1、2020 年山东省日照市中考数学二模试卷年山东省日照市中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）题目要求的） 1 （3 分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 2 （3 分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）我们知道 1 米（m）1000 毫米（mm） ，1 毫米（mm）1000
2、微米（um） ，武汉发现的新型冠状 病毒直径不到 0.1 微米（um） ，那么 0.1 微米（um）_米（m） （ ） A10 5 B10 6 C10 8 D10 7 4 （3 分）如图，直线 l1l2，130，则2+3（ ） A150 B180 C210 D240 5 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O已知 ABm，BAC，则下列结论错误的是（ ） ABDC BBCmtan CAO DBD 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （m2+2）2m4+2m2+4 B C （a）3mam（1）ma2m D （m）3m2m6 7 （3 分）若使式子成立，则 x 的取值范围是（ ）
3、 A1.5x2 Bx1.5 C1x2 D1x1.5 8 （3 分）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ） A20cm2 B36cm2 C56cm2 D24cm2 9 （3 分）为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级 4 班 18 名团员计划在 家加工 2250 个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工 a 个口罩（a 为整数） ，干了几天以后， 其中 4 人因特殊情况没能继续，若剩下的同学每人每天多加工 3 个口罩，则提前完成了这次任务，由此 可知 a 的值最多是（ ） A8 B9 C10 D11 10 （3 分）如图，分别以正五边形 ABCDE 的顶点
4、A、D 为圆心，以 AB 长为半径画、若 ABa， 则阴影部分图形的面积为（ ） （结果保留到 0.01，参考：sin720.951，tan360.727） A0.45a2 B0.3a2 C0.6a2 D0.15a2 11 （3 分）如图，点 A、B 在双曲线 y（x）（x0）上，点 C 在双曲线 g（x）（x0）上若 AC y 轴，BCx 轴，且 AC4BC则 SABC（ ） A B C9 D 12 （3 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x2若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数） 在 1x5 的范围内只有一个实数根，则 t 的取值范围是（ ） A0t8 或
5、 t1 Bt0 C0t8 D0t8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 4 分，满分分，满分 16 分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相 应位置上）应位置上） 13 （4 分）已知 a+b5，ab3，则代数式 a3b+2a2b2+ab3 14 （4 分） 对于实数 p、q我们用符号 minp， q表示 p， q 两数中较小的数， 如 min1，21， 因此 min +2，） ；若 min（x+1）2，x24，则 x 15 （4 分）如图是某支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BO
6、D，若 AO85cm BODO65cm 问： 当 60时， 较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 cm（结 果保留到 0.01，1.732） 16 （4 分）如图，已知点 A 是双曲线 y在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内，且随着点 A 的运动，点 C 的横、纵坐标之间 存在一规律，这个规律是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 63 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步
7、骤）证明过程或演算步骤） 17 （5 分） （1）|3|+tan30（2016）0+（） 3 （2）已知 x，y 满足方程组，求代数式的值 18 （10 分）如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，ACBC，把 AB 绕点 B 逆时针旋转一定角度到点 D连 接 AD、DC使得DACBDC，当 DC时，求线段 AC 的长 19 （10 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单 价的 1.2 倍 （1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少
8、？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种粽子共 2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不 变求 A 种粽子最多能购进多少个？ 20 （12 分）针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命远离病毒“知 识竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成） 除了 60 到 70 之间学生成绩尚未统计，还有 6 名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99 类别 分数段 频数（人数） A 60 x70 a B 70 x80 16 C 80 x90 24 D 90 x1000 b 根据情况画出的扇形图如下：请
