1、若 xy，则下列式子中错误的是（ ） Ax3y3 B Cx+3y+3 D3x3y 2 （3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 65，则另一个锐角的度数是（ ） A115 B125 C25 D35 3 （3 分）某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形 状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（ ） A1 B2 C3 D4 4 （3 分）点 A（3，5）向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B，则点 B 的坐 标为（ ） A （1，8） B （1，2） C
2、 （6，1） D （0，1） 5 （3 分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOBAOB 的依据 是（ ） A （SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 6 （3 分）如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平分线，若BACB，BAC40， 则ACE 的度数是（ ） 第 2 页（共 22 页） A20 B35 C40 D70 7 （3 分）已知点 P（3m，m1）在第二象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是 （ ） A B C D
3、 8 （3 分）若不等式组无解，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 9 （3 分）下列命题中，是真命题的个数有（ ） 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形； 三边长为，的三角形为直角三角形； 等腰三角形的两条边长为 2，4，则等腰三角形的周长为 10 或 8； 三角形一条边上的中点到另两边的距离相等 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，D、E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC， EBCE60若 BE6cm
4、，DE2cm，则 BC 的长为（ ） A4cm B6cm C8cm D12cm 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 8 题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）请写出一个一元一次不等式 第 3 页（共 22 页） 12 （3 分）P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 13 （3 分）如图，在ABC 和DEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上，BFCE，AB DE， 请添加一个条件， 使ABCDEF， 这个添加的条件可以是
5、; （只需写一个， 不添加辅助线） 14 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，外角ACD110，则A 15 （3 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； 作直线MN交AB于点D， 连接CD， 若CDAC， B25， 则ACB的度数为 16 （3 分）如图，在 44 方格中作以 AB 为一边的 RtABC，要求点在格点上，这样的 Rt 能作出 个 17
6、（3 分）在ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，则 BC 的长 18 （3 分）在平面直角坐标系 xoy 中，对于点 P（x，y） ，我们把点 P（y+1，x+1）叫 第 4 页（共 22 页） 做点 P的伴随点， 已知点 A1的伴随点为A2， 点A2的伴随点为A3， 点A3的伴随点为 A4， ， 这样依次得到点 A1，A2，A3，An，若点 A1的坐标为（3，1） ，则点 A2018的坐标 为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 6 小题，共小题，共 46 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或
7、证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，5） ，B（1，0） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的ABC（其中 A，B，C分别是 A，B，C 的对应点，不写画法） ； （2） 直接写出 A， B， C三点的坐标： A （ ） ， B （ ） ， C （ ） （3）计算ABC 的面积 20 （6 分）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解 21 （8 分）如图，E、F 分别是等边三
8、角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BEAF，CE、 BF 交于点 P （1）求证：CEBF； （2）求BPC 的度数 22 （8 分）随着社会进入信息化及电子智能化时代，智能手机、电脑等电子产品成为生活、 学习、工作的必备品，课堂教学信息化是“互联网+教育”和深化课程改革的趋势某校 准备进行网络课堂教学实验，计划购买甲、乙两种设备共 50 台，已知甲种设备每台 2000 第 5 页（共 22 页） 元，乙种设备每台 3000 元 （1）若购买两种设备的总金额为 140000 元，求购买甲、乙两种设备各多少台
9、？ （2）若购买甲种设备的金额不多于购买乙种设备的金额，则至多可以购买甲种设备多少 台？ 23 （8 分）直角三角形有一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请写 出这个定理的逆命题： 并判断，该逆命题是 命题（填“真”或“假” ）并说明理由 24 （10 分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形 （1）初步尝试：如图 1，已知等腰直角ABC，ACB90，请用直尺和圆规将它分 成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹 （2）理解运用：请在图 2 的方格纸中，画两个
10、面积为 2 的三角形，使这两个三角形是偏 等积三角形 （3）综合应用：如图 3，已知ACD 为直角三角形，ADC90，以 AC，AD 为腰向 外作等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CABDAE90，连结 BE， 求证：ACD 与ABE 为偏等积三角形 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学、李关弟中学等学年浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学、李关弟中学等 校八年级（上）期中数学试卷校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
11、题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.） 1 （3 分）若 xy，则下列式子中错误的是（ ） Ax3y3 B Cx+3y+3 D3x3y 【分析】根据不等式的基本性质，进行判断即可 【解答】解：A、根据不等式的性质 1，可得 x3y3，故 A 选项正确； B、根据不等式的性质 2，可得，故 B 选项正确； C、根据不等式的性质 1，可得 x+3y+3，故 C 选项正确； D、根据不等式的性质 3，可得3x3y，故 D 选项错误； 故选：D &nb
