1、2019-2020 学年浙江省丽水市八年级（下）期中数学试卷学年浙江省丽水市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （3 分）使二次根式有意义的 x 的取值范围是（ ） A B Cx3 Dx3 2 （3 分）在下列图形中，中心对称图形有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 3 （3 分）当多边形的边数增加 1 时，它的内角和会（ ） A增加 160 B增加 180 C增加 270 D
2、增加 360 4 （3 分）在ABCD 中，A：B：C3：6：3，则D 的度数为（ ） A90 B67.5 C112.5 D120 5 （3 分）将方程 x（x2）x+3 化成一般形式后，二次项系数和常数项分别为（ ） A3，3 B1，3 C1，3 D1，3 6 （3 分）若一个正方形的面积是 18，则它的边长是（ ） A9 B4.5 C D 7 （3 分）已知三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x216x+600 的一个实数根， 则该三角形的面积是（ ） A24 或 B24 C D24 或 8 （3 分）如图，在ABCD 中，AB4，BC6，BC 边上的高 AE2，则
3、 DC 边上的高 AF 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 9 （3 分）如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN，EF，M，N，E，F 分别在边 AB，CD，AD，BC 上小 明认为：若 MNEF，则 MNEF；小亮认为：若 MNEF，则 MNEF你认为（ ） A仅小明对 B仅小亮对 C两人都对 D两人都不对 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，下 列结论：其中正确的序号是（ ） CECF； AEB75； BE+DFEF； S正方形ABCD2+ A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 2
4、 分，满分分，满分 12 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （2 分）化简： 12 （2 分）若一个多边形的每一个外角都等于 40，则这个多边形的边数是 13 （2 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+2a10 的一个根是 1，则 a 14 （2 分）已知菱形 ABCD 的一条对角线的长为 4，边 AB 的长是 x25x+60 的一个根，则菱形 ABCD 的 周长为 15 （2 分）如图，在三角形 ABC 中，ACB90，M，N 分别是 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CDBD，连结 DM、DN、MN，若 AB5，则 DN 16 （2 分）如图，把含 45
5、，30角的两块直角三角板放置在同一平面内，若 ABCD，ABCD， 则以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 58 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （9 分）计算： （1）； （2）； （3）3 18 （7 分）选择适当的方法解下列方程： （1）x24x0 （2）x26x8 （3） （x2） （x3）1 （4） （x3）29x2 19 （7 分）如图，已知 E，F 分别是ABCD 的边 CD，AB 上的点，且 DEBF求证：AECF 20 （7 分）2020 年拟继
6、续举办丽水市中学生汉字听写、诗词诵写大赛经过初赛、复赛，选出了两个代表 队参加市内 7 月份的决赛两个队各选出的 5 名选手的复赛成绩如图所示 （1）根据图示补全下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） A 队 83 85 B 队 95 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的复赛成绩较好； （3）计算两队成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定 21 （7 分）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形
7、； （2）若 AB6，AC10，求四边形 AECF 的面积及 AE 与 CF 之间的距离 22 （7 分）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的粽子，根据市场预测，该品牌 粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消 费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的 200% （1）请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元 （2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 23 （7 分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是全
8、等的 RtABC 和 RtBED 的边长，易知 AEc，这时我们把关于 x 的形如 ax2+cx+b0 的一元二次方程称为“勾系一元二次 方程” 请解决下列问题： （1）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 必有实数根； （2）若 x1 是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 12，求 ABC 的面积 24 （7 分）如图，在 RtABC 中，B90，AC60cm，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/ 秒的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀速运动，当其
