1、 不等式（组）的应用 第5讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.一元一次不等式的应用 2.一元一次不等式组的应用 教学目标 1.利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. 2.利用不等式组解决实际问题 教学重点 利用不等式组解决实际问题 教学难点 利用不等式组解决实际问题 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能利用不等式组解决实际问题。不等式的应用主要是生活中的实际问题，这 一块是中考的考点，需要老师们重点给学生进行分析讲解。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 列不等式组解决实际问题 2. 不等式
2、与一次函数的综合应用 【知识导图】【知识导图】 不等式（组）的应用 一元一次不等式的应用 一元一次不等式组的应 用 概述 【教学建议】【教学建议】 有关不等式组的应用，难点在于分析题意，根据题意列出不等式组，在中考中常见结合一次函数求最值的 问题，尤其是方案问题和利润问题尤为常考。 列不等式（组）解应用题的步骤: (1)审题,找出量与量之间的不等关系; (2)设未知数; (3)列出不等式; (4)解不等式（组）; (5)根据实际情况,写出答案. 列不等式组解决实际问题的关键在于对不等关系的符号表达，学生在解决问题的过程中，可以结合等量关 系的符号表达来进行 【题干】水果店以每千克 4.5 元进
3、了一批香蕉,销售中估计有 10的香蕉正常损耗.水果店老板把售 价至少定为多少,才能避免亏本? 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. 知识点 2 利用不等式组解决实际问题 三、例题精析 例题 1 【答案】【答案】水果店老板把售价至少定为 5 元,才能避免亏本. 【解析】【解析】：解: 设香蕉售价定为每千克 x 元时不亏本 由题意得（1-10）x4.5 解得: x5 答: 水果店老板把售价至少定为 5 元,才能避免亏本. 【题干】【题干】每年的 6 月 5 日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买 10 台节省能源的新机器，现有 甲、乙两种
4、型号的新机器可选，其中每台的价格、工作量如下表 甲型机器 乙型机器 价格（万元/台） a b 产量（吨/月） 240 180 经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多 2 万元，购买 2 台甲型机器比购买 3 台乙型机器少 6 万 元 （1）求 a、b 的值； （2）若该公司购买新机器的资金不能超过 110 万元，请问该公司有几种购买方案？ （3） 在 （2） 的条件下， 若公司要求每月的产量不低于 2040 吨， 请你为该公司设计一种最省钱的购买方案 【答案】【答案】（1） ；（2）有 6 种购买方案；（3）最省钱的购买方案为，应选购甲型设备 4 台，乙型设 备 6 台 【解析】【解析】
5、：解：（1）由题意得： 623 2 ab ba ， 10 12 b a ； （2）设购买节省能源的新设备甲型设备 x 台，乙型设备（10 x）台， 则：12x+10（10 x）110， x5， x 取非负整数x=0，1，2，3，4，5， 有 6 种购买方案 （3）由题意：240 x+180（10 x）2040， x4x 为 4 或 5 当 x=4 时，购买资金为：124+106=108（万元）， 当 x=5 时，购买资金为：125+105=110（万元）， 最省钱的购买方案为，应选购甲型设备 4 台，乙型设备 6 台 例题 2 10 12 b a 【题干】【题干】巍山镇中为丰富学生的校园生活，
6、准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球 的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 310 元，购买 2 个足球和 5 个篮球 共需 500 元 （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据巍山镇中的实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96 个，要求购买足球和篮球 的总费用不低于 5600 但不超过 5720 元，可以有哪几种购买方案？ 【答案】【答案】（1）50 元， 80 元；（2）四种方案：方案 1：购买：27 个篮球，69 个足球，方案 2：购买：28 个篮球，68 个足球，方案 3：购买：29 个篮球，67 个足球，方
7、案 4：购买：30 个篮球，66 个足球 【解析】【解析】（1）设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元， 根据题意得： 32310 25500 xy xy ， 解得 50 80 x y ， 则购买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元； （2）设购买 a 个篮球，则购买（96a）个足球，根据题意得： 8050(96)5600 8050(96)5720 aa aa ， 解得： 8092 33 a； a 是整数， a 可以取 27，28，29，30， 共有四种方案： 方案 1：购买：27 个篮球，69 个足球， 方案 2：购买：28 个篮球，68 个足球， 方案 3：购买
