1、2020-2021 学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的的. 1下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 2若关于 x 的方程（m1）x2+mx10 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm0 3抛物线 y（x2）2+2 的顶点坐标为（ ） A （2，2） B （2，2）
2、 C （2，2） D （2，2） 4若一元二次方程（x+6）264 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+68，则另一个 一元一次方程是（ ） Ax68 Bx68 Cx+68 Dx+68 5 下列关于函数的图象说法： 图象是一条抛物线； 开口向下； 对称轴是 y 轴； 顶点 （0， 0） ，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6如图，ABCD 为正方形，O 为对角线 AC、BD 的交点，则COD 绕点 O 经过下列哪种旋转可以得到 DOA（ ） A顺时针旋转 90 B顺时针旋转 45 C逆时针旋转 90 D逆时针旋转 45 7把方程 x24x60 配方，
3、化为（x+m）2n 的形式应为（ ） A （x4）26 B （x2）24 C （x2）20 D （x2）210 8 把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度后， 所得函数的表达式为 （ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x+1）22 Cy2（x1）2+2 Dy2（x1）22 9如图，ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180后得到ABCED 是ABC 的中位线，经旋转后 为线段 ED已知 BC4，则 ED（ ） A2 B3 C4 D1.5 10在一元二次方程 ax24x+c0（a0）中，若 a、c 异号，则方程（ ） A根的情况无法确定 B没有实数根 C有两
4、个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 11如图，在一块长为 20m，宽为 15m 的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分） ，建 成后绿化带与小路的总面积为 546m2，如果设小路的宽度为 xm，那么下列方程正确的是（ ） A （20 x） （15x）546 B （20+x） （15+x）546 C （202x） （152x）546 D （20+2x） （15+2x）546 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出以下结论： b24ac；abc0；2ab0；8a+c0；9a+3b+c0， 其中结论正确有（ ）个 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、
5、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。分。 13方程 5x2x3x23+x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 14平面直角坐标系中，点 P 的坐标是（2，1） ，则点 P 关于原点对称的点的坐标是 15一台机器原价为 60 万元，如果每年价格的折旧率为 x，两年后这台机器的价格为 y 万元，则 y 关于 x 的函数关系式为 16写出有一个根为 3 的一元二次方程： 17若抛物线 yx2bx+9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx（x3） （0 x3）在 x 轴上方的部分
6、，记作 C1， 它与 x 轴交于点 O，A1，将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，C2与 x 轴交于另一点 A2请继续操作并探究： 将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，与 x 轴交于另一点 A3；将 C3绕点 A2旋转 180得 C4，与 x 轴交于另一 点 A4，这样依次得到 x 轴上的点 A1，A2，A3，An，及抛物线 C1，C2，n，则点 A4的 坐标为 ；n的顶点坐标为 （n 为正整数，用含 n 的代数式表示） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 66 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 19 （8
7、 分）用指定的方法解下列方程： （1）x2+4x10（用配方法） ； （2）2x28x+30（用公式法） 20 （8 分）已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 （1）将ABC 绕原点 O 旋转 180得到A1B1C1，请你在图中画出A1B1C1； （2）写出点 A1的坐标； （3）求A1B1C1的面积 21 （10 分）抛物线 yx2+bx+c 过点（0，3）和（2，1） ，试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与 x 轴的交点坐标 22 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k40 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，且该方程的根都
8、是整数，求 k 的值 23 （10 分）如图，E 点是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，AB12，BE5，ABE 逆时针旋转后能够与 ADF 重合 （1）旋转中心是 ，旋转角为 度； （2）AEF 是 三角形； （3）求 EF 的长 24 （10 分）某玩具批发商销售每件进价为 40 元的玩具，市场调查发现，若以每件 50 元的价格销售，平均 每天销售 90 件，单价每提高 1 元，平均每天就少销售 3 件 （1）平均每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式； （3）物价部门规定每
