处的切线方程为 2yxb ， 则（ ） A ,1ae b B,1ae b C 1, 1aeb D 1, 1aeb 【答案】D 【解析】ln1, x yaex 1 |12 x kyae ， 1 ae 将(1,1)代入2yxb得21,1bb ，故选 D 2、 （北京市通州区 2019-2020
17、学年高三上学期期中数学试题）直线l经过点 (0, )Ab ，且与直线 yx 平行， 如果直线l与曲线 2 yx= 相切，那么b等于（ ） A 1 4 B 1 2 C 1 4 D 1 2 【答案】A 【解析】直线l经过点(0, )Ab，且与直线y x 平行，则直线方程为：yxb 直线l与曲线 2 yx=相切， 1 21 2 yxx= =，切点为 1 1 ( , ) 2 4 代入直线方程 解得： 1 4 b 故选：A 3、 （2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测）曲线 x yex在0 x处的切线方程为 ykxb ，则实数b_. 【答案】1； 【解析】因为 x yf xex， 所
18、以 1 x fxe，所以 01f， 02 f ， 故曲线在0 x处的切线过0,1且斜率2k ，故切线方程为21yx 第 9 页 / 共 16 页 所以1b 故答案为：1 4、 （江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研）若曲线(1) x yaxe在(0,1)处的切 线斜率为-1，则a_. 【答案】2 【解析】,(1)1) xx yyaxeaxae ， 0 11,2 x yaa . 故答案为:-2. 5、 （2020 届山东省滨州市高三上期末）曲线(1) x yxe在点(0,1)处的切线的方程为_ 【答案】21yx 【解析】 (2)212 ,21 x yxekyx y
19、x 6、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）直线y x 与曲线2lnyxm相切，则m_. 【答案】22ln2 【解析】函数2lnyxm的导函数 2 y xm ， 设切点坐标 00 (,)xy，则 00 0 2ln 2 1 xxm xm ，解得： 0 2ln2,22ln2xm. 故答案为：22ln2 .7、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研）已知aR，设函数 ( )lnf xaxx 的图象在点 （1，(1)f）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_ . 【答案】1 【解析】函数 f(x)=axlnx,可得 1 fxa x ,切线的斜率为： 11kfa
20、， 切点坐标(1,a),切线方程 l 为：ya=(a1)(x1)， l 在 y 轴上的截距为：a+(a1)(1)=1. 故答案为 1. 第 10 页 / 共 16 页 8、 （江苏省南通市 2019-2020 学年高三上学期期初）给出下列三个函数： 1 y x ；sinyx；exy ， 则直线 1 2 yxb(bR)不能作为函数_的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号） 【答案】 【解析】直线 1 2 yxb的斜率为 k 1 2 ， 对于 1 y x ，求导得： 2 1 y x ，对于任意 x0， 2 1 x 1 2 无解，所以，直线 1 2 yxb不能作为切线； 对于 sinyx ，求导
21、得： 1 cos 2 yx有解，可得满足题意； 对于 x ye，求导得： 1 2 x ye有解，可得满足题意； 故答案为： 9、 （2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数 2 ( )() x f xxbxb e bR. （）若1b，求曲线( )yf x在(0,(0)f处的切线方程； 【解析】 （）解： 2 ( )(2)2 x fxxbxb e ， 当1b时，(0)1f， (0)2 f ， 所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为12yx ，即21yx； 10、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 32 1 1 2 f xxxax （1）当2a时，求曲线 y
