1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 43 讲讲 用综合法求角与距离用综合法求角与距离 一、课程标准 1、 理解空间角的概念，理解空间内的平行与垂直关系 2、掌握用传统方法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的常见方法 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直 角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围： 0， 2 . 2. 线面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，当一条直 线垂直于平面时，规定它们所成的角
2、是直角 3. 二面角 以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角 4. 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离 三、自主热身、归纳总结 1、已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) A. 1 6 B. 3 6 C. 1 3 D. 3 3 2、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 2 5
3、C. 3 5 D. 4 5 第 2 页 / 共 10 页 3、 在长方体ABCDA1B1C1D1中， ABBC2， AA11， 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 2 3 4、如图，已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的 正弦值为( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 10 5 D. 10 10 5、 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长都相等，则二面角 A1BCA 的平面角的正切值为_ 四、例题选讲 考点一 异面直线所成的角 例1 在长方体AB
4、CDA1B1C1D1中， ABBC1， AA1 3， 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 变式 1、如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，PAAD，PAAD，则异 面直线 PB 与 AC 所成的角为( ) 第 3 页 / 共 10 页 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 方法总结：用平移法求异面直线所成的角的步骤：一作，即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二 证，即证明作出的角是异面直线所成的角；三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角， 则它就是要求的角，如果
5、求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 考点二 直线与平面所成的角 例 2 如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD底面 BCD，BCCD，ABAD4，BC6，BD4 3， 则直线 AC 与底面 BCD 所成角的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 变式 1、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 变式 2、 2019 杭州模拟在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC120 ，ABAC1，PA 2，则直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为( ) A. 2
6、 5 5 B. 2 2 3 C. 5 5 D. 1 3 第 4 页 / 共 10 页 变式 3、 如图， 在三棱台 ABCDEF 中， 平面 BCFE平面 ABC， ACB90 ， BEEFFC1， BC2， AC3. (1)求证：BF平面 ACFD； (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 方法总结：求直线与平面所成角的关键是寻找斜线在平面上的射影，要善于根据题意寻找平面的垂线，通 常方法：一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直；二、找已知平面的垂面，再利用面面垂直的性 质转化为线面垂直有时作面的垂线较繁杂，可以不作面的垂线，利用空间的数量关系直接求点到面的距 离，进而在直
7、角三角中直接求线面角 常见求解步骤是先作图，证明垂直关系，交代所求角，再在直角三角形中求得所求角 其易错点是平面的斜线与平面所成角是锐角 考点三 二面角 第 5 页 / 共 10 页 例 3 如图，已知在三棱锥 SABC 中，SASBCACB 3，AB2，SC 2，则二面角 SABC 的 平面角的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 变式 1、如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1平面 ABC，BAC90 ，ACABAA1，E 是 BC 的中 点 (1) 求证：AEB1C； (2) 求异面直线 AE 与 A1C 所成的角的大小； (3) 若 G 为 C1C 的中点
8、，求二面角 CAGE 的正切值 变式 2 如图，锐二面角 l 的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都 垂直于 AB.已知 AB4，ACBD6，CD8，则锐二面角 l 的平面角的余弦值是( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 变式 3、如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 BCDE平面 ABC，BEEC，BC2，AB4，ABC60 . 第 6 页 / 共 10 页 (1)求证：BE平面 ACE； (2)若直线 CE 与平面 ABC 所成的角为 45 ，求二面角 EABC 的余弦值 变式 4、如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中
9、，底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1， 顶点 D1在底面 ABCD 内的射影恰为点 C. (1)求证：AD1BC； (2)若直线 DD1与直线 AB 所成的角为 3，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值 方法总结：求二面角方法一：利用定义作出二面角的平面角，转换为在三角形中来求方法二：分别求出 二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意 第 7 页 / 共 10 页 结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 考点四 点到平面的距离 例 4、若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1，AB1与底
10、面 ABCD 所成角的大小为 60 ，则 A1C1到底 面 ABCD 的距离为( ) A. 3 3 B. 1 C. 2 D. 3 变式 1、已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6，P 是 AA1的中点，Q 是BDC1内的动点，若 PQBC1， 则点 Q 到平面 A1B1C1D1的距离的取值范围是( ) A. 3，5 B. 9 2，6 C. 4，5 D. 2 3，6 变式 2、 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， 且 AD2， AB1， PA平面 ABCD， E，F 分别是线段 AB，BC 的中点 (1)证明：PFFD； (2)若 PA1，求点 E 到平面
11、 PFD 的距离 变式 3、如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且DAB60 ，EAEDAB2EF 2，EFAB，M 为 BC 的中点 (1)求证：FM平面 BDE； (2)若平面 ADE平面 ABCD，求点 F 到平面 BDE 的距离 第 8 页 / 共 10 页 方法总结：求点到平面的距离，方法一：根据面面垂直的性质直接作出距离求解，方法二：利用等体积法 换顶点来求解 五、优化提升与真题演练 1、 （2018 全国高考）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1 所成角的余弦值为( ) A. 1 5 B. 5 6 C
12、. 5 5 D. 2 2 第 1 题图 2、 （2018 天津高考）如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB2，AD2 3，BAD90 . (1)求证：ADBC； (2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； (3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 第 9 页 / 共 10 页 3、 （2018 全国高考）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 4、直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60 ，E、M、N 分别是 BC、BB1、 第 10 页 / 共 10 页 A1D 的中点 (1) 证明：MN平面 C1DE； (2) 求点 C 到平面 C1DE 的距离
