1、2018-2019 学年上海市普陀区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）学年上海市普陀区七年级（上）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 1 （4 分）若5a，则 a 的取值范围是（ ） Aa5 Ba5 C0a5 D一切实数 2 （4 分）若 a+、b，则 a 和 b 互为（ ） A倒数 B相反数 C负倒数 D有理化因式 3 （4 分）当 k0 时，下列方程中一定有实数根的是（ ） Akx2+30 B （x+k）2+120 Ckx24kx+10 Dx2xk20 4 （4 分）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A6x2+
2、x15 B3y2+7y+3 Cx22x4 D2x24xy+5y2 5 （4 分）不能使ABCDEF 必定成立是（ ） AABDE，AD，CF BABDE，BCEF，BE CACDF，BCEF，AD DABDE，BCEF，CAFD 6 （4 分）在ABC 中，AB4，AC6，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是（ ） A0AD10 B1AD5 C2AD10 D0AD5 二、填空题（每空二、填空题（每空 3 分，共分，共 39 分）分） 7 （3 分）当 a0 时，化简： 8 （3 分）实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为 9 （6 分）方程 x2的解为 ；方程 4x
3、2+3x0 的解是 10 （3 分）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：二次项系数为 2，两根分别为 3和5， 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2x1 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 12 （3 分）在实数范围内分解因式：x2+4x2 13 （3 分）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了 210 次手，那么参加 此次会议的有 人 14 （3 分）等腰三角形三条边分别为 a、b、c，已知 a6，b、c 是关于 x 的方程 x28x+m0 的两个根， 则 m 的值为 15 （3 分）如图，已知，ACB90，CDAB 于
4、点 D，那么图中与A 相等的角是 16 （3 分） 如图， 在ABC 中， 若 ABAC， CDBF， BDCE， A62， 则EDF 的度数为 度 17（3 分） 如图， 在ABC 中， ABAC， ADDE， BAD20， EDC10， 则DAE 的度数为 18 （3 分）如图，将ABC 绕着点 A 旋转，使点 B 恰好落在 BC 边上，得ABC，如果BAB32，且 ACBC，那么BAC 度 三、简答题（每小题三、简答题（每小题 6 分，共分，共 36 分）分） 19 （6 分）计算：（+3）+ 20 （6 分）解不等式：+2x 21 （18 分）解方程 （1）2x（2x5）（x1） （5
5、2x） ； （2）x； （3）解方程：2x2+8x70（用配方法） 22 （6 分）分解因式：3a25abb2 四、解答题（共四、解答题（共 38 分）分） 23 （8 分）已知：如图，AD 平分BAC，ADBD，ACAB，求证：DCAC 24（8 分） 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围 25 （10 分） 某商店如果将进货为 8 元的商品按每件 10 元售出， 每天可销售 200 件， 通过一段时间的摸索， 该店主发现这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件，每降价 0.5 元，其销售量就增加 10 件 （1）如果每天的利润要达到 700 元
6、，售价应定为每件多少元？ （2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？ 26 （12 分）判断命题“周长及两个内角对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？若是真命题请 给以证明，若是假命题请举出反例 五、综合题（本题五、综合题（本题 13 分）分） 27 （13 分）如图，在直角ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作直角三角形 ADE，且 ADAE 解答下列问题： （1） 当点D在线段BC上时 （与点B不重合） ， 如图a， 联结线段CE， 那么CE、 BD之间的位置关系为 ， 数量关系为
7、 ； （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 b， （1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如果点 D 在线段 BC 上运动，如图 c，联结 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作EAD45，交 边 BC 于 E 点，请问线段 BD、DE、EC 所围所成的三角形的形状，并说明理由 2018-2019 学年上海市普陀区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）学年上海市普陀区七年级（上）期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 1 （4 分）若5a，则 a 的取值范围是（ ） Aa5 B