22、f x在点 0,0f处的切线方程； （2）若函数 1f xx 在处有极小值，求函数 f x在区间 3 2, 2 上的最大值 【答案】 （1）210 xy ； （2） 49 27 . 【解析】 （1）当2a时， 32 1 ( )21 2 f xxxx， 2 ( )32fxxx， 所以 (0)2 f ， 又( 0 ) 1f， 所以曲线 yf x在点 0,0f处切线方程为12yx ， 即21 0 xy . （2）因为 2 ( )3fxxxa， 因为函数 1f xx 在处有极小值，所以(1)202faa ， 第 11 页 / 共 16 页 所以 2 ( )32fxxx 由 0fx ，得 2 3 x 或
23、1x ， 当 2 3 x 或1x 时， 0fx， 当 2 1 3 x时，( )0fx ， 所以 f x在 2 2, 3 ， 3 1, 2 上是增函数，在 2 ,1 3 上是减函数， 因为 249 327 f ， 31 24 f ， 所以 f x的最大值为 249 327 f . 题型二 函数图像的切线的综合问题 1、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考） 当直线 10()kxykk R和曲线 E： 32 5 (0) 3 yaxbxab 交于 112233 ()()()A xyB xyC xy， 123 ()xxx三点时，曲线 E 在点 A，点 C 处的切线总是平行的，则过 点( )ba，
24、可作曲线 E 的切线的条数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】直线10kxykkR 过定点1,1 由题意可知：定点1,1是曲线 32 5 :0 3 E yaxbxb的对称中心， 5 1 3 1 3 ab b a ，解得 1 3 1 a b ，所以曲线 32 15 : 33 E yxx， 1 ,1 3 b a ， f（x）= 2 2xx ，设切点 M（x0，y0） ， 则 M 纵坐标 y0= 32 00 15 33 xx，又 f（x0）= 2 00 2xx， 切线的方程为： 322 00000 15 y2 33 xxxxxx 第 12 页 / 共 16 页 又直线过定点 1 1
25、 3 ， 322 00000 115 21 333 xxxxx ， 得 3 0 x 0 3x-2=0， 3 000 210 xxx， 即 2 000 120 xxx 解得： 0 21x 或 故可做两条切线 故选 C 2、 （北京市第 171 中学 2019-2020 学年高三 10 月月考数学试题）已知函数 2 11 ( )(0) 42 f xxxa x， ( )ln (0)g xx x ，其中Ra若 ( )f x的图象在点 11 ,A x f x处的切线与g x（ ）的图象在点 22 ,B x g x处的切线重合，则 a 的取值范围为（） A( 1 ln2,) B( 1ln2,) C 3 ,
26、 4 D(ln2ln3,) 【答案】A 【解析】 2 11 ( )(0) 42 f xxxa x，( )ln (0)g xx x 11 0 22 fxxx， 1 0gxx x ， 函数 f x在点 11 ,A x f x处的切线方程为： 2 1111 1111 4222 yxxaxxx ， 函数 g x在点 22 ,B xf x处的切线方程为： 22 2 1 lnyxxx x ， 两直线重合的充要条件是 1 2 111 22 x x ， 2 12 1 ln1 4 xax， 第 13 页 / 共 16 页 由及 12 0 xx得 2 11 0 2x ， 故 22 2 222 11111 ln1l
27、n1 22 ax xxx ， 令 2 1 t x ，则 1 0 2 t ，且 2 1 ln1 2 att ， 设 2 1 ln1 2 h ttt ， 1 0 2 t 2 211121 21 tttt h tt ttt ， 当 1 0 2 t 时， 0h t恒成立，即 h t单调递减， 1 1 ln2 2 h th ，0 x时， h t ， 即 a 的取值范围为( 1ln2,) ，故选 A. 3、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线 x ye在点 0 0, x P x e 处的切线 与 x 轴相交于点 A，其中 e 为自然对数的底数.若点 0,0 B x ，P
