1、2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各点中，在第二象限的点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 2 （3 分）由下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3.5cm B4cm，9cm，5cm C3cm，7cm，3cm D13cm，6cm，8cm 3 （3 分）一个等腰三角形的顶角等于 50，则这个等腰三角形的底角度数是（ ） A50 B65
2、 C75 D130 4 （3 分）要说明命题“两个无理数的和是无理数” ，可选择的反例是（ ） A2，3 B， C， D， 5 （3 分）一个三角形三个内角的度数之比为 3：4：5，这个三角形一定是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 6 （3 分）已知实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是（ ） Aa1b1 B2a2b Ca2b2 D 7 （3 分） 已知 （x1， y1） ， （1， y2） 是直线 yx+a （a 为常数） 上的两点， 若 y1y2， 则 x1的值可以是 （ ） A1 B0 C1 D2 8 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，
3、边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE， CD，若 BC5，CD6.5，则BCE 的周长为（ ） A16.5 B17 C18 D20 9 （3 分）小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了 60 元钱，已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，若笔记本 和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 10 （3 分）甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距 2700 米，一天甲从小区步行出发去学校，12 分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校已知 步行速度甲比
4、乙每分钟快 5 米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离 y（米）与甲步行时间 x（分钟） 的函数关系图象，则（ ） A乙骑自行车的速度是 180 米/分 B乙到还车点时，甲、乙两人相距 850 米 C自行车还车点距离学校 300 米 D乙到学校时，甲距离学校 200 米 二、填空题 （本题二、填空题 （本题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）把点 A（2，5）向上平移 4 个单位得到的点的坐标为 12 （4 分）如图，点 D 在ABC 的边 AC 的延长线上，DEBC，若A65，B40，则D 的度 数为 13 （4 分）若关于 x 的一元一次方
5、程 4x+m+1x1 的解是负数，则 m 的取值范围是 14 （4 分）如图，ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 的延长线上，ADE 是等腰直角三角形，其ADE 90若 AB2，AE4，则ACD 的面积为 15 （4 分）如图，一次函数 yx6 与 ykx+b（k、b 为常数，且 k0）的图象相交于点 A（m，2） ， 则 m ，关于 x 的不等式组的解是 16 （4 分）在ABC 中，ABAC，BAC（060） ，点 D 在边 AC 上，将ABD 绕点 A 逆时 针旋转， 使AB与AC重合， 点D的对应点是E 若点B、 D、 E在同一条直线上， 则ABD的度数为 （用 含 的代数式表示）
6、 三、解答题三、解答题 17 （6 分）ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0，2） ，B（4，3） ，C（2，1） （1）在所给的平面直角坐标系中画出ABC （2）以 y 轴为对称轴，作ABC 的轴对称图形ABC，并写出 B的坐标 18 （8 分）解下列一元一次不等式（组） ： （1）7x29x+3，并把它的解表示在数轴上 （2） 19 （8 分）如图，点 E 在边 BC 上，12，CAED，BCDE （1）求证：ABAD； （2）若C70，求BED 的度数 20 （10 分）已知 y 是关于 x 的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值： x 3 1 2 n y 0 m 1 4 （1）求
7、这个一次函数的表达式 （2）求 m，n 的值 （3）已知点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在该一次函数图象上，设 t，判断正比例函数 y（t 3）x 的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由 21 （10 分）已知，DA，DB，DC 是从点 D 出发的三条线段，且 DADBDC （1）如图，若点 D 在线段 AB 上，连接 AC，BC，试判断ABC 的形状，并说明理由 （2）如图，连接 AC，BC，AB，且 AB 与 CD 相交于点 E，若 ACBC，AB16，DC10，求 CE 和 AC 的长 22 （12 分）设一次函数 ykx+b3（k，b 是常数，且 k0） （1）该函数的图象
