1、 第 1 页 / 共 14 页 考点考点 32 统计与古典概型统计与古典概型 1、掌握分层抽样、会求平均数、均值以及方差掌握分层抽样、会求平均数、均值以及方差 2、掌握古典古典概型概率的求法掌握古典古典概型概率的求法 回顾五年来 1、分层抽样、频率直方图在江苏高考中考均查过一次，但是样本的平均数与方差 考查较多，这些知识点往往都是基础题，是送分题目。在全国范围内考查的不太多 2、概率在江苏每年都考一个题目，难度是容易题。除了 2017 年考查几何概型，其它年份均是 古典概型。概率考查的范围是古典概型和几何概型、互斥事件的概率。估计今年考查还是以古 典概型为主。在全国其他地区考查较少 1、用样本
2、估计总体的方式有：一表（频率分布表） ；两图（频率分布直方图和茎叶图） ， 2、频率分布直方图的纵轴是频率与组距的商，横轴一般为数据的大小。图中小矩形的面积就 是对应的频率。 3、在总体特征数的估计中，注意区分标准差与方差的概念， 4、古典概型： 基本事件的总数 包含的基本事件的个数A AP)(；基本事件数有限，一般用树形图、图表法等 枚举法。 5、在含有“至多” “至少”问题中，要善于运用对立事件的概率求解。 1、 【2019 年高考全国卷理数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称 为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生
3、，其中 阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 14 页 记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的 估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为 70 100=0.7故选 C 2、 【2019 年高考全国卷理数】演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成
4、绩时， 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 7 个有效评分与 9 个原始评分相比， 不变的数字特征是 A中位数 B平均数 C方差 D极差 【答案】A 【解析】设 9位评委评分按从小到大排列为 123489 xxxxxx 则原始中位数为 5 x， 去掉最低分 1 x， 最高分 9 x后剩余 2348 xxxx， 中位数仍为 5 x， A正确； 原始平均数 123489 1 () 9 xxxxxxx，后来平均数 2348 1 () 7 xxxxx ，平均数 受极端值影响较大，x与x不一定相同，B不正确； 2222 11 1 ()()() 9 q Sxxx
5、xxx， 2222 238 1 ()()() 7 sxxxxxx ，由 易知，C不正确； 原极差 91 xx，后来极差 82 xx，显然极差变小，D不正确故选 A 3、 【2018 年高考全国卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个， 第 3 页 / 共 1
6、4 页 随机选取两个不同的数，共有种方法， 因为723 11 19 13 1730，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法， 故所求概率为 31 = 4515 ，故选 C 4、 【2018 年高考全国卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为 更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得 到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖
7、收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M， 而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入 为 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收 入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三 产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确； 故选 A 5、 【2020 年高考江苏】已知一组数
8、据4,2 ,3 ,5,6aa 的平均数为 4，则a的值是 【答案】2 【解析】数据4,2 ,3,5,6aa的平均数为 4 第 4 页 / 共 14 页 4235620aa ，即2a. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础 6、 【2020 年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概 率是_. 【答案】 1 9 【解析】根据题意可得基本事件数总为6 636 个. 点数和为 5 的基本事件有1,4，4,1，2,3，3,2共 4 个. 出现向上的点数和为 5 的概率为 41 369 P . 故答案为： 1 9 . 7、 【
9、2020 年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 假定两球是否落入盒子互不影响， 则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 【答案】 1 6 2 3 【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 1 , 2 3 ， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子概率为 111 236 ， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为 111 (1)(1) 233 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 2 3 . 故答案为： 1 6 ； 2 3 . 8、 【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_
10、 【答案】 5 3 【解析】由题意，该组数据的平均数为 67889 10 8 6 ， 第 5 页 / 共 14 页 所以该组数据的方差是 222222 15 (68)(78)(88)(88)(98)(108) 63 9、 【2019 年高考全国卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 【答案】0.98 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题 【解析】由题意得，经停该高铁站
11、的列车正点数约为10 0.9720 0.98 10 0.9939.2，其中高 铁个数为10 20 1040，所以该站所有高铁平均正点率约为 39.2 0.98 40 10、 【2018 年高考江苏卷】已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的 分数的平均数为_ 【答案】90 【解析】由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为， 故平均数为 89899091 91 90 5 11、 【2018 年高考江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选 中 2 名女生的概率为_ 【答案】 3 10 【解析】从 5名学生中抽取
