1、2019-2020 学年扬州市邗江区二校联考七年级（下）期中数学试卷学年扬州市邗江区二校联考七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案 填写在答题纸相应位置 ）填写在答题纸相应位置 ） 1 （3 分）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） Axy21 B2xy1 C Dxy10 2 （3 分）新冠病毒（2019nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 冠状病毒，它是一类具有囊膜的正 链单股 RNA 病毒，其遗
2、传物质是所有 RNA 病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒其粒子 形状并不规则， 直径约 60220nm， 平均直径为 100nm （纳米） 1 米109纳米， 100nm 可以表示为 （ ） 米 A0.110 6 B1010 8 C110 7 D11011 3 （3 分）下列计算错误的是（ ） A2a33a6a4 B （2y3）24y6 C3a2+a3a3 Da5a3a2（a0） 4 （3 分）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） Aa22a+1（a1）2 Ba（a+1） （a1）a3a C6x2y32x23y3 Dx2+1x（x+） 5 （3 分）如图所示的四个图形中，1
3、和2 不是同位角的是（ ） A B C D 6 （3 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ） A11 B12 C13 D14 7 （3 分）已知方程组的解也是方程 3x2y0 的解，则 k 的值是（ ） Ak5 Bk5 Ck10 Dk10 8 （3 分）如图 1 是 ADBC 的一张纸条，按图 1图 2图 3，把这一纸条先沿 EF 折叠并压平，再沿 BF 折 叠 并 压 平 ， 若 图3中 CFE 24 ， 则 图2中 AEF的 度 数 为 （ ） A120 B108 C112 D114 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题
4、，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置 ）分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置 ） 9 （3 分）计算： （） 2 10 （3 分）分解因式：x24x 11 （3 分）若是二元一次方程 2x3y50 的一组解，则 4a6b 12 （3 分）已知：如图所示，在ABC 中，点 D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，且 SABC4cm2， 则阴影部分的面积为 cm2 13 （3 分）一个 n 边形的内角和是它外角和的 6 倍，则 n 14 （3 分）若（x2）x1，则 x 15 （3 分）学校计划购买 A 和 B 两种品牌的足球，已
5、知一个 A 品牌足球 60 元，一个 B 品牌足球 75 元学 校准备将 1500 元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买） ，该学校的购买方案共有 种 16 （3 分）若关于 x，y 的方程组的解是，则方程组的解是 17 （3 分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45角的三角板固定不动，把含 30角的三角板绕直角 顶点按每秒 15的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的 时间为 18 （3 分）我们知道下面的结论：若 aman（a0，且 a1） ，则 mn利用这个结论解决下列问题：设 2m3，2n6，2p12现给出 m，n，p 三者之间的三个关系式：
6、 m+p2n，m+n2p3，n2mp1其中正确的是 （填编号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案 填写在答题纸相应位置 ）填写在答题纸相应位置 ） 19 （8 分）化简与计算： （1） （） 1（3）2+（2）0； （2） （2a3）3+（4a）2a72a12a3 20 （8 分）因式分解： （1）3x（ab）6y（ba） ； （2） （y21）26（y21）+9 21 （8 分）解方程组： （1）； （2） 22 （8 分）若规定ab+c
7、3d，计算：的值，其中 x2，y1 23 （10 分）如右图，在每个小正方形边长为 1 的方格纸中，ABC 的顶点都在方格纸格点上将ABC 向左平移 2 格，再向上平移 4 格 （1）请在图中画出平移后的ABC， （2）再在图中画出ABC 的高 CD， （3）在图中能使 SPBCSABC的格点 P 的个数有 个（点 P 异于 A） 24 （10 分）如图，已知点 E、F 在直线 AB 上，点 G 在线段 CD 上，ED 与 FG 交于点 H，CEFG， CEDGHD （1）求证：CEGF； （2）试判断AED 与D 之间的数量关系，并说明理由； （3）若EHF80，D30，求AEM 的度数 2
8、5 （10 分）如图 1 是一个长为 4a、宽为 b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用 四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 2） （1）观察图 2 请你写出（a+b）2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的结论，若 x+y5，xy，则 xy ； （3）拓展应用：若（2019m）2+（m2020）215，求（2019m） （m2020）的值 26 （10 分）已知关于 x，y 的方程组 （1）请直接写出方程 x+2y60 的所有正整数解； （2）若方程组的解满足 x+y0，求 m 的值； （3）无论实数 m 取何值，方程 x2y+mx+50
9、总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 27 （12 分）对于多项式 x35x2+x+10，我们把 x2 代入此多项式，发现 x2 能使多项式 x35x2+x+10 的值为 0，由此可以断定多项式 x35x2+x+10 中有因式（x2） ， （注：把 xa 代入多项式，能使多项式 的值为 0， 则多项式一定含有因式 （xa） ） ， 于是我们可以把多项式写成： x35x2+x+10 （x2）（x2+mx+n） ， 分别求出 m、n 后再代入 x35x2+x+10（x2） （x2+mx+n） ，就可以把多项式 x35x2+x+10 因式分解 （1）求式子中 m、n 的值； （2）以上这种因式分解的