8、a5 C0a5 D一切实数 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案 【解答】解：0， 5a0， a5， 故选：B 【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型 2 （4 分）若 a+、b，则 a 和 b 互为（ ） A倒数 B相反数 C负倒数 D有理化因式 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案 【解答】解：由于 a+b0，ab1， a 与 b 不是互为相反数，倒数、负倒数， 故选：D 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解倒数、相反数、负倒数的概念，本题属于基础题型 3 （4 分）当 k0 时，下列方程中一定有实数根的是（ ） Akx2+3
9、0 B （x+k）2+120 Ckx24kx+10 Dx2xk20 【分析】根据根的判别式b24ac 的值的符号就可以判断下列方程有无实数解 【解答】解：A由 kx2+30 得 x20，没有实数根； B由（x+k）2+120 得（x+k）2120，没有实数根； Ckx24kx+10 中（4k）24k16k24k，不一定有实数根； Dx2xk20 中，（1）24（k2）1+2k20，一定有实数根； 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两 个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 4 （4 分）下列二次
10、三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ） A6x2+x15 B3y2+7y+3 Cx22x4 D2x24xy+5y2 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可 【解答】解：6x2+x150 1+46153610，A 在实数范围内能因式分解； 3y2+7y+30 49433130，B 在实数范围内能因式分解； x22x40 4+414200，C 在实数范围内能因式分解； 2x24xy+5y20 16y2425y224y20，D 在实数范围内不能因式分解； 故选：D 【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键 5 （4 分）不能使ABCDEF 必定成立是（ ）
11、AABDE，AD，CF BABDE，BCEF，BE CACDF，BCEF，AD DABDE，BCEF，CAFD 【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断； 【解答】解：A、根据 AAS 即可判断；本选项不符合题意； B、根据 SAS 即可判断；本选项不符合题意； C、错误，SSA 无法判断三角形全等；本选项符合题意； D、根据 SSS 即可判断，本选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题 型 6 （4 分）在ABC 中，AB4，AC6，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是（ ） A0AD10 B1AD5
12、 C2AD10 D0AD5 【分析】延长 AD 至点 E，使得 DEAD，可证ABDCDE，可得 ABCE，ADDE，在ACE 中， 根据三角形三边关系即可求得 AE 的取值范围，即可解题 【解答】解：延长 AD 至点 E，使得 DEAD， 在ABD 和CDE 中， ， ABDCDE（SAS） ， ABCE，ADDE ACE 中，ACABAEAC+AB， 2AE10， 1AD5 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ABD CDE 是解题的关键 二、填空题（每空二、填空题（每空 3 分，共分，共 39 分）分） 7 （3 分）当 a0 时，化
13、简： 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案 【解答】解：原式|a| a， 故答案为：， 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型 8 （3 分）实数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为 3b 【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知 ba0，且|b|a|，所以 a2b0，a+b0，再把二 次根式化简即可 【解答】解：根据数轴可知 ba0，且|b|a|，所以 a2b0，a+b0， （a+b） a2bab3b 故答案为：3b 【点评】本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简 二次根式规律总结：当 a0 时，a；当 a0 时，a
