1、2020 年山东省枣庄市中考数学三模试卷年山东省枣庄市中考数学三模试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B Ca5a2a3 D （ab2）3ab6 2 （3 分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n|
2、4 （3 分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1 的度数是 （ ） A95 B100 C105 D110 5 （3 分）一次数学测试，某小组 5 名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖） ： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 81 77 80 82 80 则被遮盖的两个数据依次是（ ） A80，80 B81，80 C80，2 D81，2 6 （3 分）如图，在ABC 中，B50，CDAB 于点 D，BCD 和BDC 的角平分线 相交于点 E，F 为边 AC 的中点，CDCF，则ACD+CED（ ） A125 B145 C175 D190 7 （3
3、 分）已知关于 x 的分式方程2的解为正数，则 k 的取值范围为（ ） A2k0 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 8 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点 A， C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C3 D 9 （3 分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点 O 重合，顶 点 A，B 恰好分别落在函数 y（x0） ，y（x0）的图象上，则 sinABO 的值 为（ ） A B C D
4、 10 （3 分）如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上，AOB B30， OA2， 将AOB绕点O逆时针旋转90， 点B的对应点B的坐标是 （ ） A （1，2+） B （，3） C （，2+） D （3，） 11 （3 分） 如图， ABC 内接于O， 若 sinBAC， BC2， 则O 的半径为 （ ） A3 B6 C4 D2 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x1下列结论：abc 0；3a+c0；（a+c）2b20；a+bm（am+b） （m 为实数） 其中结论正确 的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个
5、 D4 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （4 分）计算： 14 （4 分）若关于 x、y 的二元一次方程组的解满足 x+y0，则 m 的取值范 围是 15（4 分） 如图， 在扇形 AOB 中， AOB120， 半径 OC 交弦 AB 于点 D， 且 OCOA 若 OA2，则阴影部分的面积为 16 （4 分）如图，灯塔 A 在测绘船的正北方向，灯塔 B 在测绘船的东北方向，测绘船向正 东方向航行20海里后， 恰好在灯塔B的正南方向， 此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5 的方向上，则灯塔 A，B 间的距离
6、为 海里（结果保留整数） （参考数据 sin26.5 0.45，cos26.50.90，tan26.50.50，2.24） 17 （4 分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面 积的公式， 称为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别是 a， b， c， 记， 那么三角形的面积为如果在ABC 中，A，B，C 所对 的边分别记为 a，b，c，若 a5，b6，c7，则ABC 的面积为 18 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB SPCD，则 PC+PD 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本
7、大题共 7 小题，共小题，共 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19先化简，再求值： （），其中 x 满足 x22x20 20ABC 在边长为 1 的正方形网格中如图所示： （1）以点 C 为位似中心，作出ABC 的位似图形A1B1C，使其相似比为 1：2且 A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示出 A1的坐标； （2）作出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后的图形A2B2C，并表示出 A2的坐标； （3）在（2）的条件下求出点 B 经过的路径长（结果保留 ） 21某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况
8、，随机 选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根 据调查结果绘制的统计图表的一部分 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 m 的值为 ，统计图中 n 的值为 ，A 类对应扇形的圆心角为 度； （2）该校共有 1500 名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有 4 人，其中仅有 1 名男生从这 4 人中任选 2 名同 学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选 2 名同学中有男生的概率 22如图，点 A（，
