考点26 椭圆的基本量(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 18 页 考点考点 26 椭圆的基本量椭圆的基本量 1. 掌握椭圆定义和几何图形 . 2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程 . 3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法 . 4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离 . 高考在椭圆部分的考查主要体现在椭圆的标准方程与几何性质,主要考点椭圆的标准方 程、几何意义,特别是离心率的问题,考查的形式有填空题、选择题和解答题的第一问。 椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解

2、答题 中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程 组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及 直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题 .在复习中也要 提别注意求椭圆的离心率等性质。 1、【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ,则 Aa2=2b2 B3a2=4b2 Ca=2b D3a=4b 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考考点总结点总结 第 2 页 / 共 18 页

3、【答案】B 【解析】椭圆的离心率 222 1 , 2 c ecab a ,化简得 22 34ab, 故选 B. 2、 【2017 年高考浙江卷】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】椭圆 22 1 94 xy 的离心率 945 33 e ,故选 B 3、 【2018 年高考全国理数】已知 1 F, 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab :的左、右焦点,A是C的左顶 点,点P在过A且斜率为 3 6 的直线上, 12 PFF 为等腰三角形, 12 120FF P,则C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1

4、 3 D 1 4 【答案】D 【解析】因为 12 PFF为等腰三角形, 12 120FF P,所以 212 |2|PFFFc, 由AP的斜率为 3 6 可得 2 3 tan 6 PAF, 所以 2 1 sin 13 PAF , 2 12 cos 13 PAF, 由正弦定理得 22 22 sin sin PFPAF AFAPF , 所以 2 11 22 1313 = 531211 sin() 3 221313 c ac PAF , 第 3 页 / 共 18 页 所以4ac, 1 4 e ,故选 D 4、【2019 年高考全国卷理数】已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF(), (),过

5、F2的直线与 C 交于 A,B 两 点若 22 | 2|AFF B, 1 | |ABBF,则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFn BFABn, 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 1 AFB中,由余弦定理推论得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在 12 AFF 中,由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn ,解得 3 2 n 222 242 3 ,3

6、,3 12,anabac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy ,故选 B 法二:由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFn BFABn, 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 12 AFF 和 12 BFF中,由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn , 又 2121 ,AF FBF F互补, 2121 coscos0AF FBF F,两式消去 2121 coscosAF FBF F,,得 第 4 页 / 共 18 页 22 3611nn,解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,

7、3 12,anabac 所求椭圆方 程为 22 1 32 xy ,故选 B 5、 【2020 年山东卷】.已知曲线 22 :1C mxny.( ) A. 若 mn0,则 C是椭圆,其焦点在 y轴上 B. 若 m=n0,则 C是圆,其半径为n C. 若 mn0,则 C是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn , 因为0mn,所以 11 mn ,即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故 A 正确; 对于 B,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 xy n , 此时曲线C表示圆心在原点,半径为 n n 的圆,故 B 不正确;

8、对于 C,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn , 此时曲线C表示双曲线,由 22 0mxny可得 m yx n ,故 C正确; 对于 D,若0,0mn,则 22 1mxny可化为 2 1 y n , n y n ,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故 D 正确; 故选:ACD. 第 5 页 / 共 18 页 6、 【2019 年高考浙江卷】 已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方, 若线段PF 的中点在以原点O为圆心,OF为半径的圆上,则直线PF的斜率是_ 【答案】15 【解析】方法 1:如图,设 F1为椭圆右焦点.由题意可知|

9、=|2OFOM |=c=, 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM,设( , )P x y,可得 22 (2)16xy, 与方程 22 1 95 xy 联立,可解得 321 , 22 xx (舍) , 又点P在椭圆上且在x轴的上方,求得 315 , 22 P ,所以 15 2 15 1 2 PF k. 方法 2: (焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c=, 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM,即 3 4 2 pp aexx , 从而可求得 315 , 22 P ,所以 15 2 15 1 2 PF k. 7、 【2019 年高考全国卷理数】设 12 FF,为椭圆 C: 2

