1、 2020-2021 学年度南京市鼓楼区九年级学年度南京市鼓楼区九年级上上期中考试数学模拟试卷期中考试数学模拟试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上）. . 1.一元二次方程 x24x30 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，4，3 B. 0，4，3 C. 1，4，3 D. 1，4，3 2.已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx10，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C.
2、 没有实数根 D. 实数根的个数与实数 b 的取值有关 3.有下列四个命题: 经过三个点一定可以作圆等弧所对的圆周角相等;三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; 在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.如图， ABC 内接于O， A50.E 是边 BC 的中点， 连接 OE 并延长， 交O 于点 D， 连接 BD， 则D 的大小为（ ） A. 55 B. 65 C. 60 D. 75 5.如图，在ABC 中，AC=50m，BC=40m，C=90，点 P 从点 A 开始沿 AC 边向点 C 以 2m/s 的 速度匀速移动，同时另一
3、点 Q 由 C 点开始以 3m/s 的速度沿着射线 CB 匀速移动，当PCQ 的面积等于 300m2运动时间为（ ） A. 5 秒 B. 20 秒 C. 5 秒或 20 秒 D. 不确定 6.如图,在平面直角坐标系中,M 与 x 轴相切于点 A（8，0）与 y 轴分别交于点 B（0，4）与点 C（0， 16）则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. 4 D. 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 7.一元二次方程 有两个
4、相等的实数根，则 _ 8.用半径为 4，圆心角为 90的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_. 9.设 m ， n 是一元二次方程 x22x70 的两个根，则 m23mn_. 10.一个两位数， 个位数字比十位数字大 3， 个位数字的平方刚好等于这个两位数， 则这个两位数是_ 11.如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 CD=6，且 AE：BE =1：3，则 AB=_. 12.如图， 直线 ab， 垂足为 ， 点 在直线 上， ， 为直线 上一动点， 若以 为 半径的 与直线 相切，则 的长为_. 13.如图， 在 的方格纸中， 每个小方格都是边长为 1 的正
5、方形， 其中 A、 B、 C 为格点， 作 的 外接圆，则 的长等于_. 14.一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为 _. 15.疫情期间居民为了减少外出时间， 大家更愿意使用 APP 在线上买菜， 某买菜 APP 今年一月份新注册用 户为 200 万，三月份新注册用户为 338 万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是_. 16.如图，点 0 为正六边形 ABCDEF 的中心，点 M 为 AF 中点，以点 0 为圆心，以 OM 的长为半径画弧 得到扇形 MON，点 N 在 BC 上；以点 E 为圆心，以 DE 的长为半径画弧得到扇形 DEF，把扇
6、形 MON 的两条半径 OM，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为 r1；将扇形 DEF 以同样方法围成的圆 锥的底面半径记为 r2 ， 则 r1：r2=_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1111 小题，共小题，共 8888 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤）过程或演算步骤） 17.解答下列各题： （1）用配方法解方程： . （2）已知一元二次方程 的一个根是 .求 的值和方程的另一个根. 18.已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x-mx+ -
7、=0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形?求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少? 19.如图 1，有一张长 宽 的长方形硬纸片，裁去角上 个小正方形和 个小长方形（图 中阴影部分）之后，恰好折成如图 2 的有盖纸盒. （1）若纸盒的高是 cm，求纸盒底面长方形的长和宽； （2）若纸盒的底面积是 ，求纸盒的高. 20.如图， 中，弦 与 相交于点 E, ,连接 、 . 求证： （1）弧 AD=弧 BC ； （2） . 21.如图，在方格纸中，A，B，C 三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为 1） （1）在图甲中
8、画一个以 A，B，C 为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长 （2）在图乙中画一个经过 A，B，C 三点的圆，并求出圆的面积 22.一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了 降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天 可多售出 2 件. （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为_件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 23.如图，四边形 ABCD 中，ABCD，点 O 在 BD 上，以 O 为圆心的圆恰好经过 A、B、C 三点，O 交 B
9、D 于 E，交 AD 于 F，且弧 AE=弧 CE，连接 OA、OF. （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若AOF3FOE，求ABC 的度数. 24.已知：如图， 为 的直径， ， 交 于点 ， 交 于点 ， . （1）求 的大小； （2）若 的半径为 2，求图中阴影部分的面积. 25.阅读理解： 材料一：若三个非零实数 x ， y ， z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称 这三个实教 x ， y ， z 构成“和谐三数组”. 材料二：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx +c= 0(a0)的两根分别为 ， ，则有 ， 问题解决： （1）请你写出三个能构
10、成“和谐三数组”的实数_； （2）若 ， 是关于 x 的方程 ax2+bx +c= 0 (a ， b ， c 均不为 0)的两根， 是关于 x 的方 程 bx+c=0(b ， c 均不为 0)的解求证：x1 ，x2 ， x3可以构成“和谐三数组”； （3）若 A(m ， y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的 纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数 m 的值 26.如图，四边形 内接于圆， ，对角线 平分 （1）求证： 是等边三角形； （2）过点 作 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的面积 27.问题提出： （1）如图，半圆 O 的直径
11、AB=10，点 P 是半圆 O 上的一个动点，则PAB 的面积最大值是_. （2）如图，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，点 G 是 BC 边的中点，E、F 分别是 AD 和 CD 边上的 点，请探究并求出四边形 BEFG 的周长的最小值. （3）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=6，BAD=60，BCD=120，四边形 ABCD 的周长是 否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 答案答案 一、选择题 1.解：一元二次方程 - - 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，-4，-3 故答案为：D 2.解：b24（1）b2+40， 方程有两个不相等的实数根.
