1、2020-2021 学年湖南省岳阳市经开区九年级（上）期中数学试卷学年湖南省岳阳市经开区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 8 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 1下列方程中，是一元二次方程是（ ） A2x+3y4 Bx20 Cx22x+10 Dx+2 2关于 y 与 x 的反比例函数 y中，k（ ） A1 B1 C D 3若关于 x 的一元二次方程 kx22x+0 有两个实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 Ck4 且 k0 Dk4 且 k0 4新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现 1 人感染病毒后如果不隔离，那么
2、经过两轮传染将会有 225 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，则 x 为（ ） A14 B15 C16 D17 5已知 abcd，则下列各式不成立的是（ ） A B C D 6下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A3cm，6cm，7cm，9cm B2cm，5cm，0.6dm，8cm C3cm，9cm，1.8dm，6cm D1cm，2cm，3cm，4cm 7下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A两个等边三角形 B两个等腰直角三角形 C两个长方形 D两个正方形 8反比例函数 y（a0，a 为常数）和 y在第一象限内的图象如图所示，点 M 在 y的图象上， MCx 轴于点 C，交 y的图象于
3、点 A；MDy 轴于点 D，交 y的图象于点 B，当点 M 在 y的 图象上运动时，以下结论： SODBSOCA； 四边形 OAMB 的面积不变； 当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 8 小题，每题小题，每题 4 分，共计分，共计 32 分）分） 9 （4 分）将一元二次方程 3（1+x）23x+7 化为一般形式： 10（4分） 已知函数y （m2）是反比例函数， 且当x0时， y随x的增大而减小， 则m的值是 11 （4 分）若一个直角三角形的斜边长是方程 x2+5015x 的
4、一个根，且其中的一条直角边长为 3，则该直 角三角形的另一直角边长为 12 （4 分）已知一元二次方程 x23x20 的两个实数根为 x1，x2，则（x1+x2）+x1x2的值是 13 （4 分）2020 年 9 月 8 日，国家主席、军委主席、总书记习近平同志为“共和国勋章”获得者钟南山， “人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇、陈薇颁奖，每两人之间都握了一次手，一共 5 人共 握手 次 14 （4 分）如果在比例尺为 1：1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米，那么 A、B 两地的 实际距离是 千米 15 （4 分）矩形的两边长分别为 x 和 6（x6）
5、 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形 与原矩形相似，则 x 16 （4 分）在 RtABC 中，B90，AB6 厘米，BC3 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，如果点 P，Q 分别从 A， B 两点同时出发，则经过 秒钟后，P，Q 两点间距离为 4厘米 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 8 小题，共计小题，共计 64 分）分） 17 （8 分）解下列方程： （1）x22x80； （2）2x23x10 18 （6 分）如图，AD 与 BC 相交于点 E，点
6、 F 在 BD 上，且 ABEFCD，若 EF2，CD3，则 AB 的 长为多少？ 19 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a10 （1）当该方程的一个根为3 时，求 a 的值及该方程的另一根 （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根 20 （8 分）某商店销售一款口罩，每袋的进价为 12 元，计划售价大于 12 元但不超过 22 元，通过试场调查 发现，这种口罩每袋售价提高 1 元，日均销售量降低 5 袋，当售价为 18 元时，日均销售量为 50 袋 （1）在售价为 18 元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高 x 元，则日均销售量是 袋； （用含 x 的代数式表示） （
7、2）要想销售这种口罩每天赢利 275 元，该商场每袋口罩的售价要定为多少元？ 21 （8 分）环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最 高允许值 1.0mg/l 时， 环保局要求该企业立即整改， 必须在 15 天以内 （含 15 天） 排污达标 整改过程中， 所排污水中硫化物的浓度 y（mg/l）与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前 5 天的变 化规律，从第 5 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关系 （1）求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？
