1、2020 年湖南省长沙市开福区中考数学二模试卷年湖南省长沙市开福区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式 引入负数如果收入 100 元记作+100 元那么80 元表示（ ） A支出 20 元 B收入 20 元 C支出 80 元 D收入 80 元 2 2020 年 1 月 17 日国家统计局发布数据， 初步核算， 2019 年我国国内生产总值超 99 万亿元， 达到 990865 亿元， 按可比价格计算， 比上年增长 6.1%， 符合 6%至 6.
2、5%的预期目标 分季度看， 一季度同比增长 6.4%， 二季度增长 6.2%，三季度增长 6.0%，四季度增长 6.0%将 99 万亿元用科学记数法表示为（ ）元 A991012 B991011 C9.91013 D991013 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ） A B C D 5下列说法正确的是（ ） A一个游戏的中奖概率是 则做 10 次这样的游戏一定会中奖 B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D若甲组数据的方差 S20.01，
3、乙组数据的方差 S20.1，则乙组数据比甲组数据稳定 6如图，ABC 中，C90，AC3，B30，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是（ ） A3.5 B4.2 C5.8 D7 7方程 x（x2）3x 的解为（ ） Ax5 Bx10，x25 Cx12，x20 Dx10，x25 8将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果43，则 的度数是（ ） A43 B47 C30 D60 9中国总理李克强 2020 年 6 月 1 日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人 间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起 来，国家才
4、能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济” 、 “马路经济” ，长沙 某地摊摊主将进价为 10 元的小商品提价 100%后再 6 折销售，该小商品的利润率（ ） A40% B20% C60% D30% 10如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0） ，B 是 y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC 的 余弦值为（ ） A B C D 11如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DHAB 于 H，则 DH 等于（ ） A B C5 D4 12如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，对称轴为直线 x1，与
5、 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点） ，下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0； 1a；4acb28a；其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13分解因式：ax29a 14函数的自变量 x 的取值范围是 15若+|b2|0，则（a+b）2020的值为 16生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉 50 只雀鸟，给它们做上标记后 放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉 200 只，其中有标记的雀鸟有 2 只请你帮助工作人员估计这 片山林中雀鸟的数
6、量约为 只 17一个多边形的内角和是 720，那么这个多边形是 边形 18如图，ABCD 中，E 是边 BC 上一点，AE 交 BD 于 F，若 BE2，EC3，则的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）先化简再求值：（+1）其中 a2021 21 （8 分）如图，在ABC 中，BC4，且ABC 的面积为 4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 交 AB 于 E， 交 AC 于 F，点 P 是A 上一点，且EPF45 （1）求证：BC 为A 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 22 （8 分）为了全面建
7、设“资源节约型、环境友好型”两型社会，我国正全力推进垃圾分类工作垃圾分 类通过分类投放、分类收集，把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝既提高垃圾资 源利用水平，又可减少垃圾处置量它是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段为了促进学生的 垃圾分类的意识与行动，市教育局决定开展“垃圾分类知识竞赛”活动某校团委为了落实此次活动， 组织全校 5000 名学生进行了“垃圾分类知识竞赛”初赛活动，并随机抽取了部分初赛同学的成绩，整理 并绘制成如图两个图表（部分末完成） 请你根据表中提供的信息，解答问题 分数段 频数 频率 60 x70 30 0.1 70 x80 90 n 80 x90 m