12、故答案为：A. 3.解：经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题 不符合题意； 等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题符合题意； 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 所以到三角形各顶点的距离都相等， 故本小题符合题意； 在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题不符合题意 故答案为：C 4.解：连接 CD， A50， CDB180A130， E 是边 BC 的中点， ODBC， BDCD， ODBODC BDC65， 故答案为：B. 5.解：设运动的时间为 t，则 AP=2t，CQ=3t PC=50-2t C=90，
13、SPCQ=300 PCCQ=300 解得 t1=5，t2=20. 故答案为：C。 6.解：如图连接 BM、OM，AM，作 MHBC 于 H 已知M 与 x 轴相切于点 A（8，0），可得 AMOA，OA=8， 即可得OAM=MH0=HOA=90， 所以四边形 OAMH 是矩形， 根据矩形的性质可得 AM=OH， 因 MHBC， 由垂径定理得 HC=HB=6， 所以 OH=AM=10， 在 RTAOM 中，由勾股定理可求得 OM=2 故答案选 D 二、填空题 7.解： 方程 有两个相等的实数根， 故答案为： 1 8.解：设这个圆锥的底面圆半径为 r， 根据题意得 2r= ， 解得 r=1， 所以
14、这个圆锥的底面圆半径为 1. 故答案为：1. 9.根据根与系数的关系可知 m+n=2， 又知 m是方程的根， 所以可得 m2+2m7=0， 最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n， 最终可得答案 设 m、 n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根， m+n=2， m 是原方程的根， m2+2m7=0，即 m2+2m=7， m2+3m+n=m2+2m+m+n=72=5 10.解：设十位数字为 x，则个位数字为 x+3，根据题意得 ( x +3 ) 2 =11x+3 解之：x=2 或 3 这个两位数是：25 或 36 故答案为：25 或 36 11.解：连接 OC， AB 是圆
15、O 的直径，AE：BE=1：3 设 AE=x，则 BE=3x， AB=x+3x=4x OC=OA=2x， OE=OA-AE=2x-x=x， CDAB，CD=6 CE= CD=3， 在 RtCOE 中， CE2+OE2=OC2即 9+x2=4x2 解之： AB=4 . 故答案为： . 12.解：ab 与直线 相切，OH=1 当 在直线 a 的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3； 当 在直线 a 的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5； 故答案为 3 或 5. 13.解：每个小方格都是边长为 1 的正方形， AB2 ，AC ，BC ， AC2BC2AB2 ， ACB 为等腰直角三角形， AB45
16、， 连接 OC，则COB90， OB 的长为： 故答案为： . 14.解：x2-8x+12=0， ， x1=2，x2=6， 三角形的两边长分别为 2 和 5， 第三边长是方程 x2-8x+12=0 的根， 当 x=2 时， 2+25， 不符合题意， 三角形的第三边长是 6， 该三角形的周长为：2+5+6=13. 故答案为：13. 15.解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 x， 依题意，得：200（1+x）2338， 解得：x10.330%，x22.3（不合题意，舍去）. 故答案为：30%. 16. 解：连结 OA， M 为 AF 中点， OMAF， 六边形 ABCDEF 为正六边形，
17、 AOM=30， 设 AM=a， AB=AO=2a，OM= a， 正六边形中心角为 60， MON=120， 扇形 MON 的弧长为： = a=2r1 ， r1= a， 同理：扇形 DEF 的弧长为： = a=2r2 ， r2= a， r1：r2= a： a= ：2. 故答案为： ：2. 三、解答题 17. （1）解： ， ， ， ， ， （2）解：将 代入 ， 即： ， 解得： ， 将 代入原方程 ， ， 解得： ， ， 方程的另一个根为 1 18. （1）解： 四边形 ABCD 是菱形 AB=AD 此方程有两个相等实数根 即 b2-4ac=(-m)2-4( - )=0 m=1 当 m=1
18、时，原方程为 x2-x+ =0 x1=x2= ， 即菱形边长为 . 即当 m=1 时，四边形 ABCD 是菱形，此时边长是 . （2）解：把 AB=2 代入原方程得：22-2m+ - =0 m= 又由根与系数关系得：AB+AD=m= AD= -2= 又 平行四边形 ABCD AB=CD、BC=AD 平行四边形 ABCD 周长=2(2+ )=5。 19. （1）解：纸盒底面长方形的长为 ， 纸盒底面长方形的宽为 . 答：纸盒底面长方形的长为 ，宽为 . （2）解：设当纸盒的高为 时，纸盒的底面积是 ， 依题意，得： ， 化简，得： ， 解得： ， . 当 时， ，符合题意； 当 时， ，不符合题