9、4） ，B（3，m）是直线 AB 与反比例函数 y（x0）图象的两个交 点，ACx 轴，垂足为点 C，已知 D（0，1） ，连接 AD，BD，BC （1）求反比例函数和直线 AB 的表达式； （2）ABC 和ABD 的面积分别为 S1，S2，求 S2S1 23如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一 点，且CDEBAC （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB3BD，CE2，求O 的半径 24定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解： （1）如图 1，点 A，B，C 在O 上，ABC 的平分线交O 于点 D，连
10、接 AD，CD 求证：四边形 ABCD 是等补四边形； 探究： （2）如图 2，在等补四边形 ABCD 中，ABAD，连接 AC，AC 是否平分BCD？请说 明理由 运用： （3）如图 3，在等补四边形 ABCD 中，ABAD，其外角EAD 的平分线交 CD 的延长 线于点 F，CD10，AF5，求 DF 的长 25如图，抛物线 yax2+bx经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的A，求A 的半径； （3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB，PC，请问：PBC 的面积是否 存在
11、最大值？若存在，求出这个最大值的此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年山东省枣庄市中考数学三模试卷年山东省枣庄市中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B Ca5a2a3 D （ab2）3ab6 【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、 同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案
12、 【解答】解：A、，无法计算，故此选项错误； B、2，故此选项错误； C、a5a2a3，正确； D、 （ab2）3a3b6，故此选项错误 故选：C 2 （3 分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可 得答案 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故错误 故选：C 3 （3 分）实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确
13、的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n| 【分析】从数轴上可以看出 m、n 都是负数，且 mn，由此逐项分析得出结论即可 【解答】解：因为 m、n 都是负数，且 mn，|m|n|， A、mn 是错误的； B、n|m|是错误的； C、m|n|是正确的； D、|m|n|是错误的 故选：C 4 （3 分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1 的度数是 （ ） A95 B100 C105 D110 【分析】根据题意求出2、4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可 【解答】解：由题意得，245，4903060， 3245， 由三角形的外角性质可知，1
14、3+4105， 故选：C 5 （3 分）一次数学测试，某小组 5 名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖） ： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 81 77 80 82 80 则被遮盖的两个数据依次是（ ） A80，80 B81，80 C80，2 D81，2 【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出 答案 【解答】解：根据题意得： 805（81+77+80+82）80（分） ， 则丙的得分是 80 分； 众数是 80， 故选：A 6 （3 分）如图，在ABC 中，B50，CDAB 于点 D，BCD 和BDC 的角平分线 相交于点 E，F 为边
15、AC 的中点，CDCF，则ACD+CED（ ） A125 B145 C175 D190 【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到CDF 是等边三角形，进而 得到ACD60，根据BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E，即可得出CED 115，即可得到ACD+CED60+115175 【解答】解：CDAB，F 为边 AC 的中点， DFACCF， 又CDCF， CDDFCF， CDF 是等边三角形， ACD60， B50， BCD+BDC130， BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E， DCE+CDE65， CED115， ACD+CED60+115175， 故选：C 7 （3
16、分）已知关于 x 的分式方程2的解为正数，则 k 的取值范围为（ ） A2k0 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案 【解答】解：2， 2， x2+k， 该分式方程有解， 2+k1， k1， x0， 2+k0， k2， k2 且 k1， 故选：B 8 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点 A， C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C3 D 【分析】连接 FC，根据基本作图，
