1、 相似多边形模型的应用相似多边形模型的应用 通过对本节课的学习，你能够： 掌握相似模型的应用 掌握相似的解题方法 第11讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 A 型相似 X 型相似 母子型相似 一线三等角型相似 一线三垂直 教学目标 1、掌握相似模型的应用. 2、掌握相似的解题方法. 教学重点 能熟练掌握相似模型的应用. 教学难点 能熟练掌握相似模型的应用. 【知识导图】【知识导图】 概 述 三角形相似的判定我们已经练习了许多的习题，今天这节课我们要讲解三角形相似中的几个比较经典 的模型，来更好的理解和应用三角形相似的知识. 1、A 型
2、相似（常考题型，注意反 A 型的应用） 2、X 型相似（角关系模型，一般由平行线产生） 3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似） 4、一线三等角型（角关系模型） 5、一线三垂直型（一线三等角性的特殊情况） 类型一 A 型相似型相似 如图， ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上 剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上， AD 与 HG 的交点为 M. (1)求证： BC (2)求这个矩形 EFGH 的周长；
3、 【解析】 教学过程 考点 1 相似三角形的模型 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 类型二 X 型相似型相似 如图，在中，的平分线分别与、交于点、 （1）求证：； （2）当时，求的值 【解析】 类型三：母子型相似母子型相似 在直角三角形 ABC 中，ACB=900，CDAB，则图中相似三角形 CD= AC= ，BC= . 类型四：一线三等角型相似：一线三等角型相似 在ABC中，5 ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合） ， 且保持ABCAPQ. ABCDABCBFACADEF ABAF 35ABBC， AE AC 例题 1 例题 1 例题 1
4、 若点P在线段CB上（如图） ，且6BP，求线段CQ的长； 若xBP ，yCQ ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； 【解析】 类型五：一线三垂直：一线三垂直型相似型相似 已知：如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于点 F，连接 FC（ABAE） （1） AEF 与 ECF 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由 （2） 设 AB =k BC ， 是否存在这样的 k 值， 使得 AEF 与 BFC 相似？若存在， 证明你的结论并求出 k 的值； 若不存在，说明理由 【解析】 例题 1 A B C 备用图 A B C P Q A B C
5、备用图 【总结与反思】本题考查了三角形一线三垂直相似模型的综合使用能力. 1如图所示，给出下列条件： BACD ；ADCACB； ACAB CDBC ； 2 ACAD AB 其中单独能够判定ABCACD的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 2.如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4. 其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 3.如图，ABCD，AD，BC 相交于点 E，过 E 作 EFAB，交 BD 于点 F，若 AB=2，CD=3，则 EF
6、的长为 ( ) A.1.2 B.2.5 C.1.5 D.不确定 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半 四 、课堂运用 基础 轴上点 Q 在对角线 OB 上，且 OQ=OC，连接 CQ 并延长，交 AB 边于点 P，则点 P 的坐标为( ) A.B. C.D. 5.已知：如图，在 ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BEEFFC. 求 BN：NQ：QM 1.如图， 在ABC中，C9060BD ， ，是AC上一点，DEAB于E， 且21CDDE， 则BC的长为（ ） A2 B 4 3
7、3 C2 3 D4 3 2.在 ABC 中， 点 D， E 分别在 AB， AC 边上， AED=B， 如果 AE=2， ADE 的面积为 4， 四边形 BCED 的面积为 5，那么 AB 的长为( ) A.3 B. 9 2 C. 4 3 D. 5 2 巩固 3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 AD 上一点，EF 交 AC 于点 G， AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则 AC 的长为( ) A.9cm B.14cm C.15cm D.18cm 4.在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 E，连接 DE 交
8、 AC 于点 P， 过 P 作 PFBC，垂足为 F，则 CF CB 的值为( ) A. B. C. D. 1.如图： ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F. 求证： 拔高 2.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图 1，在ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G，若，求的值. （1）尝试探究 在图 1 中，过点 E 作交 BG 于点 H，则 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH 的数量关系是 ，的值
