1、 第 1 页 / 共 13 页 考点考点 30 排列、组合排列、组合 1、掌握分布计数原理和分类计数原理； 2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题； 1、从从 2020 年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为 5 分；分； 2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主； 1、从 2020 年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格； 2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决
2、概率有关的问题； 1、 【2020 年新高考全国卷】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆 安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有 A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 【答案】C 【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 1 6 C； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 2 5 C； 最后剩下的3名同学去丙场馆. 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 13 页 故不同的安排方法共有 12 65 CC6 1060种
3、. 故选：C 2、 【2018 年高考全国卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数， 共有 2 10 C45种方法，其和等于 30 的有 3 种方法，分别是 7 和 23，11 和 19，13 和 17，所以随机选取 两个不同的数，其和
4、等于 30 的概率为 31 = 4515 ，选 C 3、 【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 【答案】36 【解析】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同 先取 2 名同学看作一组，选法有： 2 4 C6 . 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 3 3 A6， 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 636 种， 故答案为：36. 4、 【2018 年高考全国卷理数】从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科
5、技比赛，且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_种 （用数字填写答案） 【答案】16 【解析】根据题意，没有女生入选有 3 4 C4种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 3 6 C20种选法， 故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有20 4 16 种，故答案为：16 【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用 总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有 2 名女生分别有多少种 选法，之后用加法运算求解 第 3 页 / 共 13 页 5、【2018 年高考江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，
6、现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选 中 2 名女生的概率为_ 【答案】 3 10 【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 2 5 C10种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 2 3 C3种， 因此所求概率为 3 10 故答案为： 3 10 5、【2018 年高考浙江卷】从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以 组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 【答案】1260 【解析】若不取 0，则排列数为 224 534 C C A；若取 0，则排列数为 2113 5333 C C A A，因此一共可以组成 224 534 C
7、 C A 2113 5333 C C A A1260个没有重复数字的四位数故答案为：1260 题型一 排列组合的简单运用 1、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）用 2 与 0 两个数字排成 7 位的数码，其中“20”和“02”各至少 出现两次 （如 0020020、2020200、0220220 等） ，则这样的数码的个数是（ ） A54 B44 C32 D22 【答案】B 【解析】两个 2 五个 0 时，显然两个 2 不能相邻，也不能放在首尾，先将 5 个 0 排成一排，其之间有 4 个 空位，从这 4 个空位中选 2 个安排 2，,以有 2 4 C种情况； 三个 2 四个 0 时，
8、可分为三个 2 不相邻有，即 4 个 0 考虑首尾空位有 5 个，从中选 3 个放 2，有 3 5 C种；和 22 与 2 不相邻，即 4 个 0 考虑首尾空位不安排有 3 个空位，从中选 2 个排成一排有 2 3 A种，所以有 32 53 CA 种情况； 故共有 232 453 244CCA 种情况 故选：B 二年模拟试题二年模拟试题 第 4 页 / 共 13 页 2、 （2020 届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲乙丙丁四名同学和一名老师站成一排合影 留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( ) A24 B12 C8 D6 【答案】C 【
