1、2020-2021 学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区八年级上期中数学试卷学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区八年级上期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2（3 分）根据下列条件，能判定ABCABC的是（ ） AABAB，BCBC，AA BAA，BB，ACBC CAA，BB，CC DABAB，BCBC，ABC 的周长等于ABC的周长 3（3 分）如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm，那么它的周长是（ ） A9cm B12cm C15cm 或 12cm D15cm 4（3 分）满足下列条件的ABC 不是直角三角形的是（ ） Aa21，b
2、22，c23 Ba：b：c3：4：5 CA：B：C3：4：5 DA+BC 5（3 分）在联欢会上，有 A、B、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游 戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是 在ABC 的（ ） A三边中垂线的交点 B三边中线的交点 C三条角平分线的交点 D三边上高的交点 6（3 分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片 展开，得到的图形是（ ） A B C D 7（3 分）如图，有一个池塘，其底面是边长为 10 尺的正方形，一个芦苇 AB 生长在它的中央，高
3、出水面 部分 BC 为 1 尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的 B则这根芦苇的长度是（ ） A10 尺 B11 尺 C12 尺 D13 尺 8（3 分）如图，已知ABC（ABBCAC），用尺规在 AC 上确定一点 P，使 PB+PCAC，则下列选 项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ） A B C D 9（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AD 是BAC 的平分线若 P，Q 分别 是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ） A B4 C D5 10 （3 分）已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，A
4、DBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点， 点 O 是线段 AD 上一点，OPOC，下面的结论：APO+DCO30；OPC 是等边三角形； ACAO+AP；SABCS四边形AOCP其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11 （3 分） 如图， 已知 ABAD， 12， 要根据 “ASA” 使ABCADE， 还需添加的条件是 12（3 分）ABC 是等腰三角形，若有一个角等于 80，则另两个角度数分别为 13（3 分）若直角三角形的三边分别为 3，4，x，则 x2 14（3 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 AB、BC 于 D、E
5、，若ACD 的周长为 10cm，AC 3cm，则 AB cm 15（3 分）在一个直角三角形中，已知一条直角边是 3cm，斜边上的中线为 2.5cm，则这个直角三角形的 面积为 cm2 16（3 分）如图将一张长方形纸片沿 EF 折叠后，点 A、B 分别落在 A、B的位置，如果270， 则1 的度数是 17（3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 18 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，BCCD10
6、，AC17，AD9则 AB 三、解答题（共 66 分） 19 （8 分）如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的ABC； （2）三角形 ABC 的面积为 ； （3）以 AC 为边作与ABC 全等的三角形，则可作出 个三角形与ABC 全等； （4）在直线 l 上找一点 P，使 PB+PC 的长最短 20（6 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，BDCE，BE、CD 相交于点 O （1）求证：DBCECB； （2）求证：OBOC 21（8 分）如图，ACB 与EC
7、D 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 为 AB 边上的一 点， （1）试说明：EACB； （2）若 AD10，BD24，求 DE 的长 22（6 分）如图，已知点 D 为 OB 上的一点，按下列要求进行作图 （1）作AOB 的平分线 OC； （2）在 OC 上取一点 P，使得 OPa； （3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边 OA 上取一点 E，使得 PEPD，这时他发 现OEP 与ODP 之间存在一定的数量关系，请写出OEP 与ODP 的数量关系，并说明理由 23（8 分）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一勾股定 理其实有很
8、多种方式证明下图是 1876 年美国总统 Garfield 证明勾股定理所用的图形： 以 a、 b 为直角边， 以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状， 使 C、B、D 三点在一条直线上 你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程 24（8 分）如图，OAOB，OA45 海里，OB15 海里，我国钓鱼岛位于 O 点，我国渔政船在点 B 处 发现有一不明国籍的渔船，自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 O，我国渔政船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 C 处截住了渔船 （1）请用直尺和圆规作出 C 处的位置； （
