1、2020-2021 学年北京市首师大附中高二（上）第一次月考数学试卷学年北京市首师大附中高二（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1 从某班 50 名同学中选出 5 人参加户外活动， 利用随机数表法抽取样本时， 先将 50 名同学按 01， 02， 50 进行编号，然后从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的 第 5 个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第 1 行与第 2 行） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732
2、 1676 A24 B36 C46 D47 2一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如表： 组别 （0，10 （10，20 （20，30 （30，40 （40，50 （50，60 （60，70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10，40上的频率为（ ） A0.13 B0.52 C0.39 D0.64 3从四双不同的鞋中任意取出 4 只，事件“4 只全部不成对”与事件“至少有 2 只成对”（ ） A是对立事件 B不是互斥事件 C是互斥但不对立事件 D都是不可能事件 4甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲
3、得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积 2 分，乙 积 1 分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配合理的 是（ ） A甲得 9 张，乙得 3 张 B甲得 6 张，乙得 6 张 C甲得 8 张，乙得 4 张 D甲得 10 张，乙得 2 张 5袋中装有 5 个红球和 4 个黑球，从袋中任取 4 个球取到 1 个红球得 3 分，取到 1 个黑球得 1 分，设得分 为随机变量 ，则 8 的概率 P（8）等于（ ） A B C D 6如图，在等腰直角ABC 中，斜边6，且2，点 P 是线段 AD
4、 上任一点，则的取 值范围是（ ） A0，4 B C0， D） 7海伦公式是利用三角形的三条边的边长 a，b，c 直接求三角形面积 S 的公式，表达式为：S ， p； 它的特点是形式漂亮， 便于记忆 中国宋代的数学家秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海 伦公式又译作海伦秦九韶公式现在有周长为 10+2的ABC 满足 sinA：sinB：sinC2：3：， 则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A B C D12 8如图，在平行六面体 ABCDABCD中，AC 与 BD 的交点为 O，点 M 在 BC上，且 BM2
5、MC，则下 列向量中与相等的向量是（ ） A B C D 9在空间直角坐标系 Oxyz 中，记点 A（1，2，3）在 xOz 平面内的正投影为点 B，则|OB|（ ） A B C D 10如图：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若，则 下列向量中与相等的向量是（ ） A B C D 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11-15 题均为空间向量的题目 11空间两点 M（1，2，4），N（1，1，2）间的距离 MN 为 12在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量与向量所成的角为 13已知平面 的一个法向量，A，P，且，
6、则直线 PA 与平面 所成的角为 14已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为，向量与平面 平 行，则 z 15已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD平面 PAD，M 是 PC 的中点，O 是 AD 的中点，则直线 BM 与平面 PCO 所成角的正弦值是 三、解答题共 6 小题，共 85 分.16、17 题为统计；18、19 题为概率；20、21 题为空间向量与立体几何 16中国女排一直是国人的骄傲，2019 年女排世界杯于 9 月 14 日9 月 29 日在日本举行，中国女排 10 连 胜提前夺冠， 获世界杯第五冠、 三大赛第十冠 中国
7、女排用胜利点燃国人的激情， 女排精神成为了拼搏、 不服输的代表某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出 12 人代表队，最后甲、乙两班进 入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题： （） 计算甲、 乙两班队员上场的平均时间， 并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡 （不需要计算） ； （）赛后学校在上场时间超过 50 分钟（包括 50 分钟）的队员中随机抽取 2 人评为最佳运动员，则两 人中至少有一人来自乙班的概率是多少？ 172019 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度 地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利
8、用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于20，45岁的人 中随机地抽取 x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准 的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据 （1）求 x，y，z 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍 五入保留整数）； （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，并在这 9 人中选取 2 人作为记录员，求选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35中的概率 组数 分组 “环保族”人数 占本组频率