9、解答下列问题： （1）完成频数分布表，a ，b ，总人数是 人； （2）补全频数分布直方图； （3）全校共有 720 名学生参加初赛，估计该校成绩 90 x100 范围内的学生有多少人？ （4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学 的概率 21 （12 分） 道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过 程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、 合数等现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数” 定义：对于自然数 n在计算 n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生
10、进位，则称这个自然数 n 为“纯 数” 例如： 32 是 “纯数” ， 因为计算 32+33+34 时， 各数位都不产生进位； 23 不是 “纯数 “， 因为计算 23+24+25 时，个位产生了进位 （1）判断 2018 和 2021 是不是“纯数” ，请说明理由； （2）求出不大于 100 的“纯数”的个数 22 （14 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（2，0）和点 B（8，0） ，与 y 轴交于点 C（0，8） ，连接 AC，D 是抛物线对称轴上一动点，连接 AD，CD，得到ACD （1）求该抛物线的函数解析式 （2）ACD 周长能否取得最小值，如果能
11、，请求出 D 点的坐标；如果不能，请说明理由 （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 E，使得ACE 与ACD 面积相等，如果存在，请求出 点的坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）题目要求的） 1 （3 分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 【分析】根据关于原点对称的
12、点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） ， 故选：A 2 （3 分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C 3 （3 分）我们知道 1 米（m）1000 毫米（mm） ，1 毫米（mm）1000 微米（um） ，武汉发现的新
13、型冠状 病毒直径不到 0.1 微米（um） ，那么 0.1 微米（um）_米（m） （ ） A10 5 B10 6 C10 8 D10 7 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：1 米（m）1000 毫米（mm） ，1 毫米（mm）1000 微米（um） ， 0.1 微米0.110001000 米10 7 米 故选：D 4 （3 分）如图，直线 l1l2，130，则2+3（ ） A150 B180 C210 D240 【分析】过点
14、 E 作 EF11，利用平行线的性质解答即可 【解答】解：过点 E 作 EF11， 1112，EF11， EF1112， 1AEF30，FEC+3180， 2+3AEF+FEC+330+180210， 故选：C 5 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O已知 ABm，BAC，则下列结论错误的是（ ） ABDC BBCmtan CAO DBD 【分析】根据矩形的性质得出ABCDCB90，ACBD，AOCO，BODO，ABDC，再解 直角三角形求出即可 【解答】解：A、四边形 ABCD 是矩形， ABCDCB90，ACBD，AOCO，BODO， AOOBCODO， DBCACB， 由三
15、角形内角和定理得：BACBDC，故本选项不符合题意； B、在 RtABC 中，tan， 即 BCmtan，故本选项不符合题意； C、在 RtABC 中，AC，即 AO，故本选项符合题意； D、四边形 ABCD 是矩形， DCABm， BACBDC， 在 RtDCB 中，BD，故本选项不符合题意； 故选：C 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （m2+2）2m4+2m2+4 B C （a）3mam（1）ma2m D （m）3m2m6 【分析】根据完全平方公式即可判断 A；根据分式的加减求出式子的值，即可判断 B；先算乘方，再算 乘法，即可判断 C、D 【解答】解：A、结果是 m4+4m2+
16、4，故本选项不符合题意； B、a1 ，故本选项不符合题意； C、 （a）3mam（1）ma3mam（1）ma2m，故本选项符合题意； D、 （m）3m2m5，故本选项不符合题意； 故选：C 7 （3 分）若使式子成立，则 x 的取值范围是（ ） A1.5x2 Bx1.5 C1x2 D1x1.5 【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案 【解答】解：由题意可得：， 解得：1x1.5 故选：D 8 （3 分）如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（ ） A20cm2 B36cm2 C56cm2 D24cm2 【分析】根据三视图，可得几何体是圆锥，根据勾股定理，可得圆锥的母线长，根据扇形的面
17、积公式， 可得圆锥的侧面积，根据圆的面积公式，可得圆锥的底面积，可得答案 【解答】解：由三视图，得： OB824（cm） ，OA3cm， 由勾股定理得 AB5（cm） ， 圆锥的侧面积8520（cm2） ， 圆锥的底面积 （）216（cm2） ， 圆锥的表面积 20+1636（cm2） 故选：B 9 （3 分）为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级 4 班 18 名团员计划在 家加工 2250 个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工 a 个口罩（a 为整数） ，干了几天以后， 其中 4 人因特殊情况没能继续，若剩下的同学每人每天多加工 3 个口罩，则提前完成了这