9、中一 个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动的时间是 t 秒（0t15） 过点 D 作 DF BC 于点 F，连接 DE，EF （1）求证：AEDF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由 参考答案与试参考答案与试题解析题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （3 分）使二次根式有意义
10、的 x 的取值范围是（ ） A B Cx3 Dx3 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 3x+10，再解即可 【解答】解：由题意得：3x+10， 解得：x， 故选：B 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 2 （3 分）在下列图形中，中心对称图形有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：第一个图形不是中心对称图形； 第二个图形是中心对称图形； 第三个图形不是中心对称图形； 第四个图形是中心对称图形 故共有 2 个中心对称图形 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形关键
11、是要寻找对称中心，旋转 180 度后两 部分重合 3 （3 分）当多边形的边数增加 1 时，它的内角和会（ ） A增加 160 B增加 180 C增加 270 D增加 360 【分析】设原多边形边数是 n，则新多边形的边数是 n+1根据多边形的内角和定理即可求得 【解答】解：设原多边形边数是 n，则 n 边形的内角和是（n2） 180，边数增加 1，则新多边形的内 角和是（n+12） 180 则（n+12） 180（n2） 180180 故它的内角和增加 180 故选：B 【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理 4 （3 分）在ABCD 中，A：
12、B：C3：6：3，则D 的度数为（ ） A90 B67.5 C112.5 D120 【分析】由平行四边形的对角相等、邻角互补，结合已知条件求出B120，即可得出答案 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AC，BD，A+B180， A：B3：6， B180120， DB120 故选：D 【点评】此题考查了平行四边形的性质熟记平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键 5 （3 分）将方程 x（x2）x+3 化成一般形式后，二次项系数和常数项分别为（ ） A3，3 B1，3 C1，3 D1，3 【分析】 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0 （a， b， c 是常数且 a0
13、） ， 特别要注意 a0 的条件， 这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a， b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 【解答】解：方程 x（x2）x+3 化成一般形式是 x23x30， 它的二次项系数是 1，一次项系数是3，常数项是3 故选：D 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方 程化成一般形式 6 （3 分）若一个正方形的面积是 18，则它的边长是（ ） A9 B4.5 C D 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：正方形的面积是 18， 它的边长是3；
14、故选：C 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，属于基础题 7 （3 分）已知三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x216x+600 的一个实数根， 则该三角形的面积是（ ） A24 或 B24 C D24 或 【分析】先利用因式分解法解方程得到 x16，x210，当第三边长为 6 时，利用等腰三角形的性质和勾 股定理可计算出底边上的高2，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为 10 时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解 【解答】解：x216x+600， （x6） （x10）0， x60 或 x100， 所以
15、 x16，x210， 当第三边长为 6 时，三角形为等腰三角形，则底边上的高2，此时三角形的面积8 28 当第三边长为 10 时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积8624 故选：D 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了三角形三边的关系 8 （3 分）如图，在ABCD 中，AB4，BC6，BC 边上的高 AE2，则 DC 边上的高 AF 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由平行四边形的性质和面积得出 BCAECDAF，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行
16、四边形， CDAB4， BC 边上的高 AE2，DC 边上的高为 AF， ABCD 的面积BCAECDAF， 即 624AF， AF3 故选：B 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的面积公式是解题的关键 9 （3 分）如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN，EF，M，N，E，F 分别在边 AB，CD，AD，BC 上小 明认为：若 MNEF，则 MNEF；小亮认为：若 MNEF，则 MNEF你认为（ ） A仅小明对 B仅小亮对 C两人都对 D两人都不对 【分析】若 MNEF，先构造出以 MN 与 EF 为斜边的直角三角形，然后证明两直角三角形全等，然后 根据全等三角形