8、22 （6 分）在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长 m 与身高 l）比例越接近 0.618 越给人以美感，某女士身高 165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是 0.60，为尽可能达 到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美 （结果保留整数） 23 （10 分）在ABC 中，ACB90，BE 是 AC 边上的中线，点 D 在射线 BC 上 发现：如图 1，点 D 在 BC 边上，CD：BD1：2，AD 与 BE 相交于点 P，过点 A 作 AFBC，交 BE 的 延长线于点 F，易得的值为 解决问题：如图 2，在ABC 中，ACB90，点 D 在
9、 BC 的延长线上，AD 与 AC 边上的中线 BE 的 延长线交于点 P，DC：BC1：2求的值： 应用：若 CD2，AC6，则 BP 24 （10 分）如图，已知直线 yx，与双曲线 y（k0）交于 A、B 两点，且 A 点的横坐标为 4 （1）求 k 的值及 B 点的坐标； （2）若双曲线 y（k0）上一点 C 的纵坐标为 2，求AOC 的面积； （3）在 x 轴上找一点 P，使以点 O、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形，试写出 P 点的坐标 2020-2021 学年湖南省岳阳市经开区九年级（上）期中数学试卷学年湖南省岳阳市经开区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试
10、题解析 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 8 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 1下列方程中，是一元二次方程是（ ） A2x+3y4 Bx20 Cx22x+10 Dx+2 【分析】一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是 整式方程； （4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； C、含有不等号，不是一元二次方程； D、含有分式，不是一元二次方程 故选：B 2关于 y 与
11、x 的反比例函数 y中，k（ ） A1 B1 C D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出 k 的值，本题得以解决 【解答】解：反比例函数 y中， k， 故选：C 3若关于 x 的一元二次方程 kx22x+0 有两个实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 Ck4 且 k0 Dk4 且 k0 【分析】根据根的判别式和已知得出0 且 k0，求出解集即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x+0 有两个实数根， （2）24k0，k0， 解得：k4 且 k0， 故选：D 4新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现 1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有 225
12、 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，则 x 为（ ） A14 B15 C16 D17 【分析】此题可设 1 人平均感染 x 人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染 x（x+1）+x+1（x+1） （x+1）人，根据题意列方程，然后解方程即可得到结论 【解答】解：设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程： （1+x）2225 解得：x114，x216（不合题意舍去） ， 答：x 为 14， 故选：A 5已知 abcd，则下列各式不成立的是（ ） A B C D 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解 【解答】解：A、，abcd，不符合题意； B、，abcd，不
13、符合题意； C、，abcd，不符合题意； D、，cd+c+dab+a+b，符合题意 故选：D 6下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A3cm，6cm，7cm，9cm B2cm，5cm，0.6dm，8cm C3cm，9cm，1.8dm，6cm D1cm，2cm，3cm，4cm 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分 析，排除错误答案 【解答】解：A、3967，故错误； B、0.6dm6cm，2856，故错误； C、1.8dm18cm，31869，故正确； D、1423，故错误 故选：C 7下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A两个等边三角形