18、次任务，由此 可知 a 的值最多是（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】设原计划 m 天完工，干了 n 天后 4 人退出工作，根据工作总量工作效率工作时间参加工 作的人数结合提前完成了这次任务，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可 得出结论 【解答】解：设原计划 m 天完工，干了 n 天后 4 人退出工作， 依题意，得：18a（mn）（184） （a+3） （mn） ， 即 18a14a+42， 解得：a 又a 为整数， a 的最大值为 10 故选：C 10 （3 分）如图，分别以正五边形 ABCDE 的顶点 A、D 为圆心，以 AB 长为半径画、若 ABa，
19、则阴影部分图形的面积为（ ） （结果保留到 0.01，参考：sin720.951，tan360.727） A0.45a2 B0.3a2 C0.6a2 D0.15a2 【分析】如图，设正五边形 ABCDE 的中心为 O，连接 OB，OC，连接 AF，EO 并延长交 BC 于 G，过 E 作 EHAF 于 H，得到EABAED108，BOC72，EGBC， AEAF，根据等腰三角形的性质得到AEFAFE54，得到 EH0.951a，根据扇形和三角形的面 积公式即可得到结论 【解答】解：如图，设正五边形 ABCDE 的中心为 O，连接 OB，OC， 连接 AF，EO 并延长交 BC 于 G，过 E
20、作 EHAF 于 H， 则EABAED108，BOC72，EGBC，AEAF， AEFAFE54， EAF72， BAF36， AEAFABa， sin720.951， EH0.951a， S弓形EFS扇形EAFSAEFa0.951a0.951a20.1528a2， S扇形EAB0.942a2， S空白2（0.942a220.1528a2）1.2728a2， BOG36，BGa， OG， SOBCBCOGa， 正五边形 ABCDE 的面积5SBOC1.719a2， 阴影部分图形的面积正五边形 ABCDE 的面积S空白0.45a2， 故选：A 11 （3 分）如图，点 A、B 在双曲线 y（x）
21、（x0）上，点 C 在双曲线 g（x）（x0）上若 AC y 轴，BCx 轴，且 AC4BC则 SABC（ ） A B C9 D 【分析】设 C（a，） ，则 B（4a，） ，A（a，） ，根据 AC4BC，列出 a 的方程求得 a，进而求得 AC 与 BC，便可得三角形的面积 【解答】解：点 A、B 在双曲线 y（x）（x0）上，点 C 在反比例函数 g（x）（x0）上， ACy 轴，BCx 轴， 设 C（a，） ，则 B（4a，） ，A（a，） ， AC4BC， ， 解得 a，或 a（舍去） ， C（，2） ，B（2，2） ，A（，8） ， AC826，BC2， SABC， 故选：B 12
22、 （3 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x2若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数） 在 1x5 的范围内只有一个实数根，则 t 的取值范围是（ ） A0t8 或 t1 Bt0 C0t8 D0t8 【分析】根据二次函数的对称轴求得 b 值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数）在1x5 的范围内有实数根可以看做 yx24x+3 与函数 yt 有交点，再由1x5 时的 临界函数值及对称轴处的函数值得出 t 的取值范围即可 【解答】解：抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x2 2，解得：b4， yx24x+3， 一元二次方程
23、x2+bx+3t0 有实数根可以看做 yx24x+3 与函数 yt 只有一个交点， 方程 x24x+3t0（t 为实数）在 1x5 的范围内只有一个实数根， 当 x1 时，y0； 当 x5 时，y8； 当 x2 时，y1； t 的取值范围是 0t8 或 t1 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 4 分，满分分，满分 16 分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相 应位置上）应位置上） 13 （4 分）已知 a+b5，ab3，则代数式 a3b+2a2b2+ab3 75 【分析】首先把所求的代数式提公因式，然
24、后利用完全平方公式即可对式子化简，然后把已知的式子代 入即可求解 【解答】解：原式ab（a2+2ab+b2）ab（a+b）2， 当 a+b5，ab3 时，原式35275 故答案是：75 14 （4 分） 对于实数 p、q我们用符号 minp， q表示 p， q 两数中较小的数， 如 min1，21， 因此 min +2，） ；若 min（x+1）2，x24，则 x 2 或3 【分析】根据新定义运算即可求出答案 【解答】解：+2， min+2， 由于（x+1）2x2x2+2x+1x22x+1， 当 2x+10 时， 即 x， min（x+1）2，x2x2， x24， x2 或 x2（舍去） ，
25、当 2x+10 时， x， min（x+1）2，x2（x+1）2， （x+1）24， x+12， x1（舍去）或 x3， 当 2x+10 时， 此时 x， min（x+1）2，x2（x+1）2x2， 此时 x24，不符合题意， 综上所述，x2 或 x3 故答案为：，2 或3 15 （4 分）如图是某支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD，若 AO85cmBODO65cm问：当 60时，较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 129.90 cm （结果保留到 0.01，1.732） 【分析】过点 A 作 AE直线 BD 于点 E，由BOD60及 BODO