19、意，舍去. 答：若纸盒的底面积是 ，纸盒的高为 . 20. （1）解：AB=CD， ，即 ， ； （2）解： ， AD=BC， 又ADE=CBE，DAE=BCE， ADECBE（ASA）， AE=CE 21. （1）解：如图甲， ABCD 即为所求作平行四边形， 其周长为 2（AD+CD）=2（2 +4 ）=12 ； （2）解：如图乙，O 即为所求作圆， 其面积为（ ） 2=10 22.（1）26 （2） 解： 解： 设每件商品降价 x 元时， 该商店每天销售利润为 1200 元， 则平均每天销售数量为 （20+2x） 件，每件盈利为（40-x）元，且 40-x25,即 x15. 根据题意可得
20、（40-x）（20+2x）=1200， 整理得 x2-30 x+200=0, 解得 x1=10,x2=20（舍去）， 答：每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元。 23. （1）证明： , CBD=ABD， CDAB， ABD=CDB， CBD=CDB， CB=CD， BE 是O 的直径， , , AB=BC=CD， CDAB， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：AOF=3FOE， 设FOE=x，则AOF=3x， AOD=FOE+AOF=4x， OA=OF， OAF=OFA= （180-3x）， OA=OB， OAB=OBA=2x， ABC=4x， BCAD， ABC
21、+BAD=180， 4x+2x+ （180-3x）=180， x=20， ABC=80. 24. （1）解：连接 AD， AB 是直径， ADB=90即 ADBC，BEA=90， AB=AC，BAC=45 BAD= BAC= 45=22.5；ABE=45， ABD=90-22.5=67.5 EBC=ABD-ABE=67.5-45=22.5. （2）解：连接 OE， OE=OB OBE=OEB=45， BOE=90， S阴影部分=S扇形 BOE-SOBE= . 25. （1） ，2，3 （2）证明： ， 是关于 x 的方程 ax2+bx +c= 0 (a，b，c 均不为 0)的两根， ， ， ，
22、 是关于 x 的方程 bx+c=0(b，c 均不为 0)的解， ， ， = ， x1 ，x2 ， x3可以构成“和谐三数组”； （3）解：A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上， ， ， ， 三点的纵坐标 y1 ， y2 ， y3恰好构成“和谐三数组”， 或 或 ， 即 或 或 ， 解得：m=4 或2 或 2 解：（1） ， ，2，3 是“和谐三数组”； 故答案为： ，2，3（答案不唯一）； 26. （1）证明：四边形 ABCD 内接于O ABC+ADC=180， ABC=60， ADC=120， DB 平分ADC， ADB=CDB=60，
23、 ACB=ADB=60，BAC=CDB=60， ABC=BCA=BAC， ABC 是等边三角形； （2）解：过点 A 作 AMCD，垂足为点 M，过点 B 作 BNAC，垂足为点 N AMD=90 ADC=120， ADM=60， DAM=30， DM= AD=1，AM= ， CD=3， CM=CD+DE=1+3=4， SACD= CD-AM= 3 = ， 在 RtAMC 中，AMD=90， AC= ， ABC 是等边三角形， AB=BC=AC= ， BN= ， SABC= = ， 四边形 ABCD 的面积= + = ， BECD， E+ADC=180， ADC=120， E=60， E=BD
24、C， 四边形 ABCD 内接于O， EAB=BCD， 在EAB 和DCB 中， ， EABDCB（AAS）， BDE 的面积=四边形 ABCD 的面积= . 27. （1）25 问题探究： （2）解：如图 2，作点 G 关于 CD 的对称点 G，作点 B 关于 AD 的对称点 B，连接 BG，BE，FG， EB=EB，FG=FG， BE+EF+FG+BG=BE+EF+FG+BG， EB+EF+FGBG， 四边形 BEFG 的周长的最小值=BG+BG， BG BC=5，BB=20，BG=15， BG 25， 四边形 BEFG 的周长的最小值为 30； 问题解决： （3）解：如图 3，连接 AC、
25、BD，在 AC 上取一点，使得 DM=DC， DAB=60，DCB=120， DAB+DCB=180， A、B、C、D 四点共圆， AD=AB，DAB=60， ADB 是等边三角形， ABD=ADB=60， ACD=ADB=60， DM=DC， DMC 是等边三角形， ADB=MDC=60，CM=DC， ADM=BDC， AD=BD， ADMBDC(SAS)， AM=BC， AC=AM+MC=BC+CD， 四边形 ABCD 的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC， AD=AB=6， 当 AC 最大时，四边形 ABCD 的周长最大， 当 AC 为ABC 的外接圆的直径时，四边形 ABCD 的周长最大， AC 的最大值=4 ， 四边形 ABCD 的周长最大值为 12+4 . 解：（1）如图 1，点 P 运动至半圆 O 的中点时，底边 AB 上的高最大，即 PO=r=5， 此时PAB 的面积最大值， SPAB 105=25， 故答案为：25；