14、B两个等腰直角三角形 C两个长方形 D两个正方形 【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误； B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误； C、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确； D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误 故选：C 8反比例函数 y（a0，a 为常数）和 y在第一象限内的图象如图所示，点 M 在 y的图象上， MCx 轴于点 C，交 y的图象于点 A；MDy 轴于点 D，交 y的图
15、象于点 B，当点 M 在 y的 图象上运动时，以下结论： SODBSOCA； 四边形 OAMB 的面积不变； 当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由反比例系数的几何意义可得答案； 由四边形 OAMB 的面积矩形 OCMD 面积（三角形 ODB 面积+面积三角形 OCA） ，解答可知； 连接 OM，点 A 是 MC 的中点可得OAM 和OAC 的面积相等，根据ODM 的面积OCM 的面 积、ODB 与OCA 的面积相等解答可得 【解答】解：由于 A、B 在同一反比例函数 y图象上，则ODB 与OCA 的面积相等，都
16、为2 1，正确； 由于矩形 OCMD、三角形 ODB、三角形 OCA 为定值，则四边形 MAOB 的面积不会发生变化，正确； 连接 OM，点 A 是 MC 的中点， 则OAM 和OAC 的面积相等， ODM 的面积OCM 的面积，ODB 与OCA 的面积相等， OBM 与OAM 的面积相等， OBD 和OBM 面积相等， 点 B 一定是 MD 的中点正确； 故选：D 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 8 小题，每题小题，每题 4 分，共计分，共计 32 分）分） 9 （4 分）将一元二次方程 3（1+x）23x+7 化为一般形式： 3x2+3x40 【分析】首先利用完全平方公式把（x+
17、1）2展开，再移项，把等号右边化为 0 即可 【解答】解：3（x+1）23x+7， 3x2+6x+33x70， 3x2+3x40， 故答案为：3x2+3x40 10 （4 分）已知函数 y（m2）是反比例函数，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的值是 3 【分析】根据函数 y（m2）是反比例函数，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，可以得到 ，从而可以求得 m 的值 【解答】解：函数 y（m2）是反比例函数，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， ， 解得 m3， 故答案为：3 11 （4 分）若一个直角三角形的斜边长是方程 x2+5015x 的一个根，且其中的一条直
18、角边长为 3，则该直 角三角形的另一直角边长为 4 或 【分析】先利用因式分解法解方程 x215x+500 得直角三角形的斜边为 5 或 10，然后利用勾股定理计 算该直角三角形的另一直角边长 【解答】解：解方程 x215x+500 得 x15，x210， 即直角三角形的斜边为 5 或 10， 当斜边为 5，一条直角边长为 3，则该直角三角形的另一直角边长为4； 当斜边为 10，一条直角边长为 3，则该直角三角形的另一直角边长为， 综上所述，该直角三角形的另一直角边长为 4 或 故答案为 4 或 12 （4 分）已知一元二次方程 x23x20 的两个实数根为 x1，x2，则（x1+x2）+x1
19、x2的值是 1 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x23，x1x22，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 x1+x23，x1x22， 所以（x1+x2）+x1x23+（2）1 故答案为 1 13 （4 分）2020 年 9 月 8 日，国家主席、军委主席、总书记习近平同志为“共和国勋章”获得者钟南山， “人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇、陈薇颁奖，每两人之间都握了一次手，一共 5 人共 握手 10 次 【分析】设一共 5 人共握手 x 次，根据题意列方程即可得到结论 【解答】解：设一共 5 人共握手 x 次， 根据题意得，5（52）x， 解得 x10， 答：一共
20、 5 人共握手 10 次， 故答案为：10 14 （4 分）如果在比例尺为 1：1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 3.4 厘米，那么 A、B 两地的 实际距离是 34 千米 【分析】实际距离图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离 【解答】解：根据题意，3.43400000（厘米）34（千米） 即实际距离是 34 千米 故答案为：34 15 （4 分）矩形的两边长分别为 x 和 6（x6） ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形 与原矩形相似，则 x 2 【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论 【解答】解：原矩形的长为 6，宽为 x， 小矩形的
