1、2020 年河南省洛阳市涧西区东升二中中考数学年河南省洛阳市涧西区东升二中中考数学模拟模拟试卷试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）的相反数是（ ） A B C D 2 （3 分）新冠病毒（2019nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 冠状病毒，它是一类 具有囊膜的正链单股 RNA 病毒，其遗传物质是所有 RNA 病毒中最大的，也是自然界广 泛存在的一大类病毒其粒子形状并不规则，直径约 60220nm，平均直径为 100nm（纳 米） 1 米109纳米，100nm 可以表示为（ ）米 A0.110 6 B1010 8 C110 7 D11011 3
2、 （3 分）下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A B C D 4 （3 分）如图，直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F，EG 平分BEF 交直线 CD 于 点 G，若1BEF68，则EGF 的度数为（ ） A34 B36 C38 D68 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） A7a+2b9ab B （3a3b）26a9b2 C （a+b）2a2+b2 D 6 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2（k+1）0 的根的情况是（ ） A有两个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 7 （3 分）解分式方程2
3、时，去分母变形正确的是（ ） A1+x12（x2） B1x12（x2） C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高，AM 是ABC 外 角CAE 的平分线， 以点 D 为圆心， 适当长为半径画弧， 交 DA 于点 G， 交 DC 于点 H 再 分别以点 G、H 为圆心，大于GH 的长为半径画弧，两弧在ADC 内部交于点 Q，连 接 DQ 并延长与 AM 交于点 F，则 DF 的长度为（ ） A6 B6 C4 D8 9（3 分） 如图， 在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中， 曲线是由半径为 2 米， 圆心角 12
4、0 的弧 AB 多次复制并首尾连接而成现有一点 P 从 A（A 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为（ ） A2 B1 C0 D1 10 （3 分）二次函数 yax28ax（a 为常数）的图象不经过第三象限，当 2x3 时，y 的最大值为3，则 a 的值是（ ） A B C2 D2 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11 （3 分）计算： （3）0+62 1 12 （3 分）不等式组的所有整数解的积是 13 （3 分）随着信息化时代的到来，微信支付、支付宝支付、QQ 红包支付、银行卡支付等 各种便捷支付已经成为我们生活中的一部分，
5、某学校某宿舍的 5 名同学，有 3 人使用微 信支付，2 人使用支付宝支付，问从这 5 人中随机抽出两人，使用同一种支付方式的概率 是 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，以点 B 为圆心，BC 的长为 半径画弧，交 AB 于点 F，点 D 为 AC 的中点，以点 D 为圆心，DC 为半径画弧，交 AB 于点 E，若 BC2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，AC3，点 D 是 BC 上一动点， 连接 AD，将ACD 沿 AD 折叠，点 C 落在点 E 处，连接 DE 交 AB 于点 F，当DEB 是
6、 直角三角形时，DF 的长为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值： （），其中 a 17某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取 50 名学生进行测 试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七八年级学生一分钟跳绳成绩分析表 年级 平均数 中位数 众数 七 116 a 115 八 119 126 117 七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分 7 组：60 x80，80 x100，180 x200， 在 100 x120 这一组的是： 100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 1
7、10 111 112 113 115 115 115 116 117 119 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 a ； （2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩 122 次，八年级乙同学的成绩 125 次，他们的 测试成绩， 在各自年级所抽取的 50 名同学中， 排名更靠前的是 （填 “甲” 或 “乙” ） ， 理由是 （3）该校七年级共有 500 名学生，估计一分钟跳绳不低于 116 次的有多少人？ 18如图所示， O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，ABAC， 延长 BC 至点 D， 使 CDAC， 连接 AD 交O 于点 E，连接 BE、CE，BE 交 AC 于点 F （1）求证：