12、 2名学生，共有 10种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3种， 因此所求概率为 3 10 12、 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只 小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每 只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离 子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图： 第 6 页 / 共 14 页 记 C 为事件： “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5” ，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70 （1）求乙
13、离子残留百分比直方图中 a，b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】 （1）a=0.35，b=0.10； （2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 4.05，6.00 【解析】 （1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故 a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.2
14、0+8 0.15=6.00 题型一、统计 1、 （2020 届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题）已知某校高一、高二、高三的人数分 别为 400、 450、 500， 为调查该校学生的学业压力情况， 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 270 的样本， 则从高二年级抽取的人数为（ ） A80 B90 C100 D120 【答案】B 【解析】高二年级抽取的人数为： 450 27090 400450500 故选：B 2、 （北京市房山区 2019-2020 学年高三上学期期末数学试题）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、 二年模拟试题二年模拟试题 第 7 页 / 共 14 页
15、数外语3门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成 绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C 等级30%，D等级14%，E等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200 人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（ ） A55 B80 C90 D110 【答案】D 【解析】设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则 1540 110 200100 x x 故选：D 3、 （2019 年 11 月中学生标准学术能力诊断性测试测试文科数学试题）某单位200名职工的年龄分
16、布情况如 图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则4050岁年龄段应抽取的 人数是（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】C 【解析】由题中饼图可知，4050岁年龄段的职工所占的比例为1 0.44 0.20.36， 因此，4050岁年龄段应抽取的人数是25 0.369. 故选：C. 5、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运 营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效 应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位
17、结合近年数据， 对今后几年的 5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ） 第 8 页 / 共 14 页 A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD 【解析】 由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项表达错误 故选：ABD 6、 （2020 届山东省枣庄、 滕州市高三上期末） 某特长班有男生和女生各 10 人， 统计他们的身高， 其数据 （单 位：cm
18、）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ） A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 【答案】AB 【解析】 女生的极差是 173-161=12，A 正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B 正确；女 第 9 页 / 共 14 页 生身高中位数是 166， C 错误； 女生数据较集中， 男生数据分散， 应该是男生方差大， 女生方差小， D 错 （也 可实际计算均值和方差比较） 故选：AB. 7、 （2020 届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身 之前他们的体重（
19、单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼 图（2）所示. 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90,100内的人增加了 2 个 B他们健身后，体重在区间100,110内的人数没有改变 C他们健身后，20 人的平均体重大约减少了8kg D他们健身后，原来体重在区间110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】ABD 【解析】 体重在区间90,100内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人增加了 2 个，故A正确； 他们健身后，体重在区间100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B正确
20、； 他们健身后，20 人的平均体重大约减少了 第 10 页 / 共 14 页 0.3 950.5 1050.2 1150.1 850.4 950.5 1055kg ，故C错误； 因为图（2）中没有体重在区间110,120内的比例，所以原来体重在区间110,120内的肥胖者体重都有 减少，故D正确. 故选：ABD 8、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试）在一块土地上种植某种农作物，连续 5 年的产量（单位：吨）分 别为 9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是_吨. 【答案】10 【解析】由题得， 9.49.79.8 10.3 10.8 10 5 x . 故答案
21、为：10 9、 （江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三阶段测试）已知一组数据 123 ,a a a， n a的平均数 为 a，极差为 d，方差为 2 S，则数据 1 21,a 2 21,a 3 21a ，21 n a 的方差为_. 【答案】 2 4S 【解析】 数据 123 ,a a a， n a的方差为 2 S， 数据 1 21,a 2 21,a 3 21a ，21 n a 的方差是 222 24SS， 故答案为： 2 4S. 10、 （江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三 9 月月考）某厂生产A、B、C三种不同型号的产品， 产品数量之比依次为2:3:5，
