1、2020-2021 学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期中数学试卷学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内， 每小题每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OMAB 交 AD 于点 M，若 OM3，BC10，则 OB 的长为（ ） A5 B4 C D 2如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OEAB，垂足为 E，若ADC1
2、30，则AOE 的大小为（ ） A75 B65 C55 D50 3在一幅长为 80cm、宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+65x3500 Bx2+130 x14000 Cx265x3500 Dx2130 x14000 4把方程 x210 x3 左边化成含有 x 的完全平方式，其中正确的是（ ） Ax210 x+（5）228 Bx210 x+（5）222 Cx2+10 x+5222 Dx210 x+52 5如图，在平面直角坐标系中，点 A
3、1，A2在 x 轴上，点 B1，B2在 y 轴上，其坐标分别为 A1（1，0） ，A2 （2，0） ，B1（0，1） ，B2（0，2） ，分别以 A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，所 作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A B C D 6有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一 个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ） A两个转盘转出蓝色的概率一样大 B如果 A 转盘转出了蓝色，那么 B 转盘转出蓝色的可能性变小了 C先转动 A 转盘再转动 B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成
4、紫色的概率不同 D游戏者配成紫色的概率为 7已知 2x3y，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 8如图，线段 AB 两个端点的坐标分别是 A（6，4） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将 线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ） A （3，2） B （4，1） C （3，1） D （4，2） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9如图边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这 两个正方形重叠部分的面积是 10已知 m，n 是方程 x2+2x50 的两
5、个实数根，则 m2mn+3m+n 11某校举办艺术节，校舞蹈队队长小颍准备购买某种演出服装，商店老板给出了如下优惠条件：如果一 次性购买不超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的 单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元，按此优惠条件，小颖一次性购买这种服装付了 1200 元，则她购 买了这种服装 件 12在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 ， 如再往盒中放进 3 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为 ，则原来盒里有白色棋子 颗 13下面关于两个图形相似的判断：两个等腰三角形相
6、似；两个等边三角形相似；两个等腰直角三 角形相似；两个正方形相似；两个等腰梯形相似其中正确的是 （填写序号） 14如图，已知ABC 中，若 BC6，ABC 的面积为 12，四边形 DEFG 是ABC 的内接的正方形，则正 方形 DEFG 的边长是 三、解答题（共三、解答题（共 78 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （12 分）用适当的方法解下列方程 （1）x（x2）+x20； （2）x24x1920； （3）3x25x+10； （4）4x2312x 16 （6 分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档
7、次）的产品每天生产 76 件，每件 利润 10 元调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的 总利润为 1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 17 （6 分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个 数值为7，1，3乙袋中的三张卡片所标的数值为2，1，6先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用 y 表示
8、取出卡片上的数值，把 x、y 分别作 为点 A 的横坐标和纵坐标 （1）用适当的方法写出点 A（x，y）的所有情况 （2）求点 A 落在第三象限的概率 18 （7 分）在 33 的方格纸中，点 A、B、C、D、E、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上 （1）从 A、D、E、F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点 B、C 为顶点画三角形，则所画三角形 是等腰三角形的概率是 ； （2）从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点 B、C 为顶点画四边形， 求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表法求解） 19 （7 分） 已知： 如图，矩形 ABCD 中，
