1、2020-2021 学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级（上）学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级（上） 期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分每小题给出的分每小题给出的 4 个选项中，有且只有个选项中，有且只有 一个答案是正确的）一个答案是正确的） 1下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列各式是一元二次方程的是（ ） A3x20 B2x+3y5 C2x2+31+2（x2+3x） Dy23y0 3已知 x1，x2是一元二次方程 x2+5x30 的两个根，则 x1x
2、2为（ ） A5 B5 C3 D3 4若关于 x 的方程 x2+xm+0 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 5如图，在ABC 中，以 C 为中心，将ABC 顺时针旋转 34得到DEC，边 ED，AC 相交于点 F，若A30，则EFC 的度数为（ ） A60 B64 C66 D68 6在平面直角坐标系中，把抛物线 yx22x+5 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位 得到的抛物线的为（ ） Ay（x5）2+4 By（x+3）2+8 Cy（x+3）2+1 Dy（x5）2+1 7如图，AB，CE 均O 为直径，点 C，D 是圆上两点，且CDB28，则E
3、 的度数是 （ ） A62 B56 C66 D76 8二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，给出以下结论：b+2a0；b24ac0； 9a3b+c0；b+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 二填空题（本题共二填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9若关于 x 的方程 x2mx+80 的一个根为 4，则 m 10已知点 A（x2，3）与 B（x+4，y5）关于原点对称，则 xy 的值是 11设 a，b 是方程 x2x20200 的两个实数根，则 a22ab 的值为 12若方程 ax22ax+c0（a0）有一个根为 x1，那么抛物
4、线 yax22ax+c 与 x 轴 正半轴的交点坐标为 13如图，已知EAD34，ADE 绕着点 A 旋转 50后能与ABC 重合，则BAE 度 14设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 yx22x+2 上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系为 15如图所示，在O 中，AB 为弦，OCAB 交 AB 于点 D，且 ODDC，P 为O 上任意 一点，连接 PA，PB，若O 的半径为 1，则 SPAB的最大值为 16已知二次函数 yx22mx（m 为常数） ，当1x3 时，函数的最小值为4，则 m 的值为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 7
5、2 分）分） 17 （5 分）解方程：5x2189x 18 （7 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC 的顶点都在格点上， （1）作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2； （2）点 C2的坐标是： 19 （7 分）已知一条抛物线分别过点（3，2）和（0，1） ，且它的对称轴为直线 x2，试 求这条抛物线的解析式 20 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）xm0 （1）求证：无论 m 取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 x1、x2，且：x12+x222x1x213，求 m 的值 21 （8 分）如
6、图，正方形 ABCD，ABE 是等边三角形，M 是正方形 ABCD 对角线 AC（不 含点 A）上任意一点，将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AN，连接 EN、DM求 证：ENDM 22 （8 分）甲商品的进价为每件 20 元，商场确定其售价为每件 40 元 （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件 40 元进行两次调价，已知该商品 现价为每件 32.4 元若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件已知甲商品售价 40 元时，每月 可销售 500 件，若该商场希望该商品每月能盈利 10800 元，且尽可能扩大销
7、售量，则该 商品应定价为多少元？ 23 （8 分）如图，A、B 是O 上的两点，AOB120，C 是弧 AB 的中点，CEOA 交 O 于点 E，连接 AE求证：AEAO 24 （10 分）某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测 每年产销 x 棵，已知两个品种的有关信息如表： 品种 每棵售价（万 元） 每棵成本（万 元） 每年其他费用 （万 元） 预测每年最大销 量（棵） 甲 12 a 20 160 乙 20 12 602x+0.05x2 80 其中 a 为常数，且 7a10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为 y1万元，y2万元 （1）直接写出 y1与 x 的函数
8、关系式为 y2与 x 的函数关系式为 （2）分别求出销售这两个品种的最大年利润 （3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由 25 （12 分）如图，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与 点 C 关于 x 轴对称，点 P 是抛物线上的一个动点 （1）求直线 BD 的解析式； （2）当点 P 在第一象限时，求四边形 BOCP 面积的最大值，并求出此时 P 点的坐标； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使BDP 是以 BD 为直角边的直角三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学