17、的对应角相等，结合图象可以证明出 EF 与 MN 垂直；第一个图中的线段 EF 沿直线 EG 折叠过去，得到的就是反例，此时有 MNEF，但是 MN 与 EF 肯定不垂直，因此小明的观点是错误的； 若 MNEF，则 MNEF，分别把 MN 和 EF 平移，然后根据三角函数即可得出结论 【解答】解：若 MNEF，则必有 MNEF，这句话是正确的 如图，EFMN，MHEG， RtMHNRtEGF（HL） ， EFGMNH， 又EFGELM， NMH+MNHNMH+EFGNMH+ELM90， MOL90， 即 MNEF， 但 EF 不仅仅是这一种情况， 如将第一个图中的线段 EF 沿直线 EG 折叠
18、过去， 得到的 EF 就是反例，此时有 MNEF，但是 MN 与 EF肯定不垂直，因此小明的观点是错误的； 若 MNEF，则 MNEF 这句话是对的； 分别把 MN 和 EF 平移，如图， AMNAGDBFEDHC， MNGDADsinAGD， EFHCCDsinDHC， 因此 MNEF 故选：B 【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，本题如图所示 起到关键的作用，没有图形的限制，则第一种情况不一定正确 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，下 列结论：其中正确的序号是（
19、 ） CECF； AEB75； BE+DFEF； S正方形ABCD2+ A B C D 【分析】根据题意，可以证明ABE 和ADF 全等，从而可以得到 BEDF，然后即可得到 CECF； 再根据EAF60，即可得到BAE 的度数，从而可以求得AEB 的度数；然后根据图形，可以判断 BE+DFEF 是否正确；再根据勾股定理，可以求得正方形的面积，从而可以解答本题 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，AEF 是等边三角形， ABAD，BD90，AEAF，EAF60， 在 RtABE 和 RtADF 中 ， RtABERtADF（HL） ， BEDF，BAEDAF， BCDC，BAD90， CE
20、CF，BAEDAF（9060）15，故正确； AEB75，故正确； 连接 AC，则EAC30， BAEEAC， 同理，DAFCAF， BE+DFEF，故错误； EF2，CECF，FCE90， CECF， 设 ABx，则 BEx， B90， x2+（x）222， 解得，x1（舍去） ，x2， x2（）22+， 即 S正方形ABCD2+， 由上可得，正确的是， 故选：A 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，满分分，满分 12 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （2
21、分）化简： 3 【分析】先算出（3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可 【解答】解：3， 故答案为：3 【点评】本题考查的是算术平方根的定义，把 化为的形式是解答此题的关键 12 （2 分）若一个多边形的每一个外角都等于 40，则这个多边形的边数是 9 【分析】根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个 数，即多边形的边数 【解答】解：360409，即这个多边形的边数是 9 【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟 练掌握 13 （2 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+2a1
22、0 的一个根是 1，则 a 1 【分析】根据一元二次方程解的定义，将 x1 代入原方程，然后解关于 a 的一元一次方程即可 【解答】解：关于 x 的方程 x2+2x+2a10 的一个根是 1， 当 x1 时，由原方程，得 1+2+2a10， 解得 a1 故答案是：1 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义本题逆用一元二次方程解的定义易得出 a 的值 14 （2 分）已知菱形 ABCD 的一条对角线的长为 4，边 AB 的长是 x25x+60 的一个根，则菱形 ABCD 的 周长为 12 【分析】先利用因式分解法解方程得到 x12，x23，再利用菱形的性质和三角形三边的关系可判断
23、AB 的长为 3，从而得到菱形 ABCD 的周长 【解答】解：x25x+60， （x2） （x3）0， x20 或 x30， 解得 x12，x23， 菱形 ABCD 的一条对角线的长为 4， AB 的长为 3， 菱形 ABCD 的周长4312 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了菱形的性质 15 （2 分）如图，在三角形 ABC 中，ACB90，M，N 分别是 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CDBD，连结 DM、DN、MN，若 AB5，则 DN 【分析】 连接 CM
24、， 根据直角三角形的性质得到 CMAB， 根据三角形中位线定理得到 MNBC， MNBC，根据平行四边形的判定定理、性质定理解答即可 【解答】解：连接 CM， 在 RtACB 中，ACB90，M 是 AB 的中点， CMAB， M，N 分别是 AB、AC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MNBC，MNBC， CDBD， MNCD，又 MNBC， 四边形 NDCM 为平行四边形， DNCM， 故答案为： 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的性质判断和性质、直角三角形的性质，掌握三 角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键 16 （2 分）如图，把含 45，30
