1、2020-2021 学年江西省南昌市新建区竞晖学校九年级上期中数学试卷学年江西省南昌市新建区竞晖学校九年级上期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A B C D 2（3 分）若关于 x 的一元二次方程（k+2）x22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak3 Bk3 Ck3 且 k2 Dk3 且 k2 3（3 分）将数字“6”旋转 180，得到数字“9”；将数字“9”旋转 180，得到数字“6”现将数字 “69”旋转 180，得到的数字是（ ） A96 B69 C66 D99 4（3 分）在平面直角坐标
2、系中，把抛物线 yx22x+5 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位得到的 抛物线的为（ ） Ay（x5）2+4 By（x+3）2+8 Cy（x+3） 2+1 Dy（x5）2+1 5（3 分）若 m，n 是方程 x22x50 两根，则（m22m）（m+n）的值为（ ） A5 B10 C5 D10 6（3 分）函数 yax2a 与 yaxa（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 7（3 分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均 增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A80（1+
3、x）2100 B100（1x）280 C80（1+2x）100 D80（1+x2）100 8（3 分）对于二次函数 yax22ax+3（a0），下列说法错误的是（ ） A对称轴为直线 x1 B一定经过点（2，3） Cx1 时，y 随 x 增大而增大 D当 a0，m1 时，am22am+3a+3 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）如图，将一块 30角的直角三角板 ACB（B30）绕直角顶点 C 逆时针旋转到ACB 的位置，此时点 A刚好在 AB 上，若 AC3，则点 B 与点 B的距离为 10（3 分）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将PCD 绕点 C 逆时针方向旋转
4、后与PCB 重合，若 PC 1，则 PP 11（3 分） 与抛物线 y2x 24x 的形状相同， 开口方向不同， 且顶点坐标为 （1， 3） 的抛物线解析式是 12（3 分）若关于 x 的一元二次方程 3x26x40 的两个实数根为 x1和 x2，则+ 13（3 分）如果二次函数的图象与已知二次函数 yx22x 的图象关于 y 轴对称，那么这个二次函数的解 析式是 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+3（a0）交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴于点 B， 将抛物线向下平移 3 个单位，若抛物线上 A、B 两点间的部分在平移过程中扫过的面积为 9，则 a 的值 为
5、 三、简答题（共 56 分） 15（6 分）（1）x2+4x80；（用配方法解） （2）3x（2x+3）4x+6 16（6 分）已知 y（k+2）是二次函数，且函数图象有最高点 （1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减少 17 （9 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格 点上，请解答下列问题： （1）作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）作出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2C2，并写出点 C2的坐标； （3）已知AB
6、C 关于直线 l 对称的A3B3C3的顶点 A3的坐标为（4，2），请直接写出直线 l 的函 数解析式 18（6 分）已知关于 x 的方程 ax2+（32a）x+a30 （1）求证：无论 a 为何实数，方程总有实数根 （2）如果方程有两个实数根 x1，x2，当|x1x2|时，求出 a 的值 19（6 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 A（1，0），点 C（0， 5），点 D（1，8）都在抛物线上，M 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）求直线 CM 的解析式； （3）求MCB 的面积 20（8 分）某文具店购进一批纪念册，每本进
7、价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之 间满足一次函数关系： 当销售单价为 22 元时， 销售量为 36 本； 当销售单价为 24 元时， 销售量为 32 本 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能 使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 21（8 分）（1）如图（1），
