2020-2021学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级上期中数学试卷(含答案解析)

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1、2020-2021 学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级(上)学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级(上) 期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分每小题给出的分每小题给出的 4 个选项中,有且只有个选项中,有且只有 一个答案是正确的)一个答案是正确的) 1下列美丽的图案,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A B C D 2下列各式是一元二次方程的是( ) A3x20 B2x+3y5 C2x2+31+2(x2+3x) Dy23y0 3已知 x1,x2是一元二次方程 x2+5x30 的两个根,则 x1x

2、2为( ) A5 B5 C3 D3 4若关于 x 的方程 x2+xm+0 有实数根,则实数 m 的取值范围是( ) Am2 Bm2 Cm2 Dm2 5如图,在ABC 中,以 C 为中心,将ABC 顺时针旋转 34得到DEC,边 ED,AC 相交于点 F,若A30,则EFC 的度数为( ) A60 B64 C66 D68 6在平面直角坐标系中,把抛物线 yx22x+5 向右平移 4 个单位,再向下平移 3 个单位 得到的抛物线的为( ) Ay(x5)2+4 By(x+3)2+8 Cy(x+3)2+1 Dy(x5)2+1 7如图,AB,CE 均O 为直径,点 C,D 是圆上两点,且CDB28,则E

3、 的度数是 ( ) A62 B56 C66 D76 8二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示,给出以下结论:b+2a0;b24ac0; 9a3b+c0;b+c0其中正确的结论有( )个 A1 B2 C3 D4 二填空题(本题共二填空题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分)分) 9若关于 x 的方程 x2mx+80 的一个根为 4,则 m 10已知点 A(x2,3)与 B(x+4,y5)关于原点对称,则 xy 的值是 11设 a,b 是方程 x2x20200 的两个实数根,则 a22ab 的值为 12若方程 ax22ax+c0(a0)有一个根为 x1,那么抛物

4、线 yax22ax+c 与 x 轴 正半轴的交点坐标为 13如图,已知EAD34,ADE 绕着点 A 旋转 50后能与ABC 重合,则BAE 度 14设 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(2,y3)是抛物线 yx22x+2 上的三点,则 y1,y2, y3的大小关系为 15如图所示,在O 中,AB 为弦,OCAB 交 AB 于点 D,且 ODDC,P 为O 上任意 一点,连接 PA,PB,若O 的半径为 1,则 SPAB的最大值为 16已知二次函数 yx22mx(m 为常数) ,当1x3 时,函数的最小值为4,则 m 的值为 三解答题(本大题共三解答题(本大题共 9 小题,共小题,共 7

5、2 分)分) 17 (5 分)解方程:5x2189x 18 (7 分)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系, ABC 的顶点都在格点上, (1)作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2; (2)点 C2的坐标是: 19 (7 分)已知一条抛物线分别过点(3,2)和(0,1) ,且它的对称轴为直线 x2,试 求这条抛物线的解析式 20 (7 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(m2)xm0 (1)求证:无论 m 取任何的实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两实根为 x1、x2,且:x12+x222x1x213,求 m 的值 21 (8 分)如

6、图,正方形 ABCD,ABE 是等边三角形,M 是正方形 ABCD 对角线 AC(不 含点 A)上任意一点,将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AN,连接 EN、DM求 证:ENDM 22 (8 分)甲商品的进价为每件 20 元,商场确定其售价为每件 40 元 (1)若现在需进行降价促销活动,预备从原来的每件 40 元进行两次调价,已知该商品 现价为每件 32.4 元若该商品两次调价的降价率相同,求这个降价率; (2)经调查,该商品每降价 0.2 元,即可多销售 10 件已知甲商品售价 40 元时,每月 可销售 500 件,若该商场希望该商品每月能盈利 10800 元,且尽可能扩大销

7、售量,则该 商品应定价为多少元? 23 (8 分)如图,A、B 是O 上的两点,AOB120,C 是弧 AB 的中点,CEOA 交 O 于点 E,连接 AE求证:AEAO 24 (10 分)某名贵树木种植公司计划从甲,乙两个品种中选取一个种植并销售,市场预测 每年产销 x 棵,已知两个品种的有关信息如表: 品种 每棵售价(万 元) 每棵成本(万 元) 每年其他费用 (万 元) 预测每年最大销 量(棵) 甲 12 a 20 160 乙 20 12 602x+0.05x2 80 其中 a 为常数,且 7a10,销售甲,乙两个品种的年利润分别为 y1万元,y2万元 (1)直接写出 y1与 x 的函数