8、0.4 90 x100 60 0.2 （1）此次调查的样本容量为 ；m ；n ； （2）补全频数分布直方图； （3）已知全校共有四名同学均取得 100 分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校 团委将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或树状图法求甲、乙两名同学都被选中 的概率 23 （9 分）为全力做好新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓 延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，自 2020 年 1 月 23 日 10 时起，武汉市全市公交、地铁、轮 渡、长途客运暂停运营；无特殊原因，市民不要离开武汉，机场、火车站离汉通道暂时
9、关闭同时为了 加强救治新型肺炎患者，武汉参照北京小汤山医院模式，积极筹建火神山和雷神山医院在“两山”医 院的建设过程中，有大量的土方需要运输 “武安”车队有载重量为 8 吨，10 吨的卡车共 12 辆，全部车 辆运输一次能运输 110 吨土方 （1）求“武安”车队载重量为 8 吨、10 吨的卡车各有多少辆？ （2）随着工程的进展， “武安”车队需要一次运输沙石 165 吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种 卡车共 6 辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出 24 （9 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 有对角线 AC、BD 相交于 O，有直角MPN，使直角顶点 P 与 点 O 重合，
10、直角边 PM、PN 分别与 OA、OB 重合，然后逆时针旋转，旋转角为 （090） ，PM、 PN 分别交 AB、BC 于 E、F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G （1）求四边形 OEBF 的面积； （2）若 OGOB1，求 EF 的长； （3）在旋转过程中，当BEF 与COF 的面积之和最大时，求 AE 的长 25 （10 分）定义：正实数 a、b、c 满足其中一个数的平方等于另外两个数的乘积，则称实数 a、b、c 为比 例实数组 （1）若 a4，b9，且实数 a、b、c 为比例实数组求 c 的值； （2）四边形 ABCD，ADBC，ADCD，BCAD，ABAC，BD 平分ABC，求证
11、：ABC 的三边长 是比例实数组； （3）已知抛物线 yax2+（b+1）x+（b1）与直线 yx 相交于点为 A、B，且 A、B 两点关于直线 y cx+a1 对称，当 b 最大时，实数 a、b、c 是否为比例实数组，请说明理由 26 （10 分）如图，抛物线 ymx2+4mx12m（m0）与 x 轴相交于点 A、B（点 A 在点 B 的右边） ，顶点 为 C （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若ABC 为等边三角形，点 M（x0，y0）为抛物线 ymx2+4mx12m（m0）上任意一点，总有 n my02+40y0298 成立，求 n 的最小值； （3）若 m，点 P 为 x 轴上一动
12、点，若 CAB+CPB，当 tan4 时，求 P 点的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式 引入负数如果收入 100 元记作+100 元那么80 元表示（ ） A支出 20 元 B收入 20 元 C支出 80 元 D收入 80 元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示 【解答】解：根据题意，收入 100 元记作+100 元， 则80 表示支出 80 元 故选：C 2 2020 年 1
13、 月 17 日国家统计局发布数据， 初步核算， 2019 年我国国内生产总值超 99 万亿元， 达到 990865 亿元， 按可比价格计算， 比上年增长 6.1%， 符合 6%至 6.5%的预期目标 分季度看， 一季度同比增长 6.4%， 二季度增长 6.2%，三季度增长 6.0%，四季度增长 6.0%将 99 万亿元用科学记数法表示为（ ）元 A991012 B991011 C9.91013 D991013 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对
14、值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：99 万亿99 万1089900001089.91013 故选：C 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 4不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ） A B C D 【分析】分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部
