1、 20202020- -20212021 学年度江苏省南京市四校联考九年级期中考试数学试卷学年度江苏省南京市四校联考九年级期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上）. . 1.某校足球队有 16 名队员，队员的年龄情况统计如下： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 3 5 6 2 则这 16 名队员年龄的中位数和众数分别是（ ） A. 14，15 B. 15，15 C. 14.5，14 D. 14.5，15 2.用配方法解方程 x2-2x-
2、2=0 时，原方程应变形为( ) A. (x+1)2=3 B. (x+2)2=6 C. (x-1)2=3 D. (x-2)2=6 3.若扇形的弧长是 ，半径是 18，则该扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 4.如图， 分别与 相切于 两点， ，则 ( ) A. B. C. D. 5.若，为方程 2x25x10 的两个实数根，则 2235的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 14 D. 15 6.如图，点 P（3,4），P 半径为 2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点 M 是 P 上的动点，点 C 是 MB 的 中点，则 AC 的最小值为（ ） A. 14 B. C. D.
3、 26 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 7.已知关于 x 的方程 x2+x+2a-1=0 的一个跟是 0，则 a=_。 8.甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投 5 次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为 5，乙所得环数 如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是_（填“甲”或“乙”）. 9.如图，边 AB 是O 内接正六边形的一边，点 C 在 上，且 BC 是O 内接正八边形的一边，若 AC 是O 内接正 n 边形的一边，则 n=_. 10.如
4、图，要用纸板制作一个母线长为 底面圆半径为 的圆锥形漏斗，若不计损耗，则所需纸 板的面积是_ 11.已知两个连续奇数的积是 ，则这两个数的和是_ 12.如图，AB 是 的直径，PA 切 于点 A ， 线段 PO 交 于点 C 连接 BC ， 若 ，则 _ 13.如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，CEA30，OFCD，垂足为点 F，DE 5，OF1，那么 CD_ 14.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 _ 15.若数据3， a ， 3， 5， 3的平均数是3， 则这组数据众数是_； a的值是_； 方差是_ 16.如图，在ABC 中，
5、ACB90，D 是 BC 边上的点，CD2，以 CD 为直径的与 AB 相切于 点 E.若弧 DE 的长为 ，则阴影部分的面积_.（保留） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1111 小题，共小题，共 8888 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤）过程或演算步骤） 17.已知一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0， （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当ABC 是等腰 三角形时，求 k 的值。
6、18.某校组织了一次低于新冠病毒爱心捐款活动，全体同学积极踊跃捐款，其中随机抽查 名同学捐款 情况统计以下： 捐款（元） 人数（人） 求： （1）统计捐款数目的众数是_，中位数是_，平均数是_ （2）请分别用一句话解释本题中的众数、中位数和平均数的意义 （3）若该校捐款学生有 人，估计该校学生共捐款多少元？ 19.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市 2018 年绿化面积约 万平方米，预计 年绿化面积约为 万平方米假设每年绿化面积的平均增长率相同 （1）求每年绿化面积的平均增长率； （2）已知每平方米绿化面积的投资成本为 元，若 年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么 年的绿化投
7、资成本需要多少元？ 20.往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示 若油面宽 AB 和油的最大深度都为 80cm （1）求油槽的半径 OA； （2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为 60cm 时，求油面下降的高度 21.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出 5 名选手组成初中代表队和 高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩（满分 100）如图所示： 根据图示信息，整理分析数据如表： （1）求出表格中 =_； =_；c= _ （2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是 160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并 判断
8、哪一个代表队选手成绩较为稳定. 22.如图，有长为 30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m），围成中间隔有一道篱笆（平 行于 AB）的长方形花圃. （1）设花圃的一边 AB 为 xm，则 BC 的长可用含 x 的代数式表示为_m； （2）当 AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为 63 平方米？ 23.如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为 A，BC 交O 于点 D，点 E 是 AC 的中点. （1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为 2，B50，AC6，求图中阴影部分的面积. 24.图 1 是某市 2009 年 4 月 5 日
