1、2020 年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确 的）的） 1 （4 分）在数轴上和有理数 a，b，c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：a2a20；|a b|+|bc|ac|；（a+b） （b+c） （c+a）0；|a|1bc其中正确的结论有（ ）个 A4 B3 C2 D1 2 （4 分）已知 a，b，c 分别是 RtABC 的三条边长，c 为斜
2、边长，C90，我们把关于 x 的形如 y x+的一次函数称为“勾股一次函数” 若点 P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且 RtABC 的面积是 4，则 c 的值是（ ） A2 B24 C2 D12 3 （4 分）5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场每月出货量 以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如图统计图： 根据该统计图，下列说法错误的是（ ） A2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量 D2
3、018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 4 （4 分）已知函数 yx2+x1 在 mx1 上的最大值是 1，最小值是，则 m 的取值范围是（ ） Am2 B0m C2m Dm 5 （4 分）如图，AOB 中，AOB90，AO4，BO8，AOB 绕点 O 逆时针旋转到AOB处，此 时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为（ ） A3 B C D 6 （4 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿 ABC 方向运动，当点 M 到达点 C 时停 止运动，过点 M 作 MNAM 交 CD 于点 N，设点 M 的运动路程为 x
4、，CNy，图 2 表示的是 y 与 x 的函 数关系的大致图象，则矩形 ABCD 的面积是（ ） A20 B18 C10 D9 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 7 （4 分）2020 年某校将迎来 70 周年校庆，学校安排 3 位男老师和 2 位女老师一起筹办大型文艺晚会，并 随机地从中抽取 2 位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 8 （4 分）在ABC 中，ABAC，若 cosA，则 9 （4 分）如图 1 是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图 2 所示的方法玩拼图 游戏，两两
5、相扣，相互不留空隙，那么小王用 2020 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度 是 （结果用 m，n 表示） 10 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 MNPQ 的顶点 M，N 分别在 x 轴，y 轴正半轴上滑动，顶点 P、Q 在第一象限，若 MN8，PN4，在滑动过程中，点 P 与坐标原点 O 的距离的最大值为 11 （4 分）如图，已知直线 ykx（k0）分别交反比例函数 y和 y在第一象限的图象于点 A，B， 过点B作BDx轴于点D， 交y的图象于点C， 连接AC 若ABC是等腰三角形， 则k的值是 12 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4，点 M 在 CD 边上
6、，且 DM1，AEM 与ADM 关于 AM 所在直线对称， 将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF， 连接EF， 则线段EF的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 52 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13 （12 分） （1）已知关于 x 的方程 x2（2k1）x+k20 有两个实根 x1，x2，且满足 x1x2|x1|x2|2， 求实数 k 的值； （2）已知 ab0，且+6，求（）3的值 14 （12 分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文
7、明水平的一个重要体现 为改善城市生态环境， 某市决定从 6 月 1 日起， 在全市实行生活垃圾分类处理， 某街道计划建造垃圾初级处理点 20 个， 解决垃圾投放问题 有 A、 B 两种类型垃圾处理点， 其占地面积、 可供使用居民楼幢数及造价见表： 类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元） A 15 18 1.5 B 20 30 2.1 （1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过 370m2，如何分配 A、B 两种类型垃圾处理 点的数量，才能够满足该街道 490 幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？ （2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本 y（元）与月处理