9、第一组 20，25） 45 0.75 第二组 25，30） 25 y 第三组 30，35） 20 0.5 第四组 35，40） z 0.2 第五组 40，45） 3 0.1 18将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为 8”，事件 B：“两数之和是 3 的 倍数”，事件 C：“两个数均为偶数” （）写出该试验的基本事件空间 ，并求事件 A 发生的概率； （）求事件 B 发生的概率； （）事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率 19某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生 通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立20
10、15 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的 “书法”、 “诗词”、 “理学”三个社团的概率依次为 m、 、n，已知三个社团他都能进入的概率为， 至少进入一个社团的概率为，且 mn （l）求 m 与 n 的值； （2） 该校根据三个社团活动安排情况， 对进入 “书法” 社的同学增加校本选修学分 1 分， 对进入 “诗词” 社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分 3 分求该新同学在社团 方面获得校本选修课学分分数不低于 4 分的概率 20如图所示，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在的平面互相垂直，DF平面 ABCD 且 DF （1）
11、求证：EF平面 ABCD； （2）若ABCBCE，求二面角 ABFE 的余弦值 21如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1的中点，分别以 AB， AD，AA1所在直线为 x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 （1）求点 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； （2）求点 N 的坐标 参考答案参考答案 一、单项选择题（共 10 小题）. 1 从某班 50 名同学中选出 5 人参加户外活动， 利用随机数表法抽取样本时， 先将 50 名同学按 01， 02， 50 进行编号，然后从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开
12、始从左往右依次选取两个数字，则选出的 第 5 个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第 1 行与第 2 行） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676 A24 B36 C46 D47 【分析】由题知从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出答案 解：由题知从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始，由表可知依次选取 43，36，47，46，24 故选：A 2一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如表： 组别 （0，
13、10 （10，20 （20，30 （30，40 （40，50 （50，60 （60，70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10，40上的频率为（ ） A0.13 B0.52 C0.39 D0.64 【分析】由频率分布表计算样本数据落在（10，40上的频率值 解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40上的频率为： 0.52 故选：B 3从四双不同的鞋中任意取出 4 只，事件“4 只全部不成对”与事件“至少有 2 只成对”（ ） A是对立事件 B不是互斥事件 C是互斥但不对立事件 D都是不可能事件 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解 解：从四双不同的鞋中任
14、意取出 4 只， 事件“4 只全部不成对”与事件“至少有 2 只成对”是对立事件 故选：A 4甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积 2 分，乙 积 1 分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配合理的 是（ ） A甲得 9 张，乙得 3 张 B甲得 6 张，乙得 6 张 C甲得 8 张，乙得 4 张 D甲得 10 张，乙得 2 张 【分析】 由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子， 为了决出
15、胜负， 最多再赛两局， 用 “甲” 表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙， 乙）其中甲获胜有 3 种，而乙只有 1 种，从而得到甲乙获胜的概率 解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四 种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙） 其中甲获胜有 3 种，而乙只有 1 种， 所以甲得到的游戏牌为 124，乙得到游戏牌为 123； 故选：A 5袋中装有 5 个红球和 4 个黑球，从袋中任取 4 个球取到 1 个红球得 3 分，取到 1 个黑球得 1 分，设得分 为随机变量 ，则 8 的
16、概率 P（8）等于（ ） A B C D 【分析】由题意得得分小于 8 分的只有两种情况：取到 1 红 3 黑，计 6 分，取到 4 黑，计 4 分，根据互 斥事件概率得：则 8 的概率 P（8）1P（6）+P（4） 解：袋中装有 5 个红球和 4 个黑球，从袋中任取 4 个球， 取到 1 个红球得 3 分，取到 1 个黑球得 8 分，设得分为随机变量 ， 取到 1 红 3 黑，计 6 分，取到 4 黑，计 3 分， 则 8 的概率 P（8）1P（6）+P（3）1 故选：B 6如图，在等腰直角ABC 中，斜边6，且2，点 P 是线段 AD 上任一点，则的取 值范围是（ ） A0，4 B C0，
17、 D） 【分析】设，用，表示出，得到关于 的函数，根据 的范围计算函数的 值域得出答案 解：ABAC3， +（）+， （+） +（3）（1）+1026， 当 时，取得最小值，当 1 时，取得最大值 4 故选：B 7海伦公式是利用三角形的三条边的边长 a，b，c 直接求三角形面积 S 的公式，表达式为：S ， p； 它的特点是形式漂亮， 便于记忆 中国宋代的数学家秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海 伦公式又译作海伦秦九韶公式现在有周长为 10+2的ABC 满足 sinA：sinB：sinC2：3：， 则用以上给出的公式求