17、可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AF FC 再根据 ASA 证明FOABOC， 那么 AFBC3， 等量代换得到 FCAF3， 利用线段的和差关系求出 FDADAF1 然后在直角FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长 【解答】解：如图，连接 FC，则 AFFC， ADBC， FAOBCO， 在FOA 与BOC 中， FOABOC（ASA） ， AFBC3， FCAF3，FDADAF431 在FDC 中，D90， CD2+DF2FC2， CD2+1232， CD2 故选：A 9 （3 分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点 O 重合，顶 点 A，B
18、恰好分别落在函数 y（x0） ，y（x0）的图象上，则 sinABO 的值 为（ ） A B C D 【分析】点 A，B 落在函数 y（x0） ，y（x0）的图象上，根据反比例函数 的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似 比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比， 再利用勾股定理， 可得直角边与斜边的比， 从而得出答案 【解答】解：过点 A、B 分别作 ADx 轴，BEx 轴，垂足为 D、E， 点 A 在反比例函数 y（x0）上，点 B 在 y（x0）上， SAOD，SBOE2， 又AOB90 AODOBE， AODOBE， （）2， 设 OAm，则 OB
19、2m，AB， 在 RtAOB 中，sinABO 故选：D 10 （3 分）如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上，AOB B30， OA2， 将AOB绕点O逆时针旋转90， 点B的对应点B的坐标是 （ ） A （1，2+） B （，3） C （，2+） D （3，） 【分析】如图，作 BHy 轴于 H解直角三角形求出 BH，OH 即可 【解答】解：如图，作 BHy 轴于 H 由题意：OAAB2，BAH60， ABH30， AHAB1，BH， OH3， B（，3） ， 故选：B 11 （3 分） 如图， ABC 内接于O， 若 sinBAC， BC2， 则O 的
20、半径为 （ ） A3 B6 C4 D2 【分析】连接 OB，OC作 ODBC 于 D，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得 BOC2A，根据等腰三角形的性质，可得 CD，CODA，根据锐角三角 函数可得圆的半径 【解答】解：如图：连接 OB，OC作 ODBC 于 D OBOC，ODBC CDBC，CODBOC 又BOC2A，BC2 CODA，CD sinBAC sinCOD OC3 故选：A 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x1下列结论：abc 0；3a+c0；（a+c）2b20；a+bm（am+b） （m 为实数） 其中结论正确 的个数为（ ）
21、A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线开口方向得到 a0，对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，又抛物 线与 y 轴负半轴相交，得到 c0，可得出 abc0，选项错误； 把 b2a 代入 ab+c0 中得 3a+c0，所以正确； 由 x1 时对应的函数值 y0，可得出 a+b+c0，得到 a+cb，x1 时，y0， 可得出 ab+c0，得到|a+c|b| ，即可得到（a+c）2b20，选项正确； 由对称轴为直线 x1，即 x1 时，y 有最小值，可得结论，即可得到正确 【解答】解：抛物线开口向上，a0， 抛物线的对称轴在 y 轴右侧，b0 抛物线与 y 轴交于负半轴，
22、 c0， abc0，错误； 当 x1 时，y0，ab+c0， ，b2a， 把 b2a 代入 ab+c0 中得 3a+c0，所以正确； 当 x1 时，y0，a+b+c0， a+cb， 当 x1 时，y0，ab+c0， a+cb， |a+c|b| （a+c）2b2，即（a+c）2b20，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， x1 时，函数的最小值为 a+b+c， a+b+cam2+mb+c， 即 a+bm（am+b） ，所以正确 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （4 分）计算： 【分析】首先计算乘方
23、、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值 是多少即可 【解答】解： 2+23+ 故答案为： 14 （4 分）若关于 x、y 的二元一次方程组的解满足 x+y0，则 m 的取值范 围是 m2 【分析】首先解关于 x 和 y 的方程组，利用 m 表示出 x+y，代入 x+y0 即可得到关于 m 的不等式，求得 m 的范围 【解答】解：， +得 2x+2y4m+8， 则 x+y2m+4， 根据题意得 2m+40， 解得 m2 故答案是：m2 15（4 分） 如图， 在扇形 AOB 中， AOB120， 半径 OC 交弦 AB 于点 D， 且 OCOA 若 OA2，则阴影部分的面积为
24、+ 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD 的 面积与扇形 OBC 的面积之和再减去BDO 的面积，本题得以解决 【解答】解：作 OEAB 于点 F， 在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOAOA2， AOD90，BOC30，OAOB， OABOBA30， ODOAtan302， AD4， AB2AF226， OF， BD2， 阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OBCSBDO +， 故答案为：+ 16 （4 分）如图，灯塔 A 在测绘船的正北方向，灯塔 B 在测绘船的东北方向，测绘船向正 东方向航行20海里后， 恰好在
