1、2020-2021学年度第一学期高三年级期中抽测2020-2021学年度第一学期高三年级期中抽测 数学试题数学试题 注意事项: 1答卷前， 考生务公将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮 擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本题共8小题， 每小题5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的。 1 已如集合A=xx 2，B=xx2-x-20，
2、 则下列结论正确的是 () A AB=R BAB C A(CRB) DA(CRB) 答案： C 提示： A=xx2或x2,B=x1x2, 故A(CRB). 2复数z= i 1+2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 () A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 提示： z= 2 5 + i 5 ,故在第一象限. 3有4名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动， 每名同学都只去 1个小区， 每个小区至 少安排1名同学， 则不同的安排方法为 () A6种 B12种 C36种 D72种 答案： C 提示： C2 4A 3 3=36. 4如图，宋人扑枣图轴 是作于宋朝
3、的中国古画， 现收藏于中国台北故宫博物院， 有甲、 乙两人想根据该图编排一个舞蹈， 舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、 扶、 捡、 顶 中的两个动作， 每人模仿一个动作， 若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作， 则 甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡的概率是 () A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 答案： C 提示： 22 44 = 1 4 . 5唐代诗人李颀的诗 古从军行 开头两句说:“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个 有趣的数学问题“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再 回军营， 怎样走才能使总路程最短
4、?在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为x2+y21,若将军从点 A(4, - 3) 处出发， 河岸线所在直线方程为 x + y = 4, 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军 营， 则“将军饮马”的最短总路程为 () A8B7C6D5 1 答案： C 提示： 点A关于直线x+y=4对称的点为(7,0)， 则最短距离为7-1=6. 6在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = AD = 1, AA1= 2， 设 AC 交 BD 于点 O， 则异面直线 A1O 与 BD1所成角的余弦值为 () A - 415 15 B 415 15 C- 4 3 9 D 4 3 9 答案： D 提
5、示： 建系或补形可知cos= 4 3 9 . 7若偶函数f(x)满足f(x)f(x+1)=2020，f(-2)=-1, 则f(2021)= () A-2020 B-1010 C1010 D2020 答案： A 提示： T=2,f(2021)=f(1)= 2020 f(0) = 2020 f(2) =2020. 8十九世纪下半叶集合论的创立， 奠定了现代数学的基础著名的“ 康托三分集 是数学理性思维的 构造产物， 具有典型的分形特征， 其操作过程如下 :将闭区间0,1均分为三段， 去掉中间的区间段 ( 1 3 , 2 3 )， 记为第一次操作； ， 再将剩下的两个区间0, 1 3 ， 2 3 ,
6、1分别均分为三段， 并各自去掉 中间的区间段， 记为第二次操作； ， 如此这样， 每次在上一次操作的基础上， 将剩下的各个区间分别 均分为三段， 同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去， 以至无穷， 剩下的区间集合即 是“ 康托三分集 ， 若使去掉的各区间长度之和不小于 9 10 ， 则需要操作的次数 n 的最小值为 () (参考数据: lg2=03010， lg3=04771) A4B5C6D7 答案： C 提示： 去掉长度之和Sn= 1 3 + 2 9 +.+ 2n1 3n =1( 2 3 )n 9 10 n6. 二、 选择题:本题共4小题， 每小题5分， 共20分。在每小题给出的
7、选项中， 有多项符合题目要求。全部选 对的得5分， 有选错的得0分， 部分选对的得3分。 9已知曲线C的方程为 x2 9-k + y2 k-1 =1(kR) A当K=5时， 曲线C是半径为2的圆 B当K=0时， 曲线C为双曲线， 其渐近线方程为y= 1 3 x C存在实数k， 使得曲线C为离心率为 2的双曲线 D“k1”是“曲线C为焦点在x轴上的精圆”的必要不充分条件 答案： ABD 提示： 对C： 1+ k-1 9-k = 2 k=4,得到椭圆矛盾. 10设a0，b0, 则 () A(a+2b)( 1 a + 2 b )9 Ba2+b22(a+b+1) 2 C a2 b + b2 a a+b
