1、2020-2021 学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2将方程 3x2+16x 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为 3，则一次项系数、常数项分别是 （ ） A6、1 B6、1 C6、1 D6、1 3一元二次方程 x22x+30 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个实数根 4某种植物的主干长出若干数目的
2、支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数 是 91设每个支干长出 x 个分支，则可列方程为（ ） Ax2+x+191 B （x+1）291 Cx2+x91 Dx2+191 5如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 100，得到ADE，若点 D 在线段 BC 的延长线上，则ADE 的大 小为（ ） A60 B50 C45 D40 6抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（ ） A先向左平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 D先向右平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位
3、 7已知点 A（3，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）在二次函数 yx22x+b 的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系为（ ） Ay1y3y2 By2y1y3 Cy3y2y1 Dy3y1y2 8如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m水面上升 1.5m，水面宽度为（ ） A1m B2m Cm Dm 9已知二次函数 yx22bx+5（b 为常数） ，当 x1 时，y 的最小值为 1，则 b 的值为（ ） A B2 或2 C2 或2 或 D2 或 10如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，ABBC，ABC60，CD4，ADC60，则BCD 的面积为（ ） A4
4、B8 C2+4 D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11如果 x2 是方程 x2c0 的一个根，这个方程的另一个根为 12在直角坐标系中，点（4，1）关于原点对称的点的坐标是 13已知一元二次方程 x26x150 的两根分别为 x1，x2，则 x1+x2 14如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的关系是 y x2+x+则他将铅球推出的距离是 m 15已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的图象开口向下，对称轴为直线 x1，且与 x 轴 的一个交点在点（1，0） ， （
5、0，0）之间，下列结论正确的是 （填写序号） abc0； ab+c0； a+bm（am+b） （m 是一个常数） ； 若方程 ax2+bx+cmx2m（m 是一个常数）的根为 x1，x2，则（x12） （x22）0 16如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，点 D 为ABC 所在平面内一点，BDC 90，以 AC、CD 为边作平行四边形 ACDE，则 CE 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程：x23x10 18 （8 分）新铺村种的水稻 2018 年平均亩产 300kg，2020 年平均亩产 363kg，求水
6、稻亩产量的年平均增长 率 19 （8 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为 yx24x+3 （1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象： x 0 1 2 3 4 y （2）当 x 满足 时，函数值大于 0； （3）当 1x4 时，y 的取值范围是 20 （8 分）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形 ABCD 的顶点在格点上仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示， 按步骤完成下列问题： （1）将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90，画出对应线段 AE； （2）过点 E 画一条直线把平行四边
7、形 ABCD 分成面积相等的两部分； （3）过点 D 画格点线段 DP，使得 DPBC 于点 M，垂足为 M； （4）过点 M 画线段 MN，使得 MNAB，MNAB 21 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，BCCD，BCD，ABC+ADC180，AC、BD 交于点 E将CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CDF （1）画出旋转之后的图形； （2）求证：CABCAD； （3）若ABD90，AB3，BD4，BCE 的面积为 S1，CDE 的面积为 S2，求 S1：S2的值 22 （10 分）某商店销售一种销售成本为 40 元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量 y（件）与当 天的销售单