9、解析】由题：老师站中间， 第一步：排乙，乙与老师相邻，2 种排法； 第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2 种排法； 第三步：排剩下两位同 2 种排法， 所以共 8 种. 故选：C 3、 （2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果 甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( ) A3600 种 B1440 种 C4820 种 D4800 种 【答案】A 【解析】第一步，先将除甲乙外的其他 5 人全排列， 5 5 5 4 3 2 1120A 种 第二步，将甲乙 2 人插入 6 个空中， 2 6 6 530A 种 则不同的排法种数是 52
10、56 120 303600A A 种 故选：A 4、 （2020 届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出 5 名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每 所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ） A80 种 B90 种 C120 种 D150 种 【答案】D 【解析】不同的分配方案有种，选 D. 5、 （2020 浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字组成无重复数字且奇数 数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个 A120 B132 C144 D156 【答案】B 【解析】先排 0，2，4，再让 1，3，5 插空. 第 5 页 / 共 1
11、3 页 总的排法共 33 34 144AA， 其中 0 在排头，将 1，3，5 插在后三个空的排法共 23 23 12AA，此时构不成六位数， 故总的六位数的个数为144 12 132. 故选：B. 6、 （2020 浙江温州中月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数英语、物理、化生物六科 试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A72 种 B144 种 C288 种 D360 种 【答案】B 【解析】第一步排语文，英语，化生物 4 种，且化学排在生物前面，有 2 4 12A 种排法；第二步将数学和物 理插入前除最后位置外的
12、4 个空挡中的 2 个， 有 2 4 12A 种排法， 所以不同的排表方法共有12 12144种. 选B. 7、 （2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）将, , ,A B C D E F六个字母排成一排，若, ,A B C均互不相邻且 ,A B在C的同一侧，则不同的排法有_种 （用数字作答） 【答案】96 【解析】先排 D、E、F，有 3 3 A种排法；再利用插空法排 A，B，C 且 C 只能插在 A、B 的同侧，有 312 422 C C A 种排法； 所以有 3312 3422 A C C A 96 种排法 故答案为：96. 8、 （2020 届浙江省绍兴市高三 4 月一模）某地区有
13、 3 个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和 两名警察，现将 3 名医务人员（1 男 2 女）和 6 名警察（4 男 2 女）分配到这 3 个地点去值班，要求每个值 班地点至少有一名女性，则共有_种不同分配方案.（用具体数字作答） 【答案】324 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： ，将 9 人分成 3 组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有 1 名女性， 将 9 人分成 3 组，有 222 3 642 3 3 3 C C C A A 种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有 22 44 C C种， 第 6 页 / 共 13 页 则有 222 322 642 34
14、4 3 3 903654 C C C AC C A 种分组方法， 将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有 3 3 6A 种情况， 则有54 6324 种不同的分配方案； 故答案为：324. 9、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）从 6 名志愿者中选出 4 人，分别参加两项公益活动，每项活 动至少 1 人，则不同安排方案的种数为_.（用数字作答） 【答案】 210 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： 从 6 名志愿者中选出 4 人，有 4 6 15C 种选法， 将选出的 4 人分成 2 组，分别参加两项公益活动，有 4 2214 种情况， 则有15 14210种不同的安排方案，
15、 故答案为：3，210 题型二、排列组合的综合运用 1、 （2020 浙江高三）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成 一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同排法种数为（ ） A85 B95 C2040 D2280 【答案】C 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： ，先在两个集合中选出 4 个元素，要求字母 C 和数字 4，7 至少出现两个， 若字母 C 和数字 4，7 都出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，有 5 种选法， 若字母 C 和数字 4 出现，需要在字母 A，B，D
16、，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、6、8、9 中选出 1 个数字，有 5 735 种选法， 若字母 C 和数字 7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、6、8、9 中选出 1 个数字，有 5 735 种选法， 若数字 4、7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 2 个字母，有 C5210 种选法， 则有 5+35+35+1085 种选法， ，将选出的 4 个元素全排列，有 A4424 种情况， 则一共有 85 242040 种不同排法； 第 7 页 / 共 13 页 故选：C 2、 （2020 届北京市陈经纶高三上学期开学）算