25、灯塔B的正南方向， 此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5 的方向上，则灯塔 A，B 间的距离为 22 海里（结果保留整数） （参考数据 sin26.5 0.45，cos26.50.90，tan26.50.50，2.24） 【分析】 根据题意得 MN20， ANB63.5， BMN45， AMNBNM90， 于是得到 BNMN20，如图，过 A 作 AEBN 于 E，得到四边形 AMNE 是矩形，根据 矩形的性质得到 AEMN20，ENAM，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：由题意得，MN20，ANB63.5，BMN45，AMNBNM 90， BNMN20， 如图，过 A 作 AEBN 于
26、E， 则四边形 AMNE 是矩形， AEMN20，ENAM， AMMNtan26.5200.5010， BE201010， AB1022 海里 故答案为：22 17 （4 分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面 积的公式， 称为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别是 a， b， c， 记， 那么三角形的面积为如果在ABC 中，A，B，C 所对 的边分别记为 a，b，c，若 a5，b6，c7，则ABC 的面积为 【分析】根据 a，b，c 的值，求出 p 的值，代入公式计算即可求出 S 【解答】解：a5，b6，c7， p9， 则 S6 故答案为：6 18
27、（4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB SPCD，则 PC+PD 的最小值为 2 【分析】 依据 SPABSPCD， 即可得出点 P 在 BC 的垂直平分线上， 进而得到 PBPC， 当点 B，P，D 在同一直线上时，BP+PD 的最小值等于对角线 BD 的长，依据勾股定理求 得 BD 的长，即可得到 PC+PD 的最小值为 2 【解答】解：点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPABSPCD，ABCD， 点 P 到 AB 的距离等于点 P 到 CD 的距离， 点 P 在 BC 的垂直平分线上， PBPC， PC+PDBP+PD
28、， 当点 B，P，D 在同一直线上时，BP+PD 的最小值等于对角线 BD 的长， 又ABCD4，BC6， 对角线 BD2， PC+PD 的最小值为 2， 故答案为：2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19先化简，再求值： （），其中 x 满足 x22x20 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式， 再由 x22x20 得 x22x+2 2（x+1） ，整体代入计算可得 【解答】解：原式 ， x22x20， x22x+22（x+1） ， 则原式 20ABC
29、 在边长为 1 的正方形网格中如图所示： （1）以点 C 为位似中心，作出ABC 的位似图形A1B1C，使其相似比为 1：2且 A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示出 A1的坐标； （2）作出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后的图形A2B2C，并表示出 A2的坐标； （3）在（2）的条件下求出点 B 经过的路径长（结果保留 ） 【分析】 （1）延长 AC 到 A1使 A1CAC，延长 BC 到 B1使 B1CBC，则A1B1C 满 足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B 的对应点 A2、B2，从而得到A2B2C （3）先计算出 CB 的长，然后根据弧长公式计算点 B 经过的路
30、径长 【解答】解： （1）A1B1C 为所作，点 A1的坐标为（0，0） ； 如图，A2B2C 为所作； 点 A2的坐标为（1，3） ； 点 B 经过的路径长 21某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机 选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根 据调查结果绘制的统计图表的一部分 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1） 统计表中m的值为 25 ， 统计图中n的值为 25 ， A类对应扇形的圆心角为 39.6 度； （2）该校共有
31、 1500 名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有 4 人，其中仅有 1 名男生从这 4 人中任选 2 名同 学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选 2 名同学中有男生的概率 【分析】 （1）先根据 B 类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人 数求出 m，继而由百分比概念得出 n 的值，用 360乘以 A 类别人数所占比例即可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得 【解答】解： （1）样本容量为 2020%100， m100（11+20+40+4）25，n%100%25%，A 类对应扇形的圆心角为 36039.6， 故
32、答案为：25、25、39.6 （2）1500300（人） 答：该校最喜爱体育节目的人数约有 300 人； （3）画树状图如下： 共有 12 种情况，所选 2 名同学中有男生的有 6 种结果， 所以所选 2 名同学中有男生的概率为 22如图，点 A（，4） ，B（3，m）是直线 AB 与反比例函数 y（x0）图象的两个交 点，ACx 轴，垂足为点 C，已知 D（0，1） ，连接 AD，BD，BC （1）求反比例函数和直线 AB 的表达式； （2）ABC 和ABD 的面积分别为 S1，S2，求 S2S1 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由点 A 坐标得 AC4，则点 B 到 AC 的
