1、2019-2020 学年浙江省湖州四中九年级（下）期中数学试卷学年浙江省湖州四中九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共题有一、选择题（共题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 127 的绝对值是（ ） A B C27 D27 22022 年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥 运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为 15.6 亿美元，政府补贴 6%（9400 万美元） 其中 1 560 000 000 用科学记数法表示为（ ） A1.56109 B1.56108 C15.6108 D0.1561010 3满足2
2、x1 的数在数轴上表示为（ ） A B C D 4下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B2a2+3a25a4 C2a2b+3a2b5a2b D2a23a2a 5用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC 的依据是（ ） ASSS BASA CSAS DAAS 6某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11 名 成员射击成绩的众数和中位数分别是（ ） A8，9 B8，8 C8，10 D9，8 7一家商店将某种服装按照成本价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服 装每件的成本是多少
3、元？设这种服装每件的成本是 x 元，则根据题意列出方程正确的是（ ） A0.8（1+40%）x15 B0.8（1+40%）xx15 C0.840%x15 D0.840%xx15 8如图，AB 是O 的直径，DB、DE 分别切O 于点 B、C，若ACE25，则D 的度数是（ ） A50 B55 C60 D65 9如图坐标系中，O（0，0） ，A（3，3） ，B（6，0） ，将OAB 沿直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在线段 OB 上的点 E 处，若 OE，则 AC：AD 的值是（ ） A1：2 B2：3 C6：7 D7：8 10如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不
4、与点 A 重合） ，且 AMAB，CBE 由 DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论： 点 M 位置变化，使得DHC60时，2BEDM； 无论点 M 运动到何处，都有 DMHM； 无论点 M 运动到何处，CHM 一定大于 135其中正确结论的序号为（ ） A B C D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是 12 （4 分）一个不透明的袋子中装有 8 个大小、形状、都一样的小球，其中有 3 个红球与 5 个黄球，从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是
5、： 13 （4 分）已知一个圆锥形纸帽的底面半径为 5cm，母线长为 10cm，则该圆锥的侧面积为 cm2（结 果保留 ） 14 （4 分）关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的值为 15 （4 分）如图，在平面直角坐标系中抛物线 yx23x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是对称轴右侧抛物线上一点，且 tanDCB3，则点 D 的坐标为 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yax，yx 与反比例函数 y（x0）分别交于点 A，B 两点，由线段 OA，OB 和函数 y（x0）在 A，B 之间的部分围成的区域（不含边界）为 W （1）当
6、A 点的坐标为（2，3）时，区域 W 内的整点为 个； （2）若区域 W 内恰有 8 个整点，则 a 的取值范围为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （）0+cos60|1| 18 （6 分）解不等式组 19 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（1，1） 、B（5，1） 、C（4，4） （1）按下列要求作图： 将ABC 向左平移 5 个单位得到A1B1C1，并写出点 A1的坐标； 将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后得到A2B2C2，并写出点 B2的坐标； （2）A1B1C1与A2B2C2
7、重合部分的面积为 （直接写出答案） 20 （8 分）为了解某校九年级全体女生“仰卧起坐”项目的成绩，随机抽取了部分女生进行测试，并将测 试成缋分为 A、B、C、D 四个等级，绘制成如图不完整的统计图、表 成绩等级人数分布表 成绩等级 人数 A a B 24 C 4 D 2 合计 b 根据以上信息解答下列问题： （1）a ，b ，表示 A 等级扇形的圆心角的度数为 度； （2）甲、乙 2 名学生的成绩都是 C 等级，如果要从 C 等级学生中随机选取 2 名加强“仰卧起坐”训练， 试求同时选中甲、乙 2 人的概率，并画出树状图或列出表格 21 （8 分）如图，在O 中，过半径 OD 的中点 C 作
8、 ABOD 交O 于 A、B 两点，且 AB （1）求 OD 的长； （2）计算阴影部分的面积 22 （10 分）第十一届全国少数民族传统体育运动会于 2019 年 9 月 8 日至 16 日在郑州举行，据了解，该赛 事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔 跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的 “第一高度” ，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚小刚站在钟楼前 C 处测得钟楼顶 A 的仰角为 53，小强站在对面的教学楼三楼上的 D 处测得钟楼顶 A 的仰角为 45，此时，两人的水平距离 EC