8、量 x（吨）之间的函数关 系可以近似的表示为：y，若每个 B 型处理点的垃圾月处理量是 A 型处理点的 1.2 倍，该街道建造的每个 A 型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月 处理成本最低？（精确到 0.1） 15 （14 分）已知矩形 ABCD 中，AB2，AD5，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE、CE，以 BE 为直径作 O，交 BC 于点 F，过点 F 作 FHCE 于 H （1）当直线 FH 与O 相切时，求 AE 的长； （2）当 FHBE 时，求 AE 的长； （3）若线段 FH 交O 于点 G，在点 E 运动过程中，OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能
9、，求出 此时 AE 的长；如果不能，说明理由 16 （14 分）如图，已知抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，点 A 坐标为（1，0） ，点 C 坐标为（0，） ，点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称 点，连接 CD，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作 AEAC 交 DH 的延长线于点 E （1）求 a，c 的值； （2）求线段 DE 的长度； （3）如图，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为直线 PF 上方抛物线上的一 点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的
10、最大值是多少？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确 的）的） 1 （4 分）在数轴上和有理数 a，b，c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：a2a20；|a b|+|bc|ac|；（a+b） （b+c） （c+a）0；|a|1bc其中正确的结论有（ ）个 A4 B3 C2 D1 【分析】根据数轴上各数的位置得出 a10bc1，依此即可得出结论 【解答】解：根据题意得：a10bc1， 则a2a2（
11、a2） （a+1）0； |ab|+|bc|a+bb+ca+c， |ac|a+c， |ab|+|bc|ac|； a+b0，b+c0，c+a0， （a+b） （b+c） （c+a）0； |a|1，1bc1， |a|1bc； 故正确的结论有，一共 2 个 故选：C 2 （4 分）已知 a，b，c 分别是 RtABC 的三条边长，c 为斜边长，C90，我们把关于 x 的形如 y x+的一次函数称为“勾股一次函数” 若点 P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且 RtABC 的面积是 4，则 c 的值是（ ） A2 B24 C2 D12 【分析】依据题意得到三个关系式：abc，ab8，a2+b2c2，运
12、用完全平方公式即可得到 c 的值 【解答】解：点 P（1，）在“勾股一次函数”yx+的图象上， +的一次函数，即 abc， 又a，b，c 分别是 RtABC 的三条变长，C90，RtABC 的面积是 4， ab4，即 ab8， 又a2+b2c2， （ab）2+2abc2， 即（c）2+28c2， 解得 c2， 故选：A 3 （4 分）5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场每月出货量 以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如图统计图： 根据该统计图，下列说法错误的是（ ） A2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B2019 年下
13、半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量 D2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 【分析】根据图象逐一分析即可 【解答】解：对于 A，由柱状图可得 5 月份出货量最高，故 A 正确； 对于 B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故 B 正确； 对于 C，根据曲线上数据可得仅仅 4 月 5 月比同比高，其余各月均低于 2018，且明显总出货量低于 2018 年，故 C 正确； 对于 D，可计算得 2018 年 12 月出货量为：3044.4（114.7%）3569.05， 8 月出货量为：3
14、087.5（15.3%）3260.3， 因为 3260.33569.05， 故 12 月更高，故 D 错误 故选：D 4 （4 分）已知函数 yx2+x1 在 mx1 上的最大值是 1，最小值是，则 m 的取值范围是（ ） Am2 B0m C2m Dm 【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出 m；再求得当 x1 时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得 m 的下限 【解答】解：函数 yx2+x1 的对称轴为直线 x， 当 x时，y 有最小值，此时 y1， 函数 yx2+x1 在 mx1 上的最小值是， m； 当 x1
15、时，y1+111，对称轴为直线 x， 当 x1（）2 时，y1， 函数 yx2+x1 在 mx1 上的最大值是 1，且 m； 2m 故选：C 5 （4 分）如图，AOB 中，AOB90，AO4，BO8，AOB 绕点 O 逆时针旋转到AOB处，此 时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为（ ） A3 B C D 【分析】由勾股定理求出 AB，由旋转的性质可得 AOAO，ABAB，再求出 OE，从而得到 OE AO，过点 O 作 OFAB于 F，由三角形的面积求出 OF，由勾股定理列式求出 EF，再由等腰三 角形三线合一的性质可得 AE2EF，然后由 BEABAE