8、：29 个篮球，67 个足球， 方案 4：购买：30 个篮球，66 个足球 例题 3 四 、课堂运用 1. 某商店欲购进 A，B 两种商品，若购进 A 种商品 5 种和 B 种商品 4 件需 300 元，购进 A 种商品 6 件和 B 种 商品 8 件需 440 元 （1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店每销售 1 件 A 种商品可获利 8 元，每销售 1 件 B 种商品可获利 6 元，该商店准备购进 A、B 两种商品共 50 件，且这两种商品全部售出后总获利超过 344 元，则至少购进多少件 A 商品？ 【答案】【答案】（1）A 种进价为 40 元，B 种进价为
9、25 元（2）至少购进 A 种商品 22 件 【解析】【解析】（1）设 A 种进价为 x 元，B 种进价为 y 元由题意，得 ，解得： 答：A 种进价为 40 元，B 种进价为 25 元 （2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品（50a）件由题意，得 8a+6（50a）344，解得：a22 答：至少购进 A 种商品 22 件 2.在实施防污减排战略之际，我市计划对 A、B 两类化工厂的排污设备进行改造，经预算，改造一个 A 类工 厂和两个 B 类工厂共需 320 万元，改造两个 A 类工厂和一个 B 类化工厂黄需 220 万元 （1）改造一个 A 类化工厂和一个 B 类化工厂各需多
10、少万元； （2）我市计划改造 A、B 两类化工厂共 10 个，改造资金一部分由工厂承担，一部分由市政府补贴，每个 A 类化工厂可投入自身改造资金 20 万元，每个 B 类化工厂可投入自身改造资金 30 万元，若市财政补贴的资 金不超过 600 万元，那么至少改造几个 A 类化工厂？ 【答案】【答案】(1)改造一个 A 类化工厂需资金 40 万元，改造一个 B 类化工厂需资金 140 万元(2)至少改造 6 个 A 类化工厂 【解析】【解析】解：（1）设改造一个 A 类化工厂需资金 x 万元，改造一个 B 类化工厂需资金 y 万元， 根据题意得： 2202 3202 yx yx ， 解得： 14
11、0 40 y x 答：改造一个 A 类化工厂需资金 40 万元，改造一个 B 类化工厂需资金 140 万元 （2）设可改造 a 个 A 类化工厂，则 B 类化工厂有（10a）个可改造 根据题意得：a（4020）+（10a）（14030）600， 解得：a 9 50 答：至少改造 6 个 A 类化工厂 基础 1.某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 销售收入 第一周 3 台 5 台 1800 元 第二周 4 台 10 台 3100 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入
12、进货成本） （1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最多能 采购多少台？ 【答案】【答案】A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元；10 台. 【解析】解析】（1）设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元， 依题意得： 351800 4103100 xy xy += += ， 解得： 250 210 x y = = ， 答：A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元； （2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型
13、号电风扇（30a）台 依题意得：200a+170（30a）5400， 解得：a10 答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时，采购金额不多于 5400 元 2.“保护好环境，拒绝冒黑烟”某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购 买 A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若 购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需 350 万元 （1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？ （2） 预计在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100
14、 万人次若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1200 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万 人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】【答案】（1）购买每辆 A 型公交车需 100 万元，购买每辆 B 型公交需 150 万元；（2）购买 A 型公交车 8 辆，B 型公交车 2 辆的购车方案的总费用最少，最少总费用是 1100 万元 【解析】【解析】（1）设购买每辆 A 型公交车需 x 万元， 购买每辆 B 型公交需 y 万元 2400 2350 xy xy ， 巩固 解得 100 150 x y （2）