9、件售价不得高于 55 元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最 大利润是多少元？ 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（4，0）两点 （）求抛物线的解析式； （）若抛物线交 y 轴于点 C，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点 P，使得PBC 的面积最大？若存在，请直接写出点 P 的坐标和PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷学年天津市武清区九年级（上）
10、期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的的. 1下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B 2若关于 x
11、的方程（m1）x2+mx10 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm0 【分析】根据一元二次方程的定义可得 m10，再解即可 【解答】解：由题意得：m10， 解得：m1， 故选：A 3抛物线 y（x2）2+2 的顶点坐标为（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可 【解答】解：抛物线 y（x2）2+2， 抛物线 y（x2）2+2 的顶点坐标为： （2，2） ， 故选：C 4若一元二次方程（x+6）264 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+68，则另一个 一
12、元一次方程是（ ） Ax68 Bx68 Cx+68 Dx+68 【分析】利用直接开平方法求解即可 【解答】解：（x+6）264， x+68 或 x+68， 故选：D 5 下列关于函数的图象说法： 图象是一条抛物线； 开口向下； 对称轴是 y 轴； 顶点 （0， 0） ，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】函数是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断 【解答】解：二次函数的图象是抛物线，正确； 因为 a0，所以抛物线开口向下，正确； 因为 b0，所以对称轴是 y 轴，正确； 顶点（0，0）也正确 故选：D 6如图，ABCD 为正方形，O 为对角线 AC、BD 的
13、交点，则COD 绕点 O 经过下列哪种旋转可以得到 DOA（ ） A顺时针旋转 90 B顺时针旋转 45 C逆时针旋转 90 D逆时针旋转 45 【分析】因为四边形 ABCD 为正方形，所以CODDOA90，OCODOA，则COD 绕点 O 逆时针旋转得到DOA，旋转角为COD 或DOA，据此可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， CODDOA90，OCODOA， COD 绕点 O 逆时针旋转得到DOA，旋转角为COD 或DOA， 故选：C 7把方程 x24x60 配方，化为（x+m）2n 的形式应为（ ） A （x4）26 B （x2）24 C （x2）20 D （x2）210
14、【分析】先移项，再方程两边都加上 4 即可 【解答】解：x24x60， x24x6， x24x+46+4， （x2）210， 故选：D 8 把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度后， 所得函数的表达式为 （ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x+1）22 Cy2（x1）2+2 Dy2（x1）22 【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案 【解答】解：把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表 达式为 y2（x1）2+2， 故选：C 9如图，ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180后得到ABCED 是ABC 的
15、中位线，经旋转后 为线段 ED已知 BC4，则 ED（ ） A2 B3 C4 D1.5 【分析】先根据图形旋转不变性的性质求出 BC的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论 【解答】解：ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180后得到ABC， ABCABC， BCBC4， DE是ABC的中位线， DEBC42 故选：A 10在一元二次方程 ax24x+c0（a0）中，若 a、c 异号，则方程（ ） A根的情况无法确定 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式b24ac 的值的符号即可 【解答】解：若 a 与 c 异号， b24
16、ac164ac0， 原方程有两个不相等的实数根 故选：C 11如图，在一块长为 20m，宽为 15m 的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分） ，建 成后绿化带与小路的总面积为 546m2，如果设小路的宽度为 xm，那么下列方程正确的是（ ） A （20 x） （15x）546 B （20+x） （15+x）546 C （202x） （152x）546 D （20+2x） （15+2x）546 【分析】根据矩形面积公式为新的长新的宽546，由此可列方程 【解答】解：依题意得： （20+2x） （15+2x）546 故选：D 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图