8、在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF若A90，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），在四边形 ABCD 中，B+C180，DBDC，BDC120，以 D 为顶点作一 个 60角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系， 并加以证明 22 （9 分） 已知二次函数 C1：yax2+4ax（a0）的图象顶点为 M， 显然它与 x 轴一定有两个不同的交点 （1）求二次函数 C1与 x 轴的两个交点的坐标； （2）若二次函数 C
9、1与一次函数 yx4 只有一个交点，求二次函数 C1的解析式； （3）将二次函数 C1绕原点中心对称得到求二次函数 C2， 直接写出求二次函数 C2的解析式（用含 a 式子表示）； 二次函数 C2的图象能否经过二次函数 C1的图象顶点 M？说明理由； 直线 x1 与二次函数 C1、C2分别交于 P、Q 两点，已知：PQ2，求二次函数 C1的解析式 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1（3 分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：A、不是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故正确； C、不是中心对称图形故错误；
10、 D、不是中心对称图形故错误 故选：B 2（3 分）若关于 x 的一元二次方程（k+2）x22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak3 Bk3 Ck3 且 k2 Dk3 且 k2 解：由题意可知：4+4（k+2）0， 解得：k3， k+20， k3 且 k2， 故选：D 3（3 分）将数字“6”旋转 180，得到数字“9”；将数字“9”旋转 180，得到数字“6”现将数字 “69”旋转 180，得到的数字是（ ） A96 B69 C66 D99 解：现将数字“69”旋转 180，得到的数字是：69 故选：B 4（3 分）在平面直角坐标系中，把抛物线 yx22x+5 向右平移 4
11、 个单位，再向下平移 3 个单位得到的 抛物线的为（ ） Ay（x5）2+4 By（x+3）2+8 Cy（x+3） 2+1 Dy（x5）2+1 解：yx22x+5（x1）2+4， 把抛物线 yx22x+5，向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式是 y（x 14）2+43，即 y（x5）2+1 故选：D 5（3 分）若 m，n 是方程 x22x50 两根，则（m22m）（m+n）的值为（ ） A5 B10 C5 D10 解：m，n 是方程 x22x50 的两根， m22m5，m+n2， （m22m）（m+n）5210 故选：B 6（3 分）函数 yax2a 与 yax
12、a（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 解：当 a0 时，二次函数 yax2a 的图象开口向上、对称轴为 y 轴、顶点在 y 轴负半轴，一次函数 yaxa（a0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于 y 轴同一点； 当 a0 时，二次函数 yax2a 的图象开口向下、对称轴为 y 轴、顶点在 y 轴正半轴，一次函数 y axa（a0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于 y 轴同一点 对照四个选项可知 D 正确 故选：D 7（3 分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均 增长率，
13、设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A80（1+x）2100 B100（1x）280 C80（1+2x）100 D80（1+x2）100 解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x， 根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 80（1+x）吨 ，2018 年蔬菜产量为 80（1+x）（1+x）吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨， 即：80（1+x）（1+x）100 或 80（1+x）2100 故选：A 8（3 分）对于二次函数 yax22ax+3（a0），下列说法错误的是（ ） A对称轴为直线 x1 B一定经过点（2，3） Cx1 时，y
14、随 x 增大而增大 D当 a0，m1 时，am22am+3a+3 解：A、yax22ax+3（a0）a（x1）2a+3，对称轴为直线 x1，不符合题意； B、当 x2 时，y4a4a+33，一定经过点（2，3），不符合题意； C、当 a0，x1 时，y 随 x 增大而减小，符合题意； D、当 a0，m1 时，am22am+3a+3，即 am22am+aa（m1）20，不符合题意 故选：C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）如图，将一块 30角的直角三角板 ACB（B30）绕直角顶点 C 逆时针旋转到ACB 的位置，此时点 A刚好在 AB 上，若 AC3，则点 B 与点 B