12、sp;【点评】本题考查了不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变 （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 2 （3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 65，则另一个锐角的度数是（ ） A115 B125 C25 D35 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解 【解答】解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于 65， 另一个锐角的度数是 906525
13、故选：C 【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的 关键 3 （3 分）某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形 状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（ ） 第 7 页（共 22 页） A1 B2 C3 D4 【分析】显然第 2 中有完整的三个条件，用 ASA 易证现要的三角形与原三角形全等 【解答】解：因为第 2 块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用 ASA 易证三角形全等， 故应带第 2 块 故选：B
14、 【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三 角形全等） ；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键 4 （3 分）点 A（3，5）向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B，则点 B 的坐 标为（ ） A （1，8） B （1，2） C （6，1） D （0，1） 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可 【解答】解：点 A（3，5）向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位得到点 B，坐标 变化为（33，5+4） ；则点 B 的坐标为（6，1） 故选：C 【点
15、评】本题考查点坐标的平移变换关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下 平移时点的横坐标不变平移中，对应点的对应坐标的差相等 5 （3 分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOBAOB 的依据 是（ ） A （SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是 我们可以判定是运用 SSS，答案可得 【解答】解：作图的步骤： 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 D、C； 第 8 页（共 22
16、 页） 任意作一点 O，作射线 OB，以 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB于 点 C； 以 C为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D； 过点 D作射线 OA 所以AOB就是与AOB 相等的角； 作图完毕 在OCD 与OCD， ， OCDOCD（SSS） ， AOBAOB， 显然运用的判定方法是 SSS 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的 性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键
17、 6 （3 分）如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平分线，若BACB，BAC40， 则ACE 的度数是（ ） A20 B35 C40 D70 【分析】依据三角形内角和定理，即可得到ACB 的度数，再根据角平分线的定义，即 可得到结论 【解答】解：BACB，BAC40， 第 9 页（共 22 页） ACB（18040）70， CE 是ABC 的角平分线， ACEACB35 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及
18、角平分 线定义，求出ACB70是解题的关键 7 （3 分）已知点 P（3m，m1）在第二象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是 （ ） A B C D 【分析】根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案 【解答】解：已知点 P（3m，m1）在第二象限， 3m0 且 m10， 解得 m3，m1， 故选：A 【点评】本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的解集 表示在数轴上 8 （3 分）若不等式组无解，则实数 a 的取值范围是（
19、 ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 【分析】分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出 a 的取值范 围 【解答】解：， 由得，xa， 由得，x1， 不等式组无解， a1， 第 10 页（共 22 页） 解得：a1 故选：D 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 9 （3 分）下列命题中，是真命题的个数有（ ） 有一个角为
20、 60的等腰三角形是等边三角形； 三边长为，的三角形为直角三角形； 等腰三角形的两条边长为 2，4，则等腰三角形的周长为 10 或 8； 三角形一条边上的中点到另两边的距离相等 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】利用等边三角形的判定方法对进行判断；根据勾股定理的逆定理对进行判 断；根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系对进行判断；利用角平分线的性质对 进行判断 【解答】解：有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形，所以正确； 三边长为，的三角形为直角三角形，所以正确； 等腰三角形的两条
21、边长为 2，4，则等腰三角形的周长为 10，所以错误； 三角形一条边上的中点到另两边的距离不一定相等，所以错误 故选：C 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言任何一个命 题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命 题，只需举出一个反例即可 10 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，D、E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC， EBCE60若 BE6cm，DE2cm，则 BC 的长为（ ） A4cm B6cm C8cm D12cm 【分析】作出辅助线后根