8、价 x（元/件）满足一次函数关系，并且当 x20 时，y1000，当 x25 时，y950 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润； （3）如果该商店要使每天的销售利润不低于 13750 元，且每天的总成本不超过 20000 元，那么销售单价 应控制在什么范围内？ 23 （10 分） （1）如图 1，在ABC 和ADE 中，DAEBAC，ADAE，ABAC求证：ABD ACE； （2）如图 2，在ABC 和ADE 中，DAEBAC，ADAE，ABAC，ADB90，点 E 在 ABC 内，延长 DE 交 BC 于点 F，求证：点 F 是 BC 中点；
9、（3）如图 3，ABC 为等腰三角形，BAC120，ABAC，点 P 为ABC 所在平面内一点，APB 120，AP2，BP4，请直接写出 CP 的长 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）若 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） 求抛物线的解析式； 若点 P 为 x 轴上一点，点 Q 为抛物线上一点，CPQ 是以 CQ 为斜边的等腰直角三角形，求出点 P 的坐标； （2）若直线 ybx+t（tc）与抛物线交于点 M、点 N（点 M 在对称轴左侧） 直线 AM
10、交 y 轴于点 E， 直线 AN 交 y 轴于点 D试说明点 C 是线段 DE 的中点 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 2将方程 3x2+16x 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数
11、为 3，则一次项系数、常数项分别是 （ ） A6、1 B6、1 C6、1 D6、1 【分析】首先移项把 6x 移到等号左边，然后再确定一次项系数和常数项 【解答】解：3x2+16x， 3x26x+10， 一次项系数是6、常数项是 1， 故选：A 3一元二次方程 x22x+30 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个实数根 【分析】根据根的判别式b24ac 的符号来判定一元二次方程 x22x+30 的根的情况 【解答】解：一元二次方程 x22x+30 的二次项系数 a1，一次项系数 b2，常数项 c3， b24ac41280， 原方程无实数根 故
12、选：A 4某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数 是 91设每个支干长出 x 个分支，则可列方程为（ ） Ax2+x+191 B （x+1）291 Cx2+x91 Dx2+191 【分析】由题意设每个支干长出 x 个小分支，因为主干长出 x 个（同样数目）支干，则又长出 x2个小分 支，则共有 x2+x+1 个分支，即可列方程 【解答】解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x2+x+191 故选：A 5如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 100，得到ADE，若点 D 在线段 BC 的延长线上，则ADE 的大 小为（ ） A6
13、0 B50 C45 D40 【分析】 根据旋转的性质可得出 ABAD、 BAD100， 再根据等腰三角形的性质可求出B 的度数， 进而可得ADE 的大小 【解答】解：如图，点 D 在线段 BC 的延长线上， 根据旋转的性质可知： ABAD，BAD100， BADB（180100）40 ADEB40 故选：D 6抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（ ） A先向左平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 D先向右平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”
14、的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2向右平移 6 个单位所得抛物线的解析式为： y（x6）2 由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y（x6）2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y （x6）2+3； 故选：C 7已知点 A（3，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）在二次函数 yx22x+b 的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系为（ ） Ay1y3y2 By2y1y3 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 x1，根据 x1 时，y 随 x 的增大 而增大，即可得出答案 【解答】解：yx
15、22x+b， 图象的开口向上，对称轴是直线 x1， B（2，y2）关于直线 x1 的对称点是（4，y2） ， 1234， y3y1y2， 故选：D 8如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m水面上升 1.5m，水面宽度为（ ） A1m B2m Cm Dm 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了 多少，本题得以解决 【解答】解：如右图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为 yax2， 由已知可得，点（2，2）在此抛物线上， 则2a22， 解得 a， yx2， 当 y0.5 时，x20.5， 解得 x1， 此时水面的宽度为 2m