10、2 +1 3620 xy 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限. 若 12 MFF为等腰三角形,则 M 的坐标为_. 第 6 页 / 共 18 页 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc , 112 28MFFFc, 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy,则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy , 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ,解得 0 15y , 2 2 0 15 1 3620 x ,解得 0 3x ( 0 3x 舍去) , M的坐标为3, 15 8、 【2

11、020 年全国 3 卷】.已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ,A,B分别为C的左、右顶 点 (1)求C的方程; (2)若点P在C上,点Q在直线6x上,且| | |BPBQ ,BPBQ,求APQ的面积 【答案】 (1) 22 16 1 2525 xy ; (2) 5 2 . 【解析】 (1) 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 5a,bm, 根据离心率 22 15 4 11 5 cbm e aa , 解得 5 4 m 或 5 4 m (舍), C的方程为: 22 2 1 4 25 5 xy ,即 22 16 1 2525 xy ; (2)不妨

12、设P,Q在 x轴上方 点P在C上,点Q在直线6x上,且| | |BPBQ ,BPBQ, 过点P作x轴垂线,交点为M,设6x与x轴交点为N 根据题意画出图形,如图 第 7 页 / 共 18 页 | |BPBQ ,BPBQ,90PMBQNB , 又90PBMQBN,90BQNQBN, PBMBQN ,根据三角形全等条件“AAS”, 可得:PMBBNQ, 22 16 1 2525 xy , (5,0)B ,6 51PMBN , 设P点为(,) PP xy,可得P点纵坐标为1 P y ,将其代入 22 16 1 2525 xy , 可得: 2 16 1 2525 P x , 解得:3 P x 或3 P

13、 x ,P点为(3,1)或( 3,1), 当P点为(3,1)时, 故5 32MB ,PMBBNQ,| | 2MBNQ, 可得:Q点为(6,2), 画出图象,如图 ( 5,0)A ,(6,2)Q , 第 8 页 / 共 18 页 可求得直线AQ的直线方程为:211100 xy, 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为: 22 2 3 11 1 1055 5125 211 d , 根据两点间距离公式可得: 22 65205 5AQ , APQ面积为: 155 5 5 252 ; 当P点为( 3,1)时,故5+38MB , PMBBNQ,| | 8MBNQ,可得:Q点为(6,8), 画出图象,

14、如图 ( 5,0)A ,(6,8)Q , 可求得直线AQ的直线方程为:811400 xy, 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为: 22 8311 1 405 5 185185 811 d , 根据两点间距离公式可得: 22 6580185AQ , APQ面积为: 155 185 22185 , 综上所述,APQ面积为: 5 2 . 二年模拟试题二年模拟试题 第 9 页 / 共 18 页 题型一题型一 椭圆的方程与离心率椭圆的方程与离心率 1、(北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年高三第一学期 12 月月考) ABC 的两个顶点坐标 A (-4, 0) , B(4,0)

15、,它的周长是 18,则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A B(y0) C D(y0) 【答案】D 【解析】 所以定点 的轨迹为以 A,B 为焦点的椭圆,去掉 A,B,C 共线的情况,即 ,选 D. 2、 (2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟)已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 1 F, 2 F,点A 是椭圆上位于x轴上方的一点,若直线 1 AF的斜率为 4 2 7 ,且 11 2 AFFF,则椭圆的离心率为_ 【答案】 3 5 【解析】设 12 AFF,由直线 1 AF的斜率为 4 2 7 ,知 sin4 2 tan cos7 ,且 22 sincos1, 即得