9、 为 4m，已知教学楼三楼所在的高度为 10m，根据测得的数据，计算钟楼 AB 的高度 （参考数据：sin53，cos53，tan53） 23 （10 分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以 卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽
10、子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不 低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 24 （12 分）平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（3， 0） ， （1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点 （1）求抛物线的解析式和 tanDAC； （2）点 E 是直线 AC 下方的抛物线上一点，且 SACE2SACD，求点 E 的坐标； （3）如图 2，若点 P 是线段 AC 上的一个动点，DPQDAC，DPDQ，则点 P 在线段 AC 上运动 时，D 点不变，Q 点随之运动求当点 P 从点 A 运动
11、到点 C 时，点 Q 运动的路径长 2019-2020 学年浙江省湖州四中九年级（下）期中数学试卷学年浙江省湖州四中九年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共题有一、选择题（共题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 127 的绝对值是（ ） A B C27 D27 【分析】根据绝对值的定义判断即可 【解答】解：27 的绝对值是 27 故选：C 22022 年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥 运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为 15.6 亿美元，政府补贴 6%（9400
12、万美元） 其中 1 560 000 000 用科学记数法表示为（ ） A1.56109 B1.56108 C15.6108 D0.1561010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1 560 000 000 用科学记数法表示为 1.56109 故选：A 3满足2x1 的数在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】2x1 表示不等式 x2 与不等式 x1 的公共部分实心圆点
13、包括该点，空心圆圈不包括 该点，大于向右小于向左两个不等式的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解：由于 x2，所以表示2 的点应该是空心点，折线的方向应该是向右 由于 x1，所以表示 1 的点应该是实心点，折线的方向应该是向左 所以数轴表示的解集为： 故选：B 4下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B2a2+3a25a4 C2a2b+3a2b5a2b D2a23a2a 【分析】根据合并同类项法则逐一判断即可 【解答】解：A.2a 与 3b 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B.2a2+3a25a2，故本选项不合题意； C.2a2b+3a2b5a2b，正确； D.2a23a
14、2a2，故本选项不合题意 故选：C 5用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC 的依据是（ ） ASSS BASA CSAS DAAS 【分析】连接 NC，MC，根据 SSS 证ONCOMC，即可推出答案 【解答】解：连接 NC，MC， 在ONC 和OMC 中， ONCOMC（SSS） ， AOCBOC， 故选：A 6某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11 名 成员射击成绩的众数和中位数分别是（ ） A8，9 B8，8 C8，10 D9，8 【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个
15、数（或最中间的两个 数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出 【解答】解：由条形统计图知 8 环的人数最多， 所以众数为 8 环， 由于共有 11 个数据， 所以中位数为第 6 个数据，即中位数为 8 环， 故选：B 7一家商店将某种服装按照成本价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服 装每件的成本是多少元？设这种服装每件的成本是 x 元，则根据题意列出方程正确的是（ ） A0.8（1+40%）x15 B0.8（1+40%）xx15 C0.840%x15 D0.840%xx15 【分析】首先设这种服装每件的成本
16、价是 x 元，根据题意可得等量关系：进价（1+40%）8 折进价 利润 15 元，根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设这种服装每件的成本价是 x 元，由题意得： 0.8（1+40%）xx15 故选：B 8如图，AB 是O 的直径，DB、DE 分别切O 于点 B、C，若ACE25，则D 的度数是（ ） A50 B55 C60 D65 【分析】连接 BC，由弦切角定理得ACEABC，再由切线的性质求得DBC，最后由切线长定理求 得D 的度数 【解答】 解：连接 BC， DB、DE 分别切O 于点 B、C， BDDC， ACE25， ABC25， AB 是O 的直径， ACB90， DBCDCB