17、筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国 古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图： 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数 为（ ） A46 B44 C42 D40 【答案】B 【解析】按每一位算筹的根数分类一共有 15 种情况,如下 (5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1
18、,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4), 2 根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5 根算筹能表示的三位数字个数为： 22242444442242244. 故选 B. 3、 （2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）如图所示，在排成 4 4 方阵的 16 个点中，中心位置 4 个点在某圆内，其余 12 个点在圆外从 16 个点中任选 3 点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在 圆内的三角形共有_个 第 8
19、 页 / 共 13 页 【答案】312 【解析】根据题意，分 3 种情况讨论： 、取出的 3 个点都在圆内,有 3 4 4C 种取法，即有 4 种取法， 、在圆内取 2 点,圆外 12 点中取 1 点,有 21 410 60C C 种，即有 60 种取法， 、在圆内取 1 点,圆外 12 点中取 2 点,有 12 412 4248CC 种，即有 248 种取法， 则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4+60+248=312 个， 故答案为 312. 4、 （2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟）从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数中随机抽取 5 个数构成一个五位数 abcde，则满足条件
20、“abcde”的五位数的个数有_. 【答案】21 【解析】 由题意可知c最大，a不能为零， 当5c 时，则从剩下4个不为零的数中选2个，放在c的左边，再从剩下的3个数中取两个，放在右边， 故方法数有 22 43 18CC. 当4c 时，5不能选取，则从身下3个不为零的数中选两个， ，放在c的左边，再从剩下的2个数中取两个， 放在右边，故方法数有 22 32 3CC. 所以总的方法数有18 321 . 故答案为：21 5、 （2020 届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天， 现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都
21、不值自己原来的日 期，则不同的调整方法种数是_（用数字作答）. 【答案】24 【解析】先安排周一和周五的两人，有 2 3 6A 种方法，然后再安排中间三天剩下的那天的人值日，有周一 第 9 页 / 共 13 页 和周五两天选择，最后安排最后两个人，有 2 2 2A 种方法，所以共有6 2 224 种方法. 6、 （2019 年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组 12 , , n i ii （其中n是不小 于 3 的正整数） ，若 ,1,2,p qn ，当 pq 时，有 pq ii ，则称 p i ， q i 为该数组的一个“逆序”，一个 数组中所有“逆序”的个数称为该数
22、组的“逆序数”，如数组 2,3,1 的逆序数等于 2. （1）数组5,2,4,3,1的逆序数等于_. （2）若数组 12 , , n i ii的逆序数为n，则数组 11 , nn i ii 的逆序数为_. 【答案】8 2 2 3 2 n nn Cn 【解析】 （1）根据逆序数的定义可知：数组5,2,4,3,1的逆序有：5,2;5,4;5,3;5,1;2,1;4,3;4,1;3,1，一共 8 个，故数组5,2,4,3,1的逆序数等于 8； （2）数组 12 , , n i ii可以组成 2 (1) 2 n n n C 个数列，而数组 12 , , n i ii的逆序数为n，所以数组 11 , n
23、n i ii 的逆序数为 2 2 3 2 n nn Cn . 故答案为：8； 2 2 3 2 n nn Cn 7、 （2019 年清华大学附属中学高三月考） 中国诗词大会 （第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题 下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若沁 园春 长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐 六盘山排在后六场，且蜀道难排 在游子吟的前面， 沁园春 长沙与清平乐 六盘山不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 _种 （用数字作答） 【答案】144 【解析】 沁园春长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、
24、关山月 、 清平乐六盘山 ， 分别记为 A，B，C，D，E，F， 由已知有 B 排在 D 的前面，A 与 F 不相邻且不排在最后 第一步：在 B，C，D，E 中选一个排在最后，共 1 4 C 4（种）选法 第二步：将剩余五个节目按 A 与 F 不相邻排序，共 524 524 AAA72（种）排法， 第 10 页 / 共 13 页 第三步：在前两步中 B 排在 D 的前面与后面机会相等，则 B 排在 D 的前面，只需除以 2 2 A 2 即可， 即六场的排法有 4 72 2144（种） 故答案为：144 题型三、运用排列组合解决概率问题 1、 （2020 届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖
25、，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二 种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学 哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 【答案】C 【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有2 3 1060 种； 若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有1 4 1040 种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为 3 12 60