8、CEAE； （2）填空：当ABC 时，四边形 AOCE 是菱形； 若 AE，AB，则 DE 的长为 19如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的北偏东 60方向直线延伸，测绘员在 A 处 测得要安装天然气的 M 小区在 A 市北偏东 30方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米 到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 75方向，请你在主输气管道上寻找支管道连 接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求出管道 MN 的长度（精确到 0.1 米） 20如图，一次函数 ykx+b 的图象分别交 x 轴、y 轴于 C，D 两点，交反比例函数 y图 象于 A（，4） ，B（3，m）两点 （1）
9、求直线 CD 的表达式； （2）点 E 是线段 OD 上一点，若 SAEB，求 E 点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式 kx+b的解集 21某小区决定在小区内安装垃圾分类的垃圾箱，需要购买大小、规格都相同的红色和蓝色 垃圾箱经过调查，获取信息如下： 购买数量低于 5 个 购买数量不低于 5 个 红色垃圾箱 原价销售 八折销售 蓝色垃圾箱 原价销售 九折销售 若购买红色垃圾箱 4 个，蓝色垃圾箱 6 个，则需付款 860 元；若购买红色垃圾箱 10 个， 蓝色垃圾箱 3 个，则需付款 940 元 （1）红色垃圾箱与蓝色垃圾箱的单价各为多少元？ （2）经过测算，需要购置垃圾箱 12 个，
10、其中蓝色垃圾箱的数量不少于红色垃圾箱数量 的一半，并且不超过 6 个，如何购买，能使总费用最少？请说明理由 22如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GF CD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图（2）所示，试探究 线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H若 A
11、G6，GH2，则 BC 23如图，在平面直角坐标系中抛物线 yax23ax+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B，与 y 轴交于点 C（0，2） ，连接 AC，BC （1）求抛物线的解析式及点 B 的坐标； （2）点 P 为抛物线上一动点，当点 P 到直线 BC 的距离等于某定值 d，且这样的点 P 有 且只有三个时，求 d 的值； （3） 点 D 是射线 BC 上一点 （不与点 B， C 重合） ， 连接 OD， 过点 B 作 BEOD 于点 E， 若BDE 与OBC 相似，请直接写出点 D 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1
12、（3 分）的相反数是（ ） A B C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：的相反数是： 故选：A 2 （3 分）新冠病毒（2019nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 冠状病毒，它是一类 具有囊膜的正链单股 RNA 病毒，其遗传物质是所有 RNA 病毒中最大的，也是自然界广 泛存在的一大类病毒其粒子形状并不规则，直径约 60220nm，平均直径为 100nm（纳 米） 1 米109纳米，100nm 可以表示为（ ）米 A0.110 6 B1010 8 C110 7 D11011 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n
13、，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：100nm10010 9m 110 7m 故选：C 3 （3 分）下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A B C D 【分析】根据三视图的概念逐一判断即可得 【解答】解：A主视图是 3 个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是 5 个正方形，故 本选项不合题意； B主视图是 2 个正方形，左视图是 3 个正方形，俯视图是 4 个正方形，故本选项不合题 意； C三视图都相同，都是有两列，从左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意； D 左视图