26、，可得出BOD 为等边三角形， 利用等边三角形的性质可得出OBD60，再在 RtABE 中，通过解直角三角形可求出 AE 的长 【解答】解：过点 A 作 AE直线 BD 于点 E，如图所示 在BOD 中，BOD60，BODO， BOD 为等边三角形， OBD60 在 RtABE 中，AEB90，ABE60，ABAO+OB150cm， AEABsinABE150129.90cm 故答案为：129.90 16 （4 分）如图，已知点 A 是双曲线 y在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内，且随着点 A 的运动，点
27、 C 的横、纵坐标之间 存在一规律，这个规律是 横、纵坐标的积是常数3 【分析】根据反比例函数的性质得出 OAOB，连接 OC，过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CF y 轴，垂足为 F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出 OCOA，求出OFCAEO，相 似比，求出面积比3，求出OFC 的面积，即可得出答案 【解答】解：双曲线 y的图象关于原点对称， 点 A 与点 B 关于原点对称， OAOB， 连接 OC，如图所示， ABC 是等边三角形，OAOB， OCABBAC60， tanOAC， OCOA， 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为
28、 F， AEOE，CFOF，OCOA， AEOOFC，AOE90FOCOCF， OFCAEO，相似比 ， 面积比 3， 点 A 在第一象限，设点 A 坐标为（a，b） ， 点 A 在双曲线 y图象上， SAEOab， SOFCFCOF， 设点 C 坐标为（x，y） ， xy， 点 C 在双曲线 y的图象上， 点 C 的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是横、纵坐标的积是常数3， 故答案为：横、纵坐标的积是常数3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 63 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说
29、明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17 （5 分） （1）|3|+tan30（2016）0+（） 3 （2）已知 x，y 满足方程组，求代数式的值 【分析】 （1）原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及 二次根式性质计算即可求出值； （2）求出方程组的解得到 x 与 y 的值，原式化简后代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式3+2127+1 3+12127+1 25+； （2）， +得：3x3， 解得：x1， 把 x1 代入得：y， 则原式 18 （10 分）如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，ACBC，把 AB 绕点 B 逆时针旋
30、转一定角度到点 D连 接 AD、DC使得DACBDC，当 DC时，求线段 AC 的长 【分析】 根据旋转的性质得到 BDBA， 根据等腰三角形的性质得到ADBDAB， 求得BAC45， 得到CDA45， 过 C 作 CECD 交 AD 于 E， 连接 AE， 根据等腰三角形的性质得到 DECD2， 根据全等三角形的性质得到 ADBE，DACEBC，推出 A，E，C，B 四点共圆，得到AEB ACB90，根据等腰三角形的性质得到 BEAD4，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：把 AB 绕点 B 逆时针旋转一定角度到点 D BDBA， ADBDAB， 等腰直角三角形 ABC 中，ACBC， B
31、AC45， CDBDAC， CDA45， 过 C 作 CECD 交 AD 于 E，连接 AE， CDCE，DCEACB90， DECD2， ACDBCE， ACBC， ACDBCE（SAS） ， ADBE，DACEBC， A，E，C，B 四点共圆， AEBACB90， BEAD， AEDE2，AD2DE4， BEAD4， AB2， ACAB 19 （10 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单 价的 1.2 倍 （1）求 A、B
32、 两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种粽子共 2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不 变求 A 种粽子最多能购进多少个？ 【分析】 （1）设 B 种粽子单价为 x 元/个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/个，根据数量总价单价结合用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（2600m）个，根据总价单价数量结合总价不超过 7000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【解答】解：
33、（1）设 B 种粽子单价为 x 元/个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/个， 根据题意，得：+1100， 解得：x2.5， 经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意， 1.2x3 答：A 种粽子单价为 3 元/个，B 种粽子单价为 2.5 元/个 （2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（2600m）个， 依题意，得：3m+2.5（2600m）7000， 解得：m1000 答：A 种粽子最多能购进 1000 个 20 （12 分）针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命远离病毒“知 识竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分