22、据等腰三角形的性质得出 BE6，DE2，进而得出BEM 为 第 11 页（共 22 页） 等边三角形，从而得出 BN 的长，进而求出答案 【解答】解：延长 ED 交 BC 于 M，延长 AD 交 BC 于 N， ABAC，AD 平分BAC， ANBC，BNCN， EBCE60， BEM 为等边三角形， BE6cm，DE2cm， DM4cm， BEM 为等边三角形， EMB60， ANBC， DNM90， NDM30， &nb
23、sp;NM2cm， BN4cm， BC2BN8cm 故选：C 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解 决问题的关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 8 题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）请写出一个一元一次不等式 x10（答案不唯一） 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的 不等式就可以 【解答】解：一元一次不等式有：x10 故答案为：x10（答案不唯一） &
24、nbsp; 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查不等式的定义；写出的不等式只需符合条件，越简单越好 12 （3 分）P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 （3，2） 【分析】根据点 P（m，n）关于 x 轴对称点的坐标 P（m，n） ，然后将题目所给点的 坐标代入即可求得解 【解答】解：根据轴对称的性质，得点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（3， 2） 故答案为： （3，2） 【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，属于基础题，难度不大，解决本题的 关键是掌握好对称点的坐标
25、规律 13 （3 分）如图，在ABC 和DEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上，BFCE，AB DE，请添加一个条件，使ABCDEF，这个添加的条件可以是 ABED （只需写 一个，不添加辅助线） 【分析】根据等式的性质可得 BCEF，根据平行线的性质可得BE，再添加 AB ED 可利用 SAS 判定ABCDEF 【解答】解：添加 ABED， BFCE， BF+FCCE+FC， 即 BCEF， ABDE， BE， 在ABC 和DEF 中， ABCDEF（S
26、AS） ， 故答案为：ABED 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 第 13 页（共 22 页） ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 14 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，外角ACD110，则A 40 【分析】先得到ACB 的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角 A 【解答】解：ABAC，
27、 ABCACB 而ACD110， ACBABC18011070， A180707040 故答案为：40 【点评】考查了三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 15 （3 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CDAC，B25，则ACB 的度数为 105 【分析】首先根据题目中的作图方法确定 MN 是线段 BC
28、 的垂直平分线，然后利用垂直 平分线的性质解题即可 【解答】解：由题中作图方法知道 MN 为线段 BC 的垂直平分线， CDBD， B25， 第 14 页（共 22 页） DCBB25， ADC50， CDAC， AADC50， ACD80， ACBACD+BCD80+25105， 故答案为：105 【点评】本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题 的关键是了解垂直平分线的做法 16 （3 分）如
29、图，在 44 方格中作以 AB 为一边的 RtABC，要求点在格点上，这样的 Rt 能作出 6 个 【分析】可以分 A、B、C 分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决 【解答】解：当 AB 是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H 四个； 当 AB 是直角边，A 是直角顶点时，第三个顶点是 F 点； 当 AB 是直角边，B 是直角顶点时，第三个顶点是 G 因而共有 6 个满足条件的顶点 故答案为：6 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本 题的关键
30、;17 （3 分）在ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，则 BC 的长 14 和 4 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得 BD，CD，再 由图形求出 BC，在锐角三角形中，BCBD+CD，在钝角三角形中，BCBDCD 第 15 页（共 22 页） 【解答】解： （1）如图，锐角ABC 中，AC13，AB15，BC 边上高 AD12， 在 RtACD 中 AC13，AD12， CD2AC2AD213212225， CD5， 在 RtABD 中 AB15，A
31、D12，由勾股定理得 BD2AB2AD215212281， CD9， BC 的长为 BD+DC9+514； （2）钝角ABC 中，AC13，AB15，BC 边上高 AD12， 在 RtACD 中 AC13，AD12，由勾股定理得 CD2AC2AD213212225， CD5， 在 RtABD 中 AB15，AD12，由勾股定理得 BD2AB2AD215212281， BD9， BC 的长为 DBBC954 故答案为 14 或 4 &nbs
32、p; 【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答关 键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边 长的平方 18 （3 分）在平面直角坐标系 xoy 中，对于点 P（x，y） ，我们把点 P（y+1，x+1）叫 做点 P的伴随点， 已知点 A1的伴随点为A2， 点A2的伴随点为A3， 点A3的伴随点为 A4， ， 第 16 页（共 22 页） 这样依次得到点 A1，A2，A3，An，若点 A1的坐标为（3，1） ，则点 A2018的坐标 为 （0，4） 【分析】根据“伴随点”的定
33、义依次求出各点，可发现每 4 个点为一个循环组依次循环， 用 2017 除以 4，根据商和余数的情况确定点 A2017的坐标即可 【解答】解：由题可得：A1（3，1） ，A2（0，4） ，A3（3，1） ，A4（0，2） ，A5（3， 1） ，A6（0，4） ， 依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环， 20184504 余 2， 点 A2018的坐标与 A2的坐标相同，为（0，4） ， 故答案为： （0，4） 【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，并求出每 4 个点为一个循环组依次循环是