8、过点（1，2） ，试判断点 P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由 （2）已知点 A（a，y1）和点 B（a2，y1+2）都在该一次函数的图象上，求 k 的值 （3）若 k+b0，点 Q（5，m） （m0）在该一次函数上，求证：k 23 （12 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 P 是 AB 边上的动点（不与点 A、B 重合） ，把ABC 沿过点 P 的直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 D，折痕为 PQ （1）若点 D 恰好在 AC 边上 如图 1，当 PQAC 时，连接 AQ，求证：AQBC 如图 2，当 DPAB，且 BP3，CD2，求ABC 与CDQ 的周长差 （2
9、）如图 3，点 P 在 AB 边上运动时，若直线 l 始终垂直于 AC，ACD 的面积是否变化？请说明理由 2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各点中，在第二象限的点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、 （3，2）在第二象限，故本选项正确
10、； B、 （3，2）在第三象限，故本选项错误； C、 （3，2）在第一象限，故本选项错误； D、 （3，2）在第四象限，故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个 象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+， ） 2 （3 分）由下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3.5cm B4cm，9cm，5cm C3cm，7cm，3cm D13cm，6cm，8cm 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出 答
11、案 【解答】解：A、1+23.5，不能组成三角形； B、4+59，不能组成三角形； C、3+37，不能组成三角形； D、6+813，能组成三角形 故选：D 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并 不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能 构成一个三角形 3 （3 分）一个等腰三角形的顶角等于 50，则这个等腰三角形的底角度数是（ ） A50 B65 C75 D130 【分析】已知给出了等腰三角形的顶角等于 50，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接刻求 得答案 【解答】解：等腰三角形的顶
12、角等于 50， 又等腰三角形的底角相等 底角等于（18050）65 故选：B 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题 4 （3 分）要说明命题“两个无理数的和是无理数” ，可选择的反例是（ ） A2，3 B， C， D， 【分析】根据相反数和为零进行分析即可 【解答】解：两个无理数的和是无理数是假命题，例如互为相反数的两个无理数和为 0，0 是有理数， 故选：C 【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题是真命题，错误的命题是假命题 5 （3 分）一个三角形三个内角的度数之比为 3：4：5，这个三角形一定是（ ） A锐角三角形 B直角三角形
13、C钝角三角形 D等腰三角形 【分析】由题意知：把这个三角形的内角和 180平均分了 12 份，最大角占总和的，根据分数乘法 的意义求出三角形最大内角即可 【解答】解：因为 3+4+512， 512， 18075， 所以这个三角形里最大的角是锐角， 所以另两个角也是锐角， 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形， 所以这个三角形是锐角三角形 故选：A 【点评】此题考查了三角形内角和定理，解题时注意：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有 一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形 6 （3 分）已知实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是（ ） Aa1b1
14、B2a2b Ca2b2 D 【分析】根据不等式的性质，可得答案 【解答】解：A、两边都减 1，不等号的方向不变，故 A 不符合题意； B、两边都乘以 2，不等号的方向不变，故 B 不符合题意； C、0ab 时，a2ab，abb2，即 a2b2，故 C 符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，故 D 不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键 7 （3 分） 已知 （x1， y1） ， （1， y2） 是直线 yx+a （a 为常数） 上的两点， 若 y1y2， 则 x1的值可以是 （ ） A1 B0 C1 D2 【分析】由 k10 可得出 y 值随
15、 x 值的增大而减小，结合 y1y2可得出 x11，此题得解 【解答】解：k10， y 值随 x 值的增大而减小， （x1，y1） ， （1，y2）是直线 yx+a 上的两点，且 y1y2， x11 x1的值可以为 2 故选：D 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y 随 x 的增大而增大；k0，y 随 x 的增大而减小” 是解题的关键 8 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE， CD，若 BC5，CD6.5，则BCE 的周长为（ ） A16.5 B17 C18 D20 【分析】根据直角三角形的性质求出 A