17、，给出以下结论： b24ac；abc0；2ab0；8a+c0；9a+3b+c0， 其中结论正确有（ ）个 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则b24ac0，b24ac，故正确； 抛物线开口向上，得：a0； 抛物线的对称轴为 x1，b2a，故 b0； 抛物线交 y 轴于负半轴，得：c0； 所以 abc0； 故正确； 抛物线的对称轴为 x1，b2a， 2a+b0，
18、故 2ab0 错误； 根据可将抛物线的解析式化为：yax22ax+c（a0） ； 由函数的图象知：当 x2 时，y0；即 4a（4a）+c8a+c0，故错误； 根据抛物线的对称轴方程可知： （1，0）关于对称轴的对称点是（3，0） ； 当 x1 时，y0，所以当 x3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故正确； 所以这结论正确的有三个 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。分。 13方程 5x2x3x23+x 的二次项系数是 4 ，一次项系数是 2 ，常数项是 0 【分析】先把方程化为一般式，然后根据一元二次方程的定义
19、求解 【解答】解：方程化为一般式为 4x22x0， 所以二次项系数是 4，一次项系数是2，常数项是 0 故答案为 4，2，0 14平面直角坐标系中，点 P 的坐标是（2，1） ，则点 P 关于原点对称的点的坐标是 （2，1） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点 P 的坐标是（2，1） ， 点 P 关于原点对称的点的坐标是（2，1） 故答案为： （2，1） 15一台机器原价为 60 万元，如果每年价格的折旧率为 x，两年后这台机器的价格为 y 万元，则 y 关于 x 的函数关系式为 y60（1x）2 【分析】原价为 60 万元，一年后的价格是 60（1x） ，二年后的价
20、格是为：60（1x）（1x） 60（1x）2，可得结论 【解答】解：由题意知：两年后的价格是为：y60（1x）（1x）60（1x）2， 则函数解析式是：y60（1x）2， 故答案为：y60（1x）2 16写出有一个根为 3 的一元二次方程： x23x0 【分析】本题是一道开放型题，答案不唯一，含有因式 x3 的一元二次方程都有一个根是 3 【解答】解：要使一元二次方程的一个根是 3， 则此方程满足（x3） （xa）0 的形式， 当 a0 时，方程为： x23x0 故本题的答案可以是：x23x0 17若抛物线 yx2bx+9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为 6 【分析】抛物线 yax2+bx
21、+c 的顶点坐标为（，） ，因为抛物线 yx2bx+9 的顶点在 x 轴 上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解 【解答】解：抛物线 yx2bx+9 的顶点在 x 轴上， 顶点的纵坐标为零，即 y0， 解得 b6 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx（x3） （0 x3）在 x 轴上方的部分，记作 C1， 它与 x 轴交于点 O，A1，将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，C2与 x 轴交于另一点 A2请继续操作并探究： 将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，与 x 轴交于另一点 A3；将 C3绕点 A2旋转 180得 C4，与 x 轴交于另一 点 A4，这样依次得到 x
22、 轴上的点 A1，A2，A3，An，及抛物线 C1，C2，n，则点 A4的 坐标为 （12，0） ；n的顶点坐标为 （3n， （1）n+1） （n 为正整数，用含 n 的代数式 表示） 【分析】根据图形连续旋转，旋转奇数次时，图象在 x 轴下方，每两个图象全等且相隔三个单位；旋转 偶数次时，图象在 x 轴上方，每两个图象全等且相隔三个单位 【解答】解：这样依次得到 x 轴上的点 A1，A2，A3，An，及抛物线 C1，C2，n， 则点 A4的坐标为 （12，0） ；Cn 的顶点坐标为 （3n， （1）n+1） ， 故答案为： （12，0） ， （3n， （1） 三、解答题：本大题共三、解答题：
23、本大题共 7 小题，共小题，共 66 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 19 （8 分）用指定的方法解下列方程： （1）x2+4x10（用配方法） ； （2）2x28x+30（用公式法） 【分析】 （1）先把常数项移到方程左边，再两边加上 4 得到 x2+4x+45，然后把方程左边写成完全平方 式，再利用直接开平方法解方程； （2）先计算判别式的值，然后代入一元二次方程的求根公式中求解 【解答】 （1）解：x2+4x1， x2+4x+45 （x+2）25， x+2， 所以 x12+，x22； （2）解：a2，b8，c3， b24ac（8）24
24、2340 x， x1，x2 20 （8 分）已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 （1）将ABC 绕原点 O 旋转 180得到A1B1C1，请你在图中画出A1B1C1； （2）写出点 A1的坐标； （3）求A1B1C1的面积 【分析】 （1）根据网格结构找出点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标即可； （3）利用三角形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解： （1）A1B1C1如图所示； （2）A1（1，3） ； （3）A1B1C1的面积424 21 （10 分）抛物线 yx2+bx+c 过点（0，3）和（2，1） ，试确定抛物线的解