17、902565， D50 故选：A 9如图坐标系中，O（0，0） ，A（3，3） ，B（6，0） ，将OAB 沿直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在线段 OB 上的点 E 处，若 OE，则 AC：AD 的值是（ ） A1：2 B2：3 C6：7 D7：8 【分析】过 A 作 AFOB 于 F，如图所示：根据已知条件得到 AF3，OF3，OB6，求得AOB 60，推出AOB 是等边三角形，得到AOBABO60，根据折叠的性质得到CEDOAB 60，求得OCEDEB，根据相似三角形的性质得到 BEOBOE6，设 CEa，则 CAa，CO6a，EDb，则 ADb，DB6b，于是得到结论 【解答】解：过
18、 A 作 AFOB 于 F，如图所示： A（3，3） ，B（6，0） ， AF3，OF3，OB6， BF3， OFBF， AOAB， tanAOBOF， AOB60， AOB 是等边三角形， AOBABO60， 将OAB 沿直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在线段 OB 上的点 E 处， CEDOAB60， OCEDEB， CEOEDB， ， OE， BEOBOE6， 设 CEa，则 CAa，CO6a，EDb，则 ADb，DB6b， 则， 6b30a5ab，24a30b5ab， 得：24a6b30b30a， ， 即 AC：AD2：3 故选：B 10如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA
19、 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 AMAB，CBE 由 DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论： 点 M 位置变化，使得DHC60时，2BEDM； 无论点 M 运动到何处，都有 DMHM； 无论点 M 运动到何处，CHM 一定大于 135其中正确结论的序号为（ ） A B C D 【分析】先判定MEHDAH，即可得到DHM 是等腰直角三角形，进而得出 DMHM；依据当 DHC60时， ADH604515， 即可得到 RtADM 中， DM2AM， 即可得到 DM2BE； 依据点 M 是边 BA 延长线上的动点， 且 AMAB， 可得AHMBAC45， 即可
20、得出CHM135 【解答】解：由题可得，AMBE， ABEMAD， 四边形 ABCD 是正方形，EHAC， EMAD，AHE90，MEHDAH45EAH， EHAH， MEHDAH（SAS） ， MHEDHA，MHDH， MHDAHE90，DHM 是等腰直角三角形， DMHM，故正确； 当DHC60时，ADH604515， ADM451530， RtADM 中，DM2AM， 即 DM2BE，故正确； 点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） ，且 AMAB， AHMBAC45， CHM135，故正确； 由上可得正确结论的序号为 故选：D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6
21、小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意得，x10， 解得 x1 故答案为 x1 12 （4 分）一个不透明的袋子中装有 8 个大小、形状、都一样的小球，其中有 3 个红球与 5 个黄球，从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是： 【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率 【解答】解：在口袋中放有 3 个红球与 5 个黄球，共 8 个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中 任取一个球， 从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是： 故答
22、案为： 13 （4 分）已知一个圆锥形纸帽的底面半径为 5cm，母线长为 10cm，则该圆锥的侧面积为 50 cm2（结 果保留 ） 【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解 【解答】解：圆锥的底面周长是：2510， 则圆锥的侧面积是：101050（cm2） 故答案是：50 14 （4 分）关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的值为 m2 且 m4 【分析】解分式方程，用含 m 的代数式表示出 x，根据解为正数，得不等式，求解不等式即可 【解答】解：去分母，得 7x+5（x1）2m1， 整理，得 6xm+2 解得 x 方程的解为正数，且 x1 0 且1 解得 m2 且
23、 m4 故答案为：m2 且 m4 15 （4 分）如图，在平面直角坐标系中抛物线 yx23x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是对称轴右侧抛物线上一点，且 tanDCB3，则点 D 的坐标为 （，） 【分析】根据抛物线 yx23x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，得 A（1，0） ，B（2，0） ，C （0，2） ， 过点 B 作 BMBC 交 CD 延长线于点 M，过点 M 作 MGx 轴于点 G， 易证等腰直角三角形 OCB等腰直角三角形 GBM，可得 M（8，6） ， 再求得直线 CM 的解析式为 y+2，联立直线和抛物线， 解方程