18、得ABC 的面积为（ ） A B C D12 【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可 解：sinA：sinB：sinC2：3：，a：b：c2：3：， ABC 周长为 10+2，即 a+b+c10+2， ABC 的面积 S6 故选：C 8如图，在平行六面体 ABCDABCD中，AC 与 BD 的交点为 O，点 M 在 BC上，且 BM2MC，则下 列向量中与相等的向量是（ ） A B C D 【分析】利用向量的加减法运算的三角形法则，结合数乘运算，即可解决问题 解：在OBM 中， 而， 故选：C 9在空间直角坐标系 Oxyz 中，记点 A（1，2，3）在 xOz 平面内
19、的正投影为点 B，则|OB|（ ） A B C D 【分析】根据题意，求出 B 的坐标，进而由空间两点间距离公式分析可得答案 解：根据题意，点 A（1，2，3）在 xOz 平面内的正投影为点 B，则 B 的坐标为（1，0，7）， 则|OB|； 故选：B 10如图：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若，则 下列向量中与相等的向量是（ ） A B C D 【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出 解： 故选：A 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11-15 题均为空间向量的题目 11空间两点 M（1，2，4），N（1
20、，1，2）间的距离 MN 为 3 【分析】直接利用距离公式求解即可 解： 空间两点 M （1， 2， 4） ， N （1， 1， 3） 间的距离 MN 3 故答案为：3 12在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量与向量所成的角为 120 【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即 可 解：建立如图所示的空间直角坐标系 则 A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a） cos， 故答案为：120 13已知平面 的一个法向量，A，P，且，则直线 PA 与平面 所成的角为 【分析】设直线 PA 与平面 所成的角为
21、 ，则 sin|cos|，即可得出 解：设直线 PA 与平面 所成的角为 ，则 sin|cos|， 直线 PA 与平面 所成的角为 故答案为： 14已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为，向量与平面 平 行，则 z 3 【分析】由直线 l 与平面 垂直，得到直线 l 的方向向量与平面 的方向向量垂直，由此能求出结果 解：直线 l 与平面 垂直， 直线 l 的一个方向向量为，向量与平面 平行， 解得 z3 故答案为：3 15已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD平面 PAD，M 是 PC 的中点，O 是 AD 的中点，则直线 BM 与平面
22、 PCO 所成角的正弦值是 【分析】以 O 为原点，OA 为 x 轴，过 O 作 AB 平行线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出直线 BM 与平面 PCO 所成角的正弦值 解：以 O 为原点，OA 为 x 轴，过 O 作 AB 平行线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， B（1，2，0），P（0，6，2），C（1，2，0），M（，1，1），O（0，0，0）， 设平面 PCO 的法向量 （x，y，z）， 设直线 BM 与平面 PCO 所成角为 ， 故答案为： 三、解答题共 6 小题，共 85 分.16、17 题为统计；18、19 题为概率；20、2
23、1 题为空间向量与立体几何 16中国女排一直是国人的骄傲，2019 年女排世界杯于 9 月 14 日9 月 29 日在日本举行，中国女排 10 连 胜提前夺冠， 获世界杯第五冠、 三大赛第十冠 中国女排用胜利点燃国人的激情， 女排精神成为了拼搏、 不服输的代表某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出 12 人代表队，最后甲、乙两班进 入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题： （） 计算甲、 乙两班队员上场的平均时间， 并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡 （不需要计算） ； （）赛后学校在上场时间超过 50 分钟（包括 50 分钟）的队员中随机抽取
24、2 人评为最佳运动员，则两 人中至少有一人来自乙班的概率是多少？ 【分析】（1）由茎叶图中数据直接求平均数 （2）列举法写出从 5 人中选出 2 人的所有情况，再找出至少有一人来自乙班的选法情况，相比即可求概 率 解：（）甲班队员上场的平均时间 31.25， 乙班队员上场的平均时间 34.5 （）上场时间超过 50 分钟的队员甲班有两人为 A，B，乙班有 3 人为 C，D，E 故两人中至少有一人来自乙班的概率 P 172019 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度 地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于20，
25、45岁的人 中随机地抽取 x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准 的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据 （1）求 x，y，z 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍 五入保留整数）； （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，并在这 9 人中选取 2 人作为记录员，求选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35中的概率 组数 分组 “环保族”人数 占本组频率 第一组 20，25） 45 0.75 第二组 25
26、，30） 25 y 第三组 30，35） 20 0.5 第四组 35，40） z 0.2 第五组 40，45） 3 0.1 【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出 x，y，z （2）根据频率分布直方图，能估计这 x 人年龄的平均值 （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，25，30）中选 5 人， 30，35中选 4 人，在这 9 人中选取 2 人作为记录员，基本事件总数 n，选取的 2 名记录员中 至少有一人年龄在30，35包含的基本事件个数 m26，由此能求出选取的 2 名记录员中至 少有一人年龄在30，35中的概率 解：（1）由题意得：