9、2）求我国渔政船行驶的航程 BC 的长 25 （10 分）探究：如图 1，ABC 是等边三角形，在边 CB、AC 的延长线上截取 BECD，连结 BD、AE， 延长 DB 交 AE 于点 F （1）求证：BAECBD； （2）BFE 应用：将图 1 的ABC 分别改为正方形 ABCM 和正五边形 ABCMN，如图 2、3，在边 CB、MC 的延长线 上截取 BECD，连结 BD、AE，延长 DB 交 AE 于点 F，则图 2 中BFE ；图 3 中BFE 拓展： 若将图 1 的ABC 改为正 n 边形， 其它条件不变， 则BFE （用含 n 的代数式表示） 26（12 分）如图 1，ABC 中
10、，CDAB 于 D，且 BD：CD：AD1：3：4 （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）已知 SABC30cm2，如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 BA 向点 A 运动，同时 动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点 M 运动的时间为 t（秒）， 若DMN 的边与 BC 平行，求 t 的值； 若点 E 是边 AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出 t 的值； 若不能，请说明理由 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1（3 分）下面四个手机应
11、用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A 2（3 分）根据下列条件，能判定ABCABC的是（ ） AABAB，BCBC，AA BAA，BB，ACBC CAA，BB，CC DABAB，BCBC，ABC 的周长等于ABC的周长 解：A、满足 SSA，不能判定全等； B、不是一组对应边相等，不能判定全等； C、满足 AAA，不能判定全等； D、符合 SSS，能判定全等 故选：D 3（3 分）如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm，那么它
12、的周长是（ ） A9cm B12cm C15cm 或 12cm D15cm 解：当 6 为腰，3 为底时，6366+3，能构成等腰三角形，周长为 6+6+315； 当 3 为腰，6 为底时，3+36，不能构成三角形 故选：D 4（3 分）满足下列条件的ABC 不是直角三角形的是（ ） Aa21，b22，c23 Ba：b：c3：4：5 CA：B：C3：4：5 DA+BC 解：A、1+23，能够判定ABC 为直角三角形，不符合题意； B、5232+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC 为直角三角形，不符合题意； C、A：B：C3：4：5，那么A45、B60、C75，ABC 一定不是直角三角形
13、， 符合题意； D、A+BC，C90，能够判定ABC 为直角三角形，不符合题意； 故选：C 5（3 分）在联欢会上，有 A、B、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游 戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是 在ABC 的（ ） A三边中垂线的交点 B三边中线的交点 C三条角平分线的交点 D三边上高的交点 解：三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， 凳子应放在ABC 的三边中垂线的交点最适当 故选：A 6（3 分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片 展开，
14、得到的图形是（ ） A B C D 解：易得剪去的 4 个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间 故选：C 7（3 分）如图，有一个池塘，其底面是边长为 10 尺的正方形，一个芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面 部分 BC 为 1 尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的 B则这根芦苇的长度是（ ） A10 尺 B11 尺 C12 尺 D13 尺 解：设芦苇长 ABABx 尺，则水深 AC（x1）尺， 因为边长为 10 尺的正方形，所以 BC5 尺 在 RtABC 中，52+（x1）2x2， 解之得 x13， 即水深 12 尺，芦苇长 13 尺 故选
15、：D 8（3 分）如图，已知ABC（ABBCAC），用尺规在 AC 上确定一点 P，使 PB+PCAC，则下列选 项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ） A B C D 解：点 P 在 AC 上， PA+PCAC， 而 PB+PCAC， PAPB， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， 所以作线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 P 故选：C 9（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AD 是BAC 的平分线若 P，Q 分别 是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ） A B4 C D5 解：如图，过点 C 作 CMAB 交 AB 于点 M，交 A
16、D 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q， AD 是BAC 的平分线 PQPM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度， AC6，BC8，ACB90， AB10 SABCAB CM AC BC， CM， 即 PC+PQ 的最小值为 故选：C 10 （3 分）已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点， 点 O 是线段 AD 上一点，OPOC，下面的结论：APO+DCO30；OPC 是等边三角形； ACAO+AP；SABCS四边形AOCP其中正确的是（ ） A B C D 解：连接 OB， ABAC，ADBC， BDCD，BADBA