8、关系式为 y2与 x 的函数关系式为 (2)分别求出销售这两个品种的最大年利润 (3)为了获得最大年利润,该公司应该选择哪个品种?请说明理由 25 (12 分)如图,抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C,点 D 与 点 C 关于 x 轴对称,点 P 是抛物线上的一个动点 (1)求直线 BD 的解析式; (2)当点 P 在第一象限时,求四边形 BOCP 面积的最大值,并求出此时 P 点的坐标; (3)在点 P 的运动过程中,是否存在点 P,使BDP 是以 BD 为直角边的直角三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 2020-2021 学

9、年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级(上)学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级(上) 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分每小题给出的分每小题给出的 4 个选项中,有且只有个选项中,有且只有 一个答案是正确的)一个答案是正确的) 1下列美丽的图案,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故选项不符合题意; B、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选项不

10、符合题意; C、是中心对称图形但不是轴对称图形,故选项符合题意; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故选项不符合题意 故选:C 2下列各式是一元二次方程的是( ) A3x20 B2x+3y5 C2x2+31+2(x2+3x) Dy23y0 【分析】 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 直 接利用一元二次方程的定义分析即可得出答案 【解答】解:A、不是整式方程,属于分式方程,故此选项不合题意; B、是二元一次方程,故此选项不合题意; C、化简后为 26x,是一元一次方程,故此选项不合题意; D、符合一元二次方程的定义,故此选项符合题意; 故选:D 3已知

11、x1,x2是一元二次方程 x2+5x30 的两个根,则 x1x2为( ) A5 B5 C3 D3 【分析】直接利用根与系数的关系求解 【解答】解:根据题意得 x1x23 故选:C 4若关于 x 的方程 x2+xm+0 有实数根,则实数 m 的取值范围是( ) Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【分析】根据判别式的意义得到14(m+)4m80,解不等式即可 【解答】解:关于 x 的方程 x2+xm+0 有实数根, 14(m+)4m80, 解得:m2, 故选:A 5如图,在ABC 中,以 C 为中心,将ABC 顺时针旋转 34得到DEC,边 ED,AC 相交于点 F,若A30,则EFC 的度数为(

12、) A60 B64 C66 D68 【分析】由旋转的性质得出DA30,DCF34,由三角形的外角性质即可 得出答案 【解答】解:由旋转的性质得:DA30,DCF34, EFCA+DCF30+3464; 故选:B 6在平面直角坐标系中,把抛物线 yx22x+5 向右平移 4 个单位,再向下平移 3 个单位 得到的抛物线的为( ) Ay(x5)2+4 By(x+3)2+8 Cy(x+3)2+1 Dy(x5)2+1 【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行求解 【解答】解:yx22x+5(x1)2+4, 把抛物线 yx22x+5,向右平移 4 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛

13、物线的解 析式是 y(x14)2+43,即 y(x5)2+1 故选:D 7如图,AB,CE 均O 为直径,点 C,D 是圆上两点,且CDB28,则E 的度数是 ( ) A62 B56 C66 D76 【分析】利用圆周角定理求出BOC 即可解决问题 【解答】解:AB,CE 是直径, OAOE, EA, BOC2CDB56, AOEBOC56, E(18056)62, 故选:A 8二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示,给出以下结论:b+2a0;b24ac0; 9a3b+c0;b+c0其中正确的结论有( )个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案 【解答】解:

14、由图象得:01,且 a0, 去分母得:b2a,即 b+2a0,本选项正确; 抛物线与 x 轴有两个交点, b24ac0,本选项正确; x3 时,y0, 9a3b+c0,本选项错误; x1 时,ya+b+c0, b+ca, a0, a0, b+c0,本选项正确; 则所有正确的序号为 故选:C 二填空题(本题共二填空题(本题共 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分)分) 9若关于 x 的方程 x2mx+80 的一个根为 4,则 m 6 【分析】由方程的解的定义,把 x4 代入已知方程,列出关于 m 的新方程,通过解新方 程即可求得 m 的值 【解答】解:依题意,得 424m+8