15、分 【解答】解：由x1，得 x1， 则不等式组的解集为1x3 故选：C 5下列说法正确的是（ ） A一个游戏的中奖概率是 则做 10 次这样的游戏一定会中奖 B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D若甲组数据的方差 S20.01，乙组数据的方差 S20.1，则乙组数据比甲组数据稳定 【分析】利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的 答案 【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是，则做 10 次这样的游戏可能中奖，故本选项错误； B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应
16、采用抽查的反思调查，故本选项错误； C、数据 8，8，7，10，6，8，9 中 8 出现的次数最多的为 8，故众数为 8，排序后中位数为 8，故本选 项正确； D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误 故选：C 6如图，ABC 中，C90，AC3，B30，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是（ ） A3.5 B4.2 C5.8 D7 【分析】利用垂线段最短分析 AP 最小不能小于 3；利用含 30 度角的直角三角形的性质得出 AB6，可 知 AP 最大不能大于 6此题可解 【解答】解：根据垂线段最短，可知 AP 的长不可小于 3； ABC 中，C90，AC3
17、，B30， AB6， AP 的长不能大于 6 故选：D 7方程 x（x2）3x 的解为（ ） Ax5 Bx10，x25 Cx12，x20 Dx10，x25 【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x（x2）3x， x（x2）3x0， x（x23）0， x0，x230， x10，x25， 故选：B 8将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果43，则 的度数是（ ） A43 B47 C30 D60 【分析】如图，延长 BC 交刻度尺的一边于 D 点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求 角转化到 RtCDE 中，利用内角和定理求解 【解答】解：
18、如图，延长 BC 交刻度尺的一边于 D 点， ABDE， EDC， 又CED43， ECD90， EDC90CED904347， 故选：B 9中国总理李克强 2020 年 6 月 1 日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人 间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起 来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济” 、 “马路经济” ，长沙 某地摊摊主将进价为 10 元的小商品提价 100%后再 6 折销售，该小商品的利润率（ ） A40% B20% C60% D30% 【分析】设该小商品的利润率为
19、 x，根据利润售价进价，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即 可得出结论 【解答】解：设该小商品的利润率为 x， 依题意，得：10（1+100%）0.61010 x， 解得：x0.220% 故选：B 10如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0） ，B 是 y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC 的 余弦值为（ ） A B C D 【分析】 根据圆周角定理得出BCDO， 得出OBC 的余弦值为CDO 的余弦值， 再根据 CD10， CO5，得出 DO5，进而得出答案 【解答】解：连接 CA 并延长到圆上一点 D， CD 为直径，CODyOx90， 直径为 10 的A 经过
20、点 C（0，5）和点 O（0，0） ， CD10，CO5， DO5， BCDO， OBC 的余弦值为CDO 的余弦值， cosOBCcosCDO 故选：C 11如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DHAB 于 H，则 DH 等于（ ） A B C5 D4 【分析】根据菱形性质求出 AO4，OB3，AOB90，根据勾股定理求出 AB，再根据菱形的面积 公式求出即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， AOOC，BOOD，ACBD， AC8，DB6， AO4，OB3，AOB90， 由勾股定理得：AB5， S菱形ABCD， ， DH， 故选：A 12如图，已知二次函数 yax2+bx
21、+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，对称轴为直线 x1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点） ，下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0； 1a；4acb28a；其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】先由抛物线的对称性求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0） ，从而可知当 x3 时，y 0； 由抛物线开口向下可知 a0，然后根据 x1，可知：2a+b0，从而可知 3a+b0+aa0； 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ，则 yax22ax3a，令 x0 得：y3a由抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间