8、 D a2+b2 a+b ab 答案： ACD 提示： 对B： a2+b22(a+b1)， 故B错. 11如图BC,DE是半径为1的圆O的两条不同的直径 BF=2 FO,则 () A BF= 1 3 FC B FD FE=- 8 9 C-1cos- 4 5 D满足 FC= FD+ FE的实数与的和为定值4 答案： BCD 提示： 对A， BF= 1 2 FC . 12在现代社会中， 信号处理是非常关键的技术， 我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受 到， 而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数， 函数f(x) = 4 i=1 sin(2i-1)x 2i-1 的图象就可以近 似的模拟某种信
9、号的波形， 则 () A函数f(x)为周期函数， 且最小正周期为 B函数f(x)的图象关于点(2,0)对称 C函数f(x)的图象关于直线x= 2 对称 D函数f(x)的导函数f(x)的最大值为4 答案： BCD 提示： 对A： f(x)=sinx+ sin3x 3 + sin5x 5 + sin7x 7 ,周期为2. 三、 填空题:本题共4小题， 每小题5分， 共20分。 13(x2+1)(x- 2 x )6展开式中含x2的项的系数为 答案： -100 提示：（-2） 3C3 6+ （-2） 2C3 6=-100. 14某学习小组研究一种卫星接收天线 ( 如图所示 )， 发现其曲面与轴截面的交
10、线为抛物线， 在轴截 面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线， 经反射聚焦到焦点处(如图所示), 已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m 3 答案： 1.44 提示： 设y2=2px,代入点(1,2.4). 15 已知(- 2 ,0),sin( 4 +)= 3 5 ， 则tan2的值为 答案： -7 24 提示： tan= sin( 4 + 4 ) cos( 4 + 4 ) = 1 7 ,tan2= 7 24 . 16在平面四边形ABCD中， AB=CD=1,BC= 2,AD=2,ABC=90， 将ABC沿AC折成三棱 锥， 当三棱锥
11、B-ACD的体积最大时， 三棱锥外接球的体积为 答案： 4 3 提示： 易知DCA=90,当面ADC面ABC时体积最大， 此时外接圆半径为1， 故其体积为 4 3 . 四、 解答题:本题共6小题， 共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17 (10 分) 在ccosB+bcosC=2,bcos( 2 -C)=ccosB,sinB+cosB= 2这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在， 求ABC的面积:若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A= 6 ,_,b=4? 注:如果选择多个条件分别解
12、答， 按第一个解答计分 解： 选； sinB+cosB= 2 sin2B+cos2B=1 B(0,) B= 4 ， 又A= 6 ， 则C= 7 12 ， 即这样的三角形存在 由正弦定理： a sinA = b sinB ， 得： a= bsinA sinB =2 2 sinC=sin( 3 + 4 )=sin 3 cos 4 +cos 3 sin 4 = 6 +2 4 因此， SABC= 1 2 absinC=2 3 +2 18 (12分) 设Sn为数列an的前n项和， 满足2Sn=3an-a1且a2,a3+2,a4-8成等差数列。 (1)求数列an的通项公式: (2)设bn= n an ，
13、求数列bn的前n项和Tn。 解： (1)因为2Sn=3an-a1 令n=2得： 2S2=3a2-a1=2a1+2a2a2=3a1 同理令n=3， 4可得： a3=9a1， a4=27a1 由题意知： 2(a3+2)=a2+a4-8 4 即2(9a1+2)=3a1+27a1-8， 解得： a1=1 因此， 2Sn=3an-1， 则2Sn-1=3an-1-1， n2 2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1， 即2an=3an-3an-1， 即： an=3an-1， n2 又a1=10， 所以， an an-1 =3， 所以， 数列an为等比数列， 首项为1， 公比为3 所以， an=3n-1；
14、(2)bn= n 3n-1 = 1 4 ( 2n+1 3n-2 - 2n+3 3n-1 ) 所以， Tn= 1 4 ( 3 3-1 - 5 30 + 5 30 - 7 31 + 2n+1 3n-2 - 2n+3 3n-1 )= 9 4 (1- 2n+3 3n+1 ) 19(12分) 某生物研究所为研发一种新疫苗， 在200只小白鼠身上进行科研对比实验， 得到如下 统计数据: 未感染病毒感染病毒总计 未注射疫苗35xy 注射疫苗65zw 总计100100200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只， 取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 13 20 (1)能否有999%的把握认为注射此种疫苗有效? (2