25、角的两块直角三角板放置在同一平面内，若 ABCD，ABCD， 则以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积是 3+2 【分析】连接 AC，BD 交于 O推出四边形 ABCD 是平行四边形，得到 O 到 AB，CD 的距离和O到 AB，CD 的距离和，求得以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积2（SABO+SCDO） ，根据三角形的面 积公式即可 【解答】解：连接 AC，BD 交于 O， ABCD，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， O 到 AB，CD 的距离和O到 AB，CD 的距离和， 以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积2（SABO+SCDO） ， ABCD， AOBO，CO
26、CD， 以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面积2（SABO+SCDO）2（+）3+2 ， 故答案为：3+2 【点评】本题考查了含 30角的直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解 题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 58 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （9 分）计算： （1）； （2）； （3）3 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘除法则运算； （3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可 【解答】解： （1）原式
27、； （2）原式2 2； （3）原式123+6 15 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除 运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰 当的解题途径，往往能事半功倍 18 （7 分）选择适当的方法解下列方程： （1）x24x0 （2）x26x8 （3） （x2） （x3）1 （4） （x3）29x2 【分析】 （1）根据提取公因式法即可求出答案 （2）根据因式分解法即可求出答案 （3）根据求根公式法即可求出答案 （4）根据因式分解法即可求出答案 【解答】解： （1）x24x0， x（x4）0 x1
28、0，x24 （2）x26x8， x26x+80， （x2） （x4）0， x12，x24 （3）（x2） （x3）1， x25x+50， b24ac50， 由求根公式得， （4）（x3）29x2 （x3）2+x290， （x3）2+（x3） （x+3）0， 2x（x3）0， x10，x23 【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题 型 19 （7 分）如图，已知 E，F 分别是ABCD 的边 CD，AB 上的点，且 DEBF求证：AECF 【分析】 易证ADECBF （SAS） ， 得出 AECF， 由平行四边形的性质易求 AFCE， 则四边形
29、 AECF 是平行四边形，即可得出结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADCB，DB， 在ADE 和CBF 中， ADECBF（SAS） ， AECF， ABCD，DEBF， AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形， AECF 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形 与全等三角形的判定是解题的关键 20 （7 分）2020 年拟继续举办丽水市中学生汉字听写、诗词诵写大赛经过初赛、复赛，选出了两个代表 队参加市内 7 月份的决赛两个队各选出的 5 名选手的复赛成绩如图所示 （1）根据图示补全下表； 平均数（分）
30、中位数（分） 众数（分） A 队 83 85 85 B 队 83 80 95 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的复赛成绩较好； （3）计算两队成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定 【分析】 （1）根据图示补充即可； （2）两队成绩的平均分一样，但 A 队成绩的中位数高，故 A 队成绩较好； （3）分别计算两队的方差，方差小的成绩较为稳定 【解答】解： （1）补全如表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） A 队 83 85 85 B 队 83 80 95 （2）两队成绩的平均分一样，但 A 队成绩的中位数高，故 A 队成绩较好； （3）， ， 两队成绩的方差分别是
31、26，106， 因此 A 队选手成绩较为稳定 【点评】本题考查了方差、中位数与众数正确理解方差、中位数与众数的意义是解题的关键 21 （7 分）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 AB6，AC10，求四边形 AECF 的面积及 AE 与 CF 之间的距离 【分析】 （1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得 ABCD，ADBC，ANF90，CME90， 易得 ANCM，由平行四边形的判定定理可得结论； （2）
32、由 AB6，AC10，可得 BC8，设 CEx，则 EM8x，CM1064，在 RtCEM 中，利 用勾股定理可解得 x，由平行四边形的面积公式可得结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABCD， CABACD 由折叠的性质可得EABEAC，ACFFCD， 又CABACD， EACACF， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形； （2）解：在 RtABC 中，AB6，AC10， 则根据勾股定理得，BC8 AMAB6， CMACAMACAB4 设 CEx，则 BEEM8x， 在 RtEMC 中，利用勾股定理可得 EM2+CM2CE2， 即（8x）2+42x2，解