21、长为 x，宽为， 小矩形与原矩形相似， x2 故答案为：2 16 （4 分）在 RtABC 中，B90，AB6 厘米，BC3 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，如果点 P，Q 分别从 A， B 两点同时出发，则经过 秒钟后，P，Q 两点间距离为 4厘米 【分析】设 t 秒后 PQ4，则 BP6t，BQ2t，在直角BPQ 中，根据勾股定理 BP2+BQ2PQ2 可求 t 的值 【解答】解：设 t 秒后 PQ4， 则 BP6t，BQ2t， B90， PB2+BQ2PQ2， （6t）2
22、+（2t）2（4）2， 解得 t或 2（舍弃） 答：秒后 PQ 间的距离为 4， 故答案为： 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 8 小题，共计小题，共计 64 分）分） 17 （8 分）解下列方程： （1）x22x80； （2）2x23x10 【分析】 （1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可 【解答】解： （1）x22x80， （x4） （x+2）0， x40，x+20， x14，x22； （2）2x23x10， x， ， 18 （6 分）如图，AD 与 BC 相交于点 E，点 F 在 BD 上，且 ABEFCD，若 EF2，CD3，则 AB 的 长为多少？ 【分
23、析】根据 EFCD，得出，再根据 ABEF，得出，然后代值计算即可得出答案 【解答】解：EFCD， ， EF2，CD3， ， ABEF， ， AB6 故答案为：6 19 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a10 （1）当该方程的一个根为3 时，求 a 的值及该方程的另一根 （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根 【分析】 （1）将 x3 代入原方程即可求出 a 值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一根； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出0，由此即可证出不论 a 取何实数，该方程都有两 个实数根 【解答】 （1）解：将 x3 代入原方程，得：93a+a10
24、， 解得：a4， 方程的另一根为a（3）4+31 答：a 的值为 4，方程的另一根为1 （2）证明：a24（a1）a24a+4（a2）20，即0， 不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根 20 （8 分）某商店销售一款口罩，每袋的进价为 12 元，计划售价大于 12 元但不超过 22 元，通过试场调查 发现，这种口罩每袋售价提高 1 元，日均销售量降低 5 袋，当售价为 18 元时，日均销售量为 50 袋 （1）在售价为 18 元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高 x 元，则日均销售量是 （505x） 袋； （用含 x 的代数式表示） （2）要想销售这种口罩每天赢利 275 元，该商场每袋口
25、罩的售价要定为多少元？ 【分析】 （1）根据日均销售量505提高的价格，即可得出结论； （2）根据每天的利润每袋口罩的销售利润日均销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其 较小值即可得出结论 【解答】解： （1）这种口罩每袋售价提高 1 元，日均销售量降低 5 袋，当售价为 18 元时，日均销售量 为 50 袋， 在售价为 18 元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高 x 元，则日均销售量是（505x）袋 故答案为： （505x） （2）依题意，得： （1812+x） （505x）275， 整理，得：x24x50， 解得：x11，x25 当 x1 时，18+x17，符合题意； 当 x5
26、 时，18+x2322，不符合题意，舍去 答：该商场每袋口罩的售价要定为 17 元 21 （8 分）环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最 高允许值 1.0mg/l 时， 环保局要求该企业立即整改， 必须在 15 天以内 （含 15 天） 排污达标 整改过程中， 所排污水中硫化物的浓度 y（mg/l）与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前 5 天的变 化规律，从第 5 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关系 （1）求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （2）该企业能否按期将排污整改达标？为什