9、年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级（上）学年湖北省黄冈市麻城市部分初中学校九年级（上） 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分每小题给出的分每小题给出的 4 个选项中，有且只有个选项中，有且只有 一个答案是正确的）一个答案是正确的） 1下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不
10、符合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意 故选：C 2下列各式是一元二次方程的是（ ） A3x20 B2x+3y5 C2x2+31+2（x2+3x） Dy23y0 【分析】 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 直 接利用一元二次方程的定义分析即可得出答案 【解答】解：A、不是整式方程，属于分式方程，故此选项不合题意； B、是二元一次方程，故此选项不合题意； C、化简后为 26x，是一元一次方程，故此选项不合题意； D、符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； 故选：D 3已知
11、x1，x2是一元二次方程 x2+5x30 的两个根，则 x1x2为（ ） A5 B5 C3 D3 【分析】直接利用根与系数的关系求解 【解答】解：根据题意得 x1x23 故选：C 4若关于 x 的方程 x2+xm+0 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【分析】根据判别式的意义得到14（m+）4m80，解不等式即可 【解答】解：关于 x 的方程 x2+xm+0 有实数根， 14（m+）4m80， 解得：m2， 故选：A 5如图，在ABC 中，以 C 为中心，将ABC 顺时针旋转 34得到DEC，边 ED，AC 相交于点 F，若A30，则EFC 的度数为（
12、） A60 B64 C66 D68 【分析】由旋转的性质得出DA30，DCF34，由三角形的外角性质即可 得出答案 【解答】解：由旋转的性质得：DA30，DCF34， EFCA+DCF30+3464； 故选：B 6在平面直角坐标系中，把抛物线 yx22x+5 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位 得到的抛物线的为（ ） Ay（x5）2+4 By（x+3）2+8 Cy（x+3）2+1 Dy（x5）2+1 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解 【解答】解：yx22x+5（x1）2+4， 把抛物线 yx22x+5，向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛
13、物线的解 析式是 y（x14）2+43，即 y（x5）2+1 故选：D 7如图，AB，CE 均O 为直径，点 C，D 是圆上两点，且CDB28，则E 的度数是 （ ） A62 B56 C66 D76 【分析】利用圆周角定理求出BOC 即可解决问题 【解答】解：AB，CE 是直径， OAOE， EA， BOC2CDB56， AOEBOC56， E（18056）62， 故选：A 8二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，给出以下结论：b+2a0；b24ac0； 9a3b+c0；b+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案 【解答】解：
14、由图象得：01，且 a0， 去分母得：b2a，即 b+2a0，本选项正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，本选项正确； x3 时，y0， 9a3b+c0，本选项错误； x1 时，ya+b+c0， b+ca， a0， a0， b+c0，本选项正确； 则所有正确的序号为 故选：C 二填空题（本题共二填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9若关于 x 的方程 x2mx+80 的一个根为 4，则 m 6 【分析】由方程的解的定义，把 x4 代入已知方程，列出关于 m 的新方程，通过解新方 程即可求得 m 的值 【解答】解：依题意，得 424m+8
15、0， 解得，m6 故答案是：6 10已知点 A（x2，3）与 B（x+4，y5）关于原点对称，则 xy 的值是 2 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 x，y 的值进而得出答案 【解答】解：点 A（x2，3）与 B（x+4，y5）关于原点对称， x2+x+40，3+y50， 解得：x1，y2， 则 xy 的值是：2 故答案为：2 11设 a，b 是方程 x2x20200 的两个实数根，则 a22ab 的值为 2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a2a20200，即 a2a2020，则 a2 2ab 变形为 a2a（a+b） ，再根据根与系数的关系得到 a+b1，然后利用整
16、体代 入的方法计算 【解答】解：a 是方程 x2x20200 的根， a2a20200，即 a2a2020， a22aba2a（a+b） ， a，b 是方程 x2x20200 的两个实数根 a+b1， a22aba2a（a+b）202012019 故答案是：2019 12若方程 ax22ax+c0（a0）有一个根为 x1，那么抛物线 yax22ax+c 与 x 轴 正半轴的交点坐标为 （3，0） 【分析】根据抛物线的对称轴方程和抛物线的对称性质得到方程 ax22ax+c0（a0） 的另一根为 x3，易得抛物线与 x 轴正半轴的交点坐标 【解答】解：抛物线的对称轴是直线 x1 方程 ax22ax
