1、 1 2020 年秋北师大版九年级第一学期第一次月考年秋北师大版九年级第一学期第一次月考数学数学试卷试卷 （考试时间：（考试时间：9090 分钟分钟 总分：总分：120120 分分+ +附加题附加题 2020 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 1010 题；共题；共 3030 分）分） 1.下列各线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、5cm、7cm、9cm B. 2cm、5cm、6cm、8cm C. 3cm、6cm、9cm、18cm D. 1cm、3cm、4cm、6cm 2.已知 4a5b（ab0），下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3.关于 x 的一元二次方程（a2）
2、x2+x+a240 的一个根是 0，则 a 的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 2 D. 2 或2 4.下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5.有五张完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、等边三角形、正五边形、矩形、圆，将它们打乱顺 序后背面向上，从中随机选取一张卡片，正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 6.在一个不透明的口袋中， 装有若干个红球和 6 个黄球， 它们只有颜色不同，
3、 摇匀后从中随机摸出一个球， 记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在 0.6，则估计口袋中大约 有红球（ ） A. 24 个 B. 10 个 C. 9 个 D. 4 个 7.已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， 则实数 k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 8.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 的 高度比值接近 0.618，可以增加视觉美感，若图中 为 2 米，则 a 约为（ ） A. 1.24 米 B. 1.38 米 C. 1.42 米 D. 1.62 米 9.如图， 在正方形 中， ，
4、点 ， 分别在边 ， 上， 若 将四边形 沿 折叠，点 恰好落在 边上，则 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10.如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 作射线 OM、 ON 分别交 BC、CD 于点 E、F，且EOF=90，OC、EF 交于点 G给出下列结论： COEDOF；OGEFGC；四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面 积的 ;DF 2+BE2=OGOC。其中正确的是( ) 2 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（共二、填空题（共 7 7 题；共题；共 2828 分）分） 11.如图，在菱形
5、 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BD 上，EFAB，DE：EA=3：5， 若 EF=6，则 BC 的长为_. 12.若 m，n 是方程 x2+2019x20200 的两个实数根，则 m+nmn 的值为 _ 13.如图，一根直立于水平地面的木杆 AB 在灯光下形成影子 AC（ACAB），当木 杆绕点 A 按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化.已知 AE5m， 在旋转过程中，影长的最大值为 5m，最小值 3m，且影长最大时，木杆与光线垂直， 则路灯 EF 的高度为_ m. 14.两个人做游戏：每个人都从1，0，1 这三个整数中随机选择一个写在纸上，则 两人所写整数的绝对值
6、相等的概率为_ 15.如图， 矩形 中， ， ， 点 P 在对角线 上， 且 ， 连接 并延长，交 的延长线于点 Q，连接 ，则 的长为_ 16.如图， 且 ， 则 的值为_. 17.如图，正方形 ， 是 上一点， ， 于 ， 则 的长为_ 三、解答题一（共三、解答题一（共 3 3 题；共题；共 1818 分）分） 18. （1）解方程 ； （2）已知 .求 的 值. 19.如图，路灯（ 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（ 点 ）20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了；变长或变短了多少米 20.某市为打造“绿色城
7、市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知 2016 年投资 1000 万元，预计 2018 年投资 1210 万元若这两年内平均每年投资增长的百分率相同 3 （1）求平均每年投资增长的百分率； （2）按此增长率，计算 2019 年投资额能否达到 1360 万元? 四、解答题二（共四、解答题二（共 3 3 题；共题；共 2424 分）分） 21.端午节是中国的传统节日今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对 A、B、 C、D 四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的居民有_人 （2）喜欢 C 种口味粽子的人
8、数所占圆心角为_度根据题中信息补全条形统计图 （3）若该居民小区有 6000 人，请你估计爱吃 D 种粽子的有_人 （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方 法求他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的概率 22.每年 5 月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲 送花，感恩母亲，祝福母亲今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨，经分析上一年的销售情况，发现 这种康乃馨每天的销售量 y（支）是销售单价 x（元）的一次函数，已知销售单价为 7 元/支时，销售量为 16 支；销售单价为 8 元/支时，销售量