22、 现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本， 其中A型号产品有18件， 则n 的值为_. 【答案】90 【解析】由于在总体和样本中，A型号的产品所占的比例相等，则有18 2 235n ，解得90n， 故答案为90. 题型二、古典概率 1、 （2020 届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 5 6 和 3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) 第 11 页 / 共 14 页 A 1 2 B 1 3 C 5 12 D 1 6 【答案】B 【解析】 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A， 即仅第一个实习生
23、加工一等品为事件 1 A， 仅第二个实习生加工一等品为事件 2 A两种情况， 则 12 51131 64643 P AP AP A， 故选：B 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上 等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马现齐王与 田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每 匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜则田忌获胜的概率为（ ） A 1 3 B 1 6 C 1 9 D 1 36 【答案】B 【解析】 设齐王的上等马、中等马、下等马
24、分别为A，B，C， 设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c， 每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜 基本事件有：(Aa，Bb，)Cc，(Aa，Bc，)Cb，(Ab，Bc，)Ca，(Ab，Bc，)Ca，(Ac，Bb，)Ca， (Ac，Ba，)Cb，共 6 个， 田忌获胜包含的基本事件有：(Ac，Ba，)Cb，只有 1 个， 田忌获胜的概率为 1 6 p 故选：B. 3、 （2020 届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二 种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各
25、一个， 甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学 第 12 页 / 共 14 页 哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 【答案】C 【解析】 若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有2 3 1060 种； 若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有1 4 1040 种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为 3 12 60401005 132066A . 故选：C. 4、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）“总
26、把新桃换旧符”（王安石） 、“灯前小草写桃符”（陆游） ，春 节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、 挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则 可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且 仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A 5 9 B 4 9 C 7 16 D 9 16 【答案】B 【解析】 从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数 n3481， 他们
27、中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数 m 23 43 C A36， 则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是 p 364 819 m n 故选：B 5、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒 子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时， 从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假 设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为（ ） A 1 5 B 8 15 C 3 5 D
28、 3 20 【答案】D 第 13 页 / 共 14 页 【解析】 由题：“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记 香烟为 123 ,A A A，口香糖为 123 ,B B B，进行四次取物， 基本事件总数为：6 5 4 3360 种 事件“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：3 3 2 1 18 种 糖、烟、糖、糖： 3 3 2 1 18 种 糖、糖、烟、糖：3 2 3 1 18 种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为 543 36020 故选：D 6、将甲、乙等 6 位同学平均分成正方
29、，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( ) A 3 10 B 1 2 C 3 5 D 2 5 【答案】C 【解析】由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为： 12 24 C C，所有的分组组数为： 3 6 C， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为： 12 24 3 6 3 5 C C p C . 本题选择 C 选项. 7、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试）“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、 剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙 两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是_. 【答案】 2
30、3 【解析】由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有 9 种情况，其中甲不输有 6 种可能，故概率为 62 93 . 第 14 页 / 共 14 页 故答案为： 2 3 8、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知直线:10l axby ，若 ,11a- ， 2,11,b? - ，则l不经过第二象限的概率为_ 【答案】 1 3 【解析】直线:10l axby ，若 1a ，1， 2b ，1，1， ( , )a b 包含的基本事件总数236n ， l不经过第二象限， 0a ，0b， 满足l不经过第二象限的( , )a b有：(1, 2) ，(1, 1)，共 2 个， l不经过第二象限的概率为 21 63 p 故答案为： 1 3