17、C12060， OBOC，ABC90BAD30， OPOC， OBOCOP， APOABO，DCODBO， APO+DCOABO+DBOABD30； 故正确； APC+DCP+PBC180， APC+DCP150， APO+DCO30， OPC+OCP120， POC180（OPC+OCP）60， OPOC， OPC 是等边三角形； 故正确； 在 AC 上截取 AEPA， PAE180BAC60， APE 是等边三角形， PEAAPE60，PEPA， APO+OPE60， OPE+CPECPO60， APOCPE， OPCP， 在OPA 和CPE 中， ， OPACPE（SAS）， AOCE，
18、 ACAE+CEAO+AP； 故正确； 过点 C 作 CHAB 于 H， PACDAC60，ADBC， CHCD， SABCAB CH， S 四边形AOCPSACP+SAOC AP CH+OA CDAP CH+OA CHCH （AP+OA）CH AC， SABCS 四边形AOCP； 故正确 故选：D 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11（3 分）如图，已知 ABAD，12，要根据“ASA”使ABCADE，还需添加的条件是 B D 解：还需添加的条件是BD， 12， 1+DAC2+DAC， 即BACDAE， 在ABC 和ADE 中， ABCADE（ASA）， 故答案为：BD 12（3
19、 分）ABC 是等腰三角形，若有一个角等于 80，则另两个角度数分别为 50，50或 80， 20 解：分类讨论： （1）若等腰三角形的顶角为 80时，另外两个内角（18080）50； （2）若等腰三角形的底角为 80时，它的另外一个底角为 80，顶角为 180808020， 故答案为：50，50或 80，20 13（3 分）若直角三角形的三边分别为 3，4，x，则 x2 25 或 7 解：设第三边为 x， （1）若 4 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理得： 32+42x2，所以 x225； （2）若 4 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理得： 32+x242，所以 x27；
20、 故答案为 25 或 7； 14（3 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 AB、BC 于 D、E，若ACD 的周长为 10cm，AC 3cm，则 AB 7 cm 解：DE 垂直平分 BC， BDCD， ACD 的周长为 10cm， AD+BD+CDAB+AC10cm， AC3cm， AB7cm， 故答案为：7 15（3 分）在一个直角三角形中，已知一条直角边是 3cm，斜边上的中线为 2.5cm，则这个直角三角形的 面积为 6 cm2 解：一个直角三角形斜边上的中线长为 2.5cm， 斜边长为 22.55（cm） 一条直角边长为 3cm， 根据勾股定理知，另一条直角边的长为：4（
21、cm）， 直角三角形的面积346（cm2） 故答案是：6 16（3 分）如图将一张长方形纸片沿 EF 折叠后，点 A、B 分别落在 A、B的位置，如果270， 则1 的度数是 55 解：ADBC，270， 2370， BFB110， 155， 故答案为：55 17（3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm 解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH， 过 C 作 CQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连
22、接 AC 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PC 就是蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离， AEAE，APAP， AP+PCAP+PCAC， CQ18cm9cm，AQ12cm4cm+4cm12cm， 在 RtAQC 中，由勾股定理得：AC15cm， 故答案为：15 18 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，BCCD10，AC17，AD9则 AB 21 解：如图，在 AB 上截取 ADAD，作 CEAB， AC 平分BAD， DACDAC，且 ACAC，ADAD， ADCADC（SAS） DADA9，DCDC10， BCCD10， DCBC，且 CEAB， DEBE 设 DEB
23、Ex 在 RtCEB 中，CE2CB2BE2102x2， 在 RtCEA 中，CE2AC2AE2172（9+x）2 102x2172（9+x）2， 解得：x6， ABAD+DE+EB9+6+621， 故答案为 21 三、解答题（共 66 分） 19 （8 分）如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的ABC； （2）三角形 ABC 的面积为 3 ； （3）以 AC 为边作与ABC 全等的三角形，则可作出 3 个三角形与ABC 全等； （4）在直线 l 上找一点 P，使 PB+PC 的长最短 解：
24、（1）如图，ABC即为所求； （2）SABC24 21142281223 故答案为：3； （3）如图，AB1C，AB2C，AB3C 即为所求 故答案为：3； （4）如图，P 点即为所求 20（6 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，BDCE，BE、CD 相交于点 O （1）求证：DBCECB； （2）求证：OBOC 【解答】（1）证明：ABAC， ECBDBC， 在DBC 与ECB 中， DBCECB（SAS）； （2）证明：由（1）知DBCECB， DCBEBC， OBOC 21（8 分）如图，ACB 与ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D
25、为 AB 边上的一 点， （1）试说明：EACB； （2）若 AD10，BD24，求 DE 的长 解：（1）ACBECD90， ACBACDECDACD， ECADCB， ACB 和ECD 都是等腰三角形， ECDC，ACBC， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD， EACB （2）ACEBCD， AEBD24， EACB45 EADEAC+CAD90， 在 RtADE 中，DE2EA2+AD2， DE2102+242， DE26 22（6 分）如图，已知点 D 为 OB 上的一点，按下列要求进行作图 （1）作AOB 的平分线 OC； （2）在 OC 上取一点 P，使得 OPa； （3