9、是 （2）类比延伸 如图 2，在原题的条件下，若则的值是 （用含的代数式表示） ，试写出 解答过程. （3）拓展迁移 如图 3，梯形 ABCD 中，DCAB，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F，若 ，则的值是 （用含的代数式表示）. 3 EF AFCD CG EHAB CD CG )0(mm EF AF CD CG m ,(0,0) ABBC ab ab CDBE AF EF , a b 3.等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120 ，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30 角的透明三角板，使 30 角的顶 点落在点 P，三角板绕 P 点旋转 （1）如图 1，三角板
10、两边分别交 AB，AC 于点 E，F 时，求证：BPECFP； （2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 2 的情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E，F 探究 1：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论） 探究 2：连接 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由 设 EF=m，EPF 的面积为 S，试用含 m 的代数式表示 S 图2图1 A BC E F PP F E CB A 本节的重要内容：相似三角形模型： 1、A 型相似（常考题型，注意反 A 型的应用） 2、X 型相似（角关系模型，一般由平行线产生） 3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生
11、的三个三角形的相似） 4、一线三等角型（角关系模型） 5、一线三垂直型（一线三等角性的特殊情况） 1.如图，在 Rt ABC 中，ACBC，CDAB 于点 D，若 AC=8，AD=6，则 BD 的长为( ) A.B.C.D. 2.如图，在 ABC 中，CDAB 于点 D下列条件：； 其中能证明 ABC 是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 3、如图，直线，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则 AE:EC=( ) 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 DBC A A.5:2 B.4:1 C.2:1 D.3:2 4、 如图， ABCD， 线段 BC， AD 相交于点 F， 点
12、E 是线段 AF 上一点且满足BEF=C， 其中 AF=6， DF=3， CF=2，则 AE=_ 1. 如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AC 边上，且 AE:EC=1:2，BE 交 AD 于点 P，则 AP:PD 的值为( ) C. A.1 B. 1 2 D. 2.如图，在 ABC 中，M 为 AC 的中点，E 为 AB 上一点，且 AB=4AE，连接 EM 并延长，交 BC 的延长线 于点 D，则 BC:CD=( ) A.4:1 B.2:1 C.7:3 D.5:2 3.如图， 在 RtABC 中， BAC=90 ， ADBC 于点 D， 若 BD:CD=3:2，
13、 则 AC:AB= （ ） B CD EF A 巩固 A 3 2 B 2 3 C 6 2 D 6 3 4.如图，小明在 A 时刻测得某树的影长为 2 m，B 时刻又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂 直，则树的高度为_ 5.如图，P 为ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD，BC，CD 的延长线、AB 的延长线分别交于 点 E，F，G，H 求证：PE PGPF PH 6.如图 1 所示，ABBD，CDBD，垂足分别为 B，DAD，BC 交于点 E，过 E 作 EFBD 于点 F，则可 以得到 111 ABCDEF 若将图 1 中的垂直改为斜交，如图 2 所示，A
14、BCD，AD，BC 交于点 E，过 E 作 EFAB 交 BD 于点 F，试问： 111 ABCDEF 还成立吗？请说明理由 A时 B时 A B D CE F G H P G F E DC BA F E D C B A 图1 F E D C B A 图2 1.如图，正三角形 ABC 的边长为 3+ （1）如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形 ABC 及其内部，以 点 A 为位似中心， 作正方形 EFPN 的位似正方形 EFPN， 且使正方形 EFPN的面积最大 （不要求写作法） ； （2）求（1）中作出的正方形 EFPN的边长； （3）如
15、图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由 2.（2012 宜宾）如图，在 ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且 ABCDEF，将 DEF 与 ABC 重合 在一起， ABC 不动， ABC 不动， DEF 运动， 并满足： 点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动， 且 DE、 始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点 （1）求证： ABEECM； （2）探究：在 DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明 理由； （3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积 3.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45 ，求这个正比例函数的表达式 拔高 A x y O