10、方法叫“试根法” ，用“试根法”分解多项式 x3+5x2+8x+4 28 （12 分） 【问题背景】 （1）如图 1 的图形我们把它称为“8 字形” ，请说理证明A+BC+D 【简单应用】 （2）如图 2，AP、CP 分别平分BAD、BCD，若ABC28，ADC20，求P 的度数 （可 直接使用问题（1）中的结论） 【问题探究】 （3）如图 3，直线 BP 平分ABC 的外角FBC，DP 平分ADC 的外角ADE，若A30，C 18，则P 的度数为 【拓展延伸】 （4）在图 4 中，若设Cx，By，CAPCAB，CDPCDB，试问P 与C、B 之间的数量关系为 （用 x、y 表示P） （5）在
11、图 5 中，BP 平分ABC，DP 平分ADC 的外角ADE，猜想P 与A、C 的关系，直接写 出结论 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案 填写在答题纸相应位置 ）填写在答题纸相应位置 ） 1 （3 分）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） Axy21 B2xy1 C Dxy10 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的整 式方程叫做二元一次方程据此逐
12、一判断即可得 【解答】解：Axy21 不是二元一次方程； B2xy1 是二元一次方程； C不是二元一次方程； Dxy10 不是二元一次方程； 故选：B 【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项 的次数都是 1，像这样的整式方程叫做二元一次方程 2 （3 分）新冠病毒（2019nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 冠状病毒，它是一类具有囊膜的正 链单股 RNA 病毒，其遗传物质是所有 RNA 病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒其粒子 形状并不规则， 直径约 60220nm， 平均直径为 100nm （纳米） 1 米10
13、9纳米， 100nm 可以表示为 （ ） 米 A0.110 6 B1010 8 C110 7 D11011 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：100nm10010 9m 110 7m 故选：C 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3 （3 分）下列计算错误的是（ ） A2a33a6a4 B （2y3）24y6 C3
14、a2+a3a3 Da5a3a2（a0） 【分析】根据单项式乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的计算法则进行分析即 可 【解答】解：A、2a33a6a4，故原题计算正确； B、 （2y3）24y6，故原题计算正确； C、3a2和 a 不是同类项，不能合并，故原题计算错误； D、a5a3a2（a0） ，故原题计算正确； 故选：C 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，以及积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法，关键是熟练 掌握各计算法则 4 （3 分）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） Aa22a+1（a1）2 Ba（a+1） （a1）a3a C6x2y32x23y3 D
15、x2+1x（x+） 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可 【解答】解：A、是因式分解，故本选项符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多 项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式 5 （3 分）如图所示的四个图形中，1 和2 不是同位角的是（ ） A B C D 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第 三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同
16、位角进行分析即可 【解答】解：根据同位角定义可得 A、B、D 是同位角， 故选：C 【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁 内角的边构成“U”形 6 （3 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和” ，求得第三边的取值范围；再 根据第三边是整数，从而求得周长的最大值 【解答】解：设第三边为 a， 根据三角形的三边关系，得：43a3+4， 即 1a7， a 为整数， a 的最大整数值为 6， 则
17、三角形的最大周长为 3+4+613 故选：C 【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 7 （3 分）已知方程组的解也是方程 3x2y0 的解，则 k 的值是（ ） Ak5 Bk5 Ck10 Dk10 【分析】根据三元一次方程组的概念，先解方程组，得到 x，y 的值后，代入 4x3y+k0 求 得 k 的值 【解答】解：解方程组， 得：， 把 x，y 代入 4x3y+k0 得：40+45+k0 解得：k5 故选：A 【点评】解答此题需要充分理解三元一次方程的概念，灵活组合方程，以使计算简便 8 （3 分）如图 1 是 ADBC 的一张纸条，按图 1图
18、2图 3，把这一纸条先沿 EF 折叠并压平，再沿 BF 折 叠 并 压 平 ， 若 图3中 CFE 24 ， 则 图2中 AEF的 度 数 为 （ ） A120 B108 C112 D114 【分析】根据各角的关系可求出BFE 的度数，由 AEBF，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求 出AEF 的度数 【解答】解：2BFE+BFC180，BFEBFCCFE24， BFE（180+24）68 AEBF， AEF180BFE112 故选：C 【点评】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出BFE 的度数是解 题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题
