1、常州市教育学会学业水平监测 高三数学 2020年11月 注意事项： 1答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2做答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号回答非选择题时， 将答案写在答题卡上写在本试卷 上无效 3考试结束后， 将答题卡交回 一、 选择题： 本题共8小题， 每小题5分， 共40分在每小题给出的四伐项中， 只有一项是符合题 目要求的 1己知集合A=-2,-1,0,1,2 , B=yy=x2,则A(CRB)= () A-2,-1 B-2,-1,0C0,1,2 D1,2 【答
2、案】 A 2i是虚数单位， 复数 1+ 3i -i = () A - 3 -iB- 3 +iC 3 -iD 3 +i 【答案】 B 3tan15= () A- 3 -1B2- 3C 3 +1D2+ 3 【答案】 B 4函数y=sin2x的图象可由函数y=cos(2x+ 6 )的图像 () A向左平移 12 个单位得到 B向右平移 6 个单位得到 C向左平移 4 个单位得到 D向右平移 3 个单位得到 【答案】 D 5己知函数 f(x)=x2+alnx,a0若曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线是曲线 y=f(x)的所 有切线中斜率最小的， 则a= () A 1 2 B 1C 2 D 2 【
3、答案】 D 6某校全体学生参加物理实验、 化学实验两项操作比赛， 所有学生都成功完成了至少一项实验， 其中成功完成物理实验的学生占62%,成功完成化学实验的学生占56%,则既成功完成物理 实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是 () A44%B38%C18% D6% 【答案】 C 1 7声强是表示声波强度的物理量， 记作I由于声强I的变化范围非常大， 为方便起见， 引入声强 级的概念， 规定声强级L=lg I I0 ,其中I0=10-20W/m2,声强级的单位是贝尔， 1 10 贝尔又称为1 分贝生活在 30 分贝左右的安静环境有利于人的睡眠， 而长期生活在 90 分贝以上的噪音环 境
4、中会严重影响人的健康根据所给信息， 可得 90 分贝声强级的声强是 30 分贝声强级的声 强的 () A 3倍B103倍C106倍 D109倍 【答案】 C 8己知奇函数 f(x) 在 ( -, +) 上单调递减， 且 f(1) =-1则 “x -1” 是 “xf(x) b0,cR ,则下列不等式中正确的有 () A a2b2 Bac2bc2 C 1 a 1 b D 1 a-b 1 a+b 【答案】 ABD 10i是虚数单位， 下列说法中正确的有 () A若复数z满足zz =0 ,则z=0 B若复数z1,z2满足z1+z2=z1-z2,则z1z2=0 C若复数z=a+ai(aR),则z可能是纯
5、虚数 D若复数z满足z2=3+4i,则z对应的点在第一象限或第三象限 【答案】 AD 11已知等差数列an的公差d0， 前n项和为Sn， 若S6=S12,则下列结论中正确的有 () Aa1:d=-17:2 BS18=0 C当 d0时， a6+a140 D当 da14 【答案】 ABC 12对于定义域为D的函数f(x),若存在区间m,nD满足： f(x)在m,n上是单调函数， 当 x m,n 时， 函数 f(x) 的值域也是 m,n， 则称 m,n 为函数 f(x) 的 “ 不动区间 ” 则下列函数中存在“不动区间”的有 () Af(x)=-2x B f(x)= 2 x +1 2 C f(x)=
6、x2+2x D f(x)=3x-2 【答案】 CD 三、 墳空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分 13平面内， 不共线的向量a,b满足a+b =2a-b ,且a =a-2b ,则a,b的夹角的余弦 值为 【答案】 2 2 14函数y=x+b的图象与函数y=2x 1 2的图象有且仅有 一个公共点， 则实数b的取值范围为 【答案】 (-,0)1 15欧几里得在 几何原本 中， 以基本定义、 公设和公理作为全书推理 的出发点其中第 I 卷命题 47 是著名的毕达哥拉斯定理 ( 勾股定 理)， 书中给出了一种证明思路： 如图， RTABC中， BAC=90， 四边形 ABHL、 ACFG、
7、BCDE 都是正方形， AN DE 于点 N, 交BC 于点 M先证 ABE 与 HBC 全等 ， 继而得到矩形 BENM与正方形 ABHL 面积相等； 同理可得到矩形 CDNM与正 方形 ACFG 面积相等； 进一步定理可得证在该图中， 若 tanBAE = 1 3 , 则 sinBAE = 【答案】 2 10 16己知数列an中， a1= 1 2 ， 且对任意正整数m,n,mn 都有等式2aman=am+n+am-n成立， 那么a2020= 【答案】 - 1 2 四、 解答题： 本题共6小题， 共70分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 17(10 分) 在bc=4 ， acosB=
8、1,sinA=2sinB这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问 题中的三角形存在， 求C的值； 若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题： 是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别a,b,c,且bcosC=1, csinA=2sinC, 注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分 解： ； csinA=2sinC， 由正弦定理得： ac=2c， 又c0， 故a=2 3 sinA=2sinB， 由正弦定理得： a=2b， 故b=1 又bcosC=1， 则cosC=1， 又C为ABC内角， 不存在这样的角C 故该三角形不存在 18(12 分) 己知平面向量a是单位向量， 向量
