1、高三数学 第1页 共 4 页 苏州市相城区2020-2021学年高三第一学期阶段性诊断测试数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上； 2本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 3答案一律填涂在答题卡上，写在试卷上无效 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x4 2命题“ 2 420 xx，”的否定是( ) A 2 420 xx， B 2 420 xx， C
2、 2 420 xx， D 2 420 xx， 3设 0.5 log3a =， 3 0.5b =， ( ) 0.5 1 3 c =，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 4 算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令 相乘也，叉以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与 h，计算其体 积 V 的近似公式 21 36 VL h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3若圆锥体 积的近似公式 22 75 VL h，则应近似取为( ) A 22 7 B 25 8 C157 50 D 355 113 5已知
3、函数 21 ( )lg(1) 2 f xxx=+ +，则 () 1 (ln3)ln 3 ff+ ( ) A0 B 1 2 C1 D2 6物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过一定 时间 t min 的温度是 T ，则 0 1 () ( ) 2 t h aa TTTT=，其中 Ta (单位：)表示环境温度，h(单 位：min)称为半衰期现有一份 88的热饮，放在 24的房间中，如果热饮降温到 40需要 20min，那么降温到 32时，需要的时间为( )min A24 B25 C30 D40 高三数学 第2页 共 4 页 7已知函数 ln ,0 ( ) ,0
4、 ex xxx f xx x = ，则函数() 1yfx= 的图象大致是() A B C D 8若定义在 R 的奇函数 f (x)在( ,0) 单调递增，且 f (2)0，则满足(10)xf x+的 x 的取值范围是 ( ) A 3, 11), + B3, 1 ,0 1 C( , 3 1,01,) +D 1,01,3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9某企业 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如下： 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确
5、的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 50 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 10下列函数中，当 12 01xx时，使得 1212 ( )() () 22 f xf xxx f + 恒成立的函数有( ) A 1 ( ) 2 x y =B 2 logyx= C 2 yx=Dyx= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 单位
6、：万元 支出 收入 高三数学 第3页 共 4 页 11已知 a0，b0，且 ab2，则下列结论正确的有( ) A 22 2ab+ B 11 2 ab +C3 36 ab +D2ab+ 12把方程1 4 x x y y+=表示的曲线作为函数( )yf x=的图象，则下列结论正确的有( ) A函数( ) fx 的图象不经过第三象限 B函数( ) fx 在 R 上单调递增 C函数( ) fx的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 1 D函数( )( ) 2g xf xx=+ 不存在零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13关于 x 的方程 2 30mxx+=有两个不等实根
7、，一个大于 1，一个小于 1，则实数 m 的取值范 围为 14已知一个圆柱的轴截面是周长为 12 米的长方形，则满足这个条件的 圆柱的最大体积是 立方米 15设点P是曲线 2x yex=+上任一点，则点P到直线0 xy=的最小距离为 16函数( ) () 2 log,1, 1 ,1, x x f x f xx = + ，若方程( ) f xxm= + 有且只有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 已知函数 1 (2)(31) y x xa = 的定义域是集合 A， 函数 2
