1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 24 讲：三角恒等变换（讲：三角恒等变换（2） 一、课程标准 1、能熟练运用两角和与差以及二倍角进行化简求值 2、能熟练解决变角问题 3、能熟练的运用公式进行求角 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角 函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦 2. 要注意对“1”的代换： 如 1sin2cos2tan 4 ，还有 1cos2cos2 2，1cos2sin 2 2. 3. 对于 sincos与 sincos同时存在的试题，可通过换元完成： 如设 tsincos，则
2、 sincos t21 2 . 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如 2()()，( )()， 3是 2 3 的半角， 2是 4的倍角等 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)yasinxbcosxa2b2sin(x)，其中 cos a a2b2，sin b a2b2.则 a2b2y a2b2. (2)yasin2xbsinxcosxccos2x 可先降次，整理转化为上一种形式 (3)yasinxb csinxd(或 y acosxb ccosxd) 第 2 页 / 共 18 页 可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式 sinxf(
3、y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)yasin2xbcosxc 可转化为关于 cosx 的二次函数式 (2)yasinx c bsinx(a，b，c0)，令 sinxt，则转化为求 yat c bt(1t1)的最值，一般可用基本不 等式或单调性求解 三、自主热身、归纳总结 1、已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 sin 2 4 的值为( ) A. 7 2 10 B. 7 2 10 C. 2 10 D. 2 10 【答案】D 【解析】 由三角函数的定义得 tan2，cos 5 5 ， tan2
4、 2tan 1tan2 4 3，cos22cos 213 5， sin2cos2tan24 5，sin 2 4 2 2 (sin2cos2) 2 2 4 5 3 5 2 10.故选 D. 2、若 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，且 4， ， ，3 2 ，则 的值是( ) A.7 4 B.9 4 C.5 4 或7 4 D.5 4 或9 4 【答案】A 第 3 页 / 共 18 页 【解析】 4， ， 2 2，2 ， sin 2 5 5 ，2 2， . 4， 2 且 cos 22 5 5 . 又sin() 10 10 ， ，3 2 ， 2， 5 4 ，cos()3 10 10 ，
5、cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 ， 又 5 4 ，2 ，7 4 . 3、已知 cos 4 cos 4 1 4，则 sin 4cos4的值为_ 【答案】5 8 【解析】 cos 4 cos 4 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 1 2(cos 2 sin2)1 2cos2 1 4.cos2 1 2.故 sin 4cos4 1cos2 2 2 1cos2 2 2 1 16 9 16. 5 8 第 4 页 / 共 18 页 4、已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ， 均
6、为锐角，则 _. 【答案】 4 【解析】因为 ， 均为锐角，所以 2 2. 又 sin() 10 10 ，所以 cos()3 10 10 . 又 sin 5 5 ，所以 cos 2 5 5 ， 所以 sin sin()sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 所以 4. 5、(一题两空)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆分 别交于A， B两点， x轴正半轴与单位圆交于点M， 已知SOAM 5 5 ， 点B的纵坐标是 2 10.则cos()_， 2_. 【答案】 10 10 4 【解析】
7、由题意，OAOM1， 因为 SOAM 5 5 和 为锐角，所以 sin 2 5 5 ，cos 5 5 . 又点 B 的纵坐标是 2 10，所以 sin 2 10，cos 7 2 10 ， 第 5 页 / 共 18 页 所以 cos()cos cos sin sin 5 5 7 2 10 2 5 5 2 10 10 10 . 因为 cos 22cos212 5 5 213 5， sin 22sin cos 22 5 5 5 5 4 5，所以 2 2， . 因为 2， ，所以 2 2， 2 . 因为 sin(2)sin 2cos cos 2sin 2 2 ， 所以 2 4. 四、例题选讲 考点一、