14、解题关键是先判断所求的代数式的正负性 9 （6 分）方程 x2的解为 x ；方程 4x2+3x0 的解是 x10，x2 【分析】利用直接开平方法解方程；利用因式分解法解方程 【解答】解：x2， x213， x； 4x2+3x0， x（4x+3）0， x0 或 4x+30， 所以 x10，x2 故答案是：x；x10，x2 【点评】考查了因式分解法和直接开平方法解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再 把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到 两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问
15、题了（数学转化思想） 10 （3 分）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：二次项系数为 2，两根分别为 3和5， 2x2+（106）x300 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程的一般式求解可得 【解答】解：根据题意知，满足这两个条件的一元二次方程为 2（x3） （x+5）0， 整理，得：2x2+（106）x300， 故答案为：2x2+（106）x300 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的常见的几种形式 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2x1 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 a2 且 a1 【
16、分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于 a 的一元一次不等式组，解之即可得出 结论 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 （a+1）x2+2x1，即 （a+1）x2+2x10 有两个不相等的实数根， 224（a+1）（1）4a+80， 解得：a2， 又 a+10， a1， 则 a2 且 a1， 故答案为：a2 且 a1 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两 个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根，也考查了一元二 次方程的定义 12 （3 分）在实数范围内分解因式：x2+4x2 x+2+
17、x+2 【分析】根据完全平方公式、平方差公式，可分解因式 【解答】解：原式x2+4x+46 （x+2）2（）2 （x+2）+（x+2） x+2+x+2， 故答案为：x+2+x+2 【点评】本题考查了因式分解，先加 4 凑成完全平方公式，再利用平方差公式 13 （3 分）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了 210 次手，那么参加 此次会议的有 21 人 【分析】可设参加会议有 x 人，每个人都与其他（x1）人握手，共握手次数为x（x1） ，根据一共 握了 210 次手列出方程求解 【解答】解：设参加会议有 x 人，依题意得，x（x1）210， 整理，得 x2x420
18、0 解得 x121，x220， （舍去） 则参加这次会议的有 21 人 故答案为：21 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握 手次数为x（x1） 14 （3 分）等腰三角形三条边分别为 a、b、c，已知 a6，b、c 是关于 x 的方程 x28x+m0 的两个根， 则 m 的值为 12 或 16 【分析】根据根与系数的关系可得出 b+c8、bcm，分 a6 为腰长或 a6 为底长两种情况考虑：当 a6 为腰长时，可得出 b、c 的长度，进而可得出 m 的值，利用三角形的三边关系验证后可得出 m12 符合题意；当 a6 为底长时，根据等腰三角
19、形的性质可得出 b、c 的长度，进而可得出 m 的值，利用三 角形的三边关系验证后可得出 m16 符合题意此题得解 【解答】解：b、c 是关于 x 的方程 x28x+m0 两个根， b+c8，bcm 当 a6 为腰长时，b6，c2，此时 m12（或 c6，b2，m12） ， 6，6，2 可组成等腰三角形， m12 符合题意； 当 a6 为底长时，b+c8，bc， bc4， m16， 6，4，4 可组成等腰三角形， m16 符合题意 故答案为：12 或 16 【点评】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分 a4 为腰长或 a 4 为底长两种情况求出 m 值是解题的关键
20、 15 （3 分）如图，已知，ACB90，CDAB 于点 D，那么图中与A 相等的角是 BCD 【分析】根据直角三角形中两锐角的关系解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，A90B， 又在 RtBCD 中，BCD90B， ABCD 故答案为：BCD 【点评】主要考查了三角形的内角和是 180 度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180这一 隐含的条件本题还用到了同角的余角相等 16 （3 分） 如图， 在ABC 中， 若 ABAC， CDBF， BDCE， A62， 则EDF 的度数为 59 度 【分析】根据等腰三角形的性质可得出BC 及B 的度数，结合 BDCE、BFCD，即可证出