9、为 14 支。 （1）求这种康乃馨每天的销售量 y（支）关于销售单价 x（元/支）的一次函数解析式； （2）若按去年方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每支 5 元，商家若想每天获得 42 元的利润，销 售单价要定为多少元？ 23.如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是边 CD 上一点，DE=6， BFAE 于点 F. （1）求证：ADEBFA； （2）求 BF 的长. 五、解答题三（共 2 题，共 20 分） 24.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=20cm，BC=15cm，现有动点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 向点 B
10、 方向运动，如果点 P 的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为 t 秒求： （1）当 t=3 秒时，这时，P，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若CPQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式 （3）当 t 为多少秒时，以点 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？ 4 25. （1）提出问题：如图 1，在正方形 中，点 E，H 分别在 BC，AB 上，若 于点 O， 求证； ； （2） 类比探究： 如图2， 在正方形 中， 点B， E， G， F分别在AB， BC， CD， DA上， 若 于点O， 探究线
11、段 EF 与 HG 的数量关系，并说明理由； （3）综合运用：在（2）问条件下， ，如图 3 所示，已知 ， ，求图 中阴影部分的面积。 附加题： 1.如图，在正方形 ABCD 中，顶点 A（1，0），C（1，2），点 F 是 BC 的中点，CD 与y轴交于点E， AF与BE交于点G.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转， 每次旋转90， 则第 99 次旋转结束时，点 G 的坐标为_ 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE=1，若点 P 在对角线 BD 上 移动，则 PA+PE 的最小值是_ 3.如图,在 RtABC 中，C=90，AC=，BC=8，动点 P 从
12、点 A 开始,沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 D 从点 A 开始,沿边 AB 向点 B 以每秒 个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线 PDAC,动点 Q 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 以每 秒 2 个单位长度的速度运动,连结 PQ.点 P，D，Q 分别从点 A，C 同时出发,当其中一点到达端点时,另两 个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t0). （1）当 t 为何值时,四边形 BQPD 的面积为ABC 面积的 ? （2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为平行四边形?若存在，求出 t 的值；若不存 在，说明理由； （3）是
13、否存在 t 的值,使 5 四边形 PDBQ 为菱形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使 四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度。 答案答案 一、选择题 1.A、3957，故此选项错误； B、2856，故此选项错误； C、318=69，故此选项正确； D、16 34，故此选项错误； 故答案为：C 2.解：A.由 ，可得 4a5b，故本选项正确； B.由 ，可得 4a5b，故本选项正确； C.由 ，可得 4a5b，故本选项正确； D.由 ，可得 4a5b+1，故本选项错误； 故答案为：D. 3.解：关于 x 的一元二次方程（a2）
14、x2+x+a240 的一个根是 0， a240， 解得 a2， a20， a2， a2 故答案为：C 4.A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； C、如图， 在ADB 和CDB 中 ， ADBCDB（ASA）， ADCD，ABCB， 6 同理ACDACB， ABAD，BCDC， 即 ABBCCDAD， 四边形 ABCD 是菱形，故本选项符合题意； D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意； 故答案为：C. 5.解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 等边三角形是轴对称图形，
15、不是中心对称图形； 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形； 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形； 圆既是中心对称图形又是轴对称图形. 随机选取一张卡片，共有 5 种等可能的结果，其中正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有 2 种 抽取正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 . 故答案为：B. 6.解：设口袋中红球有 x 个， 根据题意，得： 0.6， 解得 x4， 经检验：x4 是分式方程的解， 所以估计口袋中大约有红球 4 个， 故答案为：D. 7.解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， 故答案为：B 8.解：由题意可知，a:b0.618，代入 b=2， a20.