15、0, 解得,m6 故答案是:6 10已知点 A(x2,3)与 B(x+4,y5)关于原点对称,则 xy 的值是 2 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 x,y 的值进而得出答案 【解答】解:点 A(x2,3)与 B(x+4,y5)关于原点对称, x2+x+40,3+y50, 解得:x1,y2, 则 xy 的值是:2 故答案为:2 11设 a,b 是方程 x2x20200 的两个实数根,则 a22ab 的值为 2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a2a20200,即 a2a2020,则 a2 2ab 变形为 a2a(a+b) ,再根据根与系数的关系得到 a+b1,然后利用整

16、体代 入的方法计算 【解答】解:a 是方程 x2x20200 的根, a2a20200,即 a2a2020, a22aba2a(a+b) , a,b 是方程 x2x20200 的两个实数根 a+b1, a22aba2a(a+b)202012019 故答案是:2019 12若方程 ax22ax+c0(a0)有一个根为 x1,那么抛物线 yax22ax+c 与 x 轴 正半轴的交点坐标为 (3,0) 【分析】根据抛物线的对称轴方程和抛物线的对称性质得到方程 ax22ax+c0(a0) 的另一根为 x3,易得抛物线与 x 轴正半轴的交点坐标 【解答】解:抛物线的对称轴是直线 x1 方程 ax22ax

17、+c0(a0)的另一根为 x3 则抛物线 yax22ax+c 与 x 轴正半轴的交点坐标为(3,0) 故答案是: (3,0) 13如图,已知EAD34,ADE 绕着点 A 旋转 50后能与ABC 重合,则BAE 16 度 【分析】由旋转的性质可得DAEBAC34,CAE50,即可求解 【解答】解:ADE 绕着点 A 旋转 50后能与ABC 重合, DAEBAC34,CAE50, BAECAEBAC503416, 故答案为 16 14设 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(2,y3)是抛物线 yx22x+2 上的三点,则 y1,y2, y3的大小关系为 y1y2y3 【分析】根据二次函数的性

18、质得到抛物线 yx22x+2(x+1)2+3,开口向下,对 称轴为直线 x1,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小 【解答】解:抛物线 yx22x+2(x+1) 2+3,开口向下,对称轴为直线 x1, 而 C(2,y3)离直线 x1 的距离最远,A(2,y1)点离直线 x1 最近, y1y2y3 故答案为 y1y2y3 15如图所示,在O 中,AB 为弦,OCAB 交 AB 于点 D,且 ODDC,P 为O 上任意 一点,连接 PA,PB,若O 的半径为 1,则 SPAB的最大值为 【分析】连接 OA,如图,利用垂径定理得到 ADBD,再根据 ODDC 可得 到 ODOA,所以 AD,

19、由勾股定理,则 ABPAB 底 AB 不变,当高 越大时面积越大,即 P 点到 AB 距离最大时,APB 的面积最大则当点 P 为 AB 所在优 弧的中点时,此时 PD,APB 的面积最大,然后根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解:连接 OA,如图, OCAB, ADBD, ODDC, ODOA, AD,AB2AD 当点 P 为 AB 所对的优弧的中点时,APB 的面积最大,此时 PDPO+OD1+ APB 的面积的最大值为 故答案为: 16已知二次函数 yx22mx(m 为常数) ,当1x3 时,函数的最小值为4,则 m 的值为 2 或 【分析】分三种情况讨论,利用二次函数的增减性结合图

20、象确定出函数值 y 取最小值4 时对应的 x 的值,代入解析式即可解决问题 【解答】解:二次函数 yx22mx(m 为常数) ,的对称轴为 xm, 当 xm 时,y 随 x 的增大而增大,当 xm 时,y 随 x 的增大而减小, 若 m1x3,x1 时,函数值 y 的最小值为4, 可得:41+2m, 解得:m; 若1m3,xm 时,函数值 y 有最小值为4,可得4m2,解得 m2; 若1x3m,x3 时,函数值 y 的最小值为4, 可得:496m,解得 m,不合题意; m 的值为 2 或 故答案为 2 或 三解答题(本大题共三解答题(本大题共 9 小题,共小题,共 72 分)分) 17 (5