16、 7 cos 9 , 由 112 2AFFFc及椭圆定义知 21 222AFaAFac, 由余弦定理即可得, 222 2112112 2cosAFAFFFAF FF,即 2227 22222 22 9 accccc,化简得 2 2 4 9 acc, 故 222222 53 22051890 95 4 9 aacccacecaee或 3(舍) 即 3 5 e 第 10 页 / 共 18 页 故答案为: 3 5 3、 (2020 浙江高三)如图,过椭圆 22 22 1 xy C ab :的左、右焦点 F1,F2分别作斜率为2 2的直线交椭圆 C 上半部分于 A,B 两点,记AOF1,BOF2的面积

17、分别为 S1,S2,若 S1:S27:5,则椭圆 C 离心率为_ 【答案】 1 2 【解析】作点 B 关于原点的对称点 B1,可得 S 21 BOFB OF S ,则有 1 1 2 7 5 A B yS Sy , 所以 1 7 5 AB yy 将直线 AB1方程 2 4 y xc,代入椭圆方程后, 22 22 2 4 1 xyc xy ab , 整理可得: (b2+8a2)y24 2b 2cy+8b40, 第 11 页 / 共 18 页 由韦达定理解得 1 2 22 4 2 8 AB b c yy ba , 1 4 22 8 8 AB b y y ba , 三式联立,可解得离心率 1 2 c

18、e a 故答案为: 1 2 .4、 (江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测)设 A,B 分别为椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab 0)的右顶点和上顶点,已知椭圆 C 过点 P(2,1),当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_. 【答案】 2 2 【解析】因为 A,B 分别为椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab0)的右顶点和上顶点, 所以 ( ,0)A a ,(0, )Bb, 又椭圆 C 过点 (2,1)P , 所以 22 41 1 ab , 所以 22 2222 2222 414 ()4193 ab ABabab abba , 当且仅当 2

19、2 22 4ab ba ,即 22 2ab时,取等号, 此时 22 2ac,所以离心率为 12 22 c e a . 故答案为 2 2 5、 (2020 年 1 月北京中学生标准学术能力诊断性测试)已知 F 是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦 点,P 是 C 上的任意一点,则FP称为椭圆 C 的焦半径.设 C 的左顶点与上顶点分别为 A,B,若存在以 A 为圆心,FP为半径长的圆经过点 B,则椭圆 C 的离心率的最小值为_. 【答案】 31 2 第 12 页 / 共 18 页 【解析】根据题意,存在以 A 为圆心,FP为半径长的圆经过点 B,即FP的最大值应该不小于线

20、段AB 的长,可得 22 acab ,化简得 22 220acac,即 2 2210ee ,且01e ,解得 31 1 2 e ,所以椭圆 C 的离心率的最小值为 31 2 6、 (2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末) 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的内接ABC的顶点B为 短轴的一个端点, 右焦点F, 线段AB中点为K, 且 2C FF K , 则椭圆离心率的取值范围是_. 【答案】 3 0, 3 【解析】由题意可设0,Bb,,0F c,线段AB中点为K,且 2CFFK , 可得F为ABC的重心,设 11 ,A x y, 22 ,C x y, 由重心坐标公式可得, 12

21、 03xxc, 12 0yyb, 即有AC的中点,M x y,可得 12 3 22 xxc x , 12 22 yyb y , 由题意可得点M在椭圆内,可得 2 2 91 1 44 c a , 由 c e a ,可得 2 1 3 e ,即有 3 0 3 e . 故答案为: 3 0, 3 . 7、 (2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟)已知方程 22 (1)(9)1kxk y,若该方程表示椭圆 方程,则k的取值范围是_; 【答案】15k或59k 【解析】 因为方程 22 (1)(9)1kxk y, 第 13 页 / 共 18 页 所以 22 1 11 (1)(9) xy kk ,

22、所以有 1 0 (1) 1 0 (9) 11 (1)(9) k k kk 即15k或59k 故答案为:15k或59k 8、(2020 浙江温州中月高考模拟) 已知直线 : l ykxm 与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 恰有一个公共点P, l与圆 222 xya相交于 ,A B两点. (I)求k与m的关系式; (II)点Q与点P关于坐标原点O对称.若当 1 2 k 时,QAB的面积取到最大值 2 a,求椭圆的离心率. 【答案】 () 2222 ma kb(II) 10 4 e 【解析】 (I)由 22 22 , 1 ykxm xy ab ,得 22222222 20a kbxa