33、距离为，则，而 点 A，B 到 DE 的距离分别为，进而求出 S2，即可求解 【解答】解： （1）由点在反比例函数图象上， ，解得 n6， 反比例函数的解析式为， 将点 B（3，m）代入并解得 m2， B（3，2） ， 设直线 AB 的表达式为 ykx+b， ，解得， 直线 AB 的表达式为； （2）由点 A 坐标得 AC4， 则点 B 到 AC 的距离为， ， 设 AB 与 y 轴的交点为 E，则点 E（0，6） ，如图： DE615， 由点知，点 A，B 到 DE 的距离分别为， ， 23如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一 点
34、，且CDEBAC （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB3BD，CE2，求O 的半径 【分析】 （1）根据圆周角定理得出ADC90，按照等腰三角形的性质和已知的 2 倍 角关系，证明ODE 为直角即可； （2）通过证得CDEDAE，根据相似三角形的性质即可求得 【解答】解： （1）如图，连接 OD，AD， AC 是直径， ADC90， ADBC， ABAC， CADBADBAC， CDEBAC CDECAD， OAOD， CADADO， ADO+ODC90， ODC+CDE90 ODE90 又OD 是O 的半径 DE 是O 的切线； （2）解：ABAC，ADBC， BDCD， AB3
35、BD， AC3DC， 设 DCx，则 AC3x， AD2x， CDECAD，DECAED， CDEDAE， ，即 DE4，x， AC3x14， O 的半径为 7 24定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解： （1）如图 1，点 A，B，C 在O 上，ABC 的平分线交O 于点 D，连接 AD，CD 求证：四边形 ABCD 是等补四边形； 探究： （2）如图 2，在等补四边形 ABCD 中，ABAD，连接 AC，AC 是否平分BCD？请说 明理由 运用： （3）如图 3，在等补四边形 ABCD 中，ABAD，其外角EAD 的平分线交 CD 的延长 线于点 F，CD10，AF5
36、，求 DF 的长 【分析】 （1）由圆内接四边形对角互补可知A+C180，ABC+ADC180， 再证 ADCD，即可根据等补四边形的定义得出结论； （2）过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AF 垂直 CD 的延长线于点 F，证ABEADF， 得到 AEAF，根据角平分线的判定可得出结论； （3）连接 AC，先证EADBCD，推出FCAFAD，再证ACFDAF，利用 相似三角形对应边的比相等可求出 DF 的长 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 为圆内接四边形， A+C180，ABC+ADC180， BD 平分ABC， ABDCBD， ， ADCD， 四边形 ABCD 是等补四边形
37、； （2）AC 平分BCD，理由如下： 如图 2，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AF 垂直 CD 的延长线于点 F， 则AEBAFD90， 四边形 ABCD 是等补四边形， B+ADC180， 又ADC+ADF180， BADF， ABAD， ABEADF（AAS） ， AEAF， AC 是BCF 的平分线，即 AC 平分BCD； （3）如图 3，连接 AC， 四边形 ABCD 是等补四边形， BAD+BCD180， 又BAD+EAD180， EADBCD， AF 平分EAD， FADEAD， 由（2）知，AC 平分BCD， FCABCD， FCAFAD， 又AFCDFA， ACFDA
38、F， ， 即， DF55 25如图，抛物线 yax2+bx经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的A，求A 的半径； （3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB，PC，请问：PBC 的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 A、B 两点分别代入抛物线解析可求得 a 和 b，可求得抛物线解析式； （2）过 A 作 ADBC 于点 D，则 AD 为A 的半径，由条件可证明ABDCBO，利 用相似三角形的性质可求得 AD
39、 的长，可求得半径； （3）由待定系数法可求得直线 BC 解析式，过 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于点 E，可设出 P、Q 的坐标，可表示出PQC 和PQB 的面积，可表示出PBC 的 面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得 P 点坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ， 把 A、B 两点坐标代入可得，解得， 抛物线解析式为 yx2+2x； （2）过 A 作 ADBC 于点 D，如图 1， A 与 BC 相切， AD 为A 的半径， 由（1）可知 C（0，） ，且 A（1，0） ，B（5，0） ， OB5，
40、ABOBOA4，OC， 在 RtOBC 中，由勾股定理可得 BC， ADBBOC90，ABDCBO， ABDCBO， ，即，解得 AD， 即A 的半径为； （3）C（0，） ， 可设直线 BC 解析式为 ykx， 把 B 点坐标代入可求得 k， 直线 BC 的解析式为 yx， 过 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于点 E，如图 2， 设 P（x，x2+2x） ，则 Q（x，x） ， PQ（x2+2x）（x）x2+x（x）2+， SPBCSPCQ+SPBQPQOE+PQBEPQ（OE+BE）PQOBPQ （x）2+， 当 x时，SPBC有最大值，此时 P 点坐标为（，） ， 当 P 点坐标为（，）时，PBC 的面积有最大值