9、 AC 与 BD 交于 O 点， 若点 E 是 AO 的中点， 点 F 是 OD 的中点 求 证：BECF 20 （8 分）如图，已知ABC，直线 PQ 垂直平分 AC，与边 AB 交于 E，连接 CE，过点 C 作 CF 平行于 BA 交 PQ 于点 F，连接 AF （1）求证：AEDCFD； （2）求证：四边形 AECF 是菱形 （3）若 AD3，AE5，则菱形 AECF 的面积是多少？ 21 （7 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DEAC，DFBC，AC8，BC12，求四边 形 DECF 的周长 22 （8 分）如图，在ABC 中，ABC90，F 是 AC 的中点
10、，过 AC 上一点 D 作 DEAB，交 BF 的延 长线于点 E，AGBE，垂足是 G，连接 BD，AE （1）求证：ABCBGA； （2）若 AF5，AB8，求 FG 的长； 23 （8 分）已知一元二次方程 x2+px+q+10 的一个根为 2 （1）求 q 关于 p 的关系式； （2）求证：方程 x2+px+q0 有两个不等的实数根； （3）若方程 x2+px+q+10 有两个相等的实数根，求方程 x2+px+q0 两根 24 （9 分）如图，平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中，AD6，若 OA，OB 的长是关于 x 的一元二次 方程 x27x+120 的两个根，且 OAOB （
11、1）若点 E 为 x 轴上的点，且AOE 的面积为 求：点 E 的坐标； 证明：AOEDAO； （2）若点 M 在平面直角坐标系中，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A，C，F，M 为顶点的四边形 为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内， 每小题每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，O
12、MAB 交 AD 于点 M，若 OM3，BC10，则 OB 的长为（ ） A5 B4 C D 【分析】 已知 OM 是ADC 的中位线， 再结合已知条件则 DC 的长可求出， 所以利用勾股定理可求出 AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则 BO 的长即可求出 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， D90， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OMAB， OM 是ADC 的中位线， OM3， DC6， ADBC10， AC2， ABC90，AOCO， BOAC， 故选：D 2如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OEAB，垂足为 E，若ADC130，则A
13、OE 的大小为（ ） A75 B65 C55 D50 【分析】先根据菱形的邻角互补求出BAD 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出BAO 的度 数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解 【解答】解：在菱形 ABCD 中，ADC130， BAD18013050， BAOBAD5025， OEAB， AOE90BAO902565 故选：B 3在一幅长为 80cm、宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+65x3500 Bx2+130
14、 x14000 Cx265x3500 Dx2130 x14000 【分析】 根据矩形的面积长宽， 我们可得出本题的等量关系应该是： （风景画的长+2 个纸边的宽度） （风景画的宽+2 个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可 【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为 xcm， （80+2x） （50+2x）5400， 整理得：x2+65x3500， 故选：A 4把方程 x210 x3 左边化成含有 x 的完全平方式，其中正确的是（ ） Ax210 x+（5）228 Bx210 x+（5）222 Cx2+10 x+5222 Dx210 x+52 【分析】利用方程两边同时加上一次
15、项系数一半的平方即可判断 【解答】解：x210 x3， x210 x+（）23+（）2， 即 x210 x+（5）222 故选：B 5如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2在 x 轴上，点 B1，B2在 y 轴上，其坐标分别为 A1（1，0） ，A2 （2，0） ，B1（0，1） ，B2（0，2） ，分别以 A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，所 作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图，进而得出以 A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形是 等腰三角形的情况，求出概率即可 【解答】解：以 A1、A2、B1、