15、的距离为 3 解：如图，连 BB， B30，AC3，ABC90， A60，ACCA3， CAA是等边三角形，BC， BCB60，CBCB， BBC 是等边三角形， BCBC3 10（3 分）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将PCD 绕点 C 逆时针方向旋转后与PCB 重合，若 PC 1，则 PP 解：四边形 ABCD 为正方形， CDCB，BCD90， PCD 绕点 C 逆时针方向旋转后与PCB 重合， CPCP，PCPDCB90， PCP为等腰直角三角形， PPCP 故答案为 11（3 分）与抛物线 y2x24x 的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为（1，3）的抛物线解析式是 y2（
16、x1）2+3 解：根据题意得：y2（x1）2+3， 故答案为：y2（x1）2+3 12（3 分）若关于 x 的一元二次方程 3x26x40 的两个实数根为 x1和 x2，则+ 解：关于 x 的一元二次方程 3x26x40 的两个实数根为 x1和 x2， x1+x2 2；x1 x2 ， + 故答案为： 13（3 分）如果二次函数的图象与已知二次函数 yx22x 的图象关于 y 轴对称，那么这个二次函数的解 析式是 yx2+2x 解：yx22x 的图象关于 y 轴对称的抛物线 x 互为相反数，y 不变得 y（x）22（x）x2+2x 故答案为 yx2+2x 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中
17、，抛物线 yax2+2x+3（a0）交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴于点 B， 将抛物线向下平移 3 个单位，若抛物线上 A、B 两点间的部分在平移过程中扫过的面积为 9，则 a 的值为 1 解：如图，抛物线上 A、B 两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于ABOC 的面积， 平移过程中扫过的面积为 9， 3 OA9， 解得 OA3， 点 A 的坐标为（3，0）， 代入得 a 32+23+30， 解得 a1 故答案为：1 三、简答题（共 56 分） 15（6 分）（1）x2+4x80；（用配方法解） （2）3x（2x+3）4x+6 解：（1）x2+4x80，（用配方法解） x2+4x8，
18、x2+4x+48+4，即（x+2）212， x+22， x12+2 ，x222 ； （2）3x（2x+3）4x+6， 6x2+5x60， （3x2）（2x+3）0， 3x20 或 2x+30， x1，x2 16（6 分）已知 y（k+2）是二次函数，且函数图象有最高点 （1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减少 解：（1）y（k+2）是二次函数， k2+k42 且 k+20， 解得 k3 或 k2， 函数有最高点， 抛物线的开口向下， k+20， 解得 k2， k3 （2）当 k3 时，yx2顶点坐标（0，0），对称轴为 y 轴， 当 x0
19、 时，y 随 x 的增大而减少 17 （9 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格 点上，请解答下列问题： （1）作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）作出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2C2，并写出点 C2的坐标； （3）已知ABC 关于直线 l 对称的A3B3C3的顶点 A3的坐标为（4，2），请直接写出直线 l 的函 数解析式 解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求，点 C1的坐标为（1，2）； （2）如图所示，A2B2C2即为所求，点 C2的坐标为（2，3）；
20、（3）直线 l 的解析式为 yx 18（6 分）已知关于 x 的方程 ax2+（32a）x+a30 （1）求证：无论 a 为何实数，方程总有实数根 （2）如果方程有两个实数根 x1，x2，当|x1x2|时，求出 a 的值 【解答】（1）证明：当 a0 时，方程为 3x30，是一元一次方程，有实数根； 当 a0 时，方程是一元二次方程， 关于 x 的方程 ax2+（32a）x+a30 中，（32a）24a（a3）90， 无论 a 为何实数，方程总有实数根 （2）解：如果方程的两个实数根 x1，x2，则 x1+x2，x1 x2， |x1x2 | ， ， 解得 a2 故 a 的值是2 或 2 19（
21、6 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 A（1，0），点 C（0， 5），点 D（1，8）都在抛物线上，M 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）求直线 CM 的解析式； （3）求MCB 的面积 解：（1）根据题意得， 解得， 所以二次函数解析式为 yx2+4x+5； （2）yx2+4x+5（x2）2+9， 则 M 点坐标为（2，9）， 设直线 MC 的解析式为 ymx+n， 把 M（2，9）和 C（0，5）代入得， 解得， 所以直线 CM 的解析式为 y2x+5； （3）把 y0 代入 y2x+5 得 2x+50， 解得 x， 则