16、 代入数据计算即可得解 【解答】解：AOB90，AO4，BO8， AB4， AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处， AOAO4，ABAB4， 点 E 为 BO 的中点， OEBO84， OEAO4， 过点 O 作 OFAB于 F， SAOB4OF48， 解得 OF， 在 RtEOF 中，EF， OEAO，OFAB， AE2EF2， BEABAE4； 故选：B 6 （4 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿 ABC 方向运动，当点 M 到达点 C 时停 止运动，过点 M 作 MNAM 交 CD 于点 N，设点 M 的运动路程为 x，CNy，图 2 表示的是 y 与
17、 x 的函 数关系的大致图象，则矩形 ABCD 的面积是（ ） A20 B18 C10 D9 【分析】由图 2 知：AB+BC9，设 ABm，则 BC9m，则 tanMABtanNMC，即，即 ，化简得：yx2+9，当 x时，y9+，即可求解 【解答】解：由图 2 知：AB+BC9，设 ABm，则 BC9m， 如图所示，当点 M 在 BC 上时， 则 ABm，BMxm，MC9x，NCy， MNAM，则MABNMC， tanMABtanNMC，即， 即，化简得：yx2+x9， 当 x时， y9+， 解得：m5， 则 AM5，BC4， 故 ABCD 的面积20， 故选：A 二、填空题（本大题共二、
18、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 7 （4 分）2020 年某校将迎来 70 周年校庆，学校安排 3 位男老师和 2 位女老师一起筹办大型文艺晚会，并 随机地从中抽取 2 位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式 即可得出答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 20 种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有 12 种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为 故答案为： 8 （4 分）在ABC 中，ABAC，若 cosA，则 【分
19、析】过 B 点作 BDAC 于点 D，设 AD4x，根据三角函数和勾股定理用 x 表示 AB 与 BD，BC，然 后求结果便可 【解答】解：过 B 点作 BDAC 于点 D， cosA， ， 设 AD4x，则 AB5x， ， ABAC， AC5x， CD5x4xx， BC， ， 故答案为： 9 （4 分）如图 1 是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图 2 所示的方法玩拼图 游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用 2020 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度是 m+2019n （结果用 m，n 表示） 【分析】用 2020 个这样的图形（图 1）的总长减去拼接时
20、的重叠部分 2019 个（mn） ，即可得到拼出来 的图形的总长度 【解答】解：由图可得，2 个这样的图形（图 1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为 mn， 用 2020 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度2020m2019（mn）m+2019n， 故答案为：m+2019n 10 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 MNPQ 的顶点 M，N 分别在 x 轴，y 轴正半轴上滑动，顶点 P、 Q 在第一象限， 若 MN8， PN4， 在滑动过程中， 点 P 与坐标原点 O 的距离的最大值为 4+4 【分析】取 MN 的中点 E，连接 OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可
21、 【解答】解：如图，取 MN 的中点 E，连接 OE，PE，OP， MON90， RtMON 中，OEMN4， 又MQP90，MN8，PN4，NE4， RtPNE 中，PE， 又OPPE+OE4+4， OP 的最大值为 4+4， 即点 P 到原点 O 距离的最大值是 4+4， 故答案为：4+4 11 （4 分）如图，已知直线 ykx（k0）分别交反比例函数 y和 y在第一象限的图象于点 A，B， 过点 B 作 BDx 轴于点 D， 交 y的图象于点 C， 连接 AC 若ABC 是等腰三角形， 则 k 的值是 或 【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点 A、B、C 的坐标（用 k
22、表示） ，再讨论AB BC，ACBC，即可解题 【解答】解：点 B 是 ykx 和 y的交点，ykx， 点 B 坐标为（，2） ， 同理可求出点 A 的坐标为（，） ， BDx 轴， 点 C 横坐标为，纵坐标为， BA，AC，BC， BA2AC2k0， BAAC， 若ABC 是等腰三角形， 当 ABBC 时，则， 解得：k（舍去负值） ； 当 ACBC 时，同理可得：k； 故答案为：或 12 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4，点 M 在 CD 边上，且 DM1，AEM 与ADM 关于 AM 所在直线对称， 将ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF， 连接 EF， 则线
