1、2.3 数学归纳法数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.掌握用数学归纳法证明等式、不等式等简单的数学命 题 知识点 数学归纳法 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行 车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下 思考 1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 答案 (1)第一辆自行车倒下 (2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下导致后一辆一定倒下 思考 2 利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 答案 一些与正整数 n 有关的问题 梳理 (1)数学归纳法 一个与自然数相关的命题，如果当 n 取第一个值 n0时命题成立；在假设当 nk(kN
2、， 且 kn0)时命题成立的前提下，推出当 nk1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立 (2)数学归纳法的框图表示 1与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法( ) 2数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( ) 3数学归纳法的两个步骤缺一不可( ) 类型一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明： 12 13 22 35 n2 2n12n1 nn1 22n1. 证明 (1)当 n1 时， 12 13 12 23成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，等式成立， 即 12 13 22 35 k2 2k12k1 kk1 22k1，
3、 则 12 13 22 35 k2 2k12k1 k12 2k12k3 kk1 22k1 k12 2k12k3 k1k2 22k3 ， 即当 nk1 时，等式也成立 由(1)(2)可得对于任意的 nN等式都成立 反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两 边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 nk 到 nk1 时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将 nk1 时的式子转化成与归纳假设的结构相 同的形式凑假设， 然后利用归纳假设， 经过恒等变形， 得到结论所需的形式凑结论 跟踪训练 1 用数学归纳法证明当 nN时， 11 2
4、 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n. 证明 (1)当 n1 时，左边11 2 1 2，右边 1 2. 左边右边，等式成立 (2)假设当 nk(kN，k1)时，等式成立， 即 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k， 当 nk1 时， 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k2 1 k3 1 2k1 1 k1 1 2k2 1 k2 1 k3 1 2k1 1 2k2 1 k11 1 k12 1 2k1. 当 nk1 时，等式也成立 由(
5、1)(2)可知，对一切 nN等式成立 类型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 2n n1 2 (nN) 证明 (1)当 n1 时，左边11 2，右边 11 2 1，所以左边右边， 即 n1 时不等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时不等式成立， 即 11 2 1 3 1 2k k1 2 ， 那么当 nk1 时， 有 11 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 2k2k k1 2 1 2k2k 1 2k2k 1 2k2k 2k个 k1 2 2k 2k2k k1 2 1 2 k11 2 ， 所以当 nk1 时，不等式成立 由(1)(2)可知
6、，当 nN时，11 2 1 3 1 2n n1 2 . 反思与感悟 (1)验证第一个 n 值时，要注意 n0不一定为 1，若 nk(k 为正整数)，则 n0k 1. (2)证明不等式的第二步中，从 nk 到 nk1 的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应 用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设 (3)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求 进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对 n 取前几 个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 n 值开始都成立的结论，常 用数学归纳法证明 (4)用数学归
7、纳法证明不等式的关键是由 nk 时成立得 nk1 时也成立，主要方法有比较 法、分析法、综合法、放缩法等 跟踪训练 2 证明不等式 1 1 2 1 3 1 n2 n(nN ) 证明 (1)当 n1 时，左边1，右边2.左边右边，不等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，不等式成立，即 1 1 2 1 3 1 k2 k. 则当 nk1 时， 1 1 2 1 3 1 k 1 k12 k 1 k1 2 k k11 k1 0，f(x) ax ax，令 a11，an 1f(an)，nN. (1)写出 a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论 解 (1)因为 a1
8、1，an1f(an)， 所以 a2f(a1)f(1) a a1， a3f(a2)f a a1 a a a1 a a a1 a a2， a4f(a3)f a a2 a a a2 a a a2 a a3， 猜想 an a an1(nN ) (2)易知当 n1 时，猜想成立； 假设当 nk (k1，kN)时，猜想成立， 即 ak a ak1.则当 nk1 时， ak1f(ak) a a ak1 a a ak1 a ak11 a ak a ak11， 即当 nk1 时，猜想也成立 由知，对一切 nN，都有 an a an1. 1若命题 A(n)(nN)在 nk(kN)时命题成立，则有 nk1 时命题成
9、立现知命题对 n n0(n0N)时命题成立，则有( ) A命题对所有正整数都成立 B命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立 C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数都成立 D以上说法都不正确 答案 C 解析 由已知得 nn0(n0N)时命题成立，则有 nn01 时命题成立；在 nn01 时命题 成立的前提下，又可推得 n(n01)1 时命题也成立，依此类推，可知选 C. 2用数学归纳法证明“1aa2a2n 11a 2n2 1a (a1)”在验证 n1 时，左端计算 所得项为( ) A1a B1aa2 C1aa2a3 D1aa2a3a4 答
10、案 C 解析 将 n1 代入 a2n 1得 a3，故选 C. 3 已知 123332433n3n 13n(nab)c 对一切 nN 都成立， 那么 a， b，c 的值为( ) Aa1 2，bc 1 4 Babc1 4 Ca0，bc1 4 Da，b，c 不存在 答案 A 解析 令 n 等于 1,2,3，得 13abc， 12392abc， 123332273abc， 解得 a1 2，bc 1 4. 4用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 2n11，nN )时，在第二步证明从 nk 到 nk 1 不等式成立时，左边增加的项数为_ 答案 2k 解析 左边增加的项数为 2k 12k2k. 5请观察以
11、下三个式子： (1)13129 6 ； (2)13242311 6 ； (3)1324353413 6 ， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论 解 结论：132435n(n2) nn12n7 6 . 证明：当 n1 时，左边3，右边3，所以结论成立； 假设当 nk(k1，kN)时，结论成立， 即 132435k(k2)kk12k7 6 ， 则当 nk1 时， 1324k(k2)(k1)(k3) kk12k7 6 (k1)(k3) k1 6 (2k27k6k18) k1 6 (2k213k18) k1k22k9 6 k1k112k17 6 ， 所以当 nk1 时，结论成立 由知，结论成立 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1. (2)递推是关键：正确分析由 nk 到 nk1 时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证 明问题的保障 (3)利用假设是核心： 在第二步证明中一定要利用归纳假设， 这是数学归纳法证明的核心环节， 否则这样的证明就不是数学归纳法证明