34、布直方图（未完成） 除了 60 到 70 之间学生成绩尚未统计，还有 6 名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99 类别 分数段 频数（人数） A 60 x70 a B 70 x80 16 C 80 x90 24 D 90 x1000 b 根据情况画出的扇形图如下：请解答下列问题： （1）完成频数分布表，a 2 ，b 6 ，总人数是 48 人； （2）补全频数分布直方图； （3）全校共有 720 名学生参加初赛，估计该校成绩 90 x100 范围内的学生有多少人？ （4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学 的概率 【分析】 （1）用
35、 B 类的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算 a 的值； （2）利用 a、b 的值补全条形统计图； （3）用 720 乘以样本中 D 类所占的百分比即可； （4）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，找出恰好选中甲，乙两位同学的结果数，然后根据概率公 式求解 【解答】解： （1）调查的总人数为：2450%48（人） ， b6，a48162462， 故答案为 2，6，48； （2）补全频数分布直方图为： （3）72090， 所以估计该校成绩 90 x100 范围内的学生有 90 人； （4）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果数为 2， 所以
36、恰好选中甲，乙两位同学的概率 21 （12 分） 道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过 程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、 合数等现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数” 定义：对于自然数 n在计算 n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯 数” 例如： 32 是 “纯数” ， 因为计算 32+33+34 时， 各数位都不产生进位； 23 不是 “纯数 “， 因为计算 23+24+25 时，个位产生了进位 （1）判断 2018 和 2021 是不是“纯数” ，请说
37、明理由； （2）求出不大于 100 的“纯数”的个数 【分析】 （1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数” ； （2）不大于 100 的自然数可能是一位数，可能是两位数，还可能是 100由“纯数”的定义可知，连续 三个自然数的个位不同，其它位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时，不会产生进位；其 它位的数字为 0、1、2、3 时，不会产生进位所以分三种情况进行讨论：当这个数为一位自然数时； 当这个数为两位自然数时；当这个数为 100 时分别求出三种情况下“纯数”的个数，相加即可 【解答】解： （1）2018 不是“纯数” ，2021 是“纯数
38、” ，理由如下： 在计算 2018+2019+2020 时，个位产生了进位，而在计算 2021+2022+2023 时，各数位都不产生进位， 2018 不是“纯数” ，2021 是“纯数” ； （2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其它位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时，不会产生进位；其它位的数字为 0、1、2、3 时，不会产生进位现分三种情况讨论如下： 当这个数为一位自然数时，只能是 0、1、2，共 3 个； 当这个数为两位自然数时，十位只能是 1、2、3，个位只能是 0、1、2，即 10、11、12、20、21、22、 30、31、32，共 9 个； 当这个数为 1
39、00 时，易知 100 是“纯数” 综上，不大于 100 的“纯数”的个数为 3+9+113 22 （14 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（2，0）和点 B（8，0） ，与 y 轴交于点 C（0，8） ，连接 AC，D 是抛物线对称轴上一动点，连接 AD，CD，得到ACD （1）求该抛物线的函数解析式 （2）ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出 D 点的坐标；如果不能，请说明理由 （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 E，使得ACE 与ACD 面积相等，如果存在，请求出 点的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式
40、； （2）利用待定系数法可求 BC 解析式，即可求解； （3）先求出 AC 解析式，由面积相等可得 DEAC，利用待定系数法可求 DE 的解析式，联立方程组可 求解 【解答】解： （1）由题意可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：yx23x8； （2）ACD 周长能取得最小值， 点 A（2，0） ，点 B（8，0） ， 对称轴为直线 x3， ACD 周长AD+AC+CD，AC 是定值， 当 AD+CD 取最小值时，ACD 周长能取得最小值， 点 A，点 B 关于对称轴直线 x3 对称， 连接 BC 交对称轴直线 x3 于点 D，此时 AD+CD 有最小值， 设直线 BC 解析式为：ykx8， 08k8， k1， 直线 BC 解析式为：yx8， 当 x3，y5， 点 D（3，5） ； （3）存在， 点 A（2，0） ，点 C（0，8） ， 直线 AC 解析式为 y4x8， 如图， ACE 与ACD 面积相等， DEAC， 设 DE 解析式为：y4x+n， 543+n， n7， DE 解析式为：y4x+7， 联立方程组可得：， 解得：， 点 E（1，4+11）或（1，4+11）