19、，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置 ）分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置 ） 9 （3 分）计算： （） 2 4 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案 【解答】解： （） 2 4， 故答案为：4 【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数 10 （3 分）分解因式：x24x x（x4） 【分析】直接提取公因式 x 进而分解因式得出即可 【解答】解：x24xx（x4） 故答案为：x（x4） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 11 （3 分）若是二
20、元一次方程 2x3y50 的一组解，则 4a6b 10 【分析】把 x 与 y 代入方程得到 2a3b 的值，原式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：把代入方程得：2a3b50， 整理得：2a3b5， 则原式2（2a3b）10， 故答案为：10 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 12 （3 分）已知：如图所示，在ABC 中，点 D，E，F 分别为 BC，AD，CE 的中点，且 SABC4cm2， 则阴影部分的面积为 1 cm2 【分析】易得ABD，ACD 为ABC 面积的一半，同理可得BEC 的面积等于ABC 面积的一半， 那么阴影部分的面积等
21、于BEC 的面积的一半 【解答】解：D 为 BC 中点，根据同底等高的三角形面积相等， SABDSACDSABC42， 同理 SBDESCDESBCE21， SBCE2， F 为 EC 中点， SBEFSBCE21 故答案为 1 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等 13 （3 分）一个 n 边形的内角和是它外角和的 6 倍，则 n 14 【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个 n 边形的内角和是其外角和的 5 倍列出方程 求解即可 【解答】解：多边形的外角和是 360，多边形的内角和是 180 （n2） ，根据题意得： 180 （n2
22、）3606， 解得 n14 故答案为：14 【点评】本题主要考查了多边形内角和及外角和解题的关键是掌握多边形内角和公式及外角和的度 数求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决 14 （3 分）若（x2）x1，则 x 0 或 3 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案 【解答】解：（x2）x1， x0 时， （02）01， 当 x3 时， （32）31， 则 x0 或 3 故答案为：0 或 3 【点评】此题主要考查了零指数幂以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键 15 （3 分）学校计划购买 A 和 B 两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球 60 元，一个
23、B 品牌足球 75 元学 校准备将 1500 元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买） ，该学校的购买方案共有 4 种 【分析】设购买 x 个 A 品牌足球，y 个 B 品牌足球，根据总价单价数量，即可得出关于 x，y 的二元 一次方程，结合 x，y 均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解 【解答】解：设购买 x 个 A 品牌足球，y 个 B 品牌足球， 依题意，得：60 x+75y1500， 解得：y20 x x，y 均为正整数， x 是 5 的倍数， ， 共有 4 种购买方案 故答案为：4 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键 16 （3
24、 分） 若关于 x， y 的方程组的解是， 则方程组的解是 【分析】根据题意得到关于 x，y 的二元一次方程组，解方程组即可求解 【解答】解：依题意有， 解得 故方程组的解是 故答案为： 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方 程组的解解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系 17 （3 分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45角的三角板固定不动，把含 30角的三角板绕直角 顶点按每秒 15的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的 时间为 7 秒或 19 秒 【分析】依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋
25、转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋 转运动的时间 【解答】解：如图，当斜边 ABDC 时，CFEB60， BED604515， 旋转角为 90+15105， 105157； 如图，将ABE 继续逆时针旋转 180，可得斜边 ABDC， 此时，旋转角为 105+180285， 2851519； 综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为 7 秒或 19 秒， 故答案为：7 秒或 19 秒 【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等 相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 18 （3 分）我们知道下面