8、变角的运用 例 1、（2020 江苏苏州五校 12 月月考） 已知 5 cos 45 ，0, 2 ， 则s i n 2 4 的值为_ 【答案】 2 10 【解析】0, 2 ， 3 , 44 4 ，又 5 cos 45 ， 2 sin5 45 ， 2 554 sin22sincos2 444555 ， 2 3 cos22cos1 445 ， 333 sin 2sin 2sin2coscos2sin 4444444 第 6 页 / 共 18 页 = 42322 525210 变式 1、(2017 苏锡常镇调研（一） ） 已知 sin3sin 6，则 tan 12_. 【答案】 、2 34 【解析】
9、解法 1 由题意可得 sin 12 12 3sin 12 12 ，即 sin 12 cos 12cos 12 sin 12 3sin 12 cos 123cos 12 sin 12，所以 tan 12 2tan 122tan 3 4 2 32 1 3 2 34. 解法 2 tan 12tan 3 4 31 1 32 3.因为 sin3sincos 63cossin 6，即 sin 3 3 2 sin3 2cos， 即 tan 3 23 3，所以 tan 12 tantan 12 1tantan 12 3 23 32 3 1 3 23 32 3 168 3 4 2 34. 变式 2、(2019
10、通州、海门、启东期末）设 0， 3 ，已知向量 a( 6sin， 2)，b 1，cos 6 2 ， 且 ab. (1) 求 tan 6 的值； (2) 求 cos 27 12 的值 【解析】 (1) 因为 a( 6sina， 2)，b 1，cos 6 2 ，且 ab. 所以 6sina 2cos 3，所以 sin 6 6 4 .2 分 因为 0， 3 ，所以 6 6 ， 2 ，(4 分) 所以 cos 6 10 4 ， 第 7 页 / 共 18 页 故 sin 6 1cos2 6 6 4 所以 tan 6 15 5 .(6 分) (2) 由(1)得 cos 2 3 2cos2 6 12 10
11、4 2 11 4.(8 分) 因为 0， 3 ，所以 2 3 3 ， ， 所以 sin 2 3 15 4 .(10 分) 所以 cos 27 12 cos 2 3 cos 4 sin 2a 3 sin 4 (12 分) 2 30 8 .(14 分) 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行 求解。 考点二、求角 例 2、(2019 苏州期初调查）已知 cos4 3 7 ， 0， 2 . (1) 求 sin 4 的值； (2) 若 cos()11 14， 0， 2 ，求 的值 【解析】 (1) 由 cos4 3 7 ， 0， 2 ， 得 sin
12、 1cos21 4 3 7 2 1 7.(2 分) 所以 sin 4 sin 4 coscos 4 sin(4 分) 2 2 4 3 7 2 2 1 7 4 6 2 14 .(6 分) 第 8 页 / 共 18 页 (2) 因为 ， 0， 2 ，所以 (0，) 又 cos()11 14，则 sin() 1cos 2（） 1 11 14 2 5 3 14 .(8 分) 所以 sinsin()sin()coscos()sin(10 分) 5 3 14 4 3 7 11 14 1 7 1 2.(12 分) 因为 0， 2 ，所以 6 .(14 分) 变式 1、 （2020 江苏扬州高邮上学期开学考）
13、在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始 边为x轴的非负半轴，终边上有一点(1,2)P (1)求cos2sin2 的值； (2)若 10 sin() 10 ，且 0, 2 ，求角的值 【解析】(1)角的终边上有一点 P 22 5 sin 55 ， 15 cos 55 ， 2 554 sin22sincos2 555 ， 2 2 53 cos22cos121 55 ， 431 sin2cos2 555 (2)由 0 2 ， ，0 2 ， 得, 2 2 ， 10 sin() 10 ， 2 2 103 10 cos()1 sin ()1 1010 ， 则sinsin()sincos()c
14、ossin() 2 53 105102 5105102 ，因 第 9 页 / 共 18 页 0 2 ，则 4 变式 3、(2017 南京学情调研）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的 终边分别与单位圆交于点 A，B.若点 A 的横坐标是3 10 10 ，点 B 的纵坐标是2 5 5 . (1) 求 cos()的值； (2) 求 的大小 【解析】 因为锐角 的终边与单位圆交于点 A，且点 A 的横坐标是3 10 10 ， 所以由任意角的三角函数的定义可知 cos3 10 10 ， 从而 sin 1cos2 10 10 .(2 分) 因为钝角 的终边与单位圆
15、交于点 B，且点 B 的纵坐标是2 5 5 ，所以 sin2 5 5 ， 从而 cos 1sin2 5 5 .(4 分) (1) cos()coscossinsin3 10 10 5 5 10 10 2 5 5 2 10.(8 分) (2) sin()sincoscossin 10 10 5 5 3 10 10 2 5 5 2 2 .(11 分) 第 10 页 / 共 18 页 因为 为锐角， 为钝角，所以 2， 3 2 ， 所以 3 4 .(14 分) 变式 4、 已知 cos1 7，cos() 13 14(0 2 )，求(1)tan2；(2)求 的值 【解析】 (1)cos1 7，0 2