27、么？ 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）当 x15 时，y1，即可求解 【解答】解： （1）由图象知，点 A、B 的坐标分别为（0，14） 、 （4，5） ， 当 0 x5 时，设 AB 的表达式为 ykx+b， 将点 A、B 的坐标代入上式得，解得， 故 y2x+14； 当 x5 时，设函数的表达式为 y， 把点 B 的坐标（4，5）代入上式并解得：k20， 故 y； 故函数的表达式为 y； （2）不能，理由： 当 x15 时，y1， 故不能按期完成排污整改达标 22 （6 分）在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长 m 与身高 l）比例越接近 0.618 越
28、给人以美感，某女士身高 165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是 0.60，为尽可能达 到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美 （结果保留整数） 【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于 0.618 即可求解 【解答】解：根据已知条件可知： 下半身长是 1650.699（厘米） ， 设需要穿的高跟鞋为 y 厘米，则根据黄金分割定义，得 0.618， 解得：y7.88， 经检验 y7.8 是原方程的根， 答：她应该选择大约 8 厘米的高跟鞋 23 （10 分）在ABC 中，ACB90，BE 是 AC 边上的中线，点 D 在射线 BC 上 发现：如图 1，点 D
29、 在 BC 边上，CD：BD1：2，AD 与 BE 相交于点 P，过点 A 作 AFBC，交 BE 的 延长线于点 F，易得的值为 解决问题：如图 2，在ABC 中，ACB90，点 D 在 BC 的延长线上，AD 与 AC 边上的中线 BE 的 延长线交于点 P，DC：BC1：2求的值： 应用：若 CD2，AC6，则 BP 6 【分析】发现：易证AEFCEB，则有 AFBC设 CDk，则 DB2k，AFBC3k，由 AFBC 可得APFDPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值； 解决问题： （1）过点 A 作 AFDB，交 BE 的延长线于点 F，设 DCk，由 DC：BC1：2 得 BC
30、2k， DBDC+BC3k易证AEFCEB，则有 EFBE，AFBC2k易证AFPDBP，然后根据 相似三角形的性质就可求出的值； （2）当 CD2 时，可依次求出 BC、AC、EC、EB、EF、BF 的值，然后根据的值求出的值，就 可求出 BP 的值 【解答】解：发现：如图 1 中，AFBC， FEBC， AEFBEC，AEEC， AEFCEB（AAS） ， AFBC 设 CDk，则 DB2k，AFBC3k， 由 AFBC 可得APFDPB， 即可得到 故答案为：； 解决问题：如图 2 中， 过点 A 作 AFDB，交 BE 的延长线于点 F，如图， 设 DCk，由 DC：BC1：2 得 B
31、C2k，DBDC+BC3k E 是 AC 中点， AECE AFDB， F1 在AEF 和CEB 中， ， AEFCEB， EFBE，AFBC2k AFDB， AFPDBP， 当 CD2 时，BC4，AC6， ECAC3，EB5， EFBE5，BF10 （已证） ， ， BPBF106 故答案为 6 24 （10 分）如图，已知直线 yx，与双曲线 y（k0）交于 A、B 两点，且 A 点的横坐标为 4 （1）求 k 的值及 B 点的坐标； （2）若双曲线 y（k0）上一点 C 的纵坐标为 2，求AOC 的面积； （3）在 x 轴上找一点 P，使以点 O、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形，试
32、写出 P 点的坐标 【分析】 （1）由于 A 点的横坐标为 4，所以把 x4 代入 yx 得 y1，得到 A 点坐标为（4，1） ，再把 A 点坐标代入反比例函数解析式可求出 k 的值；然后利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称 确定 B 点坐标； （2）作 CDx 轴于 D，AEx 轴于 E，先确定 C 点坐标为（2，2） ，根据反比例函数的比例系数的几何 意义得到 SOCDSOAE42，再利用 SOCD+S梯形CDEASOAE+SAOC，得到 SAOCS梯形CDEA， 然后根据梯形的面积公式进行计算； （3）分类讨论：当 OCOP 时，OCP 是等腰三角形，即 P 点落在 P1或 P
33、2的位置；当 COCP 时， OCP 是等腰三角形，即 P 点落在 E 点的位置；当 POPC 时，OCP 是等腰三角形，即 P 点落在 D 点的位置，然后根据 x 轴上点的坐标特征写出满足条件的 P 点坐标 【解答】解： （1）把 x4 代入 yx 得 y1， A 点坐标为（4，1） ， 把 A（4，1）代入 y得 k414， 直线 yx 与双曲线 y的交点关于原点对称， B 点坐标为（4，1） ； （2）作 CDx 轴于 D，AEx 轴于 E，如图， 把 x2 代入 y得 y2， C 点坐标为（2，2） ， SOCDSOAE42， SOCD+S梯形CDEASOAE+SAOC， SAOC（1+2） （42）3； （3）C（2，2） OC2， 当 OCOP 时，OCP 是等腰三角形，即 P 点落在 P1或 P2的位置，此时 P 点坐标为（2，0）或 （2，0） ； 当 COCP 时，OCP 是等腰三角形，即 P 点落在 E 点的位置，此时 P 点坐标为（4，0） ； 当 POPC 时，OCP 是等腰三角形，即 P 点落在 D 点的位置，此时 P 点坐标为（2，0） ， 满足条件的 P 点坐标为（，0） 、 （，0） 、 （4，O） 、 （2，0）