14、和俯视图相同， 有两列， 从左到右正方形的个数分别为： 2、 1； 左视图有两列， 从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意 故选：C 4 （3 分）如图，直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F，EG 平分BEF 交直线 CD 于 点 G，若1BEF68，则EGF 的度数为（ ） A34 B36 C38 D68 【分析】由角平分线的性质可得GEBBEF34，由同位角相等，两直线平行可 得 CDAB，即可求解 【解答】解：EG 平分BEF， GEBBEF34， 1BEF68， CDAB， EGFGEB34， 故选：A 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） A7a+2b9a
15、b B （3a3b）26a9b2 C （a+b）2a2+b2 D 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式和二次根式的加减运算法则计算 得出答案 【解答】解：A、7a+2b，无法合并同类项，故此选项错误； B、 （3a3b）26a6b2，故此选项错误； C、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； D、2，正确 故选：D 6 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2（k+1）0 的根的情况是（ ） A有两个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【分析】先计算判别式，再利用完全平方公式得到（k1）20，然后根据判别式 的意义对各选项进
16、行判断 【解答】解：（k+3）242（k+1） k2+6k+98k8 k22k+1 （k1）20， 方程有两个实数解 故选：A 7 （3 分）解分式方程2 时，去分母变形正确的是（ ） A1+x12（x2） B1x12（x2） C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果 【解答】解：去分母得：1x12（x2） ， 故选：D 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高，AM 是ABC 外 角CAE 的平分线， 以点 D 为圆心， 适当长为半径画弧， 交 DA 于点 G， 交 DC 于点 H 再 分别以点 G、
17、H 为圆心，大于GH 的长为半径画弧，两弧在ADC 内部交于点 Q，连 接 DQ 并延长与 AM 交于点 F，则 DF 的长度为（ ） A6 B6 C4 D8 【分析】在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高，可得ADBADC 90，BDCDBC2，根据勾股定理得，AD4，再根据三角 形外角定义可得EAMB，由作图过程可以证明 AFAD，进而可求 DF 的长 【解答】解：在ABC 中，ABAC6，BC4，AD 是 BC 边上的高， ADBADC90，BDCDBC2， AD4， EACB+C， AM 是ABC 外角CAE 的平分线， EAMMAC， BC， EAMB， AMBC
18、， MADADC90 由作图过程可知： DF 平分ADC， ADF45， AFD45， AFAD4， DF8 故选：D 9（3 分） 如图， 在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中， 曲线是由半径为 2 米， 圆心角 120 的弧 AB 多次复制并首尾连接而成现有一点 P 从 A（A 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】根据题意和图形，可以求得的长，然后由图可知，每走两个弧 AB 为一个循 环，然后即可得到在第 2020 秒时点 P 的纵坐标，本题得以解决 【解答】解：， 2（秒） ， 2020450
19、5， 故在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为 0， 故选：C 10 （3 分）二次函数 yax28ax（a 为常数）的图象不经过第三象限，当 2x3 时，y 的最大值为3，则 a 的值是（ ） A B C2 D2 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以求得 a 的值，本题 得以解决 【解答】解：二次函数 yax28axa（x4）216a， 该函数的对称轴是直线 x4， 又二次函数 yax28ax（a 为常数）的图象不经过第三象限， a0， 当 2x3 时，y 的最大值为3， 当 x2 时，a228a23， 解得 a 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）
20、11 （3 分）计算： （3）0+62 1 2 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式12+6 12+3 2 故答案为：2 12 （3 分）不等式组的所有整数解的积是 6 【分析】分别解出每一个不等式得到，再求出不等数组的整数解为 2，3 即可 【解答】解：解不等式得， a3， 不等式组的整数解为 2，3， 所有整数解的积是 6， 故答案为 6 13 （3 分）随着信息化时代的到来，微信支付、支付宝支付、QQ 红包支付、银行卡支付等 各种便捷支付已经成为我们生活中的一部分，某学校某宿舍的 5 名同学，有 3 人使用微 信支付，2