16、B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形， 画树状图得： 共可以组成 4 个三角形， 所作三角形是等腰三角形只有：OA1B1，OA2B2， 所作三角形是等腰三角形的概率是： 故选：D 6有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一 个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ） A两个转盘转出蓝色的概率一样大 B如果 A 转盘转出了蓝色，那么 B 转盘转出蓝色的可能性变小了 C先转动 A 转盘再转动 B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 D游戏者配成紫色的概率为 【分析】根据古典概率模型的定义和列树
17、状图求概率分别对每个选项逐一判断可得 【解答】解：A、A 盘转出蓝色的概率为、B 盘转出蓝色的概率为，此选项错误； B、如果 A 转盘转出了蓝色，那么 B 转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误； C、由于 A、B 两个转盘是相互独立的，先转动 A 转盘再转动 B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成 紫色的概率相同，此选项错误； D、画树状图如下： 由于共有 6 种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有 1 种， 所以游戏者配成紫色的概率为， 故选：D 7已知 2x3y，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案 【解答】解：A、变成等积式是：
18、xy6，故错误； B、变成等积式是：3xy，故错误； C、变成等积式是：2x3y，故正确； D、变成等积式是：2x5y，故错误； 故选：C 8如图，线段 AB 两个端点的坐标分别是 A（6，4） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将 线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ） A （3，2） B （4，1） C （3，1） D （4，2） 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标 【解答】解：线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（6，4） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在第一象 限内将线段 AB 缩小为原来的后得
19、到线段 CD， 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半， 端点 C 的坐标为： （3，2） 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9如图边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这 两个正方形重叠部分的面积是 1 【分析】连接 DC，根据旋转的性质及正方形的性质分别求得ABC 与CDE 的面积，从而不难求 得重叠部分的面积 【解答】解：连接 DC， 绕顶点 A 顺时针旋转 45， DCE45， EDAC， CDE90， AC， CD1， 正方形重叠部分的面积是11（1） （1）1 故答案为：1
20、 10已知 m，n 是方程 x2+2x50 的两个实数根，则 m2mn+3m+n 8 【分析】根据 m+n2，mn5，直接求出 m、n 即可解题 【解答】解：m、n 是方程 x2+2x50 的两个实数根， mn5，m+n2， m2+2m50 m252m m2mn+3m+n（52m）（5）+3m+n 10+m+n 102 8 故答案为：8 11某校举办艺术节，校舞蹈队队长小颍准备购买某种演出服装，商店老板给出了如下优惠条件：如果一 次性购买不超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的 单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元，按此优惠条
21、件，小颖一次性购买这种服装付了 1200 元，则她购 买了这种服装 20 件 【分析】根据一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，表示出每件服 装的单价，进而得出等式方程求出即可 【解答】解：设购买了 x 件这种服装且多于 10 件，根据题意得出： 802（x10）x1200， 解得：x120，x230， 当 x20 时，802（2010）60 元50 元，符合题意； 当 x30 时，802（3010）40 元50 元，不合题意，舍去； 故答案为：20 12在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 ，
22、如再往盒中放进 3 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为 ，则原来盒里有白色棋子 2 颗 【分析】先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进 3 颗黑色棋子，取得白色棋子的概 率变为，再得到一个方程，求解即可 【解答】解：由题意得：， 解得：x2，y3， 故答案为：2 13下面关于两个图形相似的判断：两个等腰三角形相似；两个等边三角形相似；两个等腰直角三 角形相似；两个正方形相似；两个等腰梯形相似其中正确的是 （填写序号） 【分析】根据相似图形的定义一一判断即可 【解答】解：两个等腰三角形相似，错误 两个等边三角形相似，正确 两个等腰直角三角形相似，正确 两个正方形相似，正确 两个等腰梯