15、设购买a辆 A 型公交车，则购买（10-a）辆 B 型公交车，依题意列不等式组得， 100150(10)1200 60100(10)680 aa aa 解得68a 因为a取整数，所以a=6，7，8 有三种方案： (一)购买 A 型公交车 6 辆，B 型公交车 4 辆； (二)购买 A 型公交车 7 辆，B 型公交车 3 辆； （三）购买 A 型公交车 8 辆，B 型公交车 2 辆 因 A 型公交车较便宜，故购买 A 型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案 最少费用为：8100+1502=1100（万元） 答：（1）购买 A 型和 B 型公交车每辆各需 100 万元、150 万元 （2）该
16、公司有 3 种购车方案，第 3 种购车方案的总费用最少，最少总费用是 1100 万元 1.我县某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年 5 月份 A 款汽 车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为 100 万元，今年销售 额只有 90 万元 （1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价 7.5 万元，B 款 汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有
17、几种进货方案？ （3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客 现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 【答案】【答案】（1）9 万元；（2）5 种方案；（3）a=0.5，方案一对公司更有利 【解析】【解析】（1）设今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 x 万元根据题意得： 10090 1xx ， 解得：x=9， 经检验知，x=9 是原方程的解 所以今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 9 万元 （2）设 A 款汽车购进 y 辆则 B 款汽车每辆购进（15y）辆根据题意得： 拔高
18、7.56(15)105 7.56(15)99 yy yy 解得：6y10， 所以有 5 种方案： 方案一：A 款汽车购进 6 辆；B 款汽车购进 9 辆； 方案二：A 款汽车购进 7 辆；B 款汽车购进 8 辆； 方案三：A 款汽车购进 8 辆；B 款汽车购进 7 辆； 方案四：A 款汽车购进 9 辆；B 款汽车购进 6 辆； 方案五：A 款汽车购进 10 辆；B 款汽车购进 5 辆 （3）设利润为 W 则：W=（86）（15y）a（15y）+（97.5）y =302ya（15y）+1.5y =30a（15y）0.5y 方案一：W=30a（156）0.56=309a3=279a 方案二：W=3
19、0a（157）0.57=308a3.5=26.58a 方案三：W=30a（158）0.58=307a4=267a 方案四：W=30a（159）0.59=306a4.5=25.56a 方案五：W=30a（1510）0.510=305a5=255a 由 279a=26.58a 得 a=0.5 方案一对公司更有利 2.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将 A、B、C 三地的垃圾 50 立方米、40 立方米、50 立方米全 部运往垃圾处理场 D、E 两地进行处理已知运往 D 地的数量比运往 E 地的数量的 2 倍少 10 立方米 （1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若 A 地运往 D 地
20、 a 立方米（a 为整数），B 地运往 D 地 30 立方米，C 地运往 D 地的数量小于 A 地运往 D 地的 2 倍其余全部运往 E 地，且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米，则 A、C 两地运往 D、E 两地哪几种方 案？ （3）已知从 A、B、C 三地把垃圾运往 D、E 两地处理所需费用如下表： A 地 B 地 C 地 运往 D 地（元/立方米） 22 20 20 运往 E 地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】：（1）设运往 E 地 x 立方米，由题意得，x+2x-10=140， 解得：x=5
21、0， 所以 2x-10=90， 答：总共运往 D 地 90 立方米，运往 E 地 50 立方米。 （2）由题意得：， 解得：20a22， 因为 a 是整数，所以 a=21 或 22， 所以有如下两种方案： 第一种：A 地运往 D 地 21 立方米，运往 E 地 29 立方米；C 地运往 D 地 39 立方米，运往 E 地 11 立方米； 第二种：A 地运往 D 地 22 立方米，运往 E 地 28 立方米；C 地运往 D 地 38 立方米，运往 E 地 12 立方米； （3）第一种方案共需要费用：2221+2029+2030+1022+3920+1121=2873（元）， 第二种方案共需费用：