21、BDFCED（SAS） ，由全等三角形的性质可得出CDEBFD，再根据三角形内角和定理及平角等 于 180，即可得出EDFB，此题得解 【解答】解：ABAC、A62， BC（180A）56 在BDF 和CED 中， BDFCED（SAS） ， CDEBFD BDF+BFD+B180，BDF+EDF+CDE180， EDFB59 故答案为：59 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三 角形的性质找出CDEBFD 是解题的关键 17（3分） 如图， 在ABC中， ABAC， ADDE， BAD20， EDC10， 则DAE的度数为 60 【分析】
22、先根据三角形外角性质，用DAE 表示出C，再根据 ADDE 列出等式即可求出DAE 的度 数 【解答】解：ABAC， BC（180BAC）（18020DAE）80DAE， ADDE，DAEAED， AEDEDC+C， DAE10+80DAE， DAE60 故答案为：60 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用同一个未知数表示各角，进一步根 据三角形的内角和定理列方程求解 18 （3 分）如图，将ABC 绕着点 A 旋转，使点 B 恰好落在 BC 边上，得ABC，如果BAB32，且 ACBC，那么BAC 42 度 【分析】先利用旋转的性质得到CACBAB32，ABAB，再根
23、据等腰三角形性质和三角形 内角和定理计算出B74， 接着利用平行线的性质得到BACABB74， 然后计算B ACCAC即可 【解答】解：ABC 绕着点 A 旋转，使点 B 恰好落在 BC 边上，得ABC， CACBAB32，ABAB， ABAB BABB（18032）74， ACBC， BACABB74， BACBACCAC743242 故答案为 42 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等 于旋转角；旋转前、后的图形全等 三、简答题（每小题三、简答题（每小题 6 分，共分，共 36 分）分） 19 （6 分）计算：（+3）+ 【分析】先化简
24、各二次根式，并分母有理化，再合并同类二次根式即可得 【解答】解：原式+3 +3 3 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则 20 （6 分）解不等式：+2x 【分析】根据解不等式的方法和步骤解不等式即可 【解答】解：+2x x2x+， （612）x， x+ 【点评】此题考查了二次根式的应用整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的 关键 21 （18 分）解方程 （1）2x（2x5）（x1） （52x） ； （2）x； （3）解方程：2x2+8x70（用配方法） 【分析】 （1）利用因式分解法求解可得； （2）先整理成一般式，再
25、利用公式法求解可得； （3）根据配方法的计算步骤计算可得 【解答】解： （1）2x（2x5）（x1） （2x5） ， 2x（2x5）+（x1） （2x5）0， 则（2x5） （3x1）0， 2x50 或 3x10， 解得：x1，x2； （2）方程整理，得：2x23x40， a2，b3，c4， 942（4）410， 则 x， 即 x1，x2； （3）2x2+8x70， 2x2+8x7， x2+4x， 则 x2+4x+4+4，即（x+2）2， x+2， 则 x12+，x22 【点评】此题考查了一元二次方程的解法此题难度不大，解题的关键是选择适当的解题方法 22 （6 分）分解因式：3a25abb2
26、 【分析】令多项式等于 0 求出方程的解，即可确定出因式分解的结果 【解答】解：令 3a25abb20， 解得：abb， 3a25abb23（a+b） （ab） 【点评】此题考查了实数范围中分解因式，求出多项式等于 0 时方程的解是解本题的关键 四、解答题（共四、解答题（共 38 分）分） 23 （8 分）已知：如图，AD 平分BAC，ADBD，ACAB，求证：DCAC 【分析】过点 D 作 DEAB，根据等腰三角形的性质可得 AEBEAB，可得 ACAE，根据“SAS” 可证ACDAED，可得CAED90，即 DCAC 【解答】证明：如图，过点 D 作 DEAB， ADBD，DEAB， AE
27、AB， 又ACAB， ACAE，且 ADAD，CADDAE， ACDAED（SAS） ， CAED90， DCAC 【点评】 本题考查了全等的判定和性质， 等腰三角形的性质， 添加辅助线构造全等三角形是本题的关键 24（8 分） 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则b24ac0，结合一元二次方程的定义，求出 k 的取值范围 【解答】解：由题意得：12k0 即 k， k+10，即 k1 b24ac（2）24（12k）（1）84k0， k2 综合所述，得1k2 且， 【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （
28、1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 2、切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件 25 （10 分） 某商店如果将进货为 8 元的商品按每件 10 元售出， 每天可销售 200 件， 通过一段时间的摸索， 该店主发现这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件，每降价 0.5 元，其销售量就增加 10 件 （1）如果每天的利润要达到 700 元，售价应定为每件多少元？ （2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）如果设每件商品提高 x 元，可先用 x 表示出单件的利润以及每天的