16、B，根据勾股定理求出 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 EA EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案 【解答】解：在 RtABC 中，ADDB， AB2CD13， 由勾股定理得，AC12， DE 是边 AB 的垂直平分线， EAEB， BCE 的周长BC+CE+EBBC+CE+AEBC+AC17， 故选：B 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距 离相等是解题的关键 9 （3 分）小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了 60 元钱，已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，若笔记本 和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有
17、（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 【分析】根据题意得出方程解答即可 【解答】解：设 x 本笔记本，y 支钢笔，可得：2x+5y60， 且 xy，x，y 取正整数， 解得：， 故小聪的购买方案有四种， 故选：B 【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是根据二元一次方程的解解答 10 （3 分）甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距 2700 米，一天甲从小区步行出发去学校，12 分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校已知 步行速度甲比乙每分钟快 5 米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离 y（米）与甲步行时间 x（分钟） 的函数关
18、系图象，则（ ） A乙骑自行车的速度是 180 米/分 B乙到还车点时，甲、乙两人相距 850 米 C自行车还车点距离学校 300 米 D乙到学校时，甲距离学校 200 米 【分析】根据甲 12 分钟步行了 960 米可得甲步行的速度，根据乙骑自行车 8 分钟行驶的路程比甲多 960 米即可得出乙骑自行车的速度；根据乙骑自行车的速度和乙步行的速度求出求出 c 的值，进而求出乙到 还车点时，甲、乙两人的距离；同时可以求出自行车还车点到学校的距离；根据乙在甲出发 31 分后到达 学校，即可求出乙到学校时，甲到学校的距离 【解答】解：甲步行的速度为：9601280（米/分） ， 乙骑自行车的速度为：
19、80+960（2012）200（米/分） ， 故选项 A 错误； 乙步行的速度为：80575（米/分） ， 乙全程：200（c12）75（31c）2700，解得 c27， 所以乙骑自行车的路程为：200（2712）3000（米） ， 所以自行车还车点距离学校为：30002700300（米） ， 故选项 C 正确； 乙到还车点时，乙的路程为 3000 米，甲步行的路程为：80272160（米） ， 此时两人相距：30002160840（米） ， 故选项 B 错误； 乙到学校时，甲的路程为：80312480（米） ， 此时甲离学校：27002480220（米） 故选项 D 错误 故选：C 【点评】
20、本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 二、填空题 （本题二、填空题 （本题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）把点 A（2，5）向上平移 4 个单位得到的点的坐标为 （2，1） 【分析】让点的横坐标不变，纵坐标加 4 即可 【解答】解：平移后点 M 的横坐标为 2；纵坐标为5+41； 点 P（2，5）向上平移 4 个单位后的点的坐标为（2，1） 故答案为（2，1） 【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标 不变 12 （4 分）如图，点 D
21、在ABC 的边 AC 的延长线上，DEBC，若A65，B40，则D 的度 数为 105 【分析】由三角的内角和定理和角的和差求出ACB75，再由平行线的性质求出CDE105 【解答】解：延长 ED，如图所示： A+B+ACB180， A65，B40， ACB180AB 1806540 75， 又DEBC， ACBCDF， CDE105 故答案为：105 【点评】本题综合考了三角形的内角为定理，平行线的性质，角的和差等知识点，重点掌握平行线的性 质 13 （4 分）若关于 x 的一元一次方程 4x+m+1x1 的解是负数，则 m 的取值范围是 m2 【分析】求出方程的解，根据已知得关于 m 的不
22、等式，求出即可 【解答】解：4x+m+1x1， 移项得：4xx11m， x， 方程的解是负数， 0， m2， 故答案为 m2 【点评】 本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式的应用， 关键是能根据题意得出不等式 0，题型较好，难度适中 14 （4 分）如图，ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 的延长线上，ADE 是等腰直角三角形，其ADE 90若 AB2，AE4，则ACD 的面积为 【分析】作辅助线，构建直角三角形，先根据等腰三角形三线合一得：BFBC，由勾股定理计 算 AF 和 DF 的长，最后根据三角形面积公式可得结论 【解答】解：过 A 作 AFBD 于 F， ABC 是等边三角