21、 人使用支付宝支付，问从这 5 人中随机抽出两人，使用同一种支付方式的概率 是 【分析】画树状图（用 W 表示使用微信支付，Z 表示使用支付宝支付）展示所有 20 种等 可能的结果数，再找出使用同一种支付方式的结果数，然后根据概率公式求解即可 【解答】解：画树状图为： （用 W 表示使用微信支付，Z 表示使用支付宝支付） 共有 20 种等可能的结果数，其中使用同一种支付方式的结果数为 8， 所以使用同一种支付方式的概率 故答案为： 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，以点 B 为圆心，BC 的长为 半径画弧，交 AB 于点 F，点 D 为 AC 的中点，以点 D 为圆
22、心，DC 为半径画弧，交 AB 于点 E，若 BC2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 【分析】 根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形 BCF 与扇形 DCE 的面积以及ADE 的面积之和与 RtABC 的面积之差 【解答】解：连接 ED，作 EMAC 于 M， 在 RtABC，C90，A30，BC2， B60，ACtan60BC2， CDDEAD， CDE2A60， EMDE， 阴影部分的面积 SS 扇形BCF+S扇形DCE+SADESACB+ ， 故答案为： 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，AC3，点 D 是 BC 上一动点， 连接 AD，将ACD 沿
23、 AD 折叠，点 C 落在点 E 处，连接 DE 交 AB 于点 F，当DEB 是 直角三角形时，DF 的长为 或 【分析】点 E 与点 C重合时在 RtABC 中，由勾股定理可求得 BC4，由翻折的性 质可知：AEAC3，DCDE则 EB2设 DCEDx，则 BD4x在 RtDBE 中，依据勾股定理列方程求解即可；当EDB90 时由翻折的性质可知：ACAE， CAED90，然后证明四边形 ACDE 为正方形，从而求得 DB1，然后证明 DF AC，BDFBCA，依据相似三角形的性质可求得 DF 【解答】解：如图 1 所示；点 E 与点 F 重合时 在 RtABC 中，BC4 由翻折的性质可知
24、；AEAC3、DCDE则 EB2 设 DCEDx，则 BD4x 在 RtDBE 中，DE2+BE2DB2，即 x2+22（4x）2 解得：x DE 如图 2 所示：EDB90 时 由翻折的性质可知：ACAE，CAED90 CAEDCDE90， 四边形 ACDE 为矩形 又ACAE， 四边形 ACE为正方形 CDAC3 DBBCDC431 DFAC， BDFBCA ，即 解得：DF 点 D 在 CB 上运动，假设DBE90，则点 A 到 BE 的距离为 BC 的长， 而 AEACBC， 故DBE 不可能为直角 故答案为：或 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值： （），
25、其中 a 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a时， 原式52 17某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取 50 名学生进行测 试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七八年级学生一分钟跳绳成绩分析表 年级 平均数 中位数 众数 七 116 a 115 八 119 126 117 七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分 7 组：60 x80，80 x100，180 x200， 在 100 x120 这一组的是： 100 101 102 103 105 106 108 109
26、 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 a 118 ； （2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩 122 次，八年级乙同学的成绩 125 次，他们的 测试成绩， 在各自年级所抽取的 50 名同学中， 排名更靠前的是 甲 （填 “甲” 或 “乙” ） ， 理由是 甲的成绩 122 超过中位数 118，乙的成绩 125 低于其中位数 126 （3）该校七年级共有 500 名学生，估计一分钟跳绳不低于 116 次的有多少人？ 【分析】 （1）根据题目中的数据，可以计算出 a 的值； （2）根据表格中的数
27、据，可以得到谁更靠前，然后根据中位数说明理由即可； （3）根据题目中的数据，可以计算出一分钟跳绳不低于 116 次的有多少人 【解答】解： （1）由题意可得， a（117+119）2118， 故答案为：118； （2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩 122 次，八年级乙同学的成绩 125 次，他们的 测试成绩， 在各自年级所抽取的 50 名同学中， 排名更靠前的是甲， 理由是： 甲的成绩 122 超过中位数 118，乙的成绩 125 低于其中位数 126， 故答案为：甲，甲的成绩 122 超过中位数 118，乙的成绩 125 低于其中位数 126； （3）一分钟跳绳不低于 116 次的有 5