22、2222+2820+2030+1022+3820 +1221=2876（元）， 所以，第一种方案的总费用最少。 列不等式（组）解应用题的步骤: (1)审题,找出量与量之间的不等关系; (2)设未知数; (3)列出不等式; (4)解不等式（组）; (5)根据实际情况,写出答案. 1.商店为了对某种商品促销，将定价为 3 元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过 5 件，按原价付 款；若一次性购买 5 件以上，超过部分打八折，现有 27 元钱，最多可以购买该商品多少件？ 【答案】【答案】10 件 课堂小结 扩展延伸 基础 【解析】【解析】设可购买该商品 x 件。 5327 购买的商品超过 5 件
23、 依题意，可列不等式 278 . 03535）（x 10 x 答：最多可购买 10 件 2. 某单位要制作一批宣传资料，找到甲、乙两家制作公司，两家制作公司的收费方式分别如下 甲公司：设计费为 500 元每份材料制造费 2 元； 乙公司：设计费为 100 元每份材料制造费 3 元 （注：所需要的费用=设计费+材料制作费） （1）如何制作宣传资料 800 份，请分别计算甲、乙两公司所需要的费用； （2）制作宣传资料的份数在什么范围时，选择乙公司比较划算； （3）若制作 m 份宣传资料，到甲公司所需要的费用为 n 元，若同样制作 m 份宣传资料，到乙公司所需要的 费用比到甲公司少 40 元，求 m
24、，n 的值 【答案答案】甲：2100 元、乙：2500 元；小于 400 份；m=360、n=1220 元. 【解析解析】（1）甲公司所需要的费用：500+2800=2100（元）， 乙公司所需要的费用：100+3800=2500（元）； （2）设制作宣传材料数为 x 份， 甲公司所需要的费用：500+2x，乙公司所需要的费用：100+3x， 100+3x500+2x，解得：x400 答：制作宣传资料的份数小于 400 份，选择乙公司比较划算； （3）若制作 m 份宣传资料，根据题意得：100+3m+40=500+2m， 解得：m=360 若制作 m 份宣传资料，到甲公司所需要的费用为 n=5
25、00+2m=500+720=1220（元） 3.某糕饼店主贷款 22 万元购进一台机器，生产蛋黄酥已知产品的成本是每个 5 元，售价是每个 8 元， 应付的税款和其他费用的和是售价的 10%若每个月能生产并销售 2000 个蛋黄酥 （1）问每个月所获得利润为多少元？ （2）问至少几个月后能赚回这台机器的贷款？ 【答案答案】（1）4400；（2）5 【解析解析】解：（1）售价为：20008=16000（元）， 则应付的税款和其他费用为：1600010%=1600（元）， 利润=16000-20005-1600=4400（元）， 答：每个月所获得利润为 4400 元； 设 x 个月后能赚回这台机器
26、的贷款， 由题意得，44400 x22000， 解得 x5 答：至少 5 个月能赚回这台机器的贷款 1.某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少 20 元，购买 3 棵 榕树和 2 棵香樟树共需 340 元 （1）请问榕树和香樟树的单价各多少？ （2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共 150 棵，总费用不超过 10840 元，且购买香樟树的棵树不少于 榕树的 1.5 倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案 【答案答案】（1）榕树和香樟树的单价分别是 60 元/棵，80 元/棵； （2）有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案
27、二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案 三：购买榕树60棵，香樟树90棵 【解析解析】（1）设榕树的单价为 x 元/棵，香樟树的单价是 y 元/棵， 根据题意得， 34023 20 yx xy ，解得 80 60 y x ， 答：榕树和香樟树的单价分别是 60 元/棵，80 元/棵； （2）设购买榕树 a 棵，则购买香樟树为（150a）棵， 根据题意得， aa aa 5 . 1150 108401508060 ，解得：58a60， a 只能取正整数， a=58、59、60， 因此有 3 种购买方案： 方案一：购买榕树 58 棵，香樟树 92 棵， 方案二：购买榕树 59 棵，香樟树 91 棵，
28、 方案三：购买榕树 60 棵，香樟树 90 棵 2.某校运动会需购买 A、B 两种奖品若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件，共需 60 元；若购买 A 种奖品 5 件和 B 种奖品 3 件，共需 95 元 （1）求 A、B 两种奖品单价各是多少元？（4 分） （2）学校计划购买 A、B 两种奖品共 100 件，购买费用不超过 1150 元，且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖品 数量的 3 倍设购买 A 种奖品 m 件，购买费用为 W 元，写出 W（元）与 m（件）之间的函数关系式，求出自 变量 m 的取值范围，并确定最少费用 W 的值（4 分） 巩固 【答案答案】（1）10元、1