26、的结论：若 aman（a0，且 a1） ，则 mn利用这个结论解决下列问题：设 2m3，2n6，2p12现给出 m，n，p 三者之间的三个关系式： m+p2n，m+n2p3，n2mp1其中正确的是 （填编号） 【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出 m、n、p 的关系 【解答】解：2n62322m21+m， n1+m， 2p1222322+m， p2+m， pn+1， m+pn1+n+12n，故此结论正确； m+np2+p12p3，故此结论正确； n2mp（1+m）2m（2+m） 1+m2+2m2mm2 1，故此结论正确； 故答案为： 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同
27、底数幂的乘除法公式，本题属于中等题 型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案 填写在答题纸相应位置 ）填写在答题纸相应位置 ） 19 （8 分）化简与计算： （1） （） 1（3）2+（2）0； （2） （2a3）3+（4a）2a72a12a3 【分析】 （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果 【解答】解： （1）原式39+1 11； （2）原式8a9+16a92
28、a9 6a9 【点评】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （8 分）因式分解： （1）3x（ab）6y（ba） ； （2） （y21）26（y21）+9 【分析】 （1）直接提公因式 3（ab）即可； （2）利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行二次分解即可 【解答】解： （1）原式3x（ab）+6y（ab） 3（ab） （x+2y） ； （2）原式（y213）2（y24）2（y+2）2（y2）2 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一 般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用
29、公式法分解 21 （8 分）解方程组： （1）； （2） 【分析】 （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可 【解答】解： （1）， 把代入得：3x2x+38， 解得：x5， 把 x5 代入得：y7， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， 34 得：x60， 把 x60 代入得：y24， 则方程组的解为 【点评】 此题考查了解二元一次方程组， 利用了消元的思想， 消元的方法有： 代入消元法与加减消元法 22 （8 分）若规定ab+c3d，计算：的值，其中 x2，y1 【分析】原式利用题中的新定义化简得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求
30、出值 【解答】解：原式（3xy2x2）（5xy+x2）+（2x23）3（7+4xy） 3xy2x2+5xyx22x23+2112xy 5x24xy+18， 当 x2，y1 时，原式20+8+186 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 23 （10 分）如右图，在每个小正方形边长为 1 的方格纸中，ABC 的顶点都在方格纸格点上将ABC 向左平移 2 格，再向上平移 4 格 （1）请在图中画出平移后的ABC， （2）再在图中画出ABC 的高 CD， （3）在图中能使 SPBCSABC的格点 P 的个数有 4 个（点 P 异于 A） 【分析】 （1）根据图形平
31、移的性质画出平移后的ABC即可； （2）过点 C 向 AB 的延长线作垂线，点 D 为垂足即可； （3）过点 A 作 BC 的平行线，此直线与格点的交点即为 P 点 【解答】解： （1）如图，ABC即为所求； （2）如图，CD 即为所求； （3）如图，P 点共有 4 个 故答案为：4 【点评】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键 24 （10 分）如图，已知点 E、F 在直线 AB 上，点 G 在线段 CD 上，ED 与 FG 交于点 H，CEFG， CEDGHD （1）求证：CEGF； （2）试判断AED 与D 之间的数量关系，并说明理由； （3）若EHF80，
32、D30，求AEM 的度数 【分析】 （1）依据同位角相等，即可得到两直线平行； （2）依据平行线的性质，可得出FGDEFG，进而判定 ABCD，即可得出AED+D180； （3）依据已知条件求得CGF 的度数，进而利用平行线的性质得出CEF 的度数，依据对顶角相等即 可得到AEM 的度数 【解答】解： （1）CEDGHD， CEGF； （2）AED+D180； 理由：CEGF， CFGD， 又CEFG， FGDEFG， ABCD， AED+D180； （3）GHDEHF80，D30， CGF80+30110， 又CEGF， C18011070， 又ABCD， AECC70， AEM180701
33、10 【点评】 本题主要考查了平行线的判定与性质， 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系， 平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系 25 （10 分）如图 1 是一个长为 4a、宽为 b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用 四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 2） （1）观察图 2 请你写出（a+b）2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是 （a+b）2（ab）24ab ； （2）根据（1）中的结论，若 x+y5，xy，则 xy 4 ； （3）拓展应用：若（2019m）2+（m2020）215，求（2019m） （m2020）的值 【分析】 （1）由图