22、，可知 23a3由 4acb28a 得 c20 与题意不符 【解答】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0） ，当 x3 时，y0， 故正确； 抛物线开口向下，故 a0， x1， 2a+b0 3a+b0+aa0，故正确； 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ，则 yax22ax3a， 令 x0 得：y3a 抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间， 23a3 解得：1a，故正确； 抛物线 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间， 2c3， 由 4acb28a 得：4ac8ab2， a0， c2 c20 c2，与 2c3 矛盾，故错
23、误 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13分解因式：ax29a a（x+3） （x3） 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：ax29a a（x29） ， a（x+3） （x3） 故答案为：a（x+3） （x3） 14函数的自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】 此题对函数中 x的取值范围的求解可转化为使分式有意义， 分式的分母不能为 0的问题 【解答】解：根据题意 x20， 解得 x2 故答案为：x2 15若+|b2|0，则（a+b）2020的值为 1 【分析】首先根据非负
24、数的性质可求出 a、b 的值，进而可求出 a、b 的和 【解答】解：+|b2|0， a+30，b20， a3，b2； 因此 a+b3+21 则（a+b）2020（1）20201 故答案为：1 16生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉 50 只雀鸟，给它们做上标记后 放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉 200 只，其中有标记的雀鸟有 2 只请你帮助工作人员估计这 片山林中雀鸟的数量约为 5000 只 【分析】 由题意可知： 重新捕获 200 只， 其中带标记的有 2 只， 可以知道， 在样本中， 有标记的占到 而 在总体中，有标记的共有 50 只，根据比例即可解答 【
25、解答】解：根据题意得： 505000（只） ， 答：估计这片山林中雀鸟的数量约为 5000 只； 故答案为：5000 17一个多边形的内角和是 720，那么这个多边形是 六 边形 【分析】n 边形的内角和可以表示成（n2） 180，设这个正多边形的边数是 n，就得到方程，从而求 出边数 【解答】解：这个正多边形的边数是 n，则 （n2） 180720， 解得：n6 则这个正多边形的边数是六， 故答案为：六 18如图，ABCD 中，E 是边 BC 上一点，AE 交 BD 于 F，若 BE2，EC3，则的值为 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC，ADBC，继而可判定BEFDA
26、F，根据相 似三角形的对应边成比例，即可得 BF：DFBE：AD 问题得解 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， BE2，EC3， BCADBE+CE2+35， ADBC， BEFDAF， BE：ADBF：DF2：5， 即， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点针对每个考点分别 进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式2+1 2+313 1 20 （6 分）先化简再求值：（+1）其中 a2
27、021 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 a2021 时，原式1 21 （8 分）如图，在ABC 中，BC4，且ABC 的面积为 4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 交 AB 于 E， 交 AC 于 F，点 P 是A 上一点，且EPF45 （1）求证：BC 为A 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）过点 A 作 ADBC 于点 D，根据切线的判定即可求出答案 （2）根据圆周角定理可求出BAC90，然后根据扇形面积公式求出扇形 AEF 的面积，利用ABC