16、618=1.2361.24. 故答案为：A 9.解：四边形 ABCD 是正方形， CDAB， EFD=FEB=60， 由折叠前后对应角相等可知：FEB=FEB=60， AEB=180-FEB-FEB=60， ABE=30， 7 设 AE=x,则 BE=BE=2x， AB=AE+BE=3x=3， x=1， BE=2x=2， 故答案为：D 10.解：四边形 ABCD 是正方形， OC=OD，ODF=OCE，COD=90， EOF=90， DOF=COE， DOFCOE， 故正确； DOFCOE， OE=OF， AEF 是等腰直角三角形， OEG=45， OEG=FCG=45，OGE=CGF, OG
17、EFGC ， 故正确； DOFCOE， SDOF=SCOE ， S四边形 CEOF=SCOD= S 正方形 ABCD ， 故正确； OEG=OCE=45，COE 共用， OEGOCE， ， OE2=OCOG， 在直角CEF 中，根据勾股定理得 CF2+CE2=EF2 ， DOFCOE， CE=DE，BE=CF， DF2+BE2=EF2 ， 在等腰直角三角形中，EF2=2OE2 ， DF2+BE2=2OCOG， 故错误， 综上可知正确的有 3 个. 故答案为：C. 二、填空题 8 11.解： ，即 解得 四边形 ABCD 是菱形 故答案为：16. 12.解：m，n 是方程 x2+2019x202
18、00 的两个实数根， m+n2019，mn2020， 则 m+nmn2019（2020）1 故答案为：1 13.解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于 AB， 最小值 3m， AB=3m， 影长最大时，木杆与光线垂直， 即 AC=5m， BC=4， 又可得CABCFE， ， AE=5m， ， 解得：EF=7.5m. 故答案为：7.5. 14.由题可得到树状图如下图所示： 9 故答案为 15.四边形 ABCD 是矩形， ， ， BAD=BCD=90，AB=CD=5，BC=AD=12，ABCD， ，又 =5， PD=8， ABDQ， ，即 解得：CQ=3， 在 RtBCQ 中，BC=12，CQ=3
19、， 故答案为： 16. ABCADE， 设 AB=a,则 DE=10-a 故 解得 a1=2,a2=8 AB=2， 故 故答案为：2. 17.四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 10 ， ， ， 故答案为： 三、解答题 18. （1）解： ， ， ， （2）解：设 ， ， 原式 19. 解：MAC=MOP=90，AMC=OMP， MACMOP ，即 ， 解得，MA=5 米； 同理，由NBDNOP，可求得 NB=1.5 米， 小明的身影变短了 51.5=3.5 米 20. （1）解：设平均每年投资增长的百分率为 x，由题意得： 1000(1+x)2=1210， x1=0.
20、1=10%，x2=-2.1(不合实际意义，舍去)， 即平均每年投资增长的百分率为 10%。 （2）解：1210(1+10%)=12101.1=13311360， 2019 年投资额达不到 1360 万元。 11 21. （1）600 （2）72；解：补全条形统计图为： （3）2400 （4）解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的结果数为 3， 所以他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的概率 解：（1）24040%600（人）， 所以本次参加抽样调查的居民有 600 人； 故答案为：600；（2）喜欢 B 种口味粽子的人数为 60010%60（人）
21、， 喜欢 C 种口味粽子的人数为 60018060240120（人）， 所以喜欢 C 种口味粽子的人数所占圆心角的度数为 360 72； 故答案为：72；（3）600040%2400， 所以估计爱吃 D 种粽子的有 2400 人； 故答案为 2400； 22. （1）解：设每天的销售量 y(支)是销售单价 x(元)的一次函数为 y=kx+b， 销售单价为 7 元/支时，销售量为 16 支；销售单价为 8 元/支时，销售量为 14 支。 解得 所以 y 与 x 的函数解析式为 y=-2x+30。 答：这种康乃馨每天的销售量 y(支)关于销售单价 x(元/支)的一次函数解析式为 y=-2x+30。
22、 （2）解：设商家若想每天获得 42 元的利润，销售单价要定为 x 元，根据题意，得 (x-5)(-2x+30)=42 整理，得 x2-20 x+96=0 解得 x1=8，x2=12。 12 答：商家若想每天获得 42 元的利润，销售单价要定为 8 元或 12 元。 23. （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， D=BAD=90， DAE+BAF=90， BFAE， AFB=90， D=AFB，ABF+BAF=90， ABF=DAE， ADEBFA； （2）解：AD=8，DE=6， AE= ， ADEBFA， ， ， BF= . 24. （1）解：由题意得 AP=4t，CQ=2t，则 CP