17、+c0（a0）的另一根为 x3 则抛物线 yax22ax+c 与 x 轴正半轴的交点坐标为（3，0） 故答案是： （3，0） 13如图，已知EAD34，ADE 绕着点 A 旋转 50后能与ABC 重合，则BAE 16 度 【分析】由旋转的性质可得DAEBAC34，CAE50，即可求解 【解答】解：ADE 绕着点 A 旋转 50后能与ABC 重合， DAEBAC34，CAE50， BAECAEBAC503416， 故答案为 16 14设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 yx22x+2 上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系为 y1y2y3 【分析】根据二次函数的性
18、质得到抛物线 yx22x+2（x+1）2+3，开口向下，对 称轴为直线 x1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小 【解答】解：抛物线 yx22x+2（x+1） 2+3，开口向下，对称轴为直线 x1， 而 C（2，y3）离直线 x1 的距离最远，A（2，y1）点离直线 x1 最近， y1y2y3 故答案为 y1y2y3 15如图所示，在O 中，AB 为弦，OCAB 交 AB 于点 D，且 ODDC，P 为O 上任意 一点，连接 PA，PB，若O 的半径为 1，则 SPAB的最大值为 【分析】连接 OA，如图，利用垂径定理得到 ADBD，再根据 ODDC 可得 到 ODOA，所以 AD，
19、由勾股定理，则 ABPAB 底 AB 不变，当高 越大时面积越大，即 P 点到 AB 距离最大时，APB 的面积最大则当点 P 为 AB 所在优 弧的中点时，此时 PD，APB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解：连接 OA，如图， OCAB， ADBD， ODDC， ODOA， AD，AB2AD 当点 P 为 AB 所对的优弧的中点时，APB 的面积最大，此时 PDPO+OD1+ APB 的面积的最大值为 故答案为： 16已知二次函数 yx22mx（m 为常数） ，当1x3 时，函数的最小值为4，则 m 的值为 2 或 【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的增减性结合图
20、象确定出函数值 y 取最小值4 时对应的 x 的值，代入解析式即可解决问题 【解答】解：二次函数 yx22mx（m 为常数） ，的对称轴为 xm， 当 xm 时，y 随 x 的增大而增大，当 xm 时，y 随 x 的增大而减小， 若 m1x3，x1 时，函数值 y 的最小值为4， 可得：41+2m， 解得：m； 若1m3，xm 时，函数值 y 有最小值为4，可得4m2，解得 m2； 若1x3m，x3 时，函数值 y 的最小值为4， 可得：496m，解得 m，不合题意； m 的值为 2 或 故答案为 2 或 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （5
21、分）解方程：5x2189x 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程整理得：5x29x180， 分解因式得： （5x+6） （x3）0， 可得 5x+60 或 x30， 解得：x11.2，x23 18 （7 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC 的顶点都在格点上， （1）作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2； （2）点 C2的坐标是： （3，2） 【分析】 （1）根据中心对称的性质，即可得到A2B2C2 （2）依据点 C2的位置，即可得到点 C2的坐标 【解答】解： （1）如图所示，A2B2C2为所作 （2）点 C2的坐
22、标为（3，2） 故答案为： （3，2） 19 （7 分）已知一条抛物线分别过点（3，2）和（0，1） ，且它的对称轴为直线 x2，试 求这条抛物线的解析式 【分析】根据题意设抛物线的解析式为 ya（x2）2+b，把 （3，2） ， （0，1）代入 求得 a、b 即可 【解答】解：抛物线的对称轴为 x2， 可设抛物线的解析式为 ya（x2）2+b， 把 （3，2） ， （0，1）代入解析式得 ， 解得 a1，b3， 所求抛物线的解析式为 y（x2）23 20 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）xm0 （1）求证：无论 m 取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方
23、程的两实根为 x1、x2，且：x12+x222x1x213，求 m 的值 【分析】 （1）只要证明0 恒成立即可； （2）由题意可得，x1+x2m2，x1x2m，进行变形后代入即可求解 【解答】解： （1）证明：x2（m2）xm0， （m2）241（m）m2+40， 无论 m 为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）x2（m2）xm0，方程的两实根为 x1、x2， x1+x2m2，x1x2m， 又， ， （m2）24（m）13， 解得，m13，m23， 即 m 的值是 3 或3 21 （8 分）如图，正方形 ABCD，ABE 是等边三角形，M 是正方形 ABCD 对角线 AC（不 含
24、点 A）上任意一点，将线段 AM 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AN，连接 EN、DM求 证：ENDM 【分析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定EANDAM（SAS） ，依 据全等三角形的对应边相等，即可得到 ENDM 【解答】证明：ABE 是等边三角形， BAE60，BAEA， 由旋转可得，MAN60，AMAN， BAEMAN， EANBAM， 四边形 ABCD 是正方形， BADA，BAMDAM45， EADA，EANDAM， 在EAN 和DAM 中， ， EANDAM（SAS） ， ENDM 22 （8 分）甲商品的进价为每件 20 元，商场确定其售价为每件 40 元 （1