9、b=(1, 3) (1)若ab,求a的坐标； (2)若(a-b)a,求a的坐标 解： (1)因为a /b， 故可设a =b =(, 3) 又a 为单位向量， 故： 2+32=1， 得： = 1 2 ， 故a =( 1 2 , 3 2 )或a =(- 1 2 ,- 3 2 )； (2)设a =(x,y)， 则： a -b =(x-1,y- 3)， 由题意知： x2+y2=1 x2-x+y2- 3y=0 x=1 y=0 或 x=- 1 2 y= 3 2 a =(1,0)或a =(- 1 2 , 3 2 ) 19(12 分) 已知公差为整数的等差数列an满足a2a3=15,且a4=7 (1)求数列a
10、n的通项公式an； (2)求数列an3n的前n项和Sn 解： (1)设公差为d， dZ， 由题意知： (a1+d)(a1+2d)=15 a1+3d=7 a1=1 d=2 an=a1+(n-1)d=2n-1； (2)an3n=(n-1)3n+1-(n-2)3n 故Sn=032-(-1)31+133-032+(n-1)3n+1-(n-2)3n=(n-1)3n+1+3 20(12 分) 已知函数f(x)=x+ a ex ,其中aR， e是自然对数的底数 4 (1)当a=1时， 求函数f(x)在区间0,+)的零点个数； (2)若f(x)0 故f(x)在0,+)递增， 又f(0)=-1， f(1)=1-
11、e-10 f(0)f(1)0， 故f(x)在(0,1)上存在唯一零点 因此f(x)在区间0,+)的零点个数是1个； (2)x-1， x+ae-x ex 2 恒成立， 即x-1， a e2x 2 -xex恒成立 令g(x)= e2x 2 -xex， x-1， 则ag(x)min g(x)=(ex-x-1)ex， 令h(x)=ex-x-1， x-1 h(x)=ex-1， x-1,0)时， h(x)0时， h(x)0 故h(x)在-1,0)递减， (0,+)递增， 因此h(x)h(0)=0 所以， g(x)0， 故g(x)在-1,+)递增 故g(x)min=g(-1)= e-2+2e-1 2 ， 因
12、此a e-2+2e-1 2 21(12 分) 已知集合 A =xx=2n-1,nN , B =xx=2n,nN ,将 A B 中的所有元素按从小到 大的顺序排列构成数列an， 设数列an的前n项和为Sn (1)求S7的值； (2)若am=2k(其中kN ),试用k表示m和S m； (3)求使得Sn2020成立的最大的n的值， 并求此时的Sn的值 由条件可知： S7=1+2+3+4+5+7+8=30； 由Sn=1,21,3,22,5,7,23,9,11,13,15,24 2k为此数列的第2k-1+k项， 故m=2k-1+k 设an=2m， 则Sn=(21-1)+(22-1)+(22k-1-1)+
13、2+22+2k = 2m-11+22m-1-1 2 + 2(1-2m) 1-2 =22m-2+2m+1-2 5 (3)数列an的前n项依次为： 1， 2， 3， 22， 5， 7， 23， 利用列举法可得： 当n=49时， AB中的所有元素从小到大依次排列， 构成一个数列an， 所以数列an的前49项分别1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23， 25， ， 69， 2， 4， 8， 16， 32， 64 Sn= 43(43-1) 2 2 + 2(26-1) 2-1 =1849+27-2=19752020 所以n的最大值49， 故S49=1975. 2
14、2(12 分) 己知函数f(x)=ax2-(4a+1)x+9a+2lnx,其中a0 (1)若a= 1 2 ,求函数f(x)的单调区间； (2)e是自然对数的底数， 若对任意的b4 ,当x( 1 e ,b时， f(x)f(b)恒成立, 求实数a的取值 范围 (1)解： a= 1 2 fx = 1 2 x2-3x+ 9 2 +2lnxfx =x-3+ 2 x = x2-3x+2 x = x-1x-2 x 令fx 00x2fx 在0,1 和2,+ 上递增； fx 01x2fx 在1,2 上递减. 综上： 若a= 1 2 ， fx 的增区间为0,1 和2,+ ； 减区间为1,2 . fx =ax2-4
15、a+1 x+9a+2lnxfx =2ax-4a+1 + 2 x = 2ax2-4a+1 x+2 x fx = 2ax-1x-2 x 6 当a= 1 4 时， 此时fx 0fx 在0,+ 上递增， 此时满足条件； 当0a 4， 当x 1 e ,b 时， fx fb 恒成立， 则有： 1 2a 4 f4 f2 1-ln2 2 a 1 4 时， 此时fx 在 0, 1 2a 和2,+ 上递增； 1 2a ,2 上递减； 1当 1 2a 1 e 1 4 a e 2 时， 此时需满足： f 1 2a f4 2当 1 2a e 2 时， 此时需满足： f 1 e fb 且f 1 2a f 1 e 综合1、 2此时只需满足a 1 4 ， f 1 2a f4 即可 f 1 2a f4 9a 4 +2ln4-4-2ln 1 2a 0， 令ga = 9a 4 +2ln4-4-2ln 1 2a ga = 9a 4 +2ln4-4-2ln 1 2a = 9 4 + 2 a 0 ga 在 1 4 ,+ 上递增ga g 1 4 0 a 1 4 ,+ ， f 1 2a f4 恒成立 综上： a 1-ln2 2 7