26、）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边 OA 上取一点 E，使得 PEPD，这时他发 现OEP 与ODP 之间存在一定的数量关系，请写出OEP 与ODP 的数量关系，并说明理由 解：（1）如图，OC 即为所求； （2）如图，OPa； （3）OEPODP 或OEP+ODP180 理由是：以 O 为圆心，以 OD 为半径作弧，交 OA 于 E2，连接 PE2，作 PMOA 于 M， PNOB 于 N，则 PMPN 在E2PM 和DPN 中， ， E2PMDPN（HL）， OE2PODP； 以 P 为圆心，以 PD 为半径作弧，交 OA 于另一点 E1，连接 PE1， 则此点 E1也符合
27、条件 PDPE1， PE2PE1PD， PE2E1PE1E2， OE1P+E2E1P180， OE2PODP， OE1P+ODP180， OEP 与ODP 所有可能的数量关系是：OEPODP 或OEP+ODP180 23（8 分）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一勾股定 理其实有很多种方式证明下图是 1876 年美国总统 Garfield 证明勾股定理所用的图形： 以 a、 b 为直角边， 以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状， 使 C、B、D 三点在一条直线上 你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程 解：R
28、tACBRtBDE， CABDBE CAB+ABC90， ABC+DBE90 ABE18090o90o ABE 是一个等腰直角三角形，SABEc2 又S梯形ACDE （a+b）2， S梯形ACDESABC+SBDE+SABEab+c2 （a+b）2ab+c2， 即 a2+b2c2 由此验证勾股定理 24（8 分）如图，OAOB，OA45 海里，OB15 海里，我国钓鱼岛位于 O 点，我国渔政船在点 B 处 发现有一不明国籍的渔船，自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 O，我国渔政船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 C 处截住了渔船 （1）请用直尺和
29、圆规作出 C 处的位置； （2）求我国渔政船行驶的航程 BC 的长 解：（1）作 AB 的垂直平分线与 OA 交于点 C； （2）设 BC 为 x 海里，则 CA 也为 x 海里， O90， 在 RtOBC 中，BO2+OC2BC2， 即：152+（45x）2x2， 解得：x25， 答：我国渔政船行驶的航程 BC 的长为 25 海里 25 （10 分）探究：如图 1，ABC 是等边三角形，在边 CB、AC 的延长线上截取 BECD，连结 BD、AE， 延长 DB 交 AE 于点 F （1）求证：BAECBD； （2）BFE 120 应用：将图 1 的ABC 分别改为正方形 ABCM 和正五边形
30、 ABCMN，如图 2、3，在边 CB、MC 的延长线 上截取 BECD，连结 BD、AE，延长 DB 交 AE 于点 F，则图 2 中BFE 90 ；图 3 中BFE 72 拓展：若将图 1 的ABC 改为正 n 边形，其它条件不变，则BFE （） （用含 n 的代数式 表示） 【解答】探究：（1）解：BCA 是等边三角形， BCAB，ACBABC60， BCDABE120， 在CBD 和BAE 中， ， CBDBAE（SAS）； （2）解：CBDBAE， ED， EBFDBC， BFEBCD， 又BCD18060120， BFE120， 故答案为 120； 应用：图 2 中，根据 SAS
31、易证CBDBAE， ED， EBFDBC， BFEBCD， 又BCD1809090， BFE90， 图 3 中，根据 SAS 易证CBDBAE， ED， EBFDBC， BFEBCD， 又BCD18010872， BFE72， 故答案为 90；72 拓展：若将图 1 的ABC 改为正 n 边形，其它条件不变，则BFE 的度数为正 n 边形的外角度数， 即BFE（）， 故答案为：（） 26（12 分）如图 1，ABC 中，CDAB 于 D，且 BD：CD：AD1：3：4 （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）已知 SABC30cm2，如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿
32、线段 BA 向点 A 运动，同时 动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点 M 运动的时间为 t（秒）， 若DMN 的边与 BC 平行，求 t 的值； 若点 E 是边 AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出 t 的值； 若不能，请说明理由 解：（1）设 BDx，AD4x，CD3x（x0）， 在 RtACD，AC2CD2+AD2， AC2（3x）2+（4x）2， AC5x， ABBD+AD5x， ABAC， ABC 是等腰三角形； （2）SABC5x3x30cm2，而 x0， x2cm， 则 B
33、D2cm，AD8cm，CD6cm，AC10cm 当 MNBC 时，AMAN，即 10tt， t5， 当 DNBC 时，ADAN，有 t8， 故若DMN 的边与 BC 平行时，t 的值为 5 或 8 当点 M 在 BD 上，即 0t2 时，MDE 为钝角三角形，但 DMDE， 当 t2 时，点 M 运动到点 D，不构成三角形， 当点 M 在 DA 上，即 2t10 时，MDE 为等腰三角形，有 3 种可能 如果 DEDM，则 t25， t7； 如果 EDEM，则点 M 运动到点 A， t10； 如果 MDMEt2，如图，过点 E 作 EFAD 于 F， DEAE，EFAD， AFDF4， 在 RtAEF 中，EF2AE2AF2， EF3， BMt，BF6， MFt6， 在 RtEMF 中，EF2+MF2EM2， 32+（t6）2（t2）2， t 综上所述，符合要求的 t 值为 7 或 10 或