15、)现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析， 记注射疫苗的小白鼠只数为X， 求X的概率 分布和数学期望EX 附: K2= n(ad-bc)2 a+bc+da+cb+d ,n=a+b+c+d, P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k02.7063.8415.0246.6357.87910.828 解： (1)由题意知： x 35+x = 13 20 ， 解得： x=65， 则y=100， w=100， z=35 K2= 200(352-652)2 100100100100 =1810.828 答： 能有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效； (2)P(X
16、=0)= C2 65 C2 100 = 208 495 ， P(X=1)= C1 65C 1 35 C2 100 = 91 198 ， P(X=2)= C2 35 C2 100 = 119 990 X P 0 208 495 1 91 198 2 119 990 5 E(X)=0 208 495 +1 91 198 +2 119 990 = 7 10 20 (12分) 如图， 在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是菱形， PA平面ABCD (1)求证:平面PAC平面PBD ; (2)若AP=AB=2,BAD=60,求二面角A-PB-D的余弦值。 证： (1)因为底面ABCD是菱形， 所以，
17、BDAC 因为PA平面ABCD， 又BD平面ABCD， 所以， BDPA 又PAAC=A， PA平面PAC， AC平面PAC 所以， BD平面PAC， 又BD平面PBD， 所以， 平面PAC平面PBD； 解： (2)作AHPB于H， 设A在平面PBD上的射影为A， 连AH 则AHA为二面角A-PB-D的平面角 因为PA平面ABCD， AB平面ABCD， 所以， ABPA， 同理， ADPA 又AP=AB=2， 所以， PAB为等腰直角三角形， 所以BP=2 2， AH= 2 菱形ABCD中， BAD=60o， 又AB=2， 所以， AD=2， 则ABD为正三角形 所以， BD=2， SABD=
18、 1 2 ABADsinBAD= 3 又ADPA， 所以， PAD为直角三角形， 所以， PD= PA 2+AD2 =2 2 PBD中， cosBPD= PB2+PD2-BD2 2PBPD = 3 4 ， 则sinBPD= 7 4 所以， SPBD= 1 2 PBPDsinBPD= 7 VA-PBD=VP-ABD 1 3 SPBDAA= 1 3 SABDPAAA= 2 3 7 则sinAHA= AA AH = 6 7 ， 所以， cosAHA= 7 7 即二面角A-PB-D的余弦值为 7 7 21(12分) 已知函数fx =2lnx+x2-4x+3 (1)求函数fx 在1,2 上的最小值: (
19、2)若fx ax-1 3,求实数a的值。 解： (1)f(x)= 2(x-1)2 x 0， 故f(x)在1,2上单调递增 因此， f(x)min=f(1)=0； (2)令g(x)=f(x)-a(x-1)3， 即g(x)0恒成立， 则g(x)max0 由(1)知： a0时， g(2)=f(2)-af(2)f(1)=0， 与题意不符， 故a0 6 g(x)= (2-3ax)(x-1)2 x ， a0， x0 x(0, 2 3a )时， g(x)0， g(x)递增， x( 2 3a ,+)时， g(x)g(1)=0， 与题意不符； 2 3a =1， 即a= 2 3 时， g(x)max=g( 2 3
20、a )=g(1)=00， 符合题意； 综上， a的值为 2 3 22 (12 分) 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)的右焦点为F1,0 ， 且过点(1, 2 2 ) (1)求椭圆C的方程: (2) 设 A 是椭圆 C 上位于第一象限内的点， 连接 AF 并延长交椭圆 C 于另一点 B, 点 P2,0 ， 若 PAB 为锐角， 求ABP的面积的取值范围 解： (1)设椭圆的焦距为2c， 则c=1 a2-b2=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=2 b2=1 椭圆C的方程为： x2 2 +y2=1； (2)设A(x,y)， x(0, 2)， y
21、(0,1)， 且x2+2y2=2y2=1- 1 2 x2 PAB为锐角， 即PAF为锐角， 则 PA FA=(x-1)(x-2)+y20 1 2 x2-3x+30， 又x(0, 2)， 故解得： x(0,3- 3) 设AB： x=my+1， A(x1,y1)， B(x2,y2)， y10， 且x1(0,3- 3) m= x1-1 y1 m2= (x1-1)2 y2 1 = -2(x1-1)2 x2 1-2 ， 令f(x)= -2(x-1)2 x2-2 ， x(0,3- 3) f(x)= -4(x-1)(x-2) (x2-2)2 ， x(0,3- 3) x(0,1)时， f(x)0， f(x)递增 f(1)=0， f(0)=1， f(3- 3)= 3 -1 2 ， 故f(x)0,1)， 即m20,1) x=my+1 x2+2y2=2 (m2+2)y2+2my-1=0 =8(m2+1)0， y1= -m+ 2m2+2 m2+2 ， y2= -m- 2m2+2 m2+2 SPAB= 1 2 PFy2-y1= 1 2 y2-y1= 2m2+1 m2+2 = 2 -( 1 m2+2 - 1 2 )2+ 1 4 因为m20,1)， 所以， m2+22,3)， 所以， 1 m2+2 ( 1 3 , 1 2 ， 所以， S( 2 3 , 2 2 7