28、00270（人） ， 即一分钟跳绳不低于 116 次的有 270 人 18如图所示， O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，ABAC， 延长 BC 至点 D， 使 CDAC， 连接 AD 交O 于点 E，连接 BE、CE，BE 交 AC 于点 F （1）求证：CEAE； （2）填空：当ABC 60 时，四边形 AOCE 是菱形； 若 AE，AB，则 DE 的长为 【分析】 （1）由等腰三角形的性质和三角形外角性质可得ABCACB2CAD，由 同弧所对的圆周角相等可证CADACE，可得 CEAE； （2）当ABC60时，四边形 AOCE 是菱形；由“SAS”可证AOEEOC，可 得AOECOE，可
29、证AOE，COE 都是等边三角形，可得 AOCOCEAE，可 得四边形 AOCE 是菱形； 过点 C 作 CNAD 于 N， 利用勾股定理列出方程组， 可求 EN 的长， 即可求 DE 的长 【解答】证明（1）ABAC，ACCD ABCACB，CADD ACBCAD+D2CAD ABCACB2CAD CADEBC，且ABCABE+EBC ABEEBCCAD， ABEACE CADACE CEAE （2）当ABC60时，四边形 AOCE 是菱形； 理由如下： 如图，连接 OE OAOE，OEOC，AECE AOEEOC（SSS） AOECOE， ABC60 AOC120 AOECOE60，且 O
30、AOEOC AOE，COE 都是等边三角形 AOAEOEOCCE， 四边形 AOCE 是菱形 故答案为：60 如图，过点 C 作 CNAD 于 N， AE，AB， ACCD2，CEAE，且 CNAD ANDN 在 RtACN 中，AC2AN2+CN2， 在 RtECN 中，CE2EN2+CN2， 得：AC2CE2AN2EN2， 83（+EN）2EN2， EN ANAE+ENDN DEDN+EN 故答案为： 19如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的北偏东 60方向直线延伸，测绘员在 A 处 测得要安装天然气的 M 小区在 A 市北偏东 30方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米 到达
31、C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 75方向，请你在主输气管道上寻找支管道连 接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求出管道 MN 的长度（精确到 0.1 米） 【分析】过 M 作 MNAC 交于 N 点，即 MN 最短，设 MNx先解 RtANM，求出 AN x，再解 RtNCM，求出 CNx，根据 AC2000 列出方程，解方程即可 【解答】解：如图，作 MNAC，垂足为 N设 MNx 由题意得：MAC30，MCA45 在 RtANM 中，MAN30，MNx， ANx 在 RtNCM 中，MCN45， CNMNx AC2000， x+x2000， 解得 x10001000732.1
32、答：管道 MN 的长度约为 732.1 米 20如图，一次函数 ykx+b 的图象分别交 x 轴、y 轴于 C，D 两点，交反比例函数 y图 象于 A（，4） ，B（3，m）两点 （1）求直线 CD 的表达式； （2）点 E 是线段 OD 上一点，若 SAEB，求 E 点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式 kx+b的解集 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入 y中求出 n 得到反比例函数解析式为 y，再利用 反比例函数解析式确定 B（3，2） ，然后利用待定系数法求直线 CD 的解析式； （2）设 E（0，t） ，先确定 D（0，6） ，再利用三角形面积公式，利用面积和差列方程 （6t
33、）3（6t），然后解方程求出 t 即可得到 E 点坐标 【解答】解： （1）把 A（，4）代入 y得 n46， 反比例函数解析式为 y， 把 B（3，m）代入 y得 3m6，解得 m2， B（3，2） ， 把 A（，4） ，B（3，2）代入 ykx+b 得，解得， 直线 CD 的解析式为 yx+6； （2）设 E（0，t） ， 当 x0 时，yx+66，则 D（0，6） ， SBDESADESABE， （6t）3（6t），解得 t1， E 点坐标为（0，1） ； （3）结合图象得当 x0 或x3 时，kx+b， 不等式 kx+b的解集为 x0 或x3 21某小区决定在小区内安装垃圾分类的垃圾箱
34、，需要购买大小、规格都相同的红色和蓝色 垃圾箱经过调查，获取信息如下： 购买数量低于 5 个 购买数量不低于 5 个 红色垃圾箱 原价销售 八折销售 蓝色垃圾箱 原价销售 九折销售 若购买红色垃圾箱 4 个，蓝色垃圾箱 6 个，则需付款 860 元；若购买红色垃圾箱 10 个， 蓝色垃圾箱 3 个，则需付款 940 元 （1）红色垃圾箱与蓝色垃圾箱的单价各为多少元？ （2）经过测算，需要购置垃圾箱 12 个，其中蓝色垃圾箱的数量不少于红色垃圾箱数量 的一半，并且不超过 6 个，如何购买，能使总费用最少？请说明理由 【分析】 （1）设红色垃圾箱的单价为 x 元，蓝色垃圾箱的单价为 y 元，根据“
35、若购买红 色垃圾箱 4 个，蓝色垃圾箱 6 个，则需付款 860 元；若购买红色垃圾箱 10 个，蓝色垃圾 箱 3 个，则需付款 940 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 m 个蓝色垃圾箱，则购买（12m）个红色垃圾箱，根据“购买蓝色垃圾箱 的数量不少于红色垃圾箱数量的一半， 并且不超过 6 个” ， 即可得出关于 m 的一元一次不 等式组，解之即可得出 m 的取值范围，由 m 为正整数及总费用单价数量，可分别求 出当 m 去不同值时的总费用，比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设红色垃圾箱的单价为 x 元，蓝色垃圾箱的单价为 y 元， 依题