22、 E 点坐标为（，0）， 把 y0 代入 yx2+4x+5 得x2+4x+50， 解得 x11，x25， 所以 SMCBSMBESCBE 9515 20（8 分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价 x（元）之 间满足一次函数关系： 当销售单价为 22 元时， 销售量为 36 本； 当销售单价为 24 元时， 销售量为 32 本 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价
23、是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能 使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）设 ykx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：， 解得：， 则 y2x+80； （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 x 元， 根据题意得：（x20）y150， 则（x20）（2x+80）150， 整理得：x260 x+8750， （x25）（x35）0， 解得：x125，x235， 20 x28， x35（不合题意舍去）， 答：每本纪念册的销售单价是 25 元； （3
24、）由题意可得： w（x20）（2x+80） 2x2+120 x1600 2（x30）2+200， 此时当 x30 时，w 最大， 又售价不低于 20 元且不高于 28 元， x30 时，w 随 x 的增大而增大，即当 x28 时，w最大2（2830）2+200192（元）， 答：该纪念册销售单价定为 28 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 192 元 21（8 分）（1）如图（1），在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF若A90，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系，并加以证明； （2）如图（
25、2），在四边形 ABCD 中，B+C180，DBDC，BDC120，以 D 为顶点作一 个 60角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系， 并加以证明 【解答】证明：（1）BE+CFEF， 理由如下：如图（1）延长 ED 到 G，使 DGED，连接 CG，FG， 在DCG 与DBE 中， ， DCGDBE（SAS）， DGDE，CGBE， 又DEDF， FD 垂直平分线段 EG， FGFE， 在CFG 中，CG+CFFG，即 BE+CFEF； （2）如图（2），结论：EFEB+FC， 理由如下：延长 AB 到 M，使 BMCF，
26、ABD+C180，又ABD+MBD180， MBDC， 在BDM 和CDF 中， ， BDMCDF（SAS）， DMDF，BDMCDF， EDMEDB+BDMEDB+CDFCDBEDF1206060EDF， 在DEM 和DEF 中， ， DEMDEF（SAS）， EFEM， EFEMBE+BMEB+CF 22 （9 分） 已知二次函数 C1：yax2+4ax（a0）的图象顶点为 M， 显然它与 x 轴一定有两个不同的交点 （1）求二次函数 C1与 x 轴的两个交点的坐标； （2）若二次函数 C1与一次函数 yx4 只有一个交点，求二次函数 C1的解析式； （3）将二次函数 C1绕原点中心对称得
27、到求二次函数 C2， 直接写出求二次函数 C2的解析式（用含 a 式子表示）； 二次函数 C2的图象能否经过二次函数 C1的图象顶点 M？说明理由； 直线 x1 与二次函数 C1、C2分别交于 P、Q 两点，已知：PQ2，求二次函数 C1的解析式 解：（1）yax2+4axax（x+4）， y0 时，ax（x+4）0， 解得，x10，x24， 即二次函数 C1与 x 轴的两个交点的坐标（0，0），（4，0）； （2）二次函数 C1与一次函数 yx4 只有一个交点， ax2+4axx4 ax2+（4a+1）x+40， （4a+1）24a40， 解得，a， 二次函数 C1的解析式是 y； （3）二
28、次函数 C1绕原点中心对称得到求二次函数 C2，二次函数 C1：yax2+4ax（a0）， 二次函数 C2的解析式是：ya（x）2+4a（x）， 化简，得 yax2+4ax， 即二次函数 C2的解析式是 yax2+4ax； 二次函数 C2的图象不经过二次函数 C1的图象顶点 M， 二次函数 C1：yax2+4axa（x+2）24a， 二次函数 C1的顶点坐标是（2，4a）， 将 x2 代入二次函数 C2的解析式 yax2+4ax，得 ya（2）2+4a（2）12a， 4a12a， 二次函数 C2的图象不经过二次函数 C1的图象顶点 M； 当 x1 时，yax2+4axa12+4a1a+4a5a， 当 x1 时，yax2+4axa12+4a13a， 点 P 的坐标为（1，5a），点 Q 的坐标（1，3a）， PQ|5a3a|2a|， PQ2， |2a|2， 解得，a1， 二次函数 C1的解析式是 yx2+4x 或 yx24x