29、销售量，然后根据总利 润单价利润销售量列出关于 x 的方程，进而求出未知数的值 （2）首先设应将售价提为 x 元时，才能使得所赚的利润最大为 y 元，根据题意可得：y（x8）200 20（x10），然后化简配方，即可得 y20（x14）2+720，即可求得答案 【解答】解： （1）设每件商品提高 x 元， 则每件利润为（10+x8）（x+2）元， 每天销售量为（20020 x）件， 依题意，得： （x+2） （20020 x）700 整理得：x28x+150 解得：x13，x25 把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元； 若设每件商品降价 x 元， 则（2x） （20
30、0+20 x）700 整理得：x2+8x+150， 解得：x13，x25， 把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元 （2）设利润为 y： 则 y（x8）20020（x10） 20 x2+560 x3200 20（x14）2+720， 则当售价定为 14 元时，获得最大利润；最大利润为 720 元 答：把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元，将售价定位每件 14 元时，能使每天可获的 利润最大，最大利润是 720 元 【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等 量关系，求得二次函数解析式 26 （1
31、2 分）判断命题“周长及两个内角对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？若是真命题请 给以证明，若是假命题请举出反例 【分析】根据相似三角形的判定先得出这两个三角形相似，再根据相似三角形的性质得出这两个三角形 以对应边相等，从而得出这两个三角形全等 【解答】解： “周长及两个内角对应相等的两个三角形全等”是真命题，理由如下： 这两个三角形两个角对应相等， 这两个三角形是相似三角形， 根据相似三角形对应边成正比例，对应边的比等于周长的比， 周长相等， 对应边相等， 这两个三角形全等 【点评】 此题考查了命题与定理， 用到的知识点是全等三角形的判定， 关键是先证出这两个三角形相似 五、综合题
32、（本题五、综合题（本题 13 分）分） 27 （13 分）如图，在直角ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作直角三角形 ADE，且 ADAE 解答下列问题： （1）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 a，联结线段 CE，那么 CE、BD 之间的位置关系为 CEBD ，数量关系为 CEBD ； （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 b， （1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如果点 D 在线段 BC 上运动，如图 c，联结 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作EAD45，
33、交 边 BC 于 E 点，请问线段 BD、DE、EC 所围所成的三角形的形状，并说明理由 【分析】 （1）根据BADCAE，BACA，ADAE，运用“SAS”证明ABDACE，根据全等三 角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段 CE、BD 之间的关系； （2）先根据“SAS”证明ABDACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可 得到（1）中的结论仍然成立； （3）作 AFAD，且 AFAD，连接 CF，EF，先证BADCAF 得 BDCF，BACF，由B+ ACB90知ECF90， 再证DAEFAE得 DEEF， 根据 EC2+CF2EF2得EC2+BD2DE2，
34、从而得出答案 【解答】解： （1）CE 与 BD 位置关系是 CEBD，数量关系是 CEBD 理由：如图 a， BAD90DAC，CAE90DAC， BADCAE 又 BACA，ADAE， ABDACE （SAS） ACEB45且 CEBD ACBB45， ECB45+4590，即 CEBD 故答案为：CEBD；CEBD （2）当点 D 在 BC 的延长线上时， （1）的结论仍成立 如图 b， DAE90，BAC90， DAEBAC， DABEAC， 又 ABAC，ADAE， DABEAC（SAS） ， CEBD，且ACEABD BAC90，ABAC， ABC45， ACE45， BCEACB
35、+ACE90， 即 CEBD； （3）如图，作 AFAD，且 AFAD，连接 CF，EF， DAC+CAF90， BAC90，即BAD+DAC90， CAFBAD， ABAC，ADAF， BADCAF（SAS） ， BDCF，BACF， B+ACB90， ACF+ACB90，即ECF90， DAE45，DAF90， DAEFAE45， ADAF，AEAE， DAEFAE（SAS） ， DEEF， 在 RtECF 中，EC2+CF2EF2， EC2+BD2DE2， 线段 BD、DE、EC 所围所成的三角形是直角三角形 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆 定理，等腰三角形的性质等知识点