34、解题的关键 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 6 小题，共小题，共 46 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，5） ，B（1，0） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的ABC（其中 A，B，C分别是 A，B，C 的对应点，不写画法） ； （2） 直接写出 A， B， C三点的坐标： A （ 1， 5 ） ， B （ 1， 0 ） ， C （ 4， 3 ） （3）计算ABC 的面积 &nb
35、sp; 【分析】 （1）分别找到 y 轴右侧与 y 轴左侧的点在同一水平线上，且到 y 轴的距离相等 的点，顺次连接即可； （2）根据点所在的象限及距离 y 轴，x 轴的距离分别写出各点坐标即可； （3）易得此三角形的底边为 5，高为 3，利用三角形的面积公式计算即可 第 17 页（共 22 页） 【解答】解： （1） ； （2）A（1，5） ，B（1，0） ，C（4，3） ； （3）A（1，5） ，B（1，0） ，C（4，3） ， AB5，AB 边上的高为 3， SAB
36、C 【点评】用到的知识点为：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平 分；三角形的面积等于底高2 20 （6 分）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解 【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分即可得到不等式组 的解集及整数解 【解答】解：， 解得：5x+62x6， 5x2x66， 3x12， x4， 解得：3（15x）2（3x+1）6， 315x6x+26， 15x6x263， 21x7， x，
37、; 第 18 页（共 22 页） 不等式组的解集为：4x， 该不等式组的整数解为3，2，1，0 【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法和确定其整数解，属常规题，其步骤一般 为：去分母，去括号，移项合并同类项，将 x 的系数化为 1 21 （8 分）如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BEAF，CE、 BF 交于点 P （1）求证：CEBF； （2）求BPC 的度数 【分析】 （1）欲证明 CEBF，只需证得BCEABF； （2）利用（1）中的全等三
38、角形的性质得到BCEABF，则由图示知PBC+PCB PBC+ABFABC60，即PBC+PCB60，所以根据三角形内角和定理 求得BPC120 【解答】 （1）证明：如图，ABC 是等边三角形， BCAB，AEBC60， 在BCE 与ABF 中， ， BCEABF（SAS） ， CEBF； （2）解：由（1）知BCEABF， BCEABF， PBC+PCBPBC+ABFABC60，即PBC+PCB60， BPC18060120 第 19 页（共
39、22 页） 即：BPC120 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形的判定 是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是 选择恰当的判定条件 22 （8 分）随着社会进入信息化及电子智能化时代，智能手机、电脑等电子产品成为生活、 学习、工作的必备品，课堂教学信息化是“互联网+教育”和深化课程改革的趋势某校 准备进行网络课堂教学实验，计划购买甲、乙两种设备共 50 台，已知甲种设备每台 2000 元，乙种设备每台 3000 元 （1）若购买两种设备的总金额为 140000 元，求购买甲、
40、乙两种设备各多少台？ （2）若购买甲种设备的金额不多于购买乙种设备的金额，则至多可以购买甲种设备多少 台？ 【分析】 （1）设购买甲种设备 x 台，购买乙种设备 y 台，根据题意列方程组即可得到结 论； （2）购买甲种设备 a 台，购买乙种设备（50a）台，根据题意列不等式即可得到结论 【解答】解： （1）设购买甲种设备 x 台，购买乙种设备 y 台， 根据题意得， 解得：， 答：购买甲种设备 10 台，购买乙种设备 40 台； （2）购买甲种设备 a 台，购买乙种设备（50a）台， 根
41、据题意得，2000a3000（50a） ， 解得：a30， 答：至多可以购买甲种设备 30 台 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意 是解题的关键 23 （8 分）直角三角形有一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请写 出这个定理的逆命题： 并判断，该逆命题是 真 命题（填“真”或“假” ）并说明理由 【分析】根据逆命题的概念写出逆命题，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理证 明即可 第 20 页（共 22 页） 【解答】解：直
42、角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是一个三角形一边上的 中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形， 该逆命题是真命题， 理由如下：ADCD， ADCA， 同理DCBB DCB+B+A+DCA180， 即 2（DCA+DCB）180， DCA+DCB90，即ACB90， ABC 是直角三角形 故答案为：真 【点评】本题考查的是命题和逆命题，直角三角形的性质，掌握逆命题的概念是解题的 关键 24 （10 分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏
43、等积三角形 （1）初步尝试：如图 1，已知等腰直角ABC，ACB90，请用直尺和圆规将它分 成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹 （2）理解运用：请在图 2 的方格纸中，画两个面积为 2 的三角形，使这两个三角形是偏 等积三角形 （3）综合应用：如图 3，已知ACD 为直角三角形，ADC90，以 AC，AD 为腰向 外作等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CABDAE90，连结 BE， 求证：ACD 与ABE 为偏等积三角形 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）尺规作
44、图找出 AC 的中点 D，连结 BD，则BAD 和BCD 为偏等积三角 形 （2）利用“友好三角形”的定义得出，ABC 与DEF 为“友好三角形” （3）过点 B 作 BHAE，垂足为 H，先证明ABHACD，则 CDHB ，依据三角 形的面积公式可知 SABESCDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可 【解答】解： （1）如图 1 所示，ABD 和BCD 是偏等积三角形； （2）如图 2 所示，ABC 和DEF 是偏等积三角形； （3）如图 3 所示：过点 B 作 BHAE，垂足为 H &n
45、bsp; 第 22 页（共 22 页） 等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CABDAE90， HAC+DAC90，BAH+HAC90 BAHDAC 在ABH 和ACD 中 ， ABHACD（AAS） ， BHCD， SABEBHAE，SACDADCD， AEAD，CDBH， SABESACD， 又由图知，这两个三角形不全等， ACD 与ABE 为偏等积三角形 【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解并掌握偏等积三角形 的概念，熟练掌握中垂线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等 知识点