29、5元；（2） mW51500 ， 7570m ；当 75m ，最小值W=1125 【解析解析】（1）设 A、B 两种奖品单价分别为x元、 y 元，由题意，得 9535 6023 yx yx ，解得： 15 10 y x 答：A、B 两种奖品单价分别为 10 元、15 元 由题意，得 )100(1510mmW mm15150010m51500 由 )100(3 115051500 mm m ，解得： 7570m 由一次函数 mW51500 可知，W随m增大而减小 当75m 时，W 最小，最小为 11257551500W （元） 3.在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板
30、，经过市场考察得知，购买 1 台电脑和 2 台电子白板需要 35 万元，购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 25 万元 （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共 30 台，总费用不超过 30 万元，但不低于 28 万元，请你通 过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低 【答案答案】（1）每台电脑05万元，每台电子白板15万元；（2）有三种购买方案，方案1：需购进电脑15 台，则购进电子白板15台，方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，方案3：需购进电脑17台，则 购进电子白板13台选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最
31、省钱 【解析解析】（1）设每台电脑 x 万元，每台电子白板 y 万元，根据题意得：，解得：， 答：每台电脑 05 万元，每台电子白板 15 万元； （2） 设需购进电脑 a 台， 则购进电子白板 （30a） 台， 根据题意得：， 解得： 15a17，a 只能取整数，a=15，16，17，有三种购买方案，方案 1：需购进电脑 15 台，则购进电 子白板 15 台，方案 2：需购进电脑 16 台，则购进电子白板 14 台，方案 3：需购进电脑 17 台，则购进电子 白板 13 台方案 1：1505+1515=30（万元），方案 2：1605+1514=29（万元），方案 3： 1705+1513=
32、28（万元），282930，选择方案 3 最省钱，即购买电脑 17 台，电子白板 13 台最省钱 1.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间 小寝室，正好住满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，也正好住满 （1）求该校的大小寝室每间各住多少人？ （2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间，问该校有多少种安排住宿的 方案？ 【答案答案】见解析 【解析解析】解：（1）设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，由题意得： ， 解得：， 答：该校的大寝室每间住 8
33、 人，小寝室每间住 6 人； （2）设大寝室 a 间，则小寝室（80a）间，由题意得： ， 解得：80a75， a=75 时，8075=5， a=76 时，80a=4， a=77 时，80a=3， a=78 时，80a=2， a=79 时，80a=1， a=80 时，80a=0 故共有 6 种安排住宿的方案 2.我市化工园区一化工厂，组织 20 辆汽车装运 A、B、C 三种化学物资共 200 吨到某地按计划 20 辆汽车 都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满请结合表中提供的信息，解答下列问题： （1）设装运 A 种物资的车辆数为 x，装运 B 种物资的车辆数为 y求 y 与 x 的函
34、数关系式； （2）如果装运 A 种物资的车辆数不少于 5 辆，装运 B 种物资的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有几种 方案？并写出每种安排方案； （3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费 物资种类 A B C 每辆汽车运载量（吨） 12 10 8 每吨所需运费（元/吨） 240 320 200 拔高 【答案答案】见解析 【解析解析】：（1）根据题意，得： 12x+10y+8（20-x-y）=200， 12x+10y+160-8x-8y=200 2x+y=200， y=20-2x； （2）根据题意，得： 解之得：5x8 x 取正整数， x=5，6，7，8， 共有 4 种方案，即 （3）设总运费为 M 元， 则 M=12240 x+10320（20-2x）+8200（20-x+2x-20） 即：M=-1920 x+64000 M 是 x 的一次函数，且 M 随 x 增大而减小， 当 x=8 时，M 最小，最少为 48640 元。 教学反思