23、形，AB2， BFBC， AF3， ADE 是等腰直角三角形，ADE90，AE4， AD4， 由勾股定理得：DF， CDBF+DFBC+2， 则ACD 的面积， 故答案为： 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质，三角形的面积和勾股定理解题的关 键是利用勾股定理和线段的和差求 CD 的长 15 （4 分）如图，一次函数 yx6 与 ykx+b（k、b 为常数，且 k0）的图象相交于点 A（m，2） ， 则 m 3 ，关于 x 的不等式组的解是 x3 【分析】先把 A（m，2）代入 yx6 可求出 m3，则 A（3，2） ，再求出直线 yx 6 与 x 轴的交点坐标为（，0）
24、，然后结合图象写出关于 x 的不等式组的解集 【解答】解：把 A（m，2）代入 yx6 得m62，解得 m3， 当 y0 时，x60，解得 x， 即直线 yx6 与 x 轴的交点坐标为（，0） ， 当 x时，yx60， 而当 x3 时，kx+bx6， 所以关于 x 的不等式组的解集为x3 故答案为3，x3 【点评】本他考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx+b 的值大于 （或小于） 0 的自变量 x 的取值范围； 从函数图象的角度看， 就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上 （或 下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 16 （4 分）在ABC 中，A
25、BAC，BAC（060） ，点 D 在边 AC 上，将ABD 绕点 A 逆时 针旋转， 使 AB 与 AC 重合， 点 D 的对应点是 E 若点 B、 D、 E 在同一条直线上， 则ABD 的度数为 90 （用含 的代数式表示） 【分析】由旋转的性质可得BACDAE，ADAE，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解 【解答】解：如图， 将ABD 绕点 A 逆时针旋转， BACDAE，ADAE， ADE， ABD+BACADE， ABD90， 故答案为：90 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键 三、解答题三、解答题 17 （6 分）ABC 的三个顶点的坐
26、标分别为 A（0，2） ，B（4，3） ，C（2，1） （1）在所给的平面直角坐标系中画出ABC （2）以 y 轴为对称轴，作ABC 的轴对称图形ABC，并写出 B的坐标 【分析】 （1）依据ABC 的三个顶点的坐标即可得到ABC （2）依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于 y 轴对称的轴对称图形ABC，进而写出 B的坐 标 【解答】解： （1）如图所示，ABC 即为所求 （2）如图所示，ABC即为所求，点 B的坐标为（4，3） 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网结构准确找出对应点的位置是解题的关键 18 （8 分）解下列一元一次不等式（组） ： （1）7x29x+3，并把它的
27、解表示在数轴上 （2） 【分析】 （1）移项，合并同类项，系数化成 1 即可 （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解： （1）7x29x+3， 7x9x3+2， 2x5， x2.5， 在数轴上表示为 ； （2） 由得：x， 由得：x2， 不等式组的解集是x2 【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组，解一元一次不等式，不等式的性质，在数轴上表示不等 式的解集等知识点的理解和掌握，能求出不等式组的解集并能在数轴上表示不等式组的解集是解此题的 关键 19 （8 分）如图，点 E 在边 BC 上，12，CAED，BCDE （1）求证：ABAD； （2）若C7
28、0，求BED 的度数 【分析】 （1）由“AAS”可证ABCADE，可得 ABAD； （2）由全等三角形的判定和性质可得CAEC70AED，由平角的性质可求解 【解答】解： （1）12， CABEAD， 又CAED，BCDE ABCADE（AAS） ， ABAD； （2）ABCADE， ACAE， CAEC70， AEDC70， BED180707040 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质， 等腰三角形的性质， 证明ABCADE 是本题的关键 20 （10 分）已知 y 是关于 x 的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值： x 3 1 2 n y 0 m 1 4 （1）求这个一次函
29、数的表达式 （2）求 m，n 的值 （3）已知点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在该一次函数图象上，设 t，判断正比例函数 y（t 3）x 的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由 【分析】 （1）用待定系数法可求出函数关系式， （2）把 x1 代入，得到 m 的值，把 y4 代入得出 n 的值； （3）根据一次函数的性质可知 t0，进一步得出 t30，根据一次函数的性质即可判断 【解答】解： （1）设 ykx+b， 当 x3 时，y0；x2 时，y1 据此列出方程组， 解得， 一次函数的解析式 yx， （2）把 x1 代入，得到 ym 把 y4 代入得出，得出4n，解得：n17； （