21、分)解方程:5x2189x 【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可 【解答】解:方程整理得:5x29x180, 分解因式得: (5x+6) (x3)0, 可得 5x+60 或 x30, 解得:x11.2,x23 18 (7 分)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系, ABC 的顶点都在格点上, (1)作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2; (2)点 C2的坐标是: (3,2) 【分析】 (1)根据中心对称的性质,即可得到A2B2C2 (2)依据点 C2的位置,即可得到点 C2的坐标 【解答】解: (1)如图所示,A2B2C2为所作 (2)点 C2的坐

22、标为(3,2) 故答案为: (3,2) 19 (7 分)已知一条抛物线分别过点(3,2)和(0,1) ,且它的对称轴为直线 x2,试 求这条抛物线的解析式 【分析】根据题意设抛物线的解析式为 ya(x2)2+b,把 (3,2) , (0,1)代入 求得 a、b 即可 【解答】解:抛物线的对称轴为 x2, 可设抛物线的解析式为 ya(x2)2+b, 把 (3,2) , (0,1)代入解析式得 , 解得 a1,b3, 所求抛物线的解析式为 y(x2)23 20 (7 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(m2)xm0 (1)求证:无论 m 取任何的实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)如果方

23、程的两实根为 x1、x2,且:x12+x222x1x213,求 m 的值 【分析】 (1)只要证明0 恒成立即可; (2)由题意可得,x1+x2m2,x1x2m,进行变形后代入即可求解 【解答】解: (1)证明:x2(m2)xm0, (m2)241(m)m2+40, 无论 m 为任何的实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)x2(m2)xm0,方程的两实根为 x1、x2, x1+x2m2,x1x2m, 又, , (m2)24(m)13, 解得,m13,m23, 即 m 的值是 3 或3 21 (8 分)如图,正方形 ABCD,ABE 是等边三角形,M 是正方形 ABCD 对角线 AC(不 含

24、点 A)上任意一点,将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AN,连接 EN、DM求 证:ENDM 【分析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质,即可判定EANDAM(SAS) ,依 据全等三角形的对应边相等,即可得到 ENDM 【解答】证明:ABE 是等边三角形, BAE60,BAEA, 由旋转可得,MAN60,AMAN, BAEMAN, EANBAM, 四边形 ABCD 是正方形, BADA,BAMDAM45, EADA,EANDAM, 在EAN 和DAM 中, , EANDAM(SAS) , ENDM 22 (8 分)甲商品的进价为每件 20 元,商场确定其售价为每件 40 元 (1

25、)若现在需进行降价促销活动,预备从原来的每件 40 元进行两次调价,已知该商品 现价为每件 32.4 元若该商品两次调价的降价率相同,求这个降价率; (2)经调查,该商品每降价 0.2 元,即可多销售 10 件已知甲商品售价 40 元时,每月 可销售 500 件,若该商场希望该商品每月能盈利 10800 元,且尽可能扩大销售量,则该 商品应定价为多少元? 【分析】 (1)设调价百分率为 x,根据售价从原来每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元,可列方程求解 (2)根据已知条件求出多售的件数,根据该商场希望该商品每月能盈利 10000 元列出方 程,求解即可 【解答】解: (1)设这种

26、商品平均降价率是 x,依题意得:40(1x)232.4, 解得:x10.110%,x21.9(舍去) ; 答:这个降价率为 10%; (2)设降价 y 元,则多销售 y0.21050y(件) , 根据题意得(4020y) (500+50y)10800, 解得:y2(舍去)或 y8, 所以 40832(元) 答:该商品在应定价为 32 元 23 (8 分)如图,A、B 是O 上的两点,AOB120,C 是弧 AB 的中点,CEOA 交 O 于点 E,连接 AE求证:AEAO 【分析】连 OC,OA,如图,先利用圆心角、弧、弦的关系得到AOC60,则可判 断AOC 为等边三角形,所以 ACAO,再