23、形相似，错误 故答案为： 14如图，已知ABC 中，若 BC6，ABC 的面积为 12，四边形 DEFG 是ABC 的内接的正方形，则正 方形 DEFG 的边长是 【分析】如图，作辅助线；证明 DEDGMN（设为 ） ，得到 AMAN；证明ADGABC，列 出比例式，求出 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 A 作 ANBC，交 DG 于点 M； 四边形 DEFG 是正方形， DEDGMN（设为 ） ，则 AMAN； BC6，ABC 的面积为 12， 6AN12， AN4，AM4； DGBC， ADGABC， ， 解得： 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 78 分，解答要写出必要的文字
24、说明、证明过程或演算步骤）分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （12 分）用适当的方法解下列方程 （1）x（x2）+x20； （2）x24x1920； （3）3x25x+10； （4）4x2312x 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3） 、 （4）利用公式法求解即可 【解答】解： （1）x（x2）+x20， 移项变形，得（x+1） （x2）0， x+10，或 x20， 即 x11 或 x22； （2）x24x1920， 配方，得 （x2）2196， 两边开平方得：x214， 即 x116 或 x212； （3）3x25x+10， a
25、3，b5，c1， （5）2431130， 则 x， 即 x1，x2； （4）4x2312x， 原方程可化为：4x212x30， a4，b12，c3， （12）244（3）1920， 则 x， x1，x2 16 （6 分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件 利润 10 元调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的 总利润为 1080 元，该烘焙店生产的
26、是第几档次的产品？ 【分析】 （1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元，即可求出每件利润为 14 元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于 x 的一元二 次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1） （1410）2+13（档次） 答：此批次蛋糕属第三档次产品 （2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品， 根据题意得： （2x+8）（76+44x）1080， 整理得：x216x+550， 解得：x15，x211（不合题意，舍去） 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品 17 （6 分）甲、乙两个袋中均装有三
27、张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个 数值为7，1，3乙袋中的三张卡片所标的数值为2，1，6先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用 y 表示取出卡片上的数值，把 x、y 分别作 为点 A 的横坐标和纵坐标 （1）用适当的方法写出点 A（x，y）的所有情况 （2）求点 A 落在第三象限的概率 【分析】 （1）直接利用表格列举即可解答； （2）利用（1）中的表格求出点 A 落在第三象限共有两种情况，再除以点 A 的所有情况即可 【解答】解： （1）如下表， 7 1 3 2 （7，2） （1，2） （3，2） 1 （7，1）
28、 （1，1） （3，1） 6 （7，6） （1，6） （3，6） 点 A（x，y）共 9 种情况； （2）点 A 落在第三象限共有（7，2） （1，2）两种情况， 点 A 落在第三象限的概率是 18 （7 分）在 33 的方格纸中，点 A、B、C、D、E、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上 （1）从 A、D、E、F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点 B、C 为顶点画三角形，则所画三角形 是等腰三角形的概率是 ； （2）从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点 B、C 为顶点画四边形， 求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表法求解） 【分析】
29、（1）根据从 A、D、E、F 四个点中任意取一点，一共有 4 种可能，只有选取 D 点时，所画三角 形是等腰三角形，即可得出答案； （2）利用树状图得出从 A、D、E、F 四个点中先后任意取两个不同的点，一共有 12 种可能，进而得出 以点 A、E、B、C 为顶点及以 D、F、B、C 为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率 【解答】解： （1）根据从 A、D、E、F 四个点中任意取一点，一共有 4 种可能，只有选取 D 点时，所画 三角形是等腰三角形， 故 P（所画三角形是等腰三角形）； （2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果： 以点 A、E、B、C 为顶点及以 D、F、B、C
30、为顶点所画的四边形是平行四边形， 所画的四边形是平行四边形的概率 P 故答案为： （1）， （2） 19 （7 分） 已知： 如图，矩形 ABCD 中， AC 与 BD 交于 O 点， 若点 E 是 AO 的中点， 点 F 是 OD 的中点 求 证：BECF 【分析】由矩形的性质得出 OAOCOBOD，证出 OEOF，由 SAS 证明OBEOCF，得出对 应边相等即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， OAOCAC，OBODBD，ACBD， OAOCOBOD， 点 E 是 AO 的中点，点 F 是 OD 的中点 OEOA，OFOD， OEOF， 在OBE 和OCF 中， ， OBEOC