23、=204t， 当 t=3 秒时，CP=204t=8cm，CQ=2t=6cm， 由勾股定理得 PQ= （2）解：由题意得 AP=4t，CQ=2t，则 CP=204t， 因此 RtCPQ 的面积为 S= （3）解：分两种情况： 当 RtCPQRtCAB 时， ，即 ， 解得：t=3 秒； 当 RtCPQRtCBA 时， ，即 ， 解得：t= 秒 因此 t=3 秒或 t= 秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似 25. （1）解：四边形 ABCD 是正方形， 13 AB= DA，ABE=DAH=AOD =90 BAEEAD=90EADADH=90 BAE=ADH 在ABE 和DAH 中
24、 ABEDAH ； （2）解：EF=HG，理由如下 过点 D 作 DNGH 交 AB 于 N，过点 A 作 AMFE 交 BC 于 M ， AMDN， 由（1）中结论可得：AM=DN 四边形 ABCD 是正方形， ADBC，ABDC 四边形 AMEF 和四边形 DNHG 都是平行四边形 EF=AM，HG=DN EF=HG （3）解：过点 F 作 FPBC 于 P 四边形 ABCD 是正方形， 14 AB=BC= ，A=B=C=90，ABCD AHG=CGH OFHOEG，FHO=EGO ，AHGFHO=CGHEGO FO= ，HO= ，AHF=CGE AHFCGE AF= A=B=FPB=90
25、 四边形 ABPF 为矩形 BP=AF=1，PF=AB=4 PE=BEBP=1 根据勾股定理可得：FE= GH=FE= FO= ，EO=FEFO= ，HO= = ， OG=GHHO= S阴影= . 附加题： 1.解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCD2，CABF90， 点 F 是 BC 的中点，CD 与 y 轴交于点 E， CEBF1， ABFBCE（SAS）， BAFCBE， BAF+BFA90， FBG+BFG90， BGF90， BEAF， AF ， BG ， 过 G 作 GHAB 于 H， 15 BHGAGB90， HBGABG， ABGGBH， ， BG2BHAB， BH ，
26、 OH ， OG AB1， HG ， G（ ， ）， 将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针每次旋转 90， 第一次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（ ， ）， 第二次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（ ， ）， 第三次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（ ， ）， 第四次旋转 90后对应的 G 点的坐标为（ ， ）， ， 99424+3， 每 4 次一个循环，第 99 次旋转结束时，相当于正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转 3 次， 第 99 次旋转结束时，点 G 的坐标为（ ， ）. 2.解：作出点 E 关于 BD 的对称点 E，连接 AE与 BD 交于点 P，此时 AP+PE 最小
27、， PE=PE， 16 AP+PE=AP+PE=AE， 在 RtABE中，AB=3，BE=BE=1， 根据勾股定理得：AE= ， 则 PA+PE 的最小值为 ， 故答案为： 3. （1）解：直线 PDAC， APD=90， 又C=90， C=APD， PD/BC， 在 RtAPD 中，AD= ，AP=t， PD= ，PC=AC-AP=6-t， CQ=2t，BC=8， BQ=8-2t， 四边形 BQPD 的面积为： (BQ+DP)PC= (8-2t+ t)(6-t)， ABC 的面积为： ACBC= 68=24， 四边形 BQPD 的面积为ABC 面积的 时， 24= (8-2t+ t)(6-t
28、)， 解得： ， ， 当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动， t4， 不合题意，舍去， 当 t 为 时，四边形 BQPD 的面积为ABC 面积的 ； （2）解：存在， PD/BC， BQ/DP， 当 BQ=DP 时，四边形 PDBQ 是平行四边形， 即 8-2t= ，解得：t= ， 17 存在，t= 时，四边形 PDBQ 为平行四边形； （3）解：不存在，理由如下： 当 时， ， ， DPBD， 平行四边形 PDBQ 不能为菱形； 设点 Q 的速度为每秒 v 个单位长度， 则 BQ=8-vt，PD= ，BD=10- ， 要使四边形 PDBQ 成为菱形，则 PD=BD=BQ， 当 PD=BD 时，即 ，解得：t= ， 当 PD=BQ，t= 时，即 ，解得：v= ， 所以当点 Q 的速度为每秒 个单位长度时，经过 秒，四边形 PDBQ 是菱形.