23、段 EF 的长为 5 【分析】连接 BM先判定FAEMAB（SAS） ，即可得到 EFBM再根据 BCCDAB4，CM 3，利用勾股定理即可得到，RtBCM 中，BM5，进而得出 EF 的长 【解答】解：如图，连接 BM AEM 与ADM 关于 AM 所在的直线对称， AEAD，MADMAE ADM 按照顺时针方向绕点 A 旋转 90得到ABF， AFAM，FABMAD FABMAE， FAB+BAEBAE+MAE FAEMAB FAEMAB（SAS） EFBM 四边形 ABCD 是正方形， BCCDAB4 DM1， CM3 在 RtBCM 中，BM5， EF5， 故答案为：5 三、解答题（本
24、大题共三、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 52 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13 （12 分） （1）已知关于 x 的方程 x2（2k1）x+k20 有两个实根 x1，x2，且满足 x1x2|x1|x2|2， 求实数 k 的值； （2）已知 ab0，且+6，求（）3的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（2k1）24k20，然后解不等式可得 k 的取值范围，再根据 根与系数的关系可得出 x1+x22k1、x1x2k2，结合 x1x2|x1|x2|2，即可得出关于 k 的一元一次方 程，解之即可求实数 k 的值； （2
25、）先通分可得 a2+b26ab，再根据完全平方公式的变形可得的值，进而可得（）3的值 【解答】解： （1）根据题意得（2k1）24k20， 解得 k； （2）x1+x22k1，x1x2k2， k， x1+x22k10， 而 x1x2k20， x10，x20， x1x2|x1|x2|2， x1x2+x1+x22， 即 k2+（2k1）2， 整理得 k2+2k30， 解得 k13，k21， 而 k， k3； （2）+6， a2+b26ab， （a+b）28ab， （ba）2（a+b）24ab4ab， （）22， ， ab0， a+b0，ba0， 0， （）32 答： （）3的值为2 14 （12
26、分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文 明水平的一个重要体现 为改善城市生态环境， 某市决定从 6 月 1 日起， 在全市实行生活垃圾分类处理， 某街道计划建造垃圾初级处理点 20 个， 解决垃圾投放问题 有 A、 B 两种类型垃圾处理点， 其占地面积、 可供使用居民楼幢数及造价见表： 类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元） A 15 18 1.5 B 20 30 2.1 （1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过 370m2，如何分配 A、B 两种类型垃圾处理 点的数量，才能够满足该街道 490 幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建
27、造方案最省钱？ （2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关 系可以近似的表示为：y，若每个 B 型处理点的垃圾月处理量是 A 型处理点的 1.2 倍，该街道建造的每个 A 型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月 处理成本最低？（精确到 0.1） 【分析】 （1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积等于 370m2，居民楼的 数量大于等于 490 幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为 y 与 A 型处理点的个数 x 之间的函 数关系，进而求解； （2） 分 0 x144、 144x300 两种情况，
28、 分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值， 进而求解 【解答】解： （1）设建造 A 型处理点 x 个，则建造 B 型处理点（20 x）个 依题意得：， 解得 6x9.17， x 为整数， x6，7，8，9 有四种方案； 设建造 A 型处理点 x 个时，总费用为 y 万元则：y1.5x+2.1（20 x）0.6x+42， 0.60， y 随 x 增大而减小，当 x9 时，y 的值最小，此时 y36.6（万元） ， 当建造 A 型处理点 9 个，建造 B 型处理点 11 个时最省钱； （2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨） ， 当 0 x144 时，（x380 x2+5040
29、 x）x280 x+5040， 0，故有最小值， 当 x120（吨）时，的最小值为 240（元/吨） ， 当 144x300 时，（10 x+72000）10+， 当 x300（吨）时，250，即250（元/吨） ， 240250， 故当 x120 吨时，的最小值为 240 元/吨， 每个 B 型处理点的垃圾月处理量是 A 型处理点的 1.2 倍且 A 型处理点 9 个，建造 B 型处理点 11 个， 每个 A 型处理点每月处理量1205.4（吨） ， 故每个 A 型处理点每月处理量为 5.4 吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低 15 （14 分）已知矩形 ABCD 中，AB2，AD5