30、3）正比例函数 y（t3）x 的图象不可能经过第一象限， 理由：k， 该一次函数 y 随 x 的增大而减小， 点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在该一次函数图象上， t0， t30， 正比例函数 y（t3）x 的图象经过二、四象限，不经过第一象限 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解 决本题的关键 21 （10 分）已知，DA，DB，DC 是从点 D 出发的三条线段，且 DADBDC （1）如图，若点 D 在线段 AB 上，连接 AC，BC，试判断ABC 的形状，并说明理由 （2）如图，连接 AC，BC，AB，且 AB 与 CD 相
31、交于点 E，若 ACBC，AB16，DC10，求 CE 和 AC 的长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到AACD，BBCD，根据三角形的内角和得到ACB 90，于是得到ABC 是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到 CD 垂直平分 AB，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解： （1）ABC 是直角三角形， 理由：DADBDC， AACD，BBCD， A+ACD+B+BCD180， ACD+BCD90， ACB90， ABC 是直角三角形； （2）DADB， 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上， ACBC， 点 C 在线段 AB 的垂直平分线上， CD 垂直平分 AB，
32、 AECAED90， AB16，DC10， AE8，ADCD10， DE6， CECDDE4， AC4 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是 解题的关键 22 （12 分）设一次函数 ykx+b3（k，b 是常数，且 k0） （1）该函数的图象过点（1，2） ，试判断点 P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由 （2）已知点 A（a，y1）和点 B（a2，y1+2）都在该一次函数的图象上，求 k 的值 （3）若 k+b0，点 Q（5，m） （m0）在该一次函数上，求证：k 【分析】 （1）根据该函数的图象过点（1，2） ，即可判
33、断点 P（4，5k+2）也在此函数的图象上； （2）把点 A（a，y1）和点 B（a2，y1+2）代入该一次函数解析式即可求出 k 的值； （3）关键 k+b0，点 Q（5，m） （m0）在该一次函数上，即可证明 【解答】解： （1）点 P（4，5k+2）在此函数的图象上，理由如下： 该函数的图象过点（1，2） ， 2k+b3， kb5 把点 P（4，5k+2）代入一次函数 ykx+b3， 5k+24k+b3 kb5 点 P（4，5k+2）也在此函数的图象上； （2）点 A（a，y1）和点 B（a2，y1+2）都在该一次函数的图象上， 解得 k1 答：k 的值为1； （3）k+b0， 解得 b
34、k， 点 Q（5，m） （m0）在该一次函数上， m5k+b30， 解得 b35k 所以 35kbk 所以 35kk 解得 k 故得证 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌 握一次函数的图象和性质 23 （12 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 P 是 AB 边上的动点（不与点 A、B 重合） ，把ABC 沿过点 P 的直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 D，折痕为 PQ （1）若点 D 恰好在 AC 边上 如图 1，当 PQAC 时，连接 AQ，求证：AQBC 如图 2，当 DPAB，且 BP3，CD2，求ABC 与CDQ 的周长差
35、 （2）如图 3，点 P 在 AB 边上运动时，若直线 l 始终垂直于 AC，ACD 的面积是否变化？请说明理由 【分析】 （1）如图 1 中，连接 AQ，BDBD 交 PQ 于 O证明点 Q 是 BC 使得中点即可解决问题 设 PAx，则 ABACx+3，ADACCDx+1，在 RtAPD 中，利用勾股定理构建方程求出 x 即 可解决问题 （2）如图 3 中，连接 BD证明 BDAC，利用等高模型解决问题即可 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 AQ，BDBD 交 PQ 于 O PQD 是由PQB 翻折得到， PQ 垂直平分线段 BD， OBOD， PQAC， BQQC， ABAC， A
36、QBC 如图 2 中，设 PAx，则 ABACx+3，ADACCDx+1， PBPD3，PDAB， APD90， AD2PA2+PD2， （x+1）2x2+32， 解得 x4， BQDQ， ABC 的周长QDC 的周长AB+AC+BC（QD+QC+CD）2ABCD14212 （2）如图 3 中，结论：SADCSABC定值 理由：连接 BD APD 与CPB 关于直线 PQ 对称， BDPQ， ACPQ， BDAC， SADCSABC定值 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，翻折变换，平行线的性质，勾股定理等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型