25、）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件 40 元进行两次调价，已知该商品 现价为每件 32.4 元若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件已知甲商品售价 40 元时，每月 可销售 500 件，若该商场希望该商品每月能盈利 10800 元，且尽可能扩大销售量，则该 商品应定价为多少元？ 【分析】 （1）设调价百分率为 x，根据售价从原来每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元，可列方程求解 （2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利 10000 元列出方 程，求解即可 【解答】解： （1）设这种
26、商品平均降价率是 x，依题意得：40（1x）232.4， 解得：x10.110%，x21.9（舍去） ； 答：这个降价率为 10%； （2）设降价 y 元，则多销售 y0.21050y（件） ， 根据题意得（4020y） （500+50y）10800， 解得：y2（舍去）或 y8， 所以 40832（元） 答：该商品在应定价为 32 元 23 （8 分）如图，A、B 是O 上的两点，AOB120，C 是弧 AB 的中点，CEOA 交 O 于点 E，连接 AE求证：AEAO 【分析】连 OC，OA，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系得到AOC60，则可判 断AOC 为等边三角形，所以 ACAO，再
27、根据垂径定理得到，从而得到 AE ACAO 【解答】证明：连 OC，OA，如图， AOB120，C 是弧 AB 的中点， AOC60， OAOC， AOC 为等边三角形， ACAO， OACE， ， AEAC， AEAO 24 （10 分）某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测 每年产销 x 棵，已知两个品种的有关信息如表： 品种 每棵售价（万 元） 每棵成本（万 元） 每年其他费用 （万 元） 预测每年最大销 量（棵） 甲 12 a 20 160 乙 20 12 602x+0.05x2 80 其中 a 为常数，且 7a10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为 y1
28、万元，y2万元 （1）直接写出 y1与 x 的函数关系式为 y1（12a）x20， （0 x160） y2与 x 的函数关系式为 y20.05x2+10 x60 （0 x80） （2）分别求出销售这两个品种的最大年利润 （3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由 【分析】 （1）根据利润销售数量每件的利润即可解决问题 （2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题 （3）根据题意分三种情形分别求解即可判断选择哪个品种获得利润高 【解答】解： （1）y1（12a）x20， （0 x160） ， y2（2012）x60+2x0.05x20.05x2+10 x60 （0
29、x80） 故答案为：y1（12a）x20， （0 x160） ；y20.05x2+10 x60 （0 x80） ； （2）对于 y1（12a）x20， 12a0， x160 时，y1的值最大（1900160a）万元 对于 y20.05（x100）2+440， 0 x80， x80 时，y2最大值420 万元 （3）1900160a420，解得 a9.25， 1900160a420，解得 a9.25， 1900160a420，解得 a9.25， 7a10， 当 a9.25 时，选择甲乙两个品种的利润相同 当 7a9.25 时，选择甲品种利润比较高 当 9.25a10 时，选择乙品种利润比较高 2
30、5 （12 分）如图，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与 点 C 关于 x 轴对称，点 P 是抛物线上的一个动点 （1）求直线 BD 的解析式； （2）当点 P 在第一象限时，求四边形 BOCP 面积的最大值，并求出此时 P 点的坐标； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使BDP 是以 BD 为直角边的直角三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）对于 yx2+2x+3，令 x0，则 y3，令 yx2+2x+30，解得 x 1 或 3，进而求解； （2）由四边形 BOCP 面积SOBC+SPHC
31、+SPHBOBOC+PHOB3 33（x2+2x+3+x3）x2+x+，即可求解； （3）分PBD 为直角、PDB 为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可 【解答】解： （1）对于 yx2+2x+3，令 x0，则 y3，令 yx2+2x+30，解得 x1 或 3， 故点 A、B、C 的坐标分别为（1，0） 、 （3，0） 、 （0，3） ， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称，故点 D（0，3） ， 设直线 BD 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 BD 的表达式为 yx3； （2）连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 由点 B、C 的坐标，同理可得，
32、直线 BC 的表达式为 yx+3， 设点 P（x，x2+2x+3） ，则点 H（x，x+3） ， 则四边形 BOCP 面积SOBC+SPHC+SPHBOBOC+PHOB33 3（x2+2x+3+x3）x2+x+， 0，故四边形 BOCP 面积存在最大值， 当 x时，四边形 BOCP 面积最大值为，此时点 P（，） ； （3）存在，理由： 当PBD 为直角时，如上图所示， 此时点 P 与点 C 重合，过点 P 的坐标为（0，3） ； 当PDB 为直角时， 由 BD 的表达式知，直线 BD 与 x 轴的倾斜角为 45， 当PDB 为直角时，即 PDBD，则直线 PD 与 x 轴负半轴的夹角为 45， 故设直线 PD 的表达式为 yx+t， 将点 D 的坐标代入上式得，30+t，解得 t3， 故直线 PD 的表达式为 yx3， 联立并解得：x， 故点 P 的坐标为（，）或（，） ， 综上，点 P 的坐标为（，）或（，）或（0，3）