34、可知，图 1 的面积为 4ab，图 2 中白色部分的面积为（a+b）2（ba）2（a+b）2 （ab）2，根据图 1 的面积和图 2 中白色部分的面积相等可得答案； （2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2（xy）24xy，将 x+y5，xy代入计算即可得出答案； （3）将等式 （2019m） + （m2020）1 两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案 【解答】解： （1）由图可知，图 1 的面积为 4ab，图 2 中白色部分的面积为（a+b） 2（ba）2（a+b） 2（ab）2， 图 1 的面积和图 2 中白色部分的面积相等， （a+b）2（ab）24ab， 故答案为： （
35、a+b）2（ab）24ab； （2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2（xy）24xy， x+y5，xy， 52（xy）24， （xy）216 xy4， 故答案为：4； （3） ）（2019m）+（m2020）1， （2019m）+（m2020）21， （2019m）2+2（2019m） （m2020）+（m2020）21， （2019m）2+（m2020）215， 2（2019m） （m2020）11514； （2019m） （m2020）7 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键 26 （10 分）已知关于 x，y 的方程组 （1）请直接写出
36、方程 x+2y60 的所有正整数解； （2）若方程组的解满足 x+y0，求 m 的值； （3）无论实数 m 取何值，方程 x2y+mx+50 总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 【分析】 （1）将方程 x+2y60 化为 y3二分之一 x，再由 x，y 为正整数，即可得出结论； （2）将 x+y0 与 x+2y60 组成新的方程组解出 x，y 的值，代入第二个方程：x2y+mx+50 中， 可得 m 的值； （3）根据方程 x2y+mx+50 总有一个固定的解，m 的值不影响，所以含 m 的项为 0，可得这个解 【解答】解： （1）x+2y60，y3x 又因为 x，y 为正整数， 3x0，
37、即：x 只能取 2 或 4； 方程 x+2y60 的所有正整数解：，； （2）由题意得：，解得 把代入 x2y+mx+50，解得 m； （3）方程 x2y+mx+50 总有一个固定的解， x0，y2.5 【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的 解是本题的关键 27 （12 分）对于多项式 x35x2+x+10，我们把 x2 代入此多项式，发现 x2 能使多项式 x35x2+x+10 的值为 0，由此可以断定多项式 x35x2+x+10 中有因式（x2） ， （注：把 xa 代入多项式，能使多项式 的值为 0， 则多项式一定含有因式 （xa）
38、） ， 于是我们可以把多项式写成： x35x2+x+10 （x2）（x2+mx+n） ， 分别求出 m、n 后再代入 x35x2+x+10（x2） （x2+mx+n） ，就可以把多项式 x35x2+x+10 因式分解 （1）求式子中 m、n 的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法” ，用“试根法”分解多项式 x3+5x2+8x+4 【分析】 （1）根据 x35x2+x+10（x2） （x2+mx+n） ，得出有关 m，n 的方程组求出即可； （2）由把 x1 代入 x3+5x2+8x+4，得其值为 0，则多项式可分解为（x+1） （x2+ax+b）的形式，进而 将多项式分解得出答案 【
39、解答】解： （1）在等式 x35x2+x+10（x2） （x2+mx+n） ，中， 分别令 x0，x1， 即可求出：m3，n5 （2）把 x1 代入 x3+5x2+8x+4，得其值为 0， 则多项式可分解为（x+1） （x2+ax+b）的形式， （7 分） 用上述方法可求得：a4，b4， （8 分） 所以 x3+5x2+8x+4（x+1） （x2+4x+4） ， （9 分） （x+1） （x+2）2 （10 分） 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们 应熟练掌握获取正确信息的方法 28 （12 分） 【问题背景】 （1）如图 1 的图形我们
40、把它称为“8 字形” ，请说理证明A+BC+D 【简单应用】 （2）如图 2，AP、CP 分别平分BAD、BCD，若ABC28，ADC20，求P 的度数 （可 直接使用问题（1）中的结论） 【问题探究】 （3）如图 3，直线 BP 平分ABC 的外角FBC，DP 平分ADC 的外角ADE，若A30，C 18，则P 的度数为 24 【拓展延伸】 （4）在图 4 中，若设Cx，By，CAPCAB，CDPCDB，试问P 与C、B 之间的数量关系为 P（3x+y） （用 x、y 表示P） （5）在图 5 中，BP 平分ABC，DP 平分ADC 的外角ADE，猜想P 与A、C 的关系，直接写 出结论 P
41、90+CA 【分析】 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可 （2）设BAPPADx，BCPPCDy，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题 （3）如图 3 中，设CBJJBFx，ADPPDEy利用（1）中结论，构建方程组即可解决问 题 （4）如图 4 中，设CAP，CDP，则PAB3，PDB3，利用（1）中结论，构建方程 组即可解决问题 （5）如图 5 中，延长 AB 交 PD 于 J，设PBJx，ADPPDEy利用（1）中结论，构建共线 时即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， A+B+AOB180，C+D+COD180，AOBCOD， A+BC+D （2）如图 2 中， 设B
42、APPADx，BCPPCDy， 则有， BPPD， P（B+D）（28+20）24 故答案为 24 （3）如图 3 中，设CBJJBFx，ADPPDEy 则有， 2PA+C， P（30+18）24 （4）如图 4 中，设CAP，CDP，则PAB3，PDB3， 则有， 4P3C+B， P（3x+y） ， 故答案为P（3x+y） （5）如图 5 中，延长 AB 交 PD 于 J，设PBJx，ADPPDEy 则有A+2xC+1802y， x+y90+（CA） ， P+x+A+y180， P90CA 故答案为P90CA 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理， “8 字型”四个角之间的关系等知识，解题 的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型