26、401005 132066A . 故选：C. 2、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒 子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时， 从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假 设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为（ ） A 1 5 B 8 15 C 3 5 D 3 20 【答案】D 【解析】由题：“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次 香烟
27、，记香烟为 123 ,A A A，口香糖为 123 ,B B B，进行四次取物， 基本事件总数为：6 5 4 3360 种 事件“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：3 3 2 1 18 种 糖、烟、糖、糖： 3 3 2 1 18 种 糖、糖、烟、糖：3 2 3 1 18 种 包含的基本事件个数为：54， 第 11 页 / 共 13 页 所以，其概率为 543 36020 故选：D 3、 （2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a，b，c，d，e，f， 则abcdef是偶数的概率为_ 【答案】 9 10
28、【解析】由题意，将1,2,3,4,5,6随机排成一列，共有 6 6 720A 种不同的排法， 其中abcdef为偶数等价于, ,a b c不全为奇数，且, ,d e f不全为奇数， 共有 633 633 2648AA A， 所以所求的概率为 6489 72010 P 4、 （2020 浙江温州中学高三 3 月月考）海面上漂浮着A、B、C、D、E、F、G七个岛屿，岛与岛之 间都没有桥连接，小昊住在A岛，小皓住在B岛.现政府计划在这七个岛之间建造n座桥（每两个岛之间至 多建造一座桥）.若1n ，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为_；若3n，则桥建完后，小 昊和小皓可以往来的概率为_. 【答案】
29、 1 21 30 133 【解析】 七个岛之间两两连接共可以有 2 7=21 C条线路，在这 21 条线路中 若1n ，若只建一座桥，则有 21 种建法，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为 2 7 11 21C ， 若3n，则桥建完后，小昊和小皓可以往来可以的情况有： 若 A 岛和 B 岛连接，其余任选 2 条线路建桥，共有 2 20 C种方法， 若 A 岛和 B 岛不连接，再选一个岛，与 A 岛和 B 岛都连接，再在其他 18 条线路种选一条建桥，则有 58 11 1 C C 种方法， 若 A 岛和 B 岛不连接，再选两个岛，与 A 岛和 B 岛连接，共建 3 座桥，共有 5 2 2C种
30、方法， 若3n ，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为 2211 20185 3 5 21 + 133 230CCC C C 第 12 页 / 共 13 页 故答案为： 1 21 ， 30 133 5、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币 不同） ，现从中掏出纸币超过 45 元的方法有_种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地 掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为_. 【答案】32 1 5 【解析】超出 45 元即为掏出纸币 50 元，60 元，70 元，80 元，90 元， 如果掏出纸币 50 元，
31、则 2 张 20 元，1 张 10 元，或 3 张 10 元，1 张 20 元，共有 2131 3333 12C CC C； 如果掏出纸币 60 元，则 2 张 20 元，2 张 10 元，或 3 张 20 元，共有 223 333 10C CC； 如果掏出纸币 70 元，则 3 张 20 元，1 张 10 元，或 2 张 20 元，3 张 10 元，共有 3123 3333 6C CC C； 如果掏出纸币 80 元，则 3 张 20 元，2 张 10 元，共有 32 33 3C C ； 如果掏出纸币 90 元，则 3 张 20 元，3 张 10 元，共有 32 33 1C C ； 综上，共有
32、32种. 设“如果不放回的掏出 4 张，刚好是 50 元”为事件A，则所有的基本事件的总数为 4 6 15C ， A中含有的基本事件的总数为3，故 1 5 P A . 所以分别填 1 32, 5 . 6、 （2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）将字母, , , , ,a a b b c c放入3 2的方表格，每个格子各放 一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_；若共有k行字母相同， 则得 k 分，则所得分数的数学期望为_； （注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字 母相同，第 1，3 行字母不同，该情况下1） a b c c a b 【答案
33、】 2 15 3 5 （填 0.6 也对） 【解析】第一种：当每一列都不一样时有： 第 13 页 / 共 13 页 第一列, ,a b c三个全排有 3 3 A，第二列剩下的, ,a b c三个全排也有 3 3 A， 第二种：在一列中有其中两个是一样的则有： 1211 3323 C C C C， 所以总的基本事件个数有： 331211 333323 90NA AC C C C， 当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有： 31 132 12NA C， 记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A， 则 1 122 9015 N p A N ； 因为所得分数可能取值为：0，1，3， 则有： 48366 0,1,3 909090 ppp， 所以有 48366543 13 90909090 0 5 E 故答案为： 2 15 ； 3 5