8、2 log (48)yxx=+的值域是集合 B (1)若1a =，求集合 A； (2)若xA是xB 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18(本小题满分 12 分) 已知函数 1 ( ) 1 x x a f x a = + (0a 且1a ) (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若 ，判断并证明函数的单调性(在01a，1a ，这两个条件中任选一个， 将题目补充完整，再作判断证明) 注：第(2)小题中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 高三数学 第4页 共 4 页 19(本小题满分 12 分) 已知函数( )() x f xxk e= (1)求( )f x的单调区间； (2)
9、求( )f x在区间0,1上的最小值 20(本小题满分 12 分) 2020 年 9 月 20 日，阳澄西湖南隧道相城段主体完工，它是国内首条穿湖 双层叠加、超深、超宽隧道建成后，将极大地方便周边市民的通行为了保障通行安全， 汽车在隧道内行驶时， 需要保持适当的安全车距 安全车距d(单位：m)正比于车速v(单位： /km h)的平方与车身长l(单位：m)的积，即 2 dklv=(其中k是比例系数)且安全车距不小 于半个车身长 经测算，当车速为 60/km h时，安全车距为 5.76 个车身长 (1)试求比例系数k的值； (2)试写出车距d与车速v之间的函数关系式； (3)交通繁忙时段， 应规定
10、车速为多少时， 可使隧道的车流量(单位时间内通过的车辆数)最大？ 21 (本小题满分 12 分) 已知二次函数 2 ( )f xaxbx=+， 满足( 2)0f =且方程( )f xx=有两个相等 实根 (1)求函数( )f x的解析式； (2)解不等式 3 ( ) 2 f x ； (3)当且仅当4,xm时，不等式()f xtx恒成立，试求, t m的值 22(本小题满分 12 分) 已知函数 ln ( ) x f xb x =+ 的极大值为1 e e + ，其中e2.71828=为自然对数 的底数 (1)求实数 b 的值； (2)若函数 ( )ex a g x x = ，对任意 (0,)x+
11、，不等式( )( )g xaf x 恒成立 (i)求实数a的取值范围； (ii)证明： 22 ( )sin1x f xaxx+. 高三数学参考答案 第1页 共 8 页 高三数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1A 2C 3A 4B 5C 6C 7B 8B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9ABC 10BD 11ABD 12ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1302m 148 15 2
12、2 16( ),2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 解：(1)因为(2 )(31)0 x xa ， 当1a =时，不等式变为(2 )(4)0 x x ， 1 分 解得24x. 2 分 所以集合 24Axx=. 3 分 (2)由于 22 222 log (48)=log (2)4)log 4=2yxxx=+，即集合 B2,)+ 4 分 因为xA是xB的充分不必要条件，则AB ，且AB ， 6 分 若231a+，即 1 3 a 时， (2,31)Aa=+ ，满足AB ，且AB ，所以 1 3 a . 7 分 若231a
13、=+，即 1 3 a = 时，不合题意； 8 分 若231a+，即 1 3 a 时， (31,2)Aa=+ ，不满足AB ，舍去. 9 分 综上所述， 1 3 a . 10 分 18(本小题满分 12 分) 解：(1)函数( )f x为奇函数， 1 分 证明如下： 函数( )f x的定义域为 R， 2 分 对任意xR，有 11 ()( ) 11 xx xx aa fxf x aa = + ， 4 分 即函数( )f x为奇函数. (2)如填的，即01a时，函数( )f x为 R 上的减函数. 5 分 证明如下： 法一： 任取 12 xx，则 12 121221 12 112222 ( )()1
14、(1)= 111111 xx xxxxxx aa f xf x aaaaaa = + 1212 2121 2(1)(1)2() = (1)(1)(1)(1) xxxx xxxx aaaa aaaa + = + 8 分 高三数学参考答案 第2页 共 8 页 由于01a，函数 x ya=单调递减, 又由于 12 xx，从而 12 xx aa，即 12 0 xx aa 10 分 又 12 1010 xx aa+ + ，所以 12 21 2() 0 (1)(1) xx xx aa aa + ，即 12 ( )()f xf x 11 分 所以，当01a时，函数( )f x为 R 上的减函数. 12 分
15、法二： 22 ln(1)(1)ln 2ln ( ) (1)(1) xxxx x xx aaaaaa aa fx aa + = + 8 分 由于01a，所以ln0a , 9 分 又 2 0,(1)0 xx aa+，所以 ( ) 0fx , 10 分 所以，当01a时，函数( )f x为 R 上的减函数. 12 分 如填的，即1a 时，函数( )f x为 R 上的增函数. 5 分 证明如下： 法一：任取 12 xx，则 12 121221 12 112222 ( )()1(1)= 111111 xx xxxxxx aa f xf x aaaaaa = + 1212 2121 2(1)(1)2()