16、， 故选：B 9已知二次函数 yx22bx+5（b 为常数） ，当 x1 时，y 的最小值为 1，则 b 的值为（ ） A B2 或2 C2 或2 或 D2 或 【分析】根据二次函数 yx22bx+5（b 为常数） ，当 x1 时，y 的最小值为 1，利用二次函数的性质 和分类讨论的方法可以求得 b 的值 【解答】解：二次函数 yx22bx+5（xb）2b2+5，当 x1 时，y 的最小值为 1， 当 b1 时，x1 时取得最小值，1+2b+51，得 b， 当 b1 时，xb 时取得最小值，b2+51，得 b12，b22（舍去） ， 由上可得，b 的值是 2 或， 故选：D 10如图，四边形
17、ABCD 中，BD 是对角线，ABBC，ABC60，CD4，ADC60，则BCD 的面积为（ ） A4 B8 C2+4 D 【分析】如图，在线段 DA 上取一点 T，使得 DTDC，连接 BT，CT证明BCTACD（SAS） ，推 出BTCADC60，推出BTCTCD60，推出 BTCD，可得 SBCDSTCD，由此即可 解决问题 【解答】解：如图，在线段 DA 上取一点 T，使得 DTDC，连接 BT，CT ABBC，ABC60，CDDT4，ADC60， ABC，CDT 都是等边三角形， ACBTCD60， BCTACD， CBCA，CTCD， 在BCT 和ACD 中， ， BCTACD（S
18、AS） ， BTCADC60， BTCTCD60， BTCD， SBCDSTCDCD24， 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11如果 x2 是方程 x2c0 的一个根，这个方程的另一个根为 x2 【分析】将 x2 代入方程得出 c 的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案 【解答】解：将 x2 代入方程，得：4c0， 解得 c4， 方程为 x240， 则 x24， x2 或 x2， 即这个方程的另一个根为 x2， 故答案为：x2 12在直角坐标系中，点（4，1）关于原点对称的点的坐标是 （4，1） 【分析】根
19、据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案 【解答】解：点（4，1）关于原点对称的点的坐标是（4，1） ， 故答案为： （4，1） 13已知一元二次方程 x26x150 的两根分别为 x1，x2，则 x1+x2 6 【分析】直接利用根与系数的关系求解 【解答】解：根据题意得，x1+x26 故答案为 6 14如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的关系是 y x2+x+则他将铅球推出的距离是 10 m 【分析】成绩就是当高度 y0 时 x 的值，所以解方程可求解 【解答】解：当 y0 时，x2+x+0， 解之得 x110，x22（不
20、合题意，舍去） ， 所以推铅球的距离是 10 米 15已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的图象开口向下，对称轴为直线 x1，且与 x 轴 的一个交点在点（1，0） ， （0，0）之间，下列结论正确的是 （填写序号） abc0； ab+c0； a+bm（am+b） （m 是一个常数） ； 若方程 ax2+bx+cmx2m（m 是一个常数）的根为 x1，x2，则（x12） （x22）0 【分析】由抛物线的对称轴 x1 和 a0 可判断 b0，由抛物线与 x 轴的一个交点在（1，0） ， （0，0） 之间，可知另一交点位于（2，0）与（3，0）之间，抛物线与 y 轴交于正半
21、轴，c0，由此判断结论， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，求出当 x1 时，ab+c0，判断结论；利用 抛物线开口向下，函数有最大值即可判断；利用抛物线与直线 ymx2m 的交点情况即可判断 【解答】解：由 a0，对称轴是 x1，可知 b0，由抛物线与 x 轴的一个交点在（1，0） ， （0，0） 之间，可知另一交点位于（2，0）与（3，0）之间，抛物线与 y 轴交于正半轴，c0，所以 abc0，故 错误； 当 x1 时，ab+c0，故正确； 由 a0，对称轴是 x1，可知函数的最大值为 ya+b+c， a+b+cm2a+mb+c，即 a+bm（am+b） （m 是一个常数）
22、 ，正确； 方程 ax2+bx+cmx2m（m 是一个常数）的根为 x1，x2，则抛物线与直线 ymx2m 的交点横坐标 为 x1，x2， 由 ymx2mm（x2）可知直线 ymx2m 一定经过点（2，0） ， 抛物线与直线 ymx2m 的交点横坐标为 x12，x22， （x12） （x22）0，故正确； 正确的是， 故答案为 16如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，点 D 为ABC 所在平面内一点，BDC 90，以 AC、CD 为边作平行四边形 ACDE，则 CE 的最小值为 【分析】延长 AE 交 BD 于点 F，根据平行四边形的性质可得 AECD，可得AFBBDC90
23、，要 使 CE 取得最小值，必须 CEAF，可以证明ABFCAE，可得 CEAF，再证明四边形 EFDC 是矩 形，可得 AECDEFFB，再利用勾股定理可得 BF 的值，进而可得 CE 的值 【解答】解：如图，延长 AE 交 BD 于点 F， 四边形 ACDE 是平行四边形， AECD， AFBBDC90， 要使 CE 取得最小值，必须 CEAF， AFBCEA90， BAF+ABFBAF+CAE90， ABFCAE， 在ABF 和CAE 中， ， ABFCAE（AAS） ， BFAE，AFCE， AFDBDCFEC90， 四边形 EFDC 是矩形， EFCD， AECDEFFB， AF2B