28、 的面积以及扇形 AEF 的面积即可求出答案 【解答】解： （1）过点 A 作 ADBC 于点 D， ABC 的面积为 4， BCAD4， AD2， A 的半径为 2， BC 是A 的切线 （2）EPF45， 由圆周角定理可知：BAC90， S扇形AEF， 阴影部分的面积为 4 22 （8 分）为了全面建设“资源节约型、环境友好型”两型社会，我国正全力推进垃圾分类工作垃圾分 类通过分类投放、分类收集，把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝既提高垃圾资 源利用水平，又可减少垃圾处置量它是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段为了促进学生的 垃圾分类的意识与行动，市教育局决定开展“垃圾
29、分类知识竞赛”活动某校团委为了落实此次活动， 组织全校 5000 名学生进行了“垃圾分类知识竞赛”初赛活动，并随机抽取了部分初赛同学的成绩，整理 并绘制成如图两个图表（部分末完成） 请你根据表中提供的信息，解答问题 分数段 频数 频率 60 x70 30 0.1 70 x80 90 n 80 x90 m 0.4 90 x100 60 0.2 （1）此次调查的样本容量为 300 ；m 120 ；n 0.30 ； （2）补全频数分布直方图； （3）已知全校共有四名同学均取得 100 分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校 团委将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或
30、树状图法求甲、乙两名同学都被选中 的概率 【分析】 （1）根据频率计算即可 （2）根据 m 的值补全频数分布直方图即可； （2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中甲、乙两名同学的概率 【解答】解： （1）此次调查的样本容量为 300.1300（人） ， m3000.4120（人） ，n0.30 故答案为：300；120；0.30； （2）补全频数分布直方图如图： （3）画树状图如图： 共有 12 种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有 2 种， 甲、乙两名同学都被选中的概率为 23 （9 分）为全力做好新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，有效切断病毒传播途径，坚决遏
31、制疫情蔓 延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，自 2020 年 1 月 23 日 10 时起，武汉市全市公交、地铁、轮 渡、长途客运暂停运营；无特殊原因，市民不要离开武汉，机场、火车站离汉通道暂时关闭同时为了 加强救治新型肺炎患者，武汉参照北京小汤山医院模式，积极筹建火神山和雷神山医院在“两山”医 院的建设过程中，有大量的土方需要运输 “武安”车队有载重量为 8 吨，10 吨的卡车共 12 辆，全部车 辆运输一次能运输 110 吨土方 （1）求“武安”车队载重量为 8 吨、10 吨的卡车各有多少辆？ （2）随着工程的进展， “武安”车队需要一次运输沙石 165 吨以上，为了完成任务，准备新
32、增购这两种 卡车共 6 辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出 【分析】 （1）设“武安”车队载重量为 8 吨的卡车有 x 辆，载重量为 10 吨的卡车有 y 辆，根据“车队有 载重量为 8 吨，10 吨的卡车共 12 辆，全部车辆运输一次能运输 110 吨土方” ，即可得出关于 x，y 的二元 一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 m 辆载重量为 8 吨的卡车，则购进（6m）辆载重量为 10 吨的卡车，根据“武安”车队需 要一次运输沙石 165 吨以上，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数即可得出各购买方案 【解答】解： （1）设“武
33、安”车队载重量为 8 吨的卡车有 x 辆，载重量为 10 吨的卡车有 y 辆， 依题意，得：， 解得： 答： “武安”车队载重量为 8 吨的卡车有 5 辆，载重量为 10 吨的卡车有 7 辆 （2）设购进 m 辆载重量为 8 吨的卡车，则购进（6m）辆载重量为 10 吨的卡车， 依题意，得：110+8m+10（6m）165， 解得：m 又m 为正整数， m 可以取 1，2， 车队有 2 种购买方案，方案 1：购进 1 辆载重量为 8 吨的卡车，5 辆载重量为 10 吨的卡车；方案 2： 购进 2 辆载重量为 8 吨的卡车，4 辆载重量为 10 吨的卡车 24 （9 分）如图，边长为 1 的正方
34、形 ABCD 有对角线 AC、BD 相交于 O，有直角MPN，使直角顶点 P 与 点 O 重合，直角边 PM、PN 分别与 OA、OB 重合，然后逆时针旋转，旋转角为 （090） ，PM、 PN 分别交 AB、BC 于 E、F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G （1）求四边形 OEBF 的面积； （2）若 OGOB1，求 EF 的长； （3）在旋转过程中，当BEF 与COF 的面积之和最大时，求 AE 的长 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是正方形，直角MPN，易证得BOECOF（ASA） ，则可证得 S四边形 OEBFSBOC S正方形ABCD； （2）易证得OEGOBE，然后由相似