9、至 14 日每天最低气温的折线统计图 （1）图 2 是该市 2007 年 4 月 5 日至 14 日每天最低气温的频数分布直方图，根据图 1 提供的信息，补 全图 2 中频数分布直方图； （2）在这 10 天中，最低气温的众数是_，中位数是_，方差是_ （3）请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况 25.商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价 措施 经调查发现， 每件商品每降价 1 元， 商场平均每天可多售出 2 件 设每件商品降价 x 元 据此规律， 请回答： （1）商场日销售量增加_件，每件商品盈利_元（用含 的代数式表示）； （2
10、）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 1428 元？ 26.如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，且对角线 AC 为直径，AD=BC，过点 D 作 DGAC，垂 足为 E，DG 分别与 AB 及 CB 延长线交于点 F、M. （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若点 G 为 MF 的中点，求证：BG 是O 的切线； 27. （1）问题提出： 如图 1，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD3，BADBCD90，ADC60，则四 边形 ABCD 的面积为_； （2）问题探究： 如图 2， 在四边形 ABCD 中， BADBCD90， ABC
11、135， AB2 ， BC3， 在 AD、 CD 上分别找一点 E、F，使得BEF 的周长最小，并求出BEF 的最小周长； （3）问题解决： 如图 3，在四边形 ABCD 中，ABBC2，CD10，ABC150，BCD90，则在四边形 ABCD 中（包含其边沿）是否存在一点 E，使得AEC30，且使四边形 ABCE 的面积最大.若存在， 找出点 E 的位置，并求出四边形 ABCE 的最大面积；若不存在，请说明理由. 答案答案 一、选择题 1.解：中位数为 16 名队员的年龄数据里，第 8 和第 9 个数据的平均数 ， 在这 16 名队员的年龄数据里，15 岁出现了 6 次，次数最多，因而众数是
12、 15. 故答案为：D. 2.解： x2-2x-2=0 , 移项，得：x2-2x=2， 配方：x2-2x+1=3， 即（x-1）2=3 故答案为：C. 3.解：由弧长公式： 得： ， 故答案为：A. 4.解：连接 OA、OB， 直线 PA、PB 分别与O 相切于点 A、B， OAPA，OBPB， P=72， AOB=108， C 是O 上一点， ACB=54 故答案为：C 5.解： ，为方程 2x25x10 的两个实数根， 2 2-5 -1=0，= ， =- ， 5 =2 2-1， 2235 = 223+2 2-1 =2（2 2）+3-1 =2（）2-1 =2（ ） 2+ -1 =12. 故答
13、案为：B. 6.解：如图，连接 OP 交P 于 M，连接 OM. 点 P（3,4）， OP= . A（2.8，0），B（5.6,0） OA=AB， 点 C 是 MB 的中点， CM=CB， AC= OM， 当 OM 最小时，AC 最小， 当 M 运动到 M时，OM 最小，此时 AC 的最小值= OM= （OPPM）= . 故答案为：B. 二、填空题 7.解：把 x=0 代入方程 x2+x+2a-1=0 ，得 2a-1=0 ， 解得 a= . 故答案为： . 8.解：乙所得环数为：2，3，5，7，8， 乙所得环数的平均数为 ， 乙所得环数的方差为 ， ， 成绩较稳定的是甲， 故答案为：甲. 9.
14、连接 OC， AB 是O 内接正六边形的一边， ， BC 是O 内接正八边形的一边， ， ， ； 故答案为 24； 10.圆锥形小漏斗的侧面积 12848cm 2 故答案为 48cm2 11.解：设其中一个奇数为 x，则较大的奇数为（x+2）， 由题意得，x（x+2）=15， 解得，x=3 或 x=-5， 故答案是：3 和 5 或-3 和-5 12.如图，连接 AC ， 是 的直径， ， ， PA 切 于点 A ， ， ， ， ， ，解得 ， 故答案为： 13.解：AB 是O 的直径，OFCD， 根据垂径定理可知： CFDF， CEA30， OEF30， OE2，EF ， DFDEEF5 ，
15、CD2DF102 故答案为：102 14.关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 k0 且 解得 k0， 答案为 k0 且 k-1. 15.解：根据题意得， 3+a+3+5+3=35， 解得：a=1， 则一组数据 1，3，3，3，5 的众数为 3， 方差为： = =1.6， 故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6 16.解：如图，连接 ， 以 为直径的 与 相切于点 ， . 设 ， ，弧 的长为 ， . . ， . ， . . . 阴影 扇形 . 故答案是： . 三、解答题 17. （1）证明：一元二次方程为 x2-(2k+1)x+k2+k=0， =-(2k+1)2-4 (k2+k)
16、=10， 此方程有两个不相等的实数根。 （2）解：ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根， 且由(1)知，ABAC，ABC 第三边 BC 的长为 5，且ABC 是等腰三角形， 必然有 AB=5 或 AC=5 即 x=5 是原方程的一个解 将 x=5 代人方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0，得 25-5(2k+1)+k2+k=0， 解得 k=4 或 k=5 当 k=4 时，原方程为 x2-9x+20=0， x1=5，x2=4，以 5，5， 4 为边长能构成等腰三角形。 当 k=5 时，原方程为 x2-11x+30=0， x1=5，x2=6，以 5，5，6 为边长能构成等腰三