27、（2）根据频率分布直方图，估计这 x 人年龄的平均值为： （3）从年龄段在25，35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 9 人进行专访， 在这 9 人中选取 2 人作为记录员， 选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35包含的基本事件个数： 选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在30，35中的概率 p 18将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为 8”，事件 B：“两数之和是 3 的 倍数”，事件 C：“两个数均为偶数” （）写出该试验的基本事件空间 ，并求事件 A 发生的概率； （）求事件 B 发生的概率； （）事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率 【
28、分析】（I）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，利用列举法能求出 ，再求出事件 A“两数 之和为 8 包含的基本事件有 5，由此能求出事件 A 发生的概率 （II）利用列举法求出事件 B：“两数之和是 3 的倍数”包含的基本事件个数，由此能求出事件 B 发生 的概率 （III）利用列举法求出事件 A 与事件 C 至少有一个发生包含的基本事件个数，由此能求出事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率 解：（I）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数， （1，1），（1，2），（1，7），（1，4），（1，5），（1，6）， （3，1），（3，2），（4，3），（3，4），（3，5），
29、（5，6）， （5，1），（5，2），（5，2），（5，4），（5，5），（5，3）， 事件 A：“两数之和为 8”，事件 A 包含的基本事件有： 事件 A 发生的概率为 P（A） 事件 B 包含的基本事件有 12 个，分别为： 事件 B 发生的概率 P（B） （2，2），（2，4），（8，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（3，2）， （6，4），（6，6）， 事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率为 P（AC） 19某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生 通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2015
30、 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的 “书法”、 “诗词”、 “理学”三个社团的概率依次为 m、 、n，已知三个社团他都能进入的概率为， 至少进入一个社团的概率为，且 mn （l）求 m 与 n 的值； （2） 该校根据三个社团活动安排情况， 对进入 “书法” 社的同学增加校本选修学分 1 分， 对进入 “诗词” 社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分 3 分求该新同学在社团 方面获得校本选修课学分分数不低于 4 分的概率 【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出结果 （2）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课
31、学分的分数为 Xi，获得样本等候课学分分数不低于 4 分为事件 A，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出结果 解：（1）由题意列出方程组，得： ，解得 m，n 获得样本等候课学分分数不低于 4 分为事件 A， P（X5）， P（A）P（X4）+P（X5）+P（X6） 20如图所示，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在的平面互相垂直，DF平面 ABCD 且 DF （1）求证：EF平面 ABCD； （2）若ABCBCE，求二面角 ABFE 的余弦值 【分析】（1）过点 E 作 EHBC，连接 HD，先证明 EH平面 ABCD，再证明 EFFD，再证明结论
32、； （2）以 H 为原点，HB，HA，HE 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 BAF 和平面 BEF 的法向 量，利用夹角公式求出即可 解：（1）过点 E 作 EHBC，连接 HD，EH， 因为平面 ABCD平面 BCE，EH平面 BCE， 所以 EH平面 ABCD， 所以 FDEH，FDEH，故平行四边形 EHDF， 由 EF平面 ABCD，HD平面 ABCD， （2）连接 HA，根据题意，AHBC， 则 A（0，0），B（3，0，0），E（0，），F（7，）， 设平面 BAF 的法向量为 （x，y，z）， 设平面 BEF 的法向量为， 由 cos， 所以二面角 AFBE 的余
33、弦值为 21如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1的中点，分别以 AB， AD，AA1所在直线为 x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 （1）求点 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； （2）求点 N 的坐标 【分析】（1）利用空间直角坐标系的性质能求出点 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标 （2）利用中点坐标公式能求出点 N 的坐标 解：（1）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|3，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1的中点， 分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 B 在 x 轴的正半轴上，且|OB|4，B（4，0，6）， C 在坐标平面 xoy 内，且 BCAB，CDAD，C（4，3，0）， 与点 C 的坐标相比，点 C1的坐标只有竖坐标与点 C 不同， （7）由（1）知 C（4，3，0），C4（4，3，5）， CC1的中点坐标为 N（4，7， ）