31、F（SAS） ， BECF 20 （8 分）如图，已知ABC，直线 PQ 垂直平分 AC，与边 AB 交于 E，连接 CE，过点 C 作 CF 平行于 BA 交 PQ 于点 F，连接 AF （1）求证：AEDCFD； （2）求证：四边形 AECF 是菱形 （3）若 AD3，AE5，则菱形 AECF 的面积是多少？ 【分析】 （1）由作图知：PQ 为线段 AC 的垂直平分线，从而得到 AECE，ADCD，然后根据 CFAB 得到EACFCA，CFDAED，利用 ASA 证得两三角形全等即可； （2）根据全等得到 AECF，然后根据 EF 为线段 AC 的垂直平分线，得到 ECEA，FCFA，从而
32、得 到 ECEAFCFA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形 AECF 为菱形 【解答】解： （1）由作图知：PQ 为线段 AC 的垂直平分线， AECE，ADCD， CFAB， EACFCA，CFDAED， 在AED 与CFD 中， ， AEDCFD； （2）AEDCFD， AECF， EF 为线段 AC 的垂直平分线， ECEA，FCFA， ECEAFCFA， 四边形 AECF 为菱形 （3）AD3，AE5， 根据勾股定理得：ED4， EF8，AC6， S菱形AECF86224， 菱形 AECF 的面积是 24 21 （7 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DEAC
33、，DFBC，AC8，BC12，求四边 形 DECF 的周长 【分析】 根据平行四边形的判定得出四边形 DFCE 是平行四边形， 证ADFABC， 得出 ，代入求出 DF、AE 即可求出答案 【解答】解：DEAC，DFBC， 四边形 DFCE 是平行四边形， DEFC，DFEC DFBC， ADFABC， ， AC8，BC12， AF2，DF3 FCACAF826， DEFC6，DFEC3 四边形 DECF 的周长是 DF+CF+CE+DE3+6+3+618 答：四边形 DECF 的周长是 18 22 （8 分）如图，在ABC 中，ABC90，F 是 AC 的中点，过 AC 上一点 D 作 DE
34、AB，交 BF 的延 长线于点 E，AGBE，垂足是 G，连接 BD，AE （1）求证：ABCBGA； （2）若 AF5，AB8，求 FG 的长； 【分析】 （1）由直角三角形的性质可得 BFACAF，可得FABFBA，由相似三角形的判定可得 结论； （2）由相似三角形的性质可得，即可求解 【解答】解： （1）ABC90，F 是 AC 的中点， BFACAF， FABFBA， AGBE， AGB90， ABCAGB， ABCBGA； （2）AF5， AC2AF10，BF5， ABCBGA， ， BG， FGBGBF5 23 （8 分）已知一元二次方程 x2+px+q+10 的一个根为 2 （1
35、）求 q 关于 p 的关系式； （2）求证：方程 x2+px+q0 有两个不等的实数根； （3）若方程 x2+px+q+10 有两个相等的实数根，求方程 x2+px+q0 两根 【分析】 （1）根据方程的解满足方程，把 x2 代入已知方程，可得 q 关于 p 的关系式； （2）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案； （3）根据方程有两个相等的实数根，可得判别式等于零，根据解方程组，可得 p、q 的值，根据因式分 解法，可得方程的解 【解答】解： （1）一元二次方程 x2+px+q+10 的一根为 2， 4+2p+q+10， q2p5； （2）x2+px+q0， p
36、24qp24（2p5）（p+4）2+40， 方程 x2+px+q0 有两个不等的实数根； （3）x2+px+q+10 有两个相等的实数根， p24（q+1）0， 由（1）可知 q2p5， 联立得方程组，解得， 把代入 x2+px+q0，得 x24x+30， 因式分解，得 （x1） （x3）0， 解得 x11，x23 24 （9 分）如图，平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中，AD6，若 OA，OB 的长是关于 x 的一元二次 方程 x27x+120 的两个根，且 OAOB （1）若点 E 为 x 轴上的点，且AOE 的面积为 求：点 E 的坐标； 证明：AOEDAO； （2）若点 M 在平
37、面直角坐标系中，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A，C，F，M 为顶点的四边形 为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）解方程求出方程的根，可得 OA，OB 的长，利用三角形的面积公式求出 OE 即可解决问 题； 利用两边成比例夹角相等两三角形相似即可证明； （2）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题； 【解答】解： （1）方程 x27x+120 的解为 x3 或 4， OA，OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根OAOB， OB3，OA4， SAOEOEOA，SAOE 4OE， OE， 点 E 在 x 轴上， E 点的坐标为（，0）或（，0） 证明：在AOE 与DAO 中， ， ， 又AOEOAD90， AOEDAO （2）如图，由题意 A（0，4） ，B（3，0） ，C（3，0） ，D（5，4） ， 易知：ABAC5，BCAD6 当 AC 为菱形的边时，符合条件的点 F 有三个，F1（3，0） F2（3，8） ，F4（，） 当 AC 为对角线时，点 F 在线段 AC 的垂直平分线上，可得3（，）