16、= (1)(1)(1)(1) xxxx xxxx aaaa aaaa + = + 8 分 由于1a ，函数 x ya=单调递增， 又由于 12 xx，从而 12 xx aa，即 12 0 xx aa 10 分 又 12 10,10 xx aa+ + ，所以 12 21 2() 0 (1)(1) xx xx aa aa + ，即 12 ()()f xf x 11 分 所以，当1a 时，函数( )f x为 R 上的增函数. 12 分 法二： 22 ln(1)(1)ln 2ln ( ) (1)(1) xxxx x xx aaaaaa aa fx aa + = + 8 分 由于1a ，所以ln0a ，
17、 9 分 又 2 0,(1)0 xx aa+，所以( )0fx ， 10 分 所以，当1a 时，函数( )f x为 R 上的增函数. 12 分 19(本小题满分 12 分) 解：(1)( )(1). x fxxke=+ 1 分 令( )0= x f，得1=kx 2 分 )(xf与)(x f 的情况如下： x (,1k) 1k ), 1(+k )(x f 0 + )(xf 1 k e 4 分 所以，)(xf的单调递减区间是(1, k)；单调递增区间是), 1(+k 5 分 高三数学参考答案 第3页 共 8 页 (2)当01k，即1k时，函数)(xf在0，1上单调递增， 6 分 所以)(xf在区间
18、0，1上的最小值为;)0(kf= 7 分 当01 1,k 即12k时， 8 分 由(1)知( )f x在0,1k 上单调递减，在(1,1k 上单调递增，所以( )f x在区间0，1上 的最小值为 1 (1) k f ke = ； 9 分 当1 1,k 即2k 时，函数( )f x在0，1上单调递减， 10 分 所以( )f x在区间0，1上的最小值为(1)(1) .fk e= 11 分 综上， 1 min , 1, ( ), 12, (1) ,2. k k k f xek k ek = 12 分 20(本小题满分 12 分) 解：(1)因为当车速60/vkm h=时，安全车距 2 5.7660
19、dlkl=，所以 1 625 k =. 2 分 (2)由(1)知， 1 625 k = ，从而 2 5.76 625 lv dl=，由于 2 5.76 6252 lvl dl=，所以 25 2 / 2 vkm h. 3 分 当 25 2 / 2 vkm h时， 2 625 lv d =; 4 分 当 25 2 0/ 2 vkm h时， 2 l d =; 5 分 综上， 2 25 2 ,0, 22 25 2 ,. 6252 l v d lv v = 6 分 (3)由于一辆车占去道路的长为ld+，记 1h 内通过隧道的车辆数为 Q，设隧道的长度为 S， 则 1000v Q ld = + , 7 分
20、 当 25 2 0/ 2 vkm h时， 25000 210002000 33 2 vv Q lll l = + ， 8 分 在 25 2 / 2 vkm h=时，取到最大值 25000 2 3l ; 9 分 当 25 2 / 2 vkm h时， 2 10001000100012500 1 1 () 2 625 626625 v Q vl lvv l ll v v = + + ; 10 分 当且仅当 1 625 v v = 时即25/vkm h=( 25 2 / 2 vkm h)时取等号； 11 分 又 25000 212500 3ll ，所以，当25/vkm h=时，车流量 Q 最大. 答：
21、在交通繁忙时段，应规定车速为25/vkm h=时，可以使隧道的车流量最大. (注：如用导数求解相应给分.) 12 分 21(本小题满分 12 分) 解：(1)由于函数 2 ( )f xaxbx=+是二次函数，所以0a ，又 2 ( 2)( 2)( 2)0fab= + =, 高三数学参考答案 第4页 共 8 页 所以2ba=， 1 分 所以 2 ( )2f xaxax=+，又( )f xx=有两个相等实根，即 2 (21)0axax+=(0a )有两个相 等实根， 所以 2 (21)400aa =，所以 1, 2 a = 2 分 从而 21 ( ) 2 f xxx=+. 3 分 (2)由(1)知
22、， 21 ( ) 2 f xxx=+，所以不等式 3 ( ) 2 f x 即为 213 22 xx+，解得31x . 5 分 (3)由(1)知， 21 ( ) 2 f xxx=+，所以不等式()f xtx即为 21( )() 2 xtxtx+, 6 分 化简得 2 ()2xtt，又由于 2 ()0 xt，所以20t , 7 分 从而不等式 2 ()2xtt的解集为22 x ttxtt + 8 分 又由于当且仅当4,xm时，()f xtx恒成立，即不等式()f xtx的解集为 4xxm， 10 分 所以24tt=且2ttm+=，从而解得8,12.tm= 12 分 (注：如用方程与不等式的关系，从 4 是对应方程的一个根入手，先解出 t，再代入求出 m， 相应给分.) 22(本小题满分 12 分) 高三数学参考答案 第5页 共 8 页 高三数学参考答案 第6页 共 8 页 高三数学参考答案 第7页 共 8 页 高三数学参考答案 第8页 共 8 页