27、根据垂径定理得到,从而得到 AE ACAO 【解答】证明:连 OC,OA,如图, AOB120,C 是弧 AB 的中点, AOC60, OAOC, AOC 为等边三角形, ACAO, OACE, , AEAC, AEAO 24 (10 分)某名贵树木种植公司计划从甲,乙两个品种中选取一个种植并销售,市场预测 每年产销 x 棵,已知两个品种的有关信息如表: 品种 每棵售价(万 元) 每棵成本(万 元) 每年其他费用 (万 元) 预测每年最大销 量(棵) 甲 12 a 20 160 乙 20 12 602x+0.05x2 80 其中 a 为常数,且 7a10,销售甲,乙两个品种的年利润分别为 y1

28、万元,y2万元 (1)直接写出 y1与 x 的函数关系式为 y1(12a)x20, (0 x160) y2与 x 的函数关系式为 y20.05x2+10 x60 (0 x80) (2)分别求出销售这两个品种的最大年利润 (3)为了获得最大年利润,该公司应该选择哪个品种?请说明理由 【分析】 (1)根据利润销售数量每件的利润即可解决问题 (2)根据一次函数的增减性,二次函数的增减性即可解决问题 (3)根据题意分三种情形分别求解即可判断选择哪个品种获得利润高 【解答】解: (1)y1(12a)x20, (0 x160) , y2(2012)x60+2x0.05x20.05x2+10 x60 (0

29、x80) 故答案为:y1(12a)x20, (0 x160) ;y20.05x2+10 x60 (0 x80) ; (2)对于 y1(12a)x20, 12a0, x160 时,y1的值最大(1900160a)万元 对于 y20.05(x100)2+440, 0 x80, x80 时,y2最大值420 万元 (3)1900160a420,解得 a9.25, 1900160a420,解得 a9.25, 1900160a420,解得 a9.25, 7a10, 当 a9.25 时,选择甲乙两个品种的利润相同 当 7a9.25 时,选择甲品种利润比较高 当 9.25a10 时,选择乙品种利润比较高 2

30、5 (12 分)如图,抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C,点 D 与 点 C 关于 x 轴对称,点 P 是抛物线上的一个动点 (1)求直线 BD 的解析式; (2)当点 P 在第一象限时,求四边形 BOCP 面积的最大值,并求出此时 P 点的坐标; (3)在点 P 的运动过程中,是否存在点 P,使BDP 是以 BD 为直角边的直角三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)对于 yx2+2x+3,令 x0,则 y3,令 yx2+2x+30,解得 x 1 或 3,进而求解; (2)由四边形 BOCP 面积SOBC+SPHC

31、+SPHBOBOC+PHOB3 33(x2+2x+3+x3)x2+x+,即可求解; (3)分PBD 为直角、PDB 为直角两种情况,利用数形结合的方法,分别求解即可 【解答】解: (1)对于 yx2+2x+3,令 x0,则 y3,令 yx2+2x+30,解得 x1 或 3, 故点 A、B、C 的坐标分别为(1,0) 、 (3,0) 、 (0,3) , 点 D 与点 C 关于 x 轴对称,故点 D(0,3) , 设直线 BD 的表达式为 ykx+b,则,解得, 故直线 BD 的表达式为 yx3; (2)连接 BC,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H, 由点 B、C 的坐标,同理可得,

32、直线 BC 的表达式为 yx+3, 设点 P(x,x2+2x+3) ,则点 H(x,x+3) , 则四边形 BOCP 面积SOBC+SPHC+SPHBOBOC+PHOB33 3(x2+2x+3+x3)x2+x+, 0,故四边形 BOCP 面积存在最大值, 当 x时,四边形 BOCP 面积最大值为,此时点 P(,) ; (3)存在,理由: 当PBD 为直角时,如上图所示, 此时点 P 与点 C 重合,过点 P 的坐标为(0,3) ; 当PDB 为直角时, 由 BD 的表达式知,直线 BD 与 x 轴的倾斜角为 45, 当PDB 为直角时,即 PDBD,则直线 PD 与 x 轴负半轴的夹角为 45, 故设直线 PD 的表达式为 yx+t, 将点 D 的坐标代入上式得,30+t,解得 t3, 故直线 PD 的表达式为 yx3, 联立并解得:x, 故点 P 的坐标为(,)或(,) , 综上,点 P 的坐标为(,)或(,)或(0,3)

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