16、，sin4 3 7 ， tan4 3，tan2 2tan 1tan2 24 3 148 8 3 47 . (2)0 2 ，0 2 ，sin()3 3 14 ，coscos()coscos() sinsin()1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2， 3 . 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值， （结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确 定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 考点三、公式的综合运用 例 3、 （2020 江苏淮安楚州中学月考）已知函数 2 ( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx=+- (1)求函数 ( )f x
17、的最小值，并写出( )f x取得最小值时自变量 x 的取值集合； (2)若 , 2 2 x ，求函数 ( )f x的单调增区间 【解析】(1) 2 3cossin2 3sin2f xxxx 22 3cos2 3sin cossin2 3sin2xxxxx 3 1 cos21 cos2 3sin2 22 xx x cos23sin22xx 2cos 22 3 x 当22 3 xk ，即 3 xkkZ 时， f x取得最小值 0 第 11 页 / 共 18 页 此时， f x取得最小值时自变量 x 的取值集合为, 3 x xkkZ (2)因为 2cos 22 3 f xx ，令2222 3 kxk
18、kZ ， 解得 5 36 kxkkZ ， 又, 2 2 x ， 令1k ，, 26 x ， 令0k ，, 3 2 x ， 所以函数在, 2 2 的单调增区间是, 26 和, 3 2 变式 1、 （2020 江苏如东高级中学月考） 已知函数 若， 求函数 的值域 【解析】 ， 由得， ，即函数的值域为 变式 2、已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(3， 3) (1)求 sin 2tan 的值； (2)若函数 f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数 g(x) 3f 22x 2f 2(x)在区间 0，2 3 上的值 域 【解析】(1)角 的终边经
19、过点 P(3， 3)， sin 1 2，cos 3 2 ，tan 3 3 . 2sincos 3 f xxx 0 2 x f x 2 sin3coscossin cos3cosf xxxxxxx 1333 sin2cos2sin 2 22232 xxx 0 2 x 4 2 333 x 3 sin 21 23 x 33 0sin 21 322 x f x 3 0,1 2 第 12 页 / 共 18 页 sin 2tan 2sin cos tan 3 2 3 3 3 6 . (2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x， g(x) 3cos 22x 2cos 2x 3sin 2
20、x1cos 2x2sin 2x 6 1. 0 x2 3 ， 62x 6 7 6 . 1 2sin 2x 6 1， 22sin 2x 6 11， 故函数 g(x) 3f 22x 2f 2(x)在区间 0，2 3 上的值域是2,1 变式 3、如图，在直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A， 且 ( 3 ， 2 )，将角 的终边按逆时针旋转 6 ，交单位圆于点 B. 记 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)若 x11 4，求 x2； (2)分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C，D. 记AOC 的面积为 S1，BOD 的面积为 S2.
21、若 S1 S2.求角 的值 【解析】(1)由三角函数定义得：x1cos，x2cos( 6 )，( 3 ， 2 )，cos1 4，sin 1cos21（1 4） 2 5 4 ，x2cos( 6 ) 3 2 cos1 2sin 3 15 8 ； 第 13 页 / 共 18 页 (2)依题意得 y1sin，y2sin( 6 )， S11 2x1y1 1 2cossin 1 4sin2，S2 1 2|x2|y2 1 2sin( 6 )|cos( 6 )|1 4sin(2 3 )，依题意得 sin2sin(2 3 )sin2cos 3 cos2sin 3 ，整理得 tan2 3 3 . 3 2 ，2 3
22、 2，25 6 ，5 12 . 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 春鼓楼区校级月考）在ABC中，若sinsin()sin2CBAA，则ABC的形状( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D锐角三角形 【答案】AB 【解析】sinsin()sin2CBAA， sin()sin()sin2ABBAA sincoscossinsincoscossin2sincosABABBABAAA 2sincos2sincosBAAA cos (sinsin )0AAB， cos0A或sinsinAB 0A，B， 2 A ，或AB ABC为直角三角形或等腰三角形 2、(多选题)已知函数 f(x)