24、组即可得点 D 的坐标 【解答】解：抛物线 yx23x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 解得 A（1，0） ，B（2，0） ，C（0，2） ， OBOC OBC45， 如图， 过点 B 作 BMBC 交 CD 延长线于点 M， 过点 M 作 MGx 轴于点 G， COBMGB90 CBO+MBG90 MBG45 MGBG 等腰直角三角形 OCB等腰直角三角形 GBM tanDCB3 BG6 MG6 M（8，6） 设直线 CM 解析式为 ykx+b， 把 C（0，2） ，M（8，6）代入， 解得 k，b2 所以直线 CM 的解析式为 y+2 联立 解得， D（，） 故答
25、案为（，） 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yax，yx 与反比例函数 y（x0）分别交于点 A，B 两点，由线段 OA，OB 和函数 y（x0）在 A，B 之间的部分围成的区域（不含边界）为 W （1）当 A 点的坐标为（2，3）时，区域 W 内的整点为 2 个； （2）若区域 W 内恰有 8 个整点，则 a 的取值范围为 4a5 或a 【分析】 （1）把 A 点坐标代入 yax，得出直线直线 yax 和 yx 的解析式，作出函数图象，再根据 定义求出区域 W 的整点个数便可； （2）直线 yax，yx 关于 yx 对称，当区域 W 内恰有 8 个整点，则在直线 y
26、x 上方与下方各有 3 个整点，进而求解 【解答】解： （1）如图，A（2，3） ， 32a， a， 直线 OA：yx， 直线 OB：yx， 当x时， 解得：x3，或 x3（负值舍去） ， B（3，2） ， 故区域 W 内的整点个数有（1，1） ， （2，2）共 2 个， 故答案为：2； （2）直线 yax，yx 关于 yx 对称， y与 yx 的在第一象限的交点为（，） ， 在 W 区域内有点（1，1） ， （2，2） ， 区域 W 内恰有 8 个整点， 在直线 yx 上方与下方各有 3 个整点即可， （2，3） ， （3，2）在 y上， 整点为（1，2） ， （2，1） ， （1，3） ，
27、 （3，1） ， （1，4） ， （4，1） ， 当点（1，4）在 yax 上时，a4，当点（1，5）在 yax 上时，a5， 4a5； 当点（1，4）在 yx 上时，a，当点（1，5）在 yx 上时，a， a； 故答案为：4a5 或a 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （）0+cos60|1| 【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值 【解答】解：原式1+（1） 1+1 18 （6 分）解不等式组 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
28、小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式，得：x， 解不等式，得：x0， 不等式组的解集为x0 19 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（1，1） 、B（5，1） 、C（4，4） （1）按下列要求作图： 将ABC 向左平移 5 个单位得到A1B1C1，并写出点 A1的坐标； 将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后得到A2B2C2，并写出点 B2的坐标； （2）A1B1C1与A2B2C2重合部分的面积为 （直接写出答案） 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； 直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用旋转
29、的性质得出重合部分边长关系进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求，点 A1（4，1） ； 如图所示：A2B2C2，点 B2（1，5） ； （2）A2C2A1C1且交点到 A1，C1的距离相等， 设A1B1C1与A2B2C2重合部分的边长为 x，则 x2+x29， 解得：x， 故A1B1C1与A2B2C2重合部分的面积为： 故答案为： 20 （8 分）为了解某校九年级全体女生“仰卧起坐”项目的成绩，随机抽取了部分女生进行测试，并将测 试成缋分为 A、B、C、D 四个等级，绘制成如图不完整的统计图、表 成绩等级人数分布表 成绩等级 人数 A a B 24 C 4 D 2
30、 合计 b 根据以上信息解答下列问题： （1）a 10 ，b 40 ，表示 A 等级扇形的圆心角的度数为 90 度； （2）甲、乙 2 名学生的成绩都是 C 等级，如果要从 C 等级学生中随机选取 2 名加强“仰卧起坐”训练， 试求同时选中甲、乙 2 人的概率，并画出树状图或列出表格 【分析】 （1）先由 C 等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据各等级人数之和等于总人数求出 a 的 值，最后用 360 度乘以所占比例，即可得出结论； （2）根据题意画出树状图，即可得到结论 【解答】解： （1）被调查的人数 b410%40（人） ， a40（24+4+2）10， 则表示 A 等级扇形的圆心角
31、的度数为 36090， 故答案为：10、40、90； （2）设 C 等级中的 4 名同学分别为甲、乙、丙、丁， 画树状图如图所示， 共有 12 种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有 2 种情况， 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为 21 （8 分）如图，在O 中，过半径 OD 的中点 C 作 ABOD 交O 于 A、B 两点，且 AB （1）求 OD 的长； （2）计算阴影部分的面积 【分析】 （1）根据垂径定理得到 ACBCAB，再利用三角函数的定义求出COB60，则根 据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OC1，OB2OC2，从而得到 OD 的长； （2）根据扇形的面积公式