17、角形。 k 的值为 4 或 5。 18. （1）50 元；50 元；81 元 （2）解：捐款数目为 元的学生人数最多，八 班学生有一半的捐款数目在 元以上且人均捐款 数目是 元； （3）解：根据题意得： （元） 答：估计该校学生共捐款 元. 解：（1） 在这组数据中， 出现了 次，出现次数最多， 学生捐款数目的众数是 元， 按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是 ， 中位数为 元， 这组数据的平均数 （元） ； 19. （1）解：设每年绿化面积的平均增长率为 x可列方程 1000（1+x）2=1210 解方程，得：x1=0.1x2=-2.1（不合题意，舍去） 所以每年绿化面积的平均增长率
18、为 10% （2）解： ） （万平方米） （元） 答：2021 年的绿化投资成本需要 798600000 元 20. （1）解：如图所示： 过 O 作 OCAB，延长 CO 与圆交于 D， 由题意可知 AB=CD=80cm， 由垂径定理可得 AC=CB= AB=40cm， 设 OA 为 xcm，则 OC=（80-x）cm， 在 RtOAC 中，根据勾股定理可得： ， 解得：x50， 答：油槽的半径 OA 为 50cm. （2）解：如图所示： 当油面下降到 EF 位置时， EFAB，CDAB， CDEF， 连接 OF，设 CD 与 EF 交于点 G，由题意知 EF=60cm， 由垂径定理可得 G
19、F= EF=30cm， 在 RtOGF 中， 由（1）可知 OC=80-50=30cm CG=OC+OG=30+40=70cm 答：油面下降的高度为 70cm 21. （1）85；80；85 （2）S2初= ， S2高= ， S2初S2高 ， 初中部选手成绩稳定. 解：（1）a= ， b=80，c=85， 故答案为：85；80；85； 22. （1）303x （2）解：由题意得：3x2+30 x63. 解此方程得 x17，x23. 当 x7 时，303x910，符合题意； 当 x3 时，303x2110，不符合题意，舍去； 故当 AB 的长为 7m 时，花圃的面积为 63m2. 】解：（1）由
20、题意得：BC303x， 故答案为：303x； 23. （1）解：直线 DE 与O 相切， 理由如下：连接 OE、OD，如图， AC 是O 的切线， ABAC， OAC90， 点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点， OEBC， 1B，23， OBOD， B3， 12， 在AOE 和DOE 中 ， AOEDOE（SAS） ODEOAE90， DEOD， OD 为O 的半径， DE 为O 的切线； （2）解：DE、AE 是O 的切线， DEAE， 点 E 是 AC 的中点， AE AC3， AOD2B250100， 图中阴影部分的面积2 23 6- . 24. （1）解：由图 1 可知，
21、8有 2 天，9有 0 天，10有 2 天， 补全统计图如图； （2）7；7.5；2.8 （3）解：6的度数， 360=72， 7的度数， 360=108， 8的度数， 360=72， 10的度数， 360=72， 11的度数， 360=36， 作出扇形统计图如图所示 （2）根据条形统计图，7出现的频率最高，为 3 天， 所以，众数是 7； 按照温度从小到大的顺序排列，第 5 个温度为 7，第 6 个温度为 8， 所以，中位数为 （7+8）=7.5； 平均数为 （62+73+82+102+11）= 80=8， 所以，方差= 2（68） 2+3（78）2+2（88）2+2（108）2+（118）
22、2， = （8+3+0+8+9）， = 28， =2.8 25. （1）2x；50-x （2）解：由题意得：（50-x）（30+2x）=1428（0 x50） 化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0， 解得：x1=36，x2=-1（舍去）， 答：每件商品降价 36 元，商场日盈利可达 1428 元 解： （1） 降价 1 元， 可多售出 2 件， 降价 x 元， 可多售出 2x 件， 盈利的钱数=50-x， 故答案为 2x， 50-x； 26. （1）证明：AC 为O 直径 在 与 中 四边形 ABCD 是平行四边形 又 四边形 ABCD 是矩形； （2）证明：如下图
23、， 连接 OB 在 中，点 G 为 MF 的中点 BG 是O 的切线. 27. （1） （2）解：如图，作点 B 关于 AD 的对称点 M，作点 B 关于 CD 的对称点 N，连接 MN，交 AD 于点 E， 交 CD 于点 F，过点 M 作 MGBC，交 CB 的延长线于点 G， 点 B，点 M 关于 AD 对称，BEEM，ABAM2 ，BM4 ， 点 B，点 N 关于 CD 对称，BFFN，BCCN3， BEF 的周长BE+BF+EFNF+EF+EMMN， 由轴对称的性质知：此时 MN 的长即为BEF 周长的最小值. ABC135，GBM45， GBMGMB45， BGGM， BG2+GM
24、2BM2 ， BG4GM， GNBG+BC+CN4+3+310， 在 RtGMN 中，MN 2 ， BEF 的最小周长为 2 . （3）解：作ABC 的外接圆，交 CD 于点 E，连接 AC，AE，过点 A 作 AMCD 于点 M，作 BNAM 于点 N， 四边形 ABCE 是圆内接四边形， ABC+AEC180， AEC30， BNAM，AMCD，BCD90， 四边形 BCMN 是矩形， BCMN2，BNCM，CBN90， ABC150， ABN60，BAN30， BN AB1，AN BN ， AM +2，CM1， AEC30，AMCE， AE2AM2 +4，ME AM3+2 ， CECM+ME4+2 AE， 点 E 在 AC 垂直平分线上， S四边形 ABCESABC+SACE ， 且 SABC是定值，AC 长度是定值，点 E 在ABC 的外接圆上， 当点 E 在 AC 的垂直平分线上时，S四边形 ABCE最大， 此时 S四边形 ABCES四边形 ABCM+SAME 1+ 8+4 解：（1）ABBC，ADCD3，BADBCD90， ABDCBD（SAS）， ADBCDB， ADC60， ADBCDB30， ABBC ， 四边形 ABCD 的面积2SABD2 3 3 . 故答案为：3 ；