23、kmxamb , 则 2 2222222 240a kma kbamb 化简整理,得 2222 ma kb; ()因点Q与点P关于坐标原点O对称,故QAB的面积是OAB的面积的两倍. 第 14 页 / 共 18 页 所以当 1 2 k 时,OAB的面积取到最大值 2 2 a ,此时OAOB, 从而原点O到直线l的距离 2 a d , 又 2 1 m d k ,故 22 2 12 ma k . 再由(I) ,得 2222 2 12 a kba k ,则 2 2 2 2 1 b k a . 又 1 2 k ,故 2 2 2 21 1 4 b k a ,即 2 2 3 8 b a , 从而 22 2

24、 22 5 1 8 cb e aa ,即 10 4 e . 题型二、椭圆中的点坐标 1、(2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟) 设 12 ,F F是椭圆 22 2 :1(02) 4 xy Cm m 的两个焦点, 00 (,)P xy 是 C 上一点,且满足 12 PFF的面积为 3,则 0 |x的取值范围是_. 【答案】0,1 【解析】 依题意, 2 12 24FFm ,所以 1 2 2 0 1 243 2 PF F Smy ,则 0 2 3 4 y m ,而 22 00 2 1 4 xy m ,所以 2 2 0 0 224 12 4 14 4 y x mmm .由于02m, 2 04m

25、,根据二次函数的性质 可知: 2 242 4240,4mmm ,所以 24 12 3 4mm ,所以 2 0 24 12 41 4 x mm ,解得 0 0,1x . 故答案为:0,1 2、(2019 泰州期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A,点 B 是椭 圆 C 上异于左、右顶点的任一点,P 是 AB 的中点,过点 B 且与 AB 垂直的直线与直线 OP 交于点 Q.已知椭 圆 C 的离心率为1 2,点 A 到右准线的距离为 6. 第 15 页 / 共 18 页 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 设点 Q 的横坐标为

26、x0,求 x0的取值范围 思路分析 (1)根据题意,建立关于 a,c 的方程组,求出 a,c 的值,进而确定 b 的值,得到椭圆的 s 标 准方程 (2)设出点 B 的坐标为(m,n),用 m,n 表示 x0,然后再减元转化为关于 m 的一元函数求求其值域也 可以设出直线 AB 的方程,并与椭圆方程联立,结合根与系数的关系,得到点 B 和 P 的坐标,进而求得直线 BQ 和 PQ 的方程,由两直线方程联立求得交点 Q 的横坐标 x0,根据函数的值域求得 x0的取值范围 规范解答 (1) 由题意得c a 1 2, a2 c a6,解得 a2,c1,所以 b a2c2 3,所以椭圆 C 的标准方程

27、 为x 2 4 y2 3 1.(4 分) (2) 解法 1 设 B(m,n),则m 2 4 n 2 3 1. 因为 A(2,0),ABBQ,所以直线 BQ 的方程为 ym2 n (xm)n,因为 P 是 AB 的中点,所以 P(m2 2 ,n 2),所以直线 OP 的方程为 y n m2x,联立直线 BQ,OP 的方程得 m2 n (xm)n n m2x,(8 分) 解得 x0(m2)(m 22mn2) m24n2 , 由m 2 4 n 2 3 1 得 n23 4(m 24),代入上式化简得 x 0m6,(14 分) 因为2m2,所以 4x03,所以 0 12 4k234,44 12 4k23