25、析式，并求出抛物线与 x 轴的交点坐标 【分析】把（0，3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析 式，把 y0 代入解析式，求出 x 的值，即可得出抛物线与 x 轴的交点坐标 【解答】解：抛物线 yx2+bx+c 过点（0，3）和（2，1） ， ， 解得 ， 抛物线的解析式为 yx2+4x3， 令 y0，得x2+4x30，即 x24x+30， x11，x23， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） 、 （3，0） 22 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k40 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为正整数，
26、且该方程的根都是整数，求 k 的值 【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出关于 k 的不等式，求出 不等式的解集即可得到 k 的范围； （2）找出 k 范围中的整数解确定出 k 的值，经检验即可得到满足题意 k 的值 【解答】解： （1）根据题意得：44（2k4）208k0， 解得：k； （2）由 k 为正整数，得到 k1 或 2， 利用求根公式表示出方程的解为 x1， 方程的解为整数， 52k 为完全平方数， 则 k 的值为 2 23 （10 分）如图，E 点是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，AB12，BE5，ABE 逆时针旋转后能够与 ADF
27、重合 （1）旋转中心是 点 A ，旋转角为 90 度； （2）AEF 是 等腰直角 三角形； （3）求 EF 的长 【分析】 （1）根据图形和已知即可得出答案 （2）根据旋转得出全等，根据全等三角形的性质得出BAEDAF，AEAF，求出EAFBAD， 即可得出答案 （3）求出 AE，求出 AF，根据勾股定理求出 EF 即可 【解答】解： （1）从图形和已知可知：旋转中心是点 A，旋转角的度数等于BAD 的度数，是 90， 故答案为：点 A，90； （2）等腰直角三角形， 理由是：四边形 ABCD 是正方形， BAD90， ABE 逆时针旋转后能够与ADF 重合， ABEADF， BAEDAF，
28、AEAF， FAEFAD+DAEBAE+DAEBAD90， AEF 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 （3）由旋转可知EAF90，ABEADF， AEAF，EAF 是等腰直角三角形， 在 RtABE 中，AB12，BE5， 13， 24 （10 分）某玩具批发商销售每件进价为 40 元的玩具，市场调查发现，若以每件 50 元的价格销售，平均 每天销售 90 件，单价每提高 1 元，平均每天就少销售 3 件 （1）平均每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式为 y3x+240 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式； （3
29、）物价部门规定每件售价不得高于 55 元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最 大利润是多少元？ 【分析】 （1）平均每天销售量 y原来的销售量 903相对于 50 元的单价提高的价格； （2）销售利润 W单价的利润平均每天的销售量，代入即可得出 W 与 x 的函数关系式 （3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值 【解答】解： （1）由题意得：y903（x50）3x+240； （2）W（x40） （3x+240）3x2+360 x9600； （3）y3x2+360 x96003（x60）2+1200， 故当 x60 时，y 取最大值 120
30、0， x60 是二次函数的对称轴，且开口向下， 当 x60 时，y 随 x 的增大而增大， 规定每件售价不得高于 55 元， 当 x55 时，W 取得最大值为 1125 元， 即每件玩具的销售价为 55 元时，可获得 1125 元的最大利润 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B（4，0）两点 （）求抛物线的解析式； （）若抛物线交 y 轴于点 C，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点 P，使得PBC 的面积最大？若存在，请直接写出点
31、 P 的坐标和PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由 【分析】 （）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可； （）首先求出直线 BC 的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案； （）根据 SBPCS四边形BPCOSBOCS四边形BPCO16，得出函数最值，进而求出 P 点坐标即可 【解答】解： （）将 A（2，0） ，B（4，0）代入得：， 解得， 则该抛物线的解析式为：yx22x+8； （）存在，理由： 如图 1，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B， 设直线 BC 的解析式为：ykx+d， 将点 B（4，0） 、C（0，8）代入得：，解得， 故直线 BC 解析式为：y2x+8
32、， 直线 BC 与抛物线对称轴 x1 的交点为 Q，此时QAC 的周长最小 解方程组，解得， 故点 Q 的坐标为（1，6） ； （）存在，理由： 如图 2，过点 P 作 PEx 轴于点 E， 设 P 点的坐标为（x，x22x+8） （4x0） ， SBPCS四边形BPCOSBOCS四边形BPCO16， 若 S四边形BPCO有最大值，则 SBPC就最大， S四边形BPCOSBPE+S直角梯形PEOCBEPE+OE（PE+OC） （x+4） （x22x+8）+ （x） （ x22x+8+8）2（x+2）2+24， 当 x2 时，S四边形BPCO最大值24， SBPC最大24168， 当 x2 时，x22x+88， 点 P 的坐标为（2，8）