28、AB的面积为 3，则 0 x的值是_. 【答案】ln6 【解析】由题，exy ，切线斜率 0 x ke，则切线方程为 00 0 xx yeexx，令0y ，解得 0 1 A xx，又 PAB的面积为 3， 0 1 13 2 x PAB Se ，解得 0 ln6x . 故答案为：ln6 4、 （2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟）已知 P 为指数函数( ) x f xe图象上一点，Q 为直线1yx上一点，则线段 PQ 长度的最小值是_ 【答案】 2 【解析】设 ( )f x图象上斜率为 1 的切线的切点是 00 (,)P xy，由( ) x fxe ， 0 0 ()1 x
29、 f xe， 0 0 x ， (0)1f ，即 (0,1)P P到直线1yx的距离是 0 1 1 2 2 d 第 14 页 / 共 16 页 故答案为： 2 5、(2019 苏锡常镇调研）已知点 P 在曲线 C： 2 1 2 yx上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点，若 OPOQ，则点 P 的纵坐标为 【答案】. 1 【解析】设 ) 2 1 ,( 2 ttP ，因为 xy ，所以切线 l 的斜率 tk ，且 0t ，则直线 )( 1 2 1 : 2 tx t tyPQ ， 即 1 2 11 2 tx t y 令
30、2 2 2 1 1 2 11 xy tx t y ，消y得：022 32 ttxtx，设),( 11 yxQ，则 t tx 2 1 ，即 t tx 2 1 ， 又因为点Q在曲线C上，所以 2 22 2 11 2 2 2 1 ) 2 ( 2 1 2 1 t t t txy，故) 2 2 2 1 , 2 ( 2 2 t t t tQ 因为OQOP ，所以0OQOP，即0) 2 2 2 1 ( 2 1 ) 2 ( 2 22 t tt t tt，化简得4 4 t，则2 2 t， 所以点P的纵坐标为. 1 6、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知函数 2 (, )1 x f xaexaR g x
31、x . (1)讨论函数 f x的单调性; (2)当0a时，若曲线 1: 1Cyf xx 与曲线 2: Cyg x存在唯一的公切线，求实数a的值; 【解析】(1) 1 x fxae， 当0a 时， 0fx 恒成立， f x在() ，上单调递减， 当0a时，由 0fx ，解得xlna， 由于0a时，导函数 1 x fxae单调递增， 故 ()xlna ， 0,fxf x 单调递减， (),0,xlnafxf x 单调递增. 综上，当0a 时 f x在() ，上单调递减; 当0a时， f x在()lna ，上单调递减，在,()lna上单调递增. . 第 15 页 / 共 16 页 (2)曲线 11
32、: x Cyae与曲线 2 22 :Cyx存在唯一公切线，设该公切线与 12 ,C C分别切于点 1 2 122 , x x aexx，显然 12 xx. 由于 12 ,2 x yaeyx， 所以 1 1 2 2 2 12 2 x x aex aex xx ， 1 222 212222 222 x x xxaexxx ， 2 1222 22x xxx 由于0a，故 2 0 x ，且 21 220 xx 因此 1 1x ， 此时 11 12 1 4(2 1 )1 xx xx ax ee ， 设 1 4() 1 x x F xx e 问题等价于直线y a 与曲线 yF x在1x 时有且只有一个公共
33、点， 又 4(2 ) x x Fx e ，令 0Fx ，解得2x， 则 F x在1,2上单调递增，(2,)上单调递减， 而 2 4 2,10FF e ，当x 时， 0F x 所以 F x的值域为 2 4 0, e . 故 2 4 a e . 7、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数( )ln(2 )f xxa(0,0)xa ，曲线( )yf x在 点(1,(1)f处的切线在 y 轴上的截距为 2 ln3 3 . （1）求 a； 【解析】 （1）对( )ln(2)f xxa求导，得 2 ( ) 2 fx xa . 因此 2 (1) 2 f a .又因为 (1)ln(2)fa ， 第 16 页 / 共 16 页 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 2 ln(2)(1) 2 yax a ， 即 22 ln(2) 22 yxa aa . 由题意， 22 ln(2)ln3 23 a a . 显然1a ，适合上式. 令 2 ( )ln(2) 2 aa a (0)a ， 求导得 2 12 ( )0 2(2) a aa ， 因此( )a为增函数：故1a 是唯一解.