32、，利用阴影部分的面积S扇形BODSCOB进行计算 【解答】解： （1）ABOD， OCB90，ACBCAB， 点 C 为 OD 的中点， OCOB， cosCOB， COB60， OCBC1， OB2OC2， ODOB2； （2）阴影部分的面积S扇形BODSCOB 1 22 （10 分）第十一届全国少数民族传统体育运动会于 2019 年 9 月 8 日至 16 日在郑州举行，据了解，该赛 事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔 跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的 “第一高度” ，寓意来自五
33、湖四海的郑大人的团结和凝聚小刚站在钟楼前 C 处测得钟楼顶 A 的仰角为 53，小强站在对面的教学楼三楼上的 D 处测得钟楼顶 A 的仰角为 45，此时，两人的水平距离 EC 为 4m，已知教学楼三楼所在的高度为 10m，根据测得的数据，计算钟楼 AB 的高度 （参考数据：sin53，cos53，tan53） 【分析】作 DFAB 于 F，根据矩形的性质得到 FBDE10，DFBE，根据等腰直角三角形的性质、 正切的定义计算，得到答案 【解答】解：作 DFAB 于 F， 设 ABxm， FBEB，DEEB，DFAB， 四边形 FBED 为矩形， FBDE10，DFBE， AF10 x， 在 R
34、tAFD 中，ADF45， DFAFx10， 在 RtABC 中，ACB53，tanACB， BCx， 由题意得，BEBCCE，即 x10 x4， 解得，x56， 答：钟楼 AB 的高度约为 56m 23 （10 分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以 卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大
35、？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不 低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【分析】 （1）根据“当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖 出 20 盒”即可得出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润1 盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的 P 与 x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于 58 元，且每天销售 粽子的利润不低于 6000 元，求出
36、 x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量 y（盒）与每盒售价 x （元）之间的函数关系式即可求解 【解答】解： （1）由题意得，y70020（x45）20 x+1600（45x80 ） ； （2）P（x40） （20 x+1600）20 x2+2400 x6400020（x60）2+8000， x45，a200， 当 x60 时，P最大值8000 元， 即当每盒售价定为 60 元时，每天销售的利润 P（元）最大，最大利润是 8000 元； （3）由题意，得20（x60）2+80006000， 解得 x150，x270 抛物线 P20（x60）2+8000 的开口向下， 当 50 x70
37、时，每天销售粽子的利润不低于 6000 元的利润 又x58， 50 x58 在 y20 x+1600 中，k200， y 随 x 的增大而减小， 当 x58 时，y最小值2058+1600440， 即超市每天至少销售粽子 440 盒 24 （12 分）平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（3， 0） ， （1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点 （1）求抛物线的解析式和 tanDAC； （2）点 E 是直线 AC 下方的抛物线上一点，且 SACE2SACD，求点 E 的坐标； （3）如图 2，若点 P 是线段 AC 上的一
38、个动点，DPQDAC，DPDQ，则点 P 在线段 AC 上运动 时，D 点不变，Q 点随之运动求当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 Q 运动的路径长 【分析】 （1）将点 A（3，0） ，B（1，0）分别代入抛物线 yax2+bx+3 可解的 a，b 的值，从而得到解 析式，tanDAC，可根据表达式求出 C，D 的坐标然后计算 DC 和 AC 的长度计算； （2） 可取一点 E， 过 E 作 EF 平行于 x 轴， 交 AC 于 F 此时可表示出 SACE， 根据类方程 SACE2SACD， 求 E 点坐标即可； （3）根据题能得到 Q 的运动轨迹为直线，且当 P 在 A 处时 Q 在
39、 C 处，当 P 运动到 C 处时，可以得到 ADCPQD，根据形似性质可得到 PQ 长度即为 Q 的运动路径长 【解答】解： （1）将 A（3，0） ，B（1，0）分别代入抛物线 yax2+bx+3 可得： ，解得； 抛物线解析式为 yx22x+3， D（1，4） ，C（0，3） ； AC，DC； tanDAC （2）如图 1 所示，过 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，设点 E（m，m22m+3） ，直线 AC 的表达式为 y kx+n， 将 A（3，0） ，C（0，3）分别代入 ykx+n 可得： ，解得， 直线 AC 表达式为 yx+3， F（m22m，m22m+3） ， EFm+m2+2mm2+3m， SACE（xCxA）EF， SACDACCD3， SACE（xCxA）EF2SACD6， （m2+3m）6， 解得 m11，m24（舍） ， E（1，0） （3）如图 2 所示 DPQDAC，DPDQ， ADCPQD， ， PQ