30、，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE、CE，以 BE 为直径作 O，交 BC 于点 F，过点 F 作 FHCE 于 H （1）当直线 FH 与O 相切时，求 AE 的长； （2）当 FHBE 时，求 AE 的长； （3）若线段 FH 交O 于点 G，在点 E 运动过程中，OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出 此时 AE 的长；如果不能，说明理由 【分析】 （1）连接 EF，FA，由 CE 为圆的切线且又和 EB 垂直，可知 CEFA，推出CEFAFE，而 AFEFEB 可得CEFBEF，所以 EF 为BEC 的平分线又因为EFB 为直角可知 EFBC， 所以BEC 为等腰三角形，
31、得到 BF 为 BC 的一半，又因为 EACF，可知四边形 CEAF 为平行四边形， 即 ADBF2.5； （2）根据平行线的性质得到 BECE，由余角的性质得到ABEDEC，证得ABECDE，根据 相似三角形的性质即可得到结论； （3）连接 EF，由圆周角定理得出BFE90，设 AEx，则 EF，AB2，BFAEx，CFDE 5x，由已知条件得出点 G 在点 F 上方，连接 BG、EG，设 BG、EF 交于点 K，得出BFK 和EGK 都 是等腰直角三角形，得出 BFKFx，BKx，EK2KF2x，GKEG（2x） ，BG GK+BK（2+x） ，证明BEGCEF，得出，得出方程，解方程即可
32、 【解答】解： （1）如图 1，连接 EF，FA， CE 为圆的切线且又和 EB 垂直， CEAF CEFAFE； 又AFEFEB， CEFBEF， EF 为BEC 的平分线； EFB90， EFBC， BECE BEC 为等腰三角形， BF 为 BC 的一半； EACF， 四边形 CEAF 为平行四边形， 即 AECF2.5； （2）解：FHBE，FHCE， BECE， AEB+DEC90， ABE+AEB90， ABEDEC， AD90， ABECDE， ， AB2，AD5， CDAB2， ， AE1 或 AE4 （3）连接 EF、OF、OG，如图 3 所示： 则BFE90， 设 AEx，
33、则 EF，AB2，BFAEx，CFDE5x， 若OFG 是等腰直角三角形，则FOG90， 连接 BG、EG，设 BG、EF 交于点 K， BFK 和EGK 都是等腰直角三角形， BFKFx，BKx，EK2KF2x， 在等腰直角EGK 中，根据勾股定理得：GKEG（2x） ，BGGK+BK（2+x） ， 又EBGEFGFCH， BEGCEF， ，即， 解得：x，或 x， AE 的长度是或 16 （14 分）如图，已知抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，点 A 坐标为（1，0） ，点 C 坐标为（0，） ，点 D 是点
34、 C 关于抛物线对称轴的对称 点，连接 CD，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作 AEAC 交 DH 的延长线于点 E （1）求 a，c 的值； （2）求线段 DE 的长度； （3）如图，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为直线 PF 上方抛物线上的一 点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的最大值是多少？ 【分析】 （1） ： （1）将 A（1，0） ，C（0，）代入抛物线 yax2+x+c（a0） ，求出 a、c 的值； （2） 由 （1） 得抛物线解析式： y， 点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点， C （0， ） ，所以 D（2
35、， ） ，DH，再证明ACOEAH，于是 即，解得： EH2，则 DE2； （3）找点 C 关于 DE 的对称点 N（4， ） ，找点 C 关于 AE 的对称点 G（2， ） ，连接 GN， 交 AE 于点 F，交 DE 于点 P，即 G、F、P、N 四点共线时，CPF 周长CF+PF+CPGF+PF+PN 最 小，根据 SMFP，m 时，MPF 面积有最大值 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，C（0，）代入抛物线 yax2+x+c（a0） ， ， a，c （2）由（1）得抛物线解析式：y 点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，C（0，） D（2， ） ， DH， 令 y0，即x2
36、+x+0， 得 x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ， AEAC，EHAH， ACOEAH， 即， 解得：EH2， 则 DE2； （3）找点 C 关于 DE 的对称点 N（4， ） ，找点 C 关于 AE 的对称点 G（2， ） ， 连接 GN， 交 AE 于点 F， 交 DE 于点 P， 即 G、 F、 P、 N 四点共线时， CPF 周长CF+PF+CPGF+PF+PN 最小， 直线 GN 的解析式：yx， 由（2）得 E（2，） ，A（1，0） ， 直线 AE 的解析式：yx， 联立 解得 F （0， ） ， DHx 轴， 将 x2 代入直线 AE 的解析式：yx， P（2，） F （0， ）与 P（2，）的水平距离为 2 过点 M 作 y 轴的平行线交 FH 于点 Q， 设点 M（m，m2+m+） ，则 Q（m，m ） （m） ； SMFPSMQF+SMQPMQ2MQ（m2+m+）（m ） ， SMFP 对称轴为：直线 m， 开口向下，m， m 时，MPF 面积有最大值为.