28、8,即 4x0b0),半焦距为 c, 因为椭圆的离心率为1 2,所以 c a 1 2,即 a2c, 又因为 A 到右准线的距离为 6,所以 aa 2 c 3a6,(2 分) 解得 a2,c1,(4 分) 所以 b2a2c23,所以椭圆 E 的标准方程为x 2 4 y2 3 1.(6 分) (2) 直线 AB 的方程为 y3 2(x2), 由 y 3 2(x2), x2 4 y 2 3 1, 得 x23x20,解得 x2 或 x1. 则 B 点的坐标为 1,3 2 .(9 分) 由题意,右焦点 F(1,0),所以直线 BF 方程为 y3 4(x1),(11 分) 第 17 页 / 共 18 页

29、由 y 3 2(x2), x2 4 y 2 3 1, 得 7x26x130,解得 x1 或 x13 7 ,(13 分) 所以,点 M 坐标为 13 7 , 9 14 .(14 分) 4、(2016 徐州、连云港、宿迁三检)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 1,3 2 在椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0) 上,P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若点 M,N 是椭圆 C 上的两点,且四边形 POMN 是平行四边形,求点 M,N 的坐标 . 规范解答 (1)由题意知, 1 a2 9 4b21,2a4. (2 分) 解得 a24,b

30、23,所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 31. (4 分) (2) 解法 1 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ON 的中点坐标为 x2 2, y2 2 ,PM 的中点坐标为 1x1 2 , 3 2y1 2 . 因为四边形 POMN 是平行四边形,所以 1x1 2 x2 2 , 3 2y1 2 y2 2. )即 x1x21, y1y23 2. )(6 分) 由点 M,N 是椭圆 C 上的两点, 所以 3x224y2212, 3x2124 y23 2 212. )(8 分) 解得 x22, y20 )或 x21, y23 2. ) (12 分) 由 x22, y20, )得 x11,

31、 y13 2. )由 x21, y23 2, )得 x12, y10. ) 所以点 M 1,3 2 ,点 N(2,0);或点 M(2,0), 点 N 1,3 2 .(14 分) 解法 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),因为四边形 POMN 是平行四边形,所以ON OP OM , 所以(x2,y2) 1,3 2 (x1,y1),即 x21x1, y23 2y1, (6 分) 由点 M,N 是椭圆 C 上的两点, 所以(8 分) 用得 x12y120,即 x122y1, 第 18 页 / 共 18 页 代入(1)中得 3(22y1)24y2112,整理得 2y213y10,所以 y10

32、或 y13 2,于是 x12, y10 或 x11, y13 2, (12 分) 由 x12, y10, 得 x21, y23 2. 由 x11, y13 2, 得 x22, y20. ) 所以点 M 1,3 2 ,点 N(2,0);或点 M(2,0), 点 N 1,3 2 .(14 分) 解法 3 因为四边形 POMN 是平行四边形,所以OP MN , 因为点 P 1,3 2 ,所以|MN|OP|19 4 13 2 ,且 kMNkOP3 2,(6 分) 设直线 MN 方程为 y3 2xm(m0), 联立 y3 2xm, x2 4 y 2 3 1, )得 3x23mxm230,(*) 所以 (

33、3m)243(m23)0,即 m2120,从而 m(2 3,0)(0,2 3), 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1x2m,x1x2m 23 3 ,(8 分) 且|MN| 1k2|x1x2| 13 2 x1x224x1x2 13 2 m24m 23 3 13 2 41 3m 2, 又知|MN| 13 2 ,所以 13 2 41 3m 2 13 2 , 整理得 m290,所以 m3 或 m3.(12 分) 当 m3 时,(*)可化为 3x29x60,即 x23x20,故 x1 或 x2, 代入直线 MN:y3 2x3 得两交点 M(2,0),N 1,3 2 ; 当 m3 时,(*)可化为 3x29x60,即 x23x20,故 x1 或 x2, 代入直线 MN:y3 2x3 得两交点 M 1,3 2 ,N(2,0), 所以点 M 1,3 2 ,点 N(2,0);或点 M(2,0), 点 N 1,3 2 .(14 分)

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