24、F， AF2+BF2AB2， 4BF2+BF24， 解得 BF， CEAF2BF 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程：x23x10 【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定 a，b，c 的值，然后检验方程是否有解，若有 解代入公式即可求解 【解答】解：a1，b3，c1， b24ac（3）241（1）13， x1，x2 18 （8 分）新铺村种的水稻 2018 年平均亩产 300kg，2020 年平均亩产 363kg，求水稻亩产量的年平均增长 率 【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为 x，根据“2018 年平均亩产1
25、加增长率的平方2020 年平均 亩产”即可列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可得出结论 【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为 x， 根据题意得：300（1+x）2363， 解得：x10%或 x210%（舍去） 答：水稻亩产量的年平均增长率为 10% 19 （8 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为 yx24x+3 （1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象： x 0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 3 （2）当 x 满足 x1 或 x3 时，函数值大于 0； （3）当 1x4 时，y 的取值范围是 1y3 【分析】 （1）求出表格数据，描点连线绘图即可； （
26、2） 、 （3）观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）当 x0 时，yx24x+30， 依次求出 x1 时，y0，x2 时，y1，x3 时，y0，x4 时，y3， 故答案为 3，0，1，0，3； 描点连线绘图如下： （2）从图象看，当 x 满足 x1 或 x3 时，函数值大于 0， 故答案为 x1 或 x3； （3）从图象看，当 1x4 时，y 的取值范围是1y3， 故答案为1y3 20 （8 分）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形 ABCD 的顶点在格点上仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示， 按步骤完成下
27、列问题： （1）将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90，画出对应线段 AE； （2）过点 E 画一条直线把平行四边形 ABCD 分成面积相等的两部分； （3）过点 D 画格点线段 DP，使得 DPBC 于点 M，垂足为 M； （4）过点 M 画线段 MN，使得 MNAB，MNAB 【分析】 （1）作出点 D 的对应点 E 即可 （2）连接 AC，BD 交于点 O，作直线 OE 即可 （3）取格点 P，连接 DP 交 BC 于点 M，线段 DP 即为所求 （4）取格点 H，F，连接 HF 交 AD 于点 N，连接 MN，线段 MN 即为所求 【解答】解： （1）如图，线段 AE 即为所求 （2
28、）如图，直线 OE 即为所求 （3）如图，线段 DP 即为所求 （4）如图，线段 MN 即为所求 21 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，BCCD，BCD，ABC+ADC180，AC、BD 交于点 E将CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CDF （1）画出旋转之后的图形； （2）求证：CABCAD； （3）若ABD90，AB3，BD4，BCE 的面积为 S1，CDE 的面积为 S2，求 S1：S2的值 【分析】 （1）根据旋转的性质即可画出旋转之后的图形； （2） 由旋转旋转可得CABCFD， 再根据全等三角形的性质和ABC+ADC180， 即可得CAB CAD； （3）根据ABD90，A
29、B3，BD4，可得 AD 的长，再根据勾股定理求出 BE 和 DE 的长，根据 BCE 和CDE 同高，即可得 S1：S2的值 【解答】解： （1）如图CDF 即为旋转之后的图形； （2）证明：由旋转旋转可知： CABCFD， CDFCBA，FCAB，CACF， CBA+CDA180， CDF+CDA180， A、D、F 三点共线， ACCF， FCAD， CABCAD； （3）过点 E 作 EMAF 于点 M，过点 C 作 CNBD 于点 N， ABEAME90， 在ABE 和AME 中， ， ABEAME（AAS） ， AMAB3，BEME， ABD90，AB3，BD4， AD5 DM2，
30、设 BEEMx，则 DN4x x2+22（4x）2， 解得 x1.5， BE1.5，DE2.5， S1：S2BECN：DECN 22 （10 分）某商店销售一种销售成本为 40 元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量 y（件）与当 天的销售单价 x（元/件）满足一次函数关系，并且当 x20 时，y1000，当 x25 时，y950 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润； （3）如果该商店要使每天的销售利润不低于 13750 元，且每天的总成本不超过 20000 元，那么销售单价 应控制在什么范围内？ 【分析】 （1）根据“利润（售价成本）销售
31、量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； （3）每天的销售利润不低于 20000 元，根据二次函数与不等式的关系求出 x 的取值范围，再根据每天的 总成本不超过 7000 元，以及 65x95，列不等式组即可 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为：ykx+b， 将当当 x20 时，y1000，当 x25 时，y950 代入得： ， y10 x+1200 （2）设销售利润为 W 元 W（x40） （10 x+1200） 10 x2+1600 x48000 10（x80）2+16000 a100，抛物线开口向下， 当 x80