36、意，得：， 解得： 答：红色垃圾箱的单价为 80 元，蓝色垃圾箱的单价为 100 元 （2）设购买 m 个蓝色垃圾箱，则购买（12m）个红色垃圾箱， 依题意，得：， 解得：4m6 又m 为正整数， m 可以取 4，5，6 当 m4 时，12m8，总费用为 1004+800.88912（元） ； 当 m5 时，12m7，总费用为 1000.95+800.87898（元） ； 当 m6 时，12m6，总费用为 1000.96+800.86924（元） 898912924， 购买 7 个红色垃圾箱，5 个蓝色垃圾箱时，总费用最少 22如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，
37、GEBC，垂足为点 E，GF CD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图（2）所示，试探究 线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H若 AG6，GH2，则 BC 3 【分析】 （1）由 GEBC、GFCD 结合BCD90可得四边形 CEGF 是矩形，再 由ECG45即可得证；由正方形性质知CEGB90、ECG45，
38、据 此可得、GEAB，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接 CG，只需证ACGBCE 即可得； （3）证AHGCHA 得，设 BCCDADa，知 ACa，由 得 AHa、DHa、CHa，由可得 a 的值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， BCD90，BCA45， GEBC、GFCD， CEGCFGECF90， 四边形 CEGF 是矩形，CGEECG45， EGEC， 四边形 CEGF 是正方形； 由知四边形 CEGF 是正方形， CEGB90，ECG45， ，GEAB， ， 故答案为：； （2）连接 CG， 由旋转性质知BCEACG， 在 RtCEG 和 RtCBA 中
39、， cos45、cos45， ， ACGBCE， ， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AGBE； （3）CEF45，点 B、E、F 三点共线， BEC135， ACGBCE， AGCBEC135， AGHCAH45， CHAAHG， AHGCHA， ， 设 BCCDADa，则 ACa， 则由得， AHa， 则 DHADAHa，CHa， 得， 解得：a3，即 BC3， 故答案为：3 23如图，在平面直角坐标系中抛物线 yax23ax+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B，与 y 轴交于点 C（0，2） ，连接 AC，BC （1）求抛物线的解析式及点 B 的坐标； （2）点 P 为抛物
40、线上一动点，当点 P 到直线 BC 的距离等于某定值 d，且这样的点 P 有 且只有三个时，求 d 的值； （3） 点 D 是射线 BC 上一点 （不与点 B， C 重合） ， 连接 OD， 过点 B 作 BEOD 于点 E， 若BDE 与OBC 相似，请直接写出点 D 的坐标 【分析】 （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式并解得：a，c2，即可求解； （2） 当点 P 到直线 BC 的距离等于某定值 d， 且这样的点 P 有且只有三个时， 如图所示， 在直线 BC 上下等距离上作直线 PP、PN，点 P、P、P，其中点 P 所在的直线与 抛物线只有一个交点，即可求解； （3）BDE 与
41、OBC 相似，只有EDBOBC，故，即，则 ED 4n，EB2n，OEEDOD4n4，EB2n，OB4，故 16（4n4）2+（2n）2， 解得：n，sinEOBsin，则 cos，即可求解 【解答】解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式并解得： a，c2， 故抛物线的表达式为：yx2x2， 令 y0，则 x1 或 4， 故点 B（4，0） ； （2）当点 P 到直线 BC 的距离等于某定值 d，且这样的点 P 有且只有三个时， 如图所示，在直线 BC 上下等距离上作直线 PP、PN，点 P、P、P，其中点 P 所在的直线与抛物线只有一个交点， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：yx2， 设直线 PN 的表达式为：yx+m， 联立并整理得：x22x2m0， 44（02m）0，解得：m4，则点 N（0，4） ，则 CN2， tanOCBtan，则 sin，cos 过点 C 作 CHPN 于点 H，则 dCH2cos； （3）BDE 与OBC 相似，则DOBC， 则 ODOB4， BDE 与OBC 相似，只有EDBOBC， 故，即， 则 ED4n，EB2n， OEEDOD4n4，EB2n，OB4， 故 16（4n4）2+（2n）2，解得：n， sinEOBsin，则 cos， 则 yDODsin， 故点 D（，）