35、三角形的对应边成比例，证得 OGOBOE2，再利用 OE 与 EF 的关系，即可证得结论； （3）首先设 AEx，则 BECF1x，BFx，继而表示出BEF 与COF 的面积之和，然后利用二 次函数的最值问题，求得 AE 的长 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， OBOC，OBEOCF45，BOC90， BOF+COF90， EOF90， BOF+COE90， BOECOF， 在BOE 和COF 中， ， BOECOF（ASA） ， S四边形OEBFSBOE+SBOESBOE+SCOFSBOCS正方形ABCD11 （2）证明：EOGBOE，OEGOBE45， OEGOBE， OE
36、：OBOG：OE， OGOBOE21， OE0， OE1， OEOF，EOF90， EFOA （3）如图，过点 O 作 OHBC， BC1， OHBC， 设 AEx，则 BECF1x，BFx， SBEF+SCOFBEBF+CFOHx（1x）+（1x）（x）2+， a0， 当 x时，SBEF+SCOF最大； 即在旋转过程中，当BEF 与COF 的面积之和最大时，AE 25 （10 分）定义：正实数 a、b、c 满足其中一个数的平方等于另外两个数的乘积，则称实数 a、b、c 为比 例实数组 （1）若 a4，b9，且实数 a、b、c 为比例实数组求 c 的值； （2）四边形 ABCD，ADBC，AD
37、CD，BCAD，ABAC，BD 平分ABC，求证：ABC 的三边长 是比例实数组； （3）已知抛物线 yax2+（b+1）x+（b1）与直线 yx 相交于点为 A、B，且 A、B 两点关于直线 y cx+a1 对称，当 b 最大时，实数 a、b、c 是否为比例实数组，请说明理由 【分析】 （1）由比例实数组的定义，分三种情况可求解； （2）通过证明ADCCAB，可得，可得结论； （3）由轴对称的性质可求 c1，由根与系数关系可求 ba2+a（a）2+，由二次函数的性 质可求当 a时，b 有最大值为，即可求解 【解答】解： （1）a4，b9，且实数 a、b、c 为比例实数组， a2bc 或 b2
38、ac 或 c2ab， a4，b9， c或 c或 c6； （2）BD 平分ABC， ABDCBD， ADBC， ADBCBD， ADBABD， ADAB， ADBC， DACACB， 又ADCCAB90， ADCCAB， ， AC2DABCABBC， ABC 的三边长是比例实数组； （3）实数 a、b、c 是比例实数组， 理由如下： 抛物线 yax2+（b+1）x+（b1）与直线 yx 相交于点为 A、B，且 A、B 两点关于直线 ycx+a 1 对称， 直线 ycx+a1 与直线 yx 互相垂直， 如图：设直线 ycx+a1 与 x 轴交于 E 点，与 y 轴交于点 F，与直线 yx 交于点
39、H， 点 F（0，a1） ， OFa1， 直线 yx 与 x 轴所成锐角HOE45，EFOH， FEO45， EFOFEO45， OEOFa1， 点 E（a1，0） ， 0c（a1）+a1， c1， 点 A、B 在一次函数 yx 上，A、B 两点关于直线 yx+a1 对称， xA+xBa1， 令 ax02+（b+1）x0+（b1）x0，则 xA+xB， a1， ba2+a（a）2+， 当 a时，b 有最大值为， （）21， a2bc， 实数 a、b、c 是比例实数组 26 （10 分）如图，抛物线 ymx2+4mx12m（m0）与 x 轴相交于点 A、B（点 A 在点 B 的右边） ，顶点 为
40、 C （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若ABC 为等边三角形，点 M（x0，y0）为抛物线 ymx2+4mx12m（m0）上任意一点，总有 n my02+40y0298 成立，求 n 的最小值； （3）若 m，点 P 为 x 轴上一动点，若 CAB+CPB，当 tan4 时，求 P 点的坐标 【分析】 （1）令 ymx2+4mx12m0，解得 x2 或6，即可求解； （2）设 tmy02+40y0298，则 t4y02+40y0+24（y05）22984（4 5）2+210，故有 n10，即可求解； （3）证明 MCH，在CHM 中，tanCMH，tanMCHtan4，利用三角形的边角关
41、系即 可求出点 H 的坐标，进而求解 【解答】解： （1）令 ymx2+4mx12m0，解得 x2 或6， 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （6，0） ； （2）由点 AB 的坐标知，AB8，函数的对称轴为 x2， 当 x2 时，ymx2+4mx12m16m， ABC 为等边三角形，则 yCACsinCABABsin6084， 故点 C 的坐标为（2，4） ， 则16m4，解得 m， 则抛物线的最大值为 4，即 y04， 设 tmy02+40y0298， 则 t4y02+40y0+24（y05）22984（45）2+210， 故有 n10，解得 n， 故 n 的最小值为； （3）连接
42、 BC 并延长交 y 轴于点 M，设直线 CP 与 y 轴交于点 H， 过点 H 作 HKCM 于点 K， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 y2x+12，则点 M（0，12） ， 则 tanCBA2，则 tanCMH， 由点 C、M 的坐标得，CM， 根据函数的对称性，BCCA，则ABCCAB， 则 CAB+CPBCBA+CPBMCH， 在CHM 中，tanCMH，tanMCHtan4， 则设 HK4x，则 CKx，MK8x， 则 CMCK+KMx+8x9x，解得 x， HMx， 则 OH12，故点 H（0，） ， 由点 C、H 的坐标得，直线 CH 的表达式为 yx+， 令 y0，则 x34， 故点 P 的坐标为（34，0）