32、时，Wmax16000， 答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是 16000 元 （3）当 W13570 时， 10（x80）2+1600013570， 解得：x165，x295， a100，抛物线开口向下， W13570 时解集为：65x95， 由每天的总成本不超过 20000 元， 得 40（10 x+1200）20000， 解得：x70， 70 x95， 答：销售单价应该控制在 70 元至 95 元之间 23 （10 分） （1）如图 1，在ABC 和ADE 中，DAEBAC，ADAE，ABAC求证：ABD ACE； （2）如图 2，在ABC 和ADE 中，DAEBAC，ADAE，AB
33、AC，ADB90，点 E 在 ABC 内，延长 DE 交 BC 于点 F，求证：点 F 是 BC 中点； （3）如图 3，ABC 为等腰三角形，BAC120，ABAC，点 P 为ABC 所在平面内一点，APB 120，AP2，BP4，请直接写出 CP 的长 【分析】 （1）证DABEAC，由 SAS 证出ABDACE 即可； （2）连接 AF，证ADEABC，得ADEABC，则 A、D、B、F 四点共圆，由圆内接四边形的 性质得BFA90，由等腰三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况：点 P 在ABC 内部时，作 AMAP，且MAP120，连接 MP、MB，作 AN MP 于 N，由等腰
34、三角形的性质得APM30，PNMN，由直角三角形的性质得 ANAP1，PM AN，则 MP2PN2，BPM90，同（1）得ABMACP（SAS） ，则 BMCP， 由勾股定理得 BM2，即可得出答案； 点 P 在ABC 外部时，作 AMAP，且MAP120，连接 MP、BM，作 MEBP 于 E，由得： APM30，MP2，由直角三角形的性质得 EMMP，PEEM3，则 BEBP+PE 7，由勾股定理求出 BM2，同（1）得：ABMACP（SAS） ，得 CPBM2 【解答】 （1）证明：DAEDAB+BAE，BACEAC+BAE，DAEBAC， DABEAC， 在ABD 和ACE 中， AB
35、DACE（SAS） ； （2）证明：连接 AF，如图 2 所示： DAEBAC，ADAE，ABAC， ， ADEABC， ADEABC， A、D、B、F 四点共圆， BFA180ADB1809090， AFBC， ABAC， BFCF， 点 F 是 BC 中点； （3）解：分两种情况： 点 P 在ABC 内部时，作 AMAP，且MAP120，连接 MP、BM，作 ANMP 于 N，如图 3 所 示： 则APMAMP（180120）30，PNMN， ANAP1，PMAN， MP2PN2， APB120， BPM1203090， 同（1）得：ABMACP（SAS） ， BMCP， 在 RtBMP
36、中，由勾股定理得：BM2， CPBM2； 点 P 在ABC 外部时，作 AMAP，且MAP120，连接 MP、BM，作 MEBP 于 E，如图 4 所 示： 由得：APM30，MP2， APB120， EPM1803012030， MEBP， EMMP，PEEM3， BEBP+PE7， BM2， 同（1）得：ABMACP（SAS） ， BMCP， CPBM2 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）若 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） 求抛物线的解析式； 若点
37、 P 为 x 轴上一点，点 Q 为抛物线上一点，CPQ 是以 CQ 为斜边的等腰直角三角形，求出点 P 的坐标； （2）若直线 ybx+t（tc）与抛物线交于点 M、点 N（点 M 在对称轴左侧） 直线 AM 交 y 轴于点 E， 直线 AN 交 y 轴于点 D试说明点 C 是线段 DE 的中点 【分析】 （1）用待定系数法即可求解；证明PQSCPO（AAS） ，求出点 Q（m3，m） ，即可 求解； （2）由点 A 的坐标得 cap2bp，联立 yax2+bx+c 和 ybx+t 并整理得：ax2+ct0，则 m+n0； 再分别求出 AM、AN 的函数表达式，进而求出点 D、E 的坐标，即可
38、求解 【解答】解： （1）将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx22x3； 设点 P（m，0） ，如图，过点 Q 作 QSx 轴于点 S， QPS+CPO90，SQP+QPS90， SQPCPO， QSPPOC90，PQPC， PQSCPO（AAS） ， SQOPm，SPOC3， SO3m，则点 Q（m3，m） ， 将点 Q 的坐标代入抛物线表达式得：m（m3）22（m3）3，解得 m， 故点 P 的坐标为（，0）或（，0） ； （2）设点 A、M、N 的坐标分别为（p，0） 、 （m，am2+bm+c） 、 （n，an2+bn+c） ， 由点 A 的坐标
39、得：当 xp 时，yax2+bx+cap2+bp+c0，即 cap2bp， 联立 yax2+bx+c 和 ybx+t 并整理得：ax2+ct0，则 m+n0， 设直线 MN 的表达式为 ysx+q，则，解得， 即直线 MN 表达式中的 k（s）值为 am+an+b， 同理直线 AM 表达式中的 k 值为 am+ap+b， 则直线 AM 的表达式为 y（am+ap+b） （xp） ，令 x0，则 yEp（am+ap+b） ， 同理可得 AN 表达式为 y（an+ap+b） （xp） ，令 x0，则 yDp（an+ap+b） ， 则（yD+yE）p（am+an+2ap+2b）p（0+2ap+2b）ap2bpcyC， 故点 C 是线段 DE 的中点