33、得 x5， 故四边形 AECF 的面积ABCE6530 在 RtABE 中，由勾股定理得， 设 AE 与 CF 之间的距离为 h， 则 AEh30， 即， 【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各 定理是解答此题的关键 22 （7 分）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的粽子，根据市场预测，该品牌 粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消 费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的 200% （1）请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定
34、价，使超市每天的销售利润为 800 元 （2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设每个粽子的定价为 x 元时，由于每天的利润为 800 元，根据利润（定价进价）销 售量，列出方程求解即可 （2）设每个粽子的定价为 m 元，则每天的利润为 w，根据题意写出 w 关于 m 的二次函数，通过配方写 成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）设每个粽子的定价为 x 元时，每天的利润为 800 元， 根据题意得， 解得 x17，x25， 售价不能超过进价的 200%， x3200%，即 x6， x5， 定价为 5 元时，每天的利润为 800 元 （2）设每个粽
35、子的定价为 m 元，则每天的利润为 w，则有： w（m3） （50010） （m3） （500100m+400） 100（m3） （m9） 100（m212m+27） 100（m6）29 100（m6）2+900 二次项系数为1000，m6， 当定价为 6 元时，每天的利润最大，最大的利润是 900 元 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解 题的关键 23 （7 分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是全等的 RtABC 和 RtBED 的边长，易知 AEc，这时我们把关于 x 的形如 ax2+cx+b0
36、的一元二次方程称为“勾系一元二次 方程” 请解决下列问题： （1）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 必有实数根； （2）若 x1 是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 12，求 ABC 的面积 【分析】 （1）只要证明0 即可解决问题 （2）当 x1 时，有 ac+b0，即 a+bc，由 2a+2b+c12，即 2（a+b）+c12，推 出 c2，推出 a2+b2c24，a+b4，由（a+b）2a2+2ab+b2，可得 ab4，由此即可解决问题 【解答】 （1）证明：， a2+b2c2， 2c24ab2（a2+b2）4ab2（
37、ab）20， 关于 x 的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）解：当 x1 时，有，即， 四边形 ACDE 的周长是 12， ，即， ， a2+b2c28， 又a+b4， （a+b）2a2+2ab+b2，即 168+2ab， ab4， 【点评】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 24 （7 分）如图，在 RtABC 中，B90，AC60cm，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/ 秒的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀速
38、运动，当其中一 个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动的时间是 t 秒（0t15） 过点 D 作 DF BC 于点 F，连接 DE，EF （1）求证：AEDF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由 【分析】 （1）利用 t 表示出 CD 以及 AE 的长，然后在直角CDF 中，利用直角三角形的性质求得 DF 的 长，即可证明； （2）易证四边形 AEFD 是平行四边形，当 ADAE 时，四边形 AEFD 是菱形，据此即可列方程求得 t 的值； （3）分两种情况讨论即
39、可求解 【解答】 （1）证明：直角ABC 中，C90A30 CD4t，AE2t， 又在直角CDF 中，C30， DFCD2t， DFAE； 解： （2）DFAB，DFAE， 四边形 AEFD 是平行四边形， 当 ADAE 时，四边形 AEFD 是菱形， 即 604t2t， 解得：t10， 即当 t10 时，AEFD 是菱形； （3）当 t时DEF 是直角三角形（EDF90） ； 当 t12 时，DEF 是直角三角形（DEF90） 理由如下： 当EDF90时，DEBC ADEC30 AD2AE CD4t， DF2tAE， AD4t， 4t+4t60， t时，EDF90 当DEF90时，DEEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， ADEF， DEAD， ADE 是直角三角形，ADE90， A60， DEA30， ADAE， ADACCD604t，AEDFCD2t， 604tt， 解得 t12 综上所述，当 t时DEF 是直角三角形（EDF90） ；当 t12 时，DEF 是直角三角形（ DEF90） 【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用 t 表示 DF、AD 的长是关键