23、sin 5 6 2x 2sin x 4 cos x3 4 ，则下列关于函数 f(x)的描述正确的是( ) A.f(x)在区间 0， 3 上单调递增 第 14 页 / 共 18 页 B.f(x)图象的一个对称中心是 3，0 C.f(x)图象的一条对称轴是 x 6 D.将 f(x)的图象向右平移 3个单位长度后，所得函数图象关于 y 轴对称 【答案】 、 AC 【解析】 f(x)sin 5 6 2x 2sin x 4 cos x3 4 1 2cos 2x 3 2 sin 2xsin2xcos2x 1 2cos 2x 3 2 sin 2xcos 2xsin 2x 6 ， 由 2k 22x 62k 2
24、(kZ)， 得 k 6xk 3(kZ)， 当 k0 时， 0， 3 6， 3 ，故 A 正确； f 3 sin 210，故 B 不正确； f 6 sin 21，故 C 正确； 将 f(x)的图象向右平移 3个单位长度得到函数 ysin 2x5 6 的图象，显然不关于 y 轴对称，故 D 不正确. 3、(2017 苏州期末） 若 2tan3tan 8，则 tan 8 _. 【答案】 、15 2 49 【解析】 、思路分析 可先记 ttan 8，最后再代入化简 第 15 页 / 共 18 页 解法 1 记 ttan 8 1cos 4 sin 4 21，则 tan3 2t.所以 tan 8 3 2t
25、t 13 2t 2 t 23t2 21 116 2 21116 2 49 15 2 49 . 解法 2 tan 8 3 2tan 8tan 8 13 2tan 2 8 tan 8 23tan2 8 sin 8cos 8 2cos2 83sin 2 8 sin 4 2 1cos 4 3 1cos 4 2 10 2 1 5 21 15 2 49 . 4、 （2020 江苏淮安四校期中考试）已知 5 cos 45 ，0, 2 ，则tan_ 【答案】 1 3 【 解 析 】 因 为 5 cos 45 ， 0, 2 ， 所 以 2 2 5 sin1 cos 445 ， 4 4 sin tan2 4cos
26、 ，所以 44 44 tantan1 tantan 441tantan3 5、 （2019 年高考江苏卷）已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin 2 4 的值是 . 第 16 页 / 共 18 页 【答案】 2 10 【解析】由 tan1tantantan2 tan1 tan13 tan 1tan4 ，得 2 3tan5tan20， 解得tan2，或 1 tan 3 . sin 2sin2coscos2 sin 444 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos 2 2 22tan1 tan = 2tan1 ， 当tan2时，上式 2 2 22 2
27、1 22 = 22110 ； 当 1 tan 3 时，上式= 2 2 11 2 () 1 () 22 33 = 1 210 ()1 3 . 综上， 2 sin 2. 410 6、（2019 年高考浙江卷）设函数( )sin ,f xx x R. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域 【解析】 （1） 因为()sin()f xx是偶函数， 所以， 对任意实数x都有sin()sin()xx ， 即sin coscos sinsin coscos sinxxxx， 第 17 页 / 共 18 页 故2sin cos0
28、x， 所以cos0 又0,2)， 因此 2 或 3 2 （2） 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1 cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2 23 x 因此，函数的值域是 33 1,1 22 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 7、 （2017 年高考浙江卷）已知函数 22 sincos2 3sincos ()( )xxxf xx xR （1）求 2 () 3 f 的值 （2）求( )f x的最小正周期及单调递增区间 【解析】 （1）由 23 sin 32 ， 21 c
29、os 32 ， 22 23131 ()()()2 3() 32222 f 得 2 ()2 3 f （2）由 22 cos2cossinxxx与sin22sin cosxxx得( )cos23sin2f xxx 第 18 页 / 共 18 页 2sin(2) 6 x 所以( )f x的最小正周期是 由正弦函数的性质得 3 222, 262 kxkk Z， 解得 2 , 63 kxkk Z， 所以，( )f x的单调递增区间是 2 , 63 kkk Z 8、 （2018 年高考浙江卷）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 34 55 ，-） （1）求 sin（+）的值； （2）若角 满足 sin（+）= 5 13 ，求 cos 的值 【解析】 （1）由角的终边过点 34 (,) 55 P 得 4 sin 5 ， 所以 4 sin()sin 5 . （2）由角的终边过点 34 (,) 55 P 得 3 cos 5 ， 由 5 sin() 13 得 12 cos() 13 . 由()得coscos()cossin()sin， 所以 56 cos 65 或 16 cos 65 